CC BY
13
УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ, ИНФОРМАТИКА
УДК 517.938
ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
© 2005 г. И.В. Бурлай, А.И. Бондарь
The universal method of control algorithm synthesys which possessing the invariant property for singular mistakes has been elaborated.
Введение
Известно [1-4], что наиболее универсальной формой оптимальных в смысле минимума ФОР неклассических алгоритмов управления являются алгоритмы с прогнозированием. Оптимальное управление определяется здесь посредством прогнозирования свободного движения объекта при фиксированном положении управляющих органов. В [5] с использованием инвариантов модели свободного движения объекта разработан новый метод последовательного уточнения результатов синтеза управляющих воздействий в соответствии с системным критерием нарастающей точности. Однако проблема построения независимых инвариантов, соответствующих решаемой задаче, в настоящее время еще полностью не решена. В связи с этим вполне правомерно поставить вопрос о развитии полученных ранее результатов и разработке универсального метода синтеза неклассических алгоритмов управления, обладающих свойством внутренней инвариантности к сингулярным погрешностям (например, постоянным или медленно меняющимся) и устойчивых к случайным ошибкам интегрирования уравнений свободного движения.
Постановка задачи
Известно [3], что для динамического объекта
y + f (y, t) = ф(y, t)u, y e Y с Rn, t e [tH, tK ] (1)
оптимальными в смысле минимума ФОР
tK 1 tK
I (u) = V3 (y (tK), tK ) + J Q( y (t), t) dt + - J (uTk- u + uTonm k- uonm) dt
t 2 t 1н lH
являются управления
Uonm = -k2фТ (y, t) , u e U с Rm, (2)
где tH и tK - начальный и конечный моменты времени оптимизации. Функция V(y, t) в формуле (2) удовлетворяет уравнению
дт - /Т н ^ е.^ )=* с).
Интервал оптимизации tк\ разбивается на достаточно короткие циклы Л%+1) = - . причем для каждого фиксированного t = . система контроля оценивает вектор состояния и задает начальные условия, необходимые для моделирования уравнения свободного движения:
х + /(х,0 = 0, х е X с Я", 16[t(}.),^] , х(t(])/х{;)) = х(}.у . = ~0~Ы, (3)
где х = х(ух(.)) - решение уравнения свободного движения (3), соответствующее начальным условиям . х.у
Управление на каждом.-м шаге п(() определяется по формуле [3]
VI) = -* V (У(.), t(3)) х^) , VI е и С Ят, Ь) е [ , ^ ]
где
Ы(}.+1) = и ()у(..)), у(.) - оценка состояния объекта управления, выданная системой контроля в момент t = . при этом
У + /(уt) = Ну,t)u(^+l). е )^+1)^ . е 0К, t(0) = ^, к |[х ((У.))'1] = гз [х (У( .)))+№ [х ((У.))'t ^ е[t( з),] ■
В дальнейшем с целью удобства и сокращения выкладок вместо (3) будем рассматривать новое скалярное уравнение свободного движения на симметричном интервале [—Т, Т]
х + я(х,7) = 0, х е X с Я1, Т е[-Т, Т], х(-Т/х-Т ) = х-Т = х(.), . = 0~Ы, (4)
где х = х (t|x-T) - решение уравнения свободного движения, соответствующее начальным условиям (—Т, х-Т) = (—Т, х.).
Переход от (3) к (4) осуществляется следующей линейной заменой независимой переменной
Г = Т^-Т^ - ^Г^ ), t е[. ^ ], 7 е [-Т, Т\ (5)
Результат моделирования уравнения свободного движения (5), получаемый на каждом .-м шаге на базе соответствующего численного метода, с учетом (1)-(5) имеет вид
х ((/х-Т ) = х ((/х-Т ) + ^ (4) +ДА ((), % е [-Т, Т ], г = -I ,■■■,0,■■■, I, (6) где 5 ) и ДА ) - соответственно отсчеты сингулярной 5 (t) и случайной ДА (t) погрешностей моделирования в точках ^ е[-Т, Т]■
Истинное решение x (t ¡x_T) представим в виде ряда Котельникова [6, 7] _ _ _ м
x (t/x_T ) = ATC (t ) = CT (t )A = ¿ xm sin с
-(t _ mAt)
At
(7)
riT
- ( )A =
m=-M
7 e [-T,T] , M « I, где A = [xm, m = —M,..., 0,..., M]T - вектор неизвестных отсчетов функции
x(t/x-T ), xm = x(mAt/x-T ), mAt e [-T,T], At > 0, C(t ) = [cm (t), m =
"|T
nr
= _M ,...,0,..., M \ =
sine
At
(t _ mAt)
m = _M,..., 0,..., M
sine [x] =
= sine [x] /[x].
Для описания сингулярной ошибки s (t) воспользуемся следующей моделью
s(Г) = BT©(7) = ©Т (7)B = I ^ (7) , 7e [-Т,Т],
q=0
где B = [¿q, q = 0,1,...,Q] - вектор неизвестных коэффициентов; ©(t) =
= [#q (t),q = 0,1,...,Q] - вектор линейно-независимых функций. В дальнейшем нам потребуется векторная запись уравнения (6)
X = X + S + АЯ, (8)
где X = [ X ((/x-T), i = -I ,...,0,..., IJT , X = [ x ((/x-T), i = -I ,...,0,..., IJ , S = [s(TT),i = -I,...,0,...,IJT , AH =[АА(TT), i = -I,...,0,...,I.
Введем следующий линейный оператор сглаживания £{•}, который каждой функции x (t /x-T) с финитным спектром ставит в соответствие вектор ее отсчетов:
L{x(7/x-T)} = [/m {x(7/x-T)}, m =-M,...,0,...,MJ =
= [xm, m = -M,...,0,...,M]T = Л.
Поставим задачу оптимального оценивания значений данного оператора на основе конечномерной выборки (8), содержащей сингулярную S и случайную АН погрешности. Искомый оптимальный оператор сглажива-
ния i*{X} = [C{X}, m = -M,...,0,...,mJ будем искать в виде
il {x} = px = a
xm, m = _m ,...,0,..., m
= A
(9)
где Р = [ртг, т = -М,..., 0,..., М; г = -I,..., 0,..., I] - матрица искомых коэф-
*
фициентов оптимального оператора Ь {•} ; А - искомая сглаженная оценка вектора А^
Корреляционная матрица оценки (9) для принятой модели случайного вектора АН находится по правилу
К = РКнРТ■
*
Необходимо получить наилучшую оценку А вектора А, которая обеспечит выполнение условия несмещенности
Г{Х}-Ь {х (7/х_Т)} = [0](2М+1)1 (10)
и условия инвариантности оператора С {•} к сингулярным погрешностям
Ь = [0](2М+1)х1 ■ (11)
Решение задачи
С учетом (7)-(10) имеем
С {X} = Ь {х(Т/х-Т)} = Ь {СТ (7) А} = Ь {АТС(t)} = РХ = РСА, откуда вытекает следующее условие несмещенности
Ь {СТ (О}- РС = [0](2М+1)х(2М+1) , (I2)
где [0]+1)х(2М+1)- нулевая матрица размерности (2М + 1) х (2М + 1),
Ь{СТ (7)} = [/" { (")}, ", т = -М,■■■,0,■■■,М] = [Ст ("Д7), ",т =-м,■■■, 0,■■■, М ]■
Несложно заметить, что Ь{СТ (t)} = Е(2М+1), где е(2м + 1) - единичная
матрица размерности (2М + 1) х (2М + 1) Принимая во внимание (11), получим
Г{£}= Ь*{0В} = Ю = [0](2 М+1)хГ откуда вытекает следующее условие инвариантности
Р0 = [0](2М+1)х(2М+1) (13)
В дальнейшем предполагается, что система уравнений (12), (13) совместна и, кроме того, воспользуемся следующими обозначениями:
ф00=©ТКн1©, д0= КН©, д = КНС, Т00= E(2I+1}- д@ф@1@®т,
где е^ + 1) - единичная матрица размерности (2! + 1) х (2I + 1)
Задача нахождения искомой матрицы Р была решена методом множителей Лагранжа [8-10]
T
P = ^ееде (TТ00дс)
(14)
С учетом (14) для оптимальной оценки Ь {X} = РХ = А минимальный след матрицы КЬ находится по следующему правилу
= lm {ct (t)}(дтсТ0еС)-1 SC0 (ctТеедс lm {C(t)},
.2
m
dV
Вынужденное движение объекта (1) на j-м шаге осуществляется в соответствии с уравнением
Соотношения (14)—(16) составляют математическую основу помехоустойчивого метода синтеза алгоритмов субоптимального управления, обладающих свойством внутренней инвариантности к сингулярным погрешностям, возникающим при моделирования уравнений свободного движения.
Развитый в статье подход может широко использоваться в задачах анализа и синтеза оптимальных и субоптимальных алгоритмов управления динамическими системами с прогнозированием как на стадии проектирования, так и в процессе функционирования реальных систем. Разработанный метод позволяет существенно повысить устойчивость процедур оптимального оценивания к случайным и сингулярным погрешностям заданного класса.
Основное достоинство предложенного подхода состоит в том, что в отличие от абсолютного большинства известных методов [3, 11, 12] в данном случае не требуется расширения пространства состояний при построении оптимальных несмещенных оценок, инвариантных к сингулярным погрешностям.
Достоинством метода также является его универсальность, поскольку решение получено в конечно-аналитическом виде, допускающем ком-
(16)
пактную векторно-матричную форму записи, что весьма важно в системах оптимального управления, функционирующих в реальном масштабе времени.
Литература
1. Красовский А.А. и др. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М., 1987.
2. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М., 1975.
3. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красов-ского. М., 1987.
4. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М., 1987.
5. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. // А и Т. 1996. № 3. С. 34-46.
6. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. М., 1971.
7. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М., 1975.
8. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. // ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. № 9. С. 213-217.
9. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М., 1981.
10. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В., Манин А.А. // А и Т. 1994. № 7. С. 37-48.
11. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М., 1984.
12. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. М., 1976.
Южно-Российский государственный университет
экономики и сервиса, г. Шахты 20 января 2005 г.
УДК 517.938
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
© 2005 г. И.В. Бурлай, А.И. Бондарь
The effective regular method of estimating control systems parameters which characterize has been set in form greed massive has been elaborated.
Введение
Современный этап развития науки и техники характеризуется неуклонным усложнением систем, оптимально управляемых в соответствии с заданным критерием качества. Данная тенденция обусловлена широким внедрением современной вычислительной техники на всех уровнях, начиная от локальных управляемых систем и кончая внешними контурами управления в больших системах [1-4].
Для синтеза управляемых систем уже давно используются методы оптимизации по строго заданным критериям, которые приводят к нелиней-
