CC BY
14
МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ИНФОРМАТИКА
УДК 681.5.015
МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ОЦЕНИВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСЛОВИЙ НЕСМЕЩЕННОСТИ И ИНВАРИАНТНОСТИ
© 2005 г. Е.Ю. Булычева
Using conditions of invariance and non-biasness a new estimation method of linear functional values from observations, containing besides fluctuating also singular interference is developed.
При решении широкого круга математических и прикладных задач возникает необходимость вычисления значений линейных функционалов, определенных на некоторой системе точек [1, 2]. Известно, что оптимальное решение подобной задачи можно получить в рамках классического метода наименьших квадратов (МНК). Однако непосредственное применение последнего зачастую связано с решением задач высокой размерности, либо смещенности оценок из-за наличия сингулярных погрешностей вычислений.
Пусть скалярная вещественная функция представима в виде
Л(„) = AT C („) = CT („)A, Ле ГЛ
„
.r„Œ Rn
где C(„) =
ций; A =
ck („)' k =1'2'"'
- вектор линейно-независимых функ-
j = 1,2,...
- вектор неизвестных коэффициентов.
При проведении практических расчетов функции Л(„) ставится в со-
(1)
ответствие ее конечномерный аналог
Л(р) = АТС(р) = Ст (р)А,
где С(р) = [ек (р), к = 1,2,...,М]Т ; А = [ а}, ] = 1,2,..М]Т .
С учетом (1) справедливо следующее аналитическое представление:
*
Л(М) = Л(М) + гх(р)= АтС(р) + гл(М) = Ст (р)А + гх(р), (2)
*
где - остаточный член аппроксимации, для которого верна оценка
1Ы1= 5иР I гя(") I ^гл. (3)
Зададим сетку = { ,¡2),...,¡u(I)}, узлам
которой ставятся в со-
ответствие значения
'х(])=х(и({))+5(-"«ЬМ-"«)'■=1'2-'7' (4)
где 5=я") ) и И = И ("")) - соответственно сингулярная и случайная погрешности в узле Ц({).
Для описания сингулярной погрешности воспользуемся следующей моделью:
5 (") = Вт®(") = ®т (")В, "6 Г" с Я", (5)
где ®(") = [вр ("), р = 1'2'...,; В = [, г = 1,2,...,о] . Вместо (4) можно воспользоваться векторным представлением
Л
Л = Л + £ + Я, (6)
где случайный вектор Н характеризуется корреляционной матрицей КН.
Зададим обобщенный функционал вида L
щ
=U
щ
i = 1,2,..., N
и соответствующий ему функционал Ь[Х(р)] = {Щ(м)], ■ = 1, 2, ..., ЫУ (для конечномерного случая), состоящий из линейных ограниченных функционалов /,■, ■ = 1, 2, ..., N. Поставим задачу оптимального оценивания
значений функционала L
Л(М)
на основе конечномерного аналога (1) с
учетом представлений (2)-(6). При этом оптимальную оценку Ь функционала Ь будем искать в виде
L
Л
= P Л,
(7)
где Р = [рш, к = 1,2,...,Ы, ■ = 1,2,...,I] - матрица искомых коэффициентов.
В дальнейшем полагаем, что расширенная матрица [С, 0] имеет ранг, равный М + 0 < I, т.е. поставленная выше задача разрешима [2].
Корреляционная матрица оценки (7) для принятой модели случайной погрешности находится по правилу
К. = РКЯРт, (8)
Ь
где КН - корреляционная матрица случайного вектора Н размером I х I.
Требуется найти вид матрицы Р, которая обеспечивает минимизацию следа матрицы К,, выполнение условия несмещенности оценки значений
Ь
обобщенного функционала
*
Ь [Л]-Ь [А(р)] = [0]^ (9)
и условия инвариантности к сингулярным погрешностям
*
Ь V ] = К х1>
где [0]^ х 1 - нулевой вектор-столбец размерности N.
Несложно убедиться, что Л = СА, где С = [сгт, г = 1, 2, ..., I, т = 1, 2, ...,М = [СтЦ,)), г = 1, 2, ..., I, т = 1, 2, ..., М].
С учетом этого, принимая во внимание (1), (7) и (9), имеем
Ь [Л] = Ь [Я(р)] = Ь [СТ (р) А] = Ь [АТС (р)] = РЛ = РСА. (10) Непосредственно из (10) вытекает следующее условие несмещенности: Ь [СТ (Р)]- РС = [0]NхМ , где Ь[СТ (р)] = { 1г [ст (р)] , г = 1,2,...,N, т = 1,2,...,М }; [0]^ - нулевая
матрица размером N х М.
Аналогично, замечая, что £ = 0В, где 0 = [вгт, г = 1, 2, ..., I, т = 1, 2, ..., М] = [0т(М(г)), г = 1, 2, ..., I, т = 1, 2, ..., М], получаем
]= Ь[0В] = р 0 В = [0 ] N х1 ■ (11)
Непосредственно из (11) вытекает следующее условие инвариантно -сти:
Р0 = [0^ х м,
где [0^ х М - нулевая матрица размером N х М.
Далее нам потребуются следующие обозначения: Ф00 =0ТКД10, Г0 = К-10, Гс = КН1С, ^00= е -Г0Ф0100Т.
Задача нахождения искомой матрицы Р была решена по аналогии с [2] методом множителей Лагранжа
Р = {^00Гс (СТТ00Гс )-1 Ь [С (р)]}Г ,
где Ь [С (р)] = (ь [ СТ (р)])Т ={/к [С (р)] , к = 1,2,..., N } =
= {/к [Ст (р)], т = 1,2,...,М, к = 1,2,...,N}.
Принимая во внимание (8), находим выражение для дисперсии оценки
/к
= 1к [ СТ (р)]( Т 00С ) (СТ Т00ГС )"' 1к [С (р)], к = 1,2,..., N,
где = гс ^ее кн Т00гс.
Дадим теперь оценку методической погрешности оптимального оценивания, обусловленной неадекватностью принятой математической модели (1).
С учетом (2), принимая во внимание, что Ь [АТС (,«)] = Ь [Л],
*
Ь [5 ] = [0]^х1 и М {Н} = [0]^х1, найдем среднее значение методической ошибки
M -L
Л(М)
- L
Л
--M \l [ ATC (И) ]+ L [гя(И) ]-L [Л]-L [Ra]-
1 (12) - L [S] - L [H] [■ = M {L [rx (М)] - PRÄ - PH} = L [ (^)] - PRÄ,
где Кл^л^)), г = и—1 ] .
Непосредственно из (2) и (12) следует, что исследуемая методическая
погрешность целиком определяется свойствами линейных функционалов
*
Ь и Ь, а также величиной остаточного члена аппроксимациигл(р) и его дискретного аналога Ях
На базе (12) с учетом (3) легко сформировать оценку
M - L
Х(ц)
- L
Г + Pr
где р = шах| Рк \, г л = тах |глО( г))|, к = 1,2,..., N, г = 1,2,..., I.
к ,г г
Основное достоинство разработанного подхода состоит в том, что в отличие от абсолютного большинства известных методов в данном случае не требуется увеличения размерности решаемой задачи при построении оптимальных несмещенных оценок значений линейных функционалов, инвариантных к сингулярным погрешностям.
Достоинством метода также является его универсальность, поскольку решение получено в конечно-аналитическом виде, допускающем компактную векторно-матричную форму записи, что весьма удобно при практической реализации на базе цифровых вычислительных машин различных классов.
Литература
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1986.
2. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. // ЖВМ и МФ. 2000. Т. 40. № 4. С. 25-30.
Южно-Российский государственный университет
экономики и сервиса 12 сентября 2005 г.
