CC BY
122
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПРИЕМА СИГНАЛОВ ПРИ ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ МОДУЛЯЦИИ
Быховский Марк Аронович,
МТУСИ, Россия, Москва, bykhmark@gmail.com
Ключевые слова: перестановочная модуляция, помехоустойчивость, передача сигналов.
В 1965 г. американским ученым Д. Слепяном был предложен новый метод передачи сообщений в цифровых системах связи, названный им "перестановочной модуляцией" [1]. Этот метод передачи сообщений обладает рядом привлекательных свойств и поэтому его исследованию посвящены многие работы, в том числе и выполненные в последние годы (например [2-4]).
Важными свойствами (ПМ) с точки зрения практической реализации систем связи являются следующие ее свойства [1]: 1. Каждое кодовое слово имеет одинаковую энергию; 2. Метод декодирования сообщений, передаваемых с помощью этого метода, весьма прост в технической реализации; 3. Этот метод обеспечивает одну и ту же вероятность ошибки при приеме любых кодовых слов.
Перестановочная модуляция позволяет обеспечить достаточно высокую помехоустойчивость систем передачи и приема сигналов, при простых алгоритмах обработки принимаемых сигналов. Такие системы имеют значительный энергетический выигрыш по сравнению с системами, в которых сигналы передаются с помощью ДОФТ, но помехоустойчивое кодирование не используется.
Исследуется одна из простых разновидностей ПМ. Определена помехоустойчивость оптимального приема сигналов, а также показано, что, в отличие от передачи сообщений с помощью ортогональных или биортогональ-ных сигналов, в которых удельная скорость передачи сигналов (в бит/с/Гц) уменьшается с увеличением размерности сигнального пространства, рассмотренный метод позволяет передавать сообщения со скоростью до 2 бит/с/Гц.
Для цитирования:
Быховский М.А. Помехоустойчивости приема сигналов при перестановочной модуляции // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. - Том 9. - №4. - С. 12-16.
For citation:
Bykhovsky M.A. Interference immunity receiving signals at permutation modulation. T-Comm. 2015. Vol 9. No.4, рр. 12-16. (in Russian).
T-Comm Том 9. #4-2015
Анализ эффективности системы передачи сообщений методом перестановочной модуляции
Рассмотрим систему передачи сообщений с помощью кодовой конструкции, в которой используются К-2к позиций во временной или в частотной областях. При этом, в первом случае из А"временных позиций для передачи сообщений используются только I и на каждой из них на одной несущей частоте f передается только один из ортогональных сигналов длительностью То=Т/К
-'sk (t) - -/2/^sin {2лft + (psk) или ^eJcCO =л/2^COS (2тlft+ Ipck) Здесь Ps - мощность каждого из сигналов Ssi¿t) и ScM- В том случае, если на каждой из N временных позиций передаются ортогональные сигналы, то значения и "Pete могут быть произвольными, если же используются биортогональные сигналы, то Vsk и VCk могут изменяться независимо друг от друга и принимать значения Ф*к = ±0/2) и <Рл ± С71/2).
Во втором случае для передачи сигналов используются из /¡'возможных частотных позиций для передачи сообщений используются только 7 и на каждой из них
на частоте fk=f + Ш (к=1...К) и поднесущей küf — (k/T)i где 7-„ длительность кодовых слов, передается только один из ортогональных сигналов длительности Г
-'sk (t) = J2PS sin (2,nfkt+ <psk) Или
= ^os (2nfkt+ <pek\ (2)
В данном случае фазы этих сигналов Ф*к и 'Рек могут принимать такие же значения, как при передаче кодовых слов с использованием разных временных позиций. Отметим, что ПМ с использованием разных частотных позиций представляет собой частный случай системы OFDM [5], в которой для передачи сообщений используются только А'из I возможных поднесущих, на которых передаются ортогональные либо биортогональные сигналы. Кроме того, учитывая, что частотная расстройка между соседними поднесу щи ми равна ДГ=(1/Г), спектры сигналов, передаваемых на соседних поднесущих, существенно занимают полосу частот /#=2/7" и перекрываются [5], полная полоса частот, в которой передаются сигналы, равна F=K(Fq/2), откуда следует, что K=F0T.
На рис. 1 показана блок-схема приемника сигналов рассматриваемого в данной работе варианта ПМ. Она содержит приемник сигналов, к выходу которого подключен блок согласованных фильтров, выделяющих сигналы, передаваемые на отдельных позициях кода. На выходах этого блока формируются К0 напряжений, соответствующих принятым на определенных позициях кодового слова сигналам. Эти напряжения поступают на вход решающего устройства, на выходах которого формируются номера тех I позиций кода, на которых
были приняты сигналы с наибольшим уровнем. В случае использования биортогональных сигналов номера позиций определяются с учетом знака (+ или -) принятого на каждой из этих I позиций кода сигнала, которые имеют наивысший уровень, Эти номера поступают на преобразователь, на выходе которого формируется соответствующая им последовательность информационных символов.
(Mil)
Приемник
к 10к СО: Fw(li:i:J\
фи.11.1рПЕ1. BÍHtiPMt
с пфтякпшпнпй ивдиншкй, иы/кчнюшич сш налы.
мршяшмые на отдельных II '-и них мин.
IVll 1:111 IIHIT
ycipoiicreo
11| :ii;;i:i ;:i ..: IL ■
■фНННТОН
шмСшшш
символов кода в iiuc.ie.toBatMi-uocii, В|[фррЧЕИШШШЫ\ ничкгишн
выхш)
Рис, 1. Блок-схема устройства приема сигналов перестановочной модуляцией
В обоих рассматриваемых случаях размерность сигнального пространства, в котором размещены кодовые слова, равна К0=2К. Кроме того, отметим, что в обоих случаях Ра является полной мощностью передаваемого кодового слова, состоящего из I из К возможных элементов, а РБ = (Я0//) - мощность, приходящаяся на сигнал, передаваемый на одной временной или частотной позиции.
Количество возможных кодовых слов, которые могут быть составлены из К0 ортогональных сигналов равно
мо = Ч 8 том случае, если применяются только ортогональные сигналы, и = если применяются
биортогональные сигналы (здесь скп = (Х0 _ - число сочетаний из К0 по I). Удельная скорость передачи сообщений {в бит/с/Гц) для ортогональных (¿=0) и биортогональных (¿=1) сигналов составляет
Rfi = 1ад2(М{)/РТ = log^Mj/K
(3)
В технике связи разработаны простые методы представления последовательности натуральных чисел от 1
С1
до 8 последовательности, каждая из которых имеет длину К0, причем в ней имеется ровно I единиц и {Ко - I) нулей [6]. Эти методы позволяют построить простые кодеры и декодеры для рассматриваемой системы связи, так как каждой двоичной информационной последовательности, сформированной на выходе кодера и имеющей на Аой позиции 1, можно сопоставить один из ортогональных сигналов, передаваемых в канал связи на А ой временной или частотной позиции. Если же на какой-либо позиции в двоичной последовательности на выходе кодера стоит 0, то в канал связи в соответствующий интервал времени или на соответствующей частоте сигналы не передаются.
При приеме кодового слова осуществляется синхронное детектирование сигналов, принятых на каждой позиции, т.е. на каждой /-ой позиции формируется напряжение, равное
T-Comm Vol.9. #4-201 5
"КФ) = £ тмгф+/«иСйг/И- (4)
^ = (0[£т(2ггДГ + ^,)/со5(2ТГДГ + (5)
В формуле (4) обозначено Т0 = 7Д*. Формула (4) относится к системе, в которой для передачи сигналов используются временные позиции, а (5) - частотные. На выходе синхронных детекторов формируются напряжения, равные (для случая, если применяются био-ртогональные сигналы):
и.
i(s/c) - PsSl +nl(s/c).
(6)
Если для передачи применяются ортогональные сигналы, то ^г = 1, если на сигнал на /-ой позиции передавался, и
si ~ 0 - в противном случае; если же
передаются биортогональные сигналы, то
6, = ±1
ес-
стей напряжений, действующих на выходах синхронных детекторов, имеет следующий вид:
p(u) = pn(un )P(US). (8)
В (8) РпЮ и рФ,) - соответственно распределения вероятностей напряжений на выходах синхронных детекторов сигналов, появляющихся на (К0-Г) позициях, в которых действует только шум Uni, так как полезные сигналы на них не передавались, и появляющихся на I позициях, на которых действует сумма Us, полезного сигнала и шума. Случайные величины Un, v\ ¿^ являются независимыми и поэтому ти распределения имеют вид:
РЛип) --wÉjf*^-
ли на сигнал на /-ой позиции передавался соответствующий сигнал, и ^г = 0 - в противном случае. Напряжение Пг(»/<0 в (6) образовано в результате интегрирования гауссовского шума, действующего на входе приемника. Если N0 - односторонняя спектральная мощность этого шума, то это напряжение представляет собой гауссовскую случайную величину с нулевым средним и с дисперсией, равной а = ^0/4!Г [5] на тех по_ зициях, на которых в рассматриваемой системе передавались ортогональные или биортогональные сигналы, отношение мощностей сигнальной и шумовой составляющих на выходе синхронных детекторов будет равно
Ра/аг = Рй/1о2=*(РьШг (7)
где Ро = рот/яа - отношение энергии принятого сигнала к спектральной плотности шума. Отметим, что отношение энергии принятого сигнала к спектральной плотности шума, относящиеся к одному информационному биту, переданному по каналу связи, связано с Ро
соотношением [5] Рь = Ро10*'1, где йя - удельная скорость передачи сообщений в рассматриваемой системе, которая определена в (3).
Оптимальный алгоритм принятия решения о том, какой сигнал был передан, состоит в том, что все К0 напряжений, сформированные на выходах синхронных детекторов, подаются на вход решающего устройства. В нем определяется, на каких выходах блока согласованных фильтров действуют I напряжений с наибольшим уровнем. В случае приема ортогональных сигналов на выходе решающего устройства формируется последовательность символов 0 и 1, в которой символы 1 стоят на тех / позициях, соответствующих детекторам, на выходе которых были сформированы напряжения наибольшего уровня. В случае биортогональных сигналов дополнительно учитывается знак I напряжений, имеющих наибольший уровень на выходах всех детекторов. При этом на выходе решающего устройства формируется последовательность символов 0 и ±1.
Для анализа помехоустойчивости рассматриваемой системы связи отметим, что распределение вероятно-
PlAJ
(9)
Если в рассматриваемой системе осуществляется передача ортогональных сигналов, то критерий правильного приема переданного сигнала имеет вид:
"Г* < иг\ (10)
где КаХ = тах,{ип1) и 1С'Я = ттД^). Интеграль-
„ тгпъах г I пил
ные распределения случайных величин ик и имеют следующий вид:
РфГП £ z) = 1 - [1 - Q(Z - yfïTb)]1.
(H)
где С учетом (11)
формула для вероятности ошибочного приема принимает следующий вид:
ас
раш - Рг(и™а* > у/1") - j РггХиГ* ^ г)б, Рг^и™1* <г) =
— оо
¿Си - - Ф - [-{2/т\
(12)
В том случае, если рассматриваемая система используется для передачи биортогональных сигналов, то критерий правильного приема имеет следующий вид:
кС") £ |t/rn|, v„ > о при
(13)
Смысл первого из указанных условий заключается в том, что решающая схема должна правильно определить Iиз Аппозиций, на которых были переданы сигналы биортогонального ансамбля, а выполнение остальных условий в (13) гарантирует, что на каждой позиции будут правильно определены знаки (+ или -) принятых сигналов. Выполнение указанных условий гарантированно выполняется, если каждое выполняется независимо. При этом при приеме сигналов ошибка может произойти, если не выполняется первое из указанных условий, а также не выполняется второе, т.е. нарушается хотя бы одно из остальных условий. Вероятность нарушения первого условия равна
У
Л.Ш1 = г [и™1!) = \ £ г)йРгДиг\ < г) =
о
=¿{/Л1 - пЩ^Л1 - Ф- ШЯ^ехр К* -
(14)
а второго -
= (15)
Оценка сверху полной вероятности ошибочного приема дается формулой
Рош £ Р°ш1 + РОШ2. (16)
Следует отметить, что Л>ш1 >;> Р0Ш2 и поэтому численное значение Рош определяется формулой (14). Кроме того, отметим, что значения Р0ш для случаев использования для передачи сообщений ортогональных и биортогональных сигналов практически одинаковы.
Обсуждение полученных результатов
На рис. 2 представлена зависимость удельной скорости (/?/) передачи сообщений (в бит/с/Гц), которая определяется формулой (3), от доли (д) используемых для передачи сообщений позиций (К^ кода. Число позиций I, используемых для передачи сообщений, на которых могут быть переданы сигналы, определяется следующим образом: 1='т1ед(цК0) (здесь ¡Шед(х) -целая часть числа х).
ч
Рис. 2. Удельная скорость передачи сигналов при перестановочной модуляции
Из рис. 2 видно, что с увеличением д удельная скорость передачи сообщений возрастает и ее наибольшее значение достигается, когда ¿7=0,5, т.е. когда для передачи сигналов используются половина позиций кода. При больших значения (А^—1000), как видно из рис. 2, эта скорость достигает 2 бит/с/Гц. Весьма близка к указанному значению кудельная скорость при А#=32 и 64. В рассматриваемой системе связи удельная скорость, равная /?/=1 бит/с/Гц может быть достигнута при <7=0,15, если А^?>8.
На рис. 3 представлены зависимости Рош от рь - отношения сигнал/шум, приходящееся на один бит переданной информации для систем с ПМ и систем, в которых для передачи сообщений используется такое же число временных или частотных позиций, на каждой из которых передаются сигналы без кодирования с двойной относительной фазовой модуляцией (ДОФМ). Эти кривые построены для /?/= 1 и 2 бит/с/Гц и Кд— 8, 16 и 64. В системах с ДОФМ при Я>=2 сигналы передаются без кодирования, а при в них используется коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема [7], исправляющие при Ко= 8 одну ошибку, при Ко= 16 - две, а при Ко= 64 -шесть. Отметим, что зависимости Рош от рь для Я/=1 и 2 и Ко=8, 16 и 64 практически сливаются, если
На рис. 3 приведена также зависимость Рош от рь для системы, в которой для передачи сообщений используется только один (1=1) из Кс(=64 ортогональных сигналов. В такой системе удельная скорость передачи сообщений составляет /?^=(1одгКо)!К0 бит/с/Гц, при этом Яг-*0 при Ка->со. Сравнение построенной на рис. 3 зависимости Рош от рь для случая ПМ при Ко= 64 и системы с ортогональными сигналами и /?^=3/32 показывает, что последняя проигрывает системе, использующей ПМ с Я/=1 примерно 1 дБ и, кроме того, она имеет в 11 раз меньшую скорость передачи сообщений.
рь дБ
Рис. 3. Вероятность ошибки приема сигналов при перестановочной модуляции
Сравнение зависимостей Рош от д,для систем с ПМ с и 2 показывает, что уменьшение в них скорости передачи в два раза (с 2 до 1 бит/с/Гц) приводит к снижению на 3,7 дБ отношения сигнал/шум (рь), необходимого для достижения одного и того значения Рош.
Сравнение зависимостей Рош от рь для систем с ПМ и ДОФТ показывает, если при передаче сигналов ДОФТ кодирование не используется, то в такой системе энер-
Т-Сотт Уо!.9. #4-201 5
COMMUNICATIONS
гетические потери по отношению к системе, в которой используется ПМ, значительны и составляют около 7 дБ. Однако, применение кодов Боуза-Чоудхури-Хоквингема позволяет существенно повысить помехоустойчивость системы с ДОФТ. При Л/=1 эти потери составляют 6,5 дБ при Ко= 8, - 5 дБ при Ко=1Ь и 2 дБ при Ко= 64.
Заключение
Перестановочная модуляция позволяет обеспечить достаточно высокую помехоустойчивость систем передачи и приема сигналов, при простых алгоритмах обработки принимаемых сигналов. Такие системы имеют значительный энергетический выигрыш по сравнению с системами, в которых сигналы передаются с помощью ДОФТ, но помехоустойчивое кодирование не используется. Если же в системах с ДОФТ применяется помехоустойчивое кодирование, то с увеличением длины используемого в кода их энергетический проигрыш по сравнению с системами с ПМ уменьшаются (при Ад= 64 он составляет 2 дБ). Следует отметить, что в системе с ДОФТ можно получить энергетический выигрыш по от-
ношению к системе с ПМ, однако сложность блоков кодирования и декодирования при этом существенно возрастают.
Представляет интерес исследование помехоустойчивости систем связи, в которых применяются виды перестановочной модуляции, более сложные [1], нежели рассмотренная выше.
1. D. Slepian, Permutation modulation // Proc. IEEE, vol, 53, Маг. 1965.
2. EM. Bigtieri and M. EHa. Optimum permutation modulation codes and their asymptotic performance // IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 22, Nov. 1976.
3. E. Viterbo. Trellis decoding of permutation modulations 11 Proc. IEEE Int. Symp. Information Theory, June 2003.
4. DanHo SUva and Weiler A. Fi nam о re, Vector Permutation Modulation // IEEE communications letters, vol. 9, No. 8, August 2005.
5. ПрокисДж. Цифровая связь. - M.: Радио и связь, 2000.
6. Обврман P.M. Счет и счетчики. - М.: Радио и связь, 1984.
7. Кларк, Дж., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи. - М.: Радио и связь, 1987.
Литература
INTERFERENCE IMMUNITY RECEIVING SIGNALS AT PERMUTATION MODULATION
Bykhovsky M.A., MTUCI, Russia, bykhmark@gmail.com
Abstract
In 1965, the American scientist J. Slepian proposed a new method of transmitting messages in digital communication systems, which he called "permutation modulation." This method of sending messages has a number of attractive properties, and therefore the study of the subject of many works, including made in recent years. Important properties (PM) from the viewpoint of practical implementation of communication systems is its following properties: 1. Each codeword has the same energy; 2. A method of decoding messages sent using this method is very simple technical realization; 3. The method ensures the same probability of error in the reception of any codewords. Examines one of the simplest types of PM. Immunity is defined optimal reception signals, and also shows that, unlike the message transfer using orthogonal or bi-orthogonal signals in which a specific signaling rate (bits/s/Hz) is decreased with an increase in the dimension of the signal space, the method in messages sent at speeds up to 2 bit/s/Hz.
Keywords: permutation modulation, noise immunity, signal transmission.
References
1. Slepian D. Permutation modulation. Proc. IEEE. Vol. 53. Mar. 1965.
2. Biglieri E.M., Elia M. Optimum permutation modulation codes and their asymptotic performance. IEEE Trans. Inform. Theory. Vol. 22, Nov. 1976.
3. Viterbo E Trellis decoding of permutation modulations. Proc. IEEE Int. Symp. Information Theory. June 2003.
4. Danilo Silva and Weiler A. Finamore, Vector Permutation Modulation. IEEE communications letters, vol. 9, No. 8, August 2005
5. Prokis J. Digital communication. Noscow. Radio i svyaz', 2000. (in Russian)
6. Oberman R.M. Account and counters. Noscow. Radio i svyaz', 1984 (in Russian)
7. Clark, J., Kane J. Error correction coding in digital communication systems. Noscow. Radio i svyaz', 1987. (in Russian) For citation:
Bykhovsky M.A. Interference immunity receiving signals at permutation modulation. T-Comm. 2015. Vol 9. No.4, pp. 12-16. (in Russian).
