Поляризованное и неполяризованное тормозное излучение, возникающее при столкновении бесструктурных заряженных частиц во внешнем электрическом поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.186.2

ПОЛЯРИЗОВАННОЕ И НЕПОЛЯРИЗОВАННОЕ ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ, ВОЗНИКАЮЩЕЕ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ БЕССТРУКТУРНЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

В. В. Пивкин1, В. И. Крылов

Численными методами проведено интегрирование ранее найденных дифференциальных сечений поляризованного и неполяризованного тормозного излучения по углам импульса, определяющего относительное (внутреннее) движение сталкивающихся заряженных частиц во внешнем квазиоднородном и квазистационарном электрическом поле. Показано, что в результате отражения сталкивающихся частиц от потенциального барьера внешнего поля зависимости найденных сечений от импульса начального состояния сталкивающихся частиц, а также от волнового вектора и поляризации испущенного тормозного фотона заметно отличаются от соответствующих сечений тормозного излучения в отсутствие внешнего поля.

В работах [1 - 3] в нерелятивистском приближении найдены дифференциальные сечения тормозного излучения, возникающего при рассеянии бесструктурных заряженных частиц друг на друге во внешнем электрическом поле. Сечения были определены в первом порядке теории возмущений (в дипольном приближении) по асимптотам волновых функций, имеющих вид как бегущей, так и стоячей волны из-за отражения легкой частицы от потенциального барьера внешнего поля. Было показано, что

1 Хабаровский государственный педагогический институт, Хабаровск, Россия.

в результате отражения стлкивающихся частиц от потенциального барьера внешнего поля, дифференциальные сечения имеют осцилляционную структуру, которой нет у соответствующих сечений в отсутствие внешнего поля.

Однако в этих работах удалось провести только суммирование по поляризации и интегрирование по углам волнового вектора фотона дифференциального сечения по- .

ляризованного тормозного излучения, тогда как (из-за громоздкости аналитического выражения для этого сечения) проинтегрировать его по углам импульса относительного движения сталкивающихся частиц не представлялось возможным. В настоящей работе численными методами проведено такое интегрирование полученных в [3] дифференциальных сечений поляризованного и неполяризованного (просуммированного по поляризации) тормозного излучения, возникающего при столкновении заряженных частиц друг с другом во внешнем квазиоднородном, квазистационарном электрическом поле.

Также как в [1 - 3] будем считать, что внешнее однородное и постоянное электрическое поле с напряженностью е находится в полупространстве с границей, к которой е нормальна, а поток легких частиц, проходя через эту границу и ускоряясь (параллельно е), падает на тяжелую рассеивающую частицу (средняя скорость которой значительно меньше средней скорости легкой частицы), находящуюся, вообще говоря, на макроскопическом расстоянии Ь от границы внешнего поля.

Для случая, когда энергии относительного движения легкой и тяжелой частиц в их начальных и конечных состояниях значительно больше их средней энергии взаимодействия, волновую функцию начального состояния внутреннего движения такой системы (состоящей из легкой и тяжелой частиц) можно выбрать в виде бегущей волны, а для ее конечного состояния с энергией продольного относительного движения Ег < \e\eL, когда после рассеяния легкая частица отражается от потенциального барьера внешнего поля, волновая функция ф^ должна иметь вид стоячей (вдоль е) волны в области пространства между точкой отражения электрона от потенциального барьера внешнего поля и тяжелой частицей (точнее, центром масс сталкивающихся частиц) и вид бегущей волны в полупространстве с другой (вдоль е) стороны от центра масс, где точки отражения нет (подробнее см. в [1 - 3]).

В декартовой системе координат (с, у , ?■, начало которой совпадает с положением центра масс сталкивающихся частиц, а ось 2 направлена вдоль напряженности внешнего поля е:е = (0,0, е) (знак е определяется условием ете > 0, где ет — (ваШг — е^т-С)/(ш! + т2), см. также [1 - 3]), волновые функции и можно записать следующим образом:

Ф

ко

Ак

г ( It^T5^2 + ко±г . \3 iXoz

Al

S1/4

ехр

г I*

3 |Хг

-53/2 +

(1)

когда Ez > emeL, а при Ег -С eTOeZ

, _ ^Г ( Ь {-р [г + а,)] " [-г (|53/2 + «?)]} , еслиг < О

¿-Х/4 | ехр[^(|53/2 + а2)], если г > 0,

где

50 = + Е0г/\ет\е£- Б = г/£ + £2/|ето|е^; * = (^/гш^^б)1/3: ет = (в1т2

е2т1)/(т1 + т2), Е02 - К2х1г/2т + етеЬ, = /г2х2/2т + ете£; Ш = ТП1ТП2/{тп\ +

—♦

т2); х = (¿х,Хг), Хо = (¿ох, Хог) - волновые векторы, определяющие импульсы относительного движения частиц до и после их рассеяния друг на друге, на границе внеш-него поля; е!)2, гпг,2 - заряды и массы легкой и тяжелой частиц; Е0г,Ег и к0±, к_ц -энергии продольного (относительно е) и волновые векторы поперечного относительного движения двух сталкивающихся частиц з их начальном и конечном состояниях; к2± = ±л/2теЕг1?1\ ко2 = у/2теЕ02/Ь-, А%о % - нормировочные постоянные; знак <С * определяет комплексное сопряжение; и как было показано в [3], по крайней мере при рассеянии частиц почти поперек внешнего поля а\ = 7г/4 — г'1п2; а2 = 7г/4 + агсэт(1/2).

При определении в нерелятивистском борновском приближении сечений тормозного излучения будем исходить из хорошо известного выражения (см., например, [4]):

з

1 Í из

da? = 7 \2jrcFh) *do*dn' (3)

где ш = } п 1; Е3 vi Ef - энергия начального и конечного состояний системы соответственно; е - вектор поляризации излученного фотона; с1оф - элемент телесного угла волнового вектора фотона; dn = gjs^p k2dkdo - число состояний, в которое переходит излучающая система с do — sin OdQd<p - элементом телесного угла, в котором находит-

■4 —* —*

ся вектор к(в,(р - сферические координаты вектора к, ip отсчитывается от ¿ox); d/j -матричный элемент дипольного момента системы, который определяется по волновым функциям (1) и (2):

J е1е2

fí =

где ф/ я ф] - функции конечного и начального состояния системы, которые в зависимости от интервала продольной энергии Ez выбираются в виде (1) или (2); j плотность потока относительного движения частиц в их начальном состоянии, вычисленная по (1):

.. filAcol2 Ы

\ 1т 1X0,1' к)

В настоящей работе (также как в [1, 2]) будем рассматривать тормозное излучение, возникающее на расстояниях (вдоль поля) от центра инерции системы меньших, чем Е0г/£те. Эти расстояния значительно больше а при е <С е/а2. Вычисления, проведенные в [3], приводят к сечению dag, которое в единицах с масштабом длины а = Й2/е£,т принимает вид:2

dag = {тЦ—(Z1Z2Zm)2\ Tg\2—do¿do, (6)

4тг2 Хо ш

где о - постоянная тонкой структуры; к2 = к2 — 2а;; k£z = Хо2 + 2eL\ \Tg\2 = ^[(e*q-)(cq.) - ¿(e<f_)(é*u_) + i(e*q_)(eu_) + (eu_)(e^_)]e'W) + + [ih*+(?q..)(eu+) + ih*_(eq+)(?u_) + h*+(?u.)(eu+) - h*_(^q.)(eq+)} +

+e_*7i [h-(e*q+)(eq-.) + ¿/i_(e*<f+)(etX_) + ¿/i+(e<f_)(e*u+) — /t+(eV+)(eiT_)]}+ к. е.; u± = (qxf±, Я±) ~ "вектор", который мы ввели, имея в виду в дальнейшем суммирование по поляризации фотона; /± = ^r^ (f Й ~ arctg£t) ~ %íSí; h± = ехР(~^з) ± ^ ехр(—). Отметим, что в выражении (6), полученном при б1/3 «С Ег <С tL, угол

ее (о,$).

Для линейной поляризации фотона (именно этот случай мы здесь и рассматриваем) вектор поляризации е = (sin рф cos tpg + cos вф cos <рф sin ipg\ cos вф sin sin <pg —

2Выражение (6) получено делением вероятности излучения фотона на найденную по плотность

потока (5) относительного движения частиц на границе поля. Именно с этим связано появление в (6) множителя Следует отметить, что в однородном электрическом поле плотность потока

зависит от координаты вдоль этого поля, что делает определение сечения, вообще говоря, неоднозначным. Для однозначного определения сечения следует рассмотреть столкновения частиц в электриче-

_ ...... г, . . п . . о . « .

ском поле, локализованном в плоском слое. Однако при е < и.и(Л|ет|/а' — 0.1)1|ет|/а*(а = Л'/те^) и для области локализации поля порядка 100а, такие сечения практически совпадают с (3), так как

амплитуда отраженной от второй границы поля волны составляет приблизительно Ю-3 от амплитуды волны, падающей на эту границу (подробнее см. [3]).

cos фф cos y>g\ — sin вф sin v??), где ipg - угол между вектором е и ах = который ле-

жит в плоскости ху и имеет координаты (e/|f.¡)(sin<¿>¿, — cos (рф, 0) (для сталкивающихся с ионом электронов е < 0, а для позитронов - положительно); вф, (рф - сферические координаты вектора п = кф/кф(<рф, также как и ip, отсчитывается от к&±).

Дифференциальное сечение неполяризованного тормозного излучения можно получить из выражения (6), если провести в нем суммирование по различным направлениям вектора поляризации фотонов, которое, как известно, сводится к усреднению по углу tpg и умножению на 2 (см., например, [4]).

Такая операция [3] приводит к сечению dan излучения фотона с волновым вектором —♦ -*

кф, который лежит в элементе телесного угла doф, тогда как вектор к находится в элементе телесного угла do:

da* = ^a^^ZAWTtf—dotdo, (7)

4ТГ2 |«0z| ХО Ш

где

№ = + [u_,n]V^> + ^{(e-^h. - Л1 е-) [q.,n][q+,n}+

- h+e-4)[u+,«][«_,п\} + ±{\h-\2[q+,n}[q+,n] + |A+|2[u+,n][u+,п]+

+i(h*_h+ - h_h*+)[q+,n][ü+,n]}.

Нетрудно заметить, что представленные здесь сечения имеют осцилляционную структуру как функции угла в (подробнее см. [3]).

Для случая, когда Ег <С б1''3 и eL <С Ez, выражения для dcrg и dcra имеют следующий вид:

dag = -г ТТЛ"—(Zi Z2Zm)2^r--doфdo, (8)

TT2 |K0z| Хо q+ и

dcrfi = -t-It^—(Z1Z2Zrn)'2 ^--doфdo. (9)

тг2 I ког I Xo qi и

Для проведения интегрирования сечений (6) и (7) по углам ö, ip волнового вектора относительного движения частиц была разработана программа, позволяющая строить двумерные и трехмерные графики с одновременным численным интегрированием по

любым дополнительным двум параметрам. Для написания программы использовался язык программирования С++, для которого дополнительно были разработаны библиотеки для векторной алгебры. При численном интегрировании программно учитывает я наличие быстроосциллирующего поведения функции относительно шага интегрирования (численно определяется период осцилляции, и интеграл рассчитывается с учетом найденного периода).

Анализ проинтегрированных сечений ¿а,, ¿сг'ц проведем, построив численными методами поверхности

a3(Z1,Z2lZm)2 dujdoj,' " ' a3(Zi, Z2, Zm)2 dwdoj,'

при фиксированных ш = 300, k0 = 30, L = 104, e = 0.01 и сравнивал их с аналогичными функциями

г! /д \ 71-2 dago г? (D ч тг2 da.

rgo[?o,4>e) = ч/v V 7 » , , ; ГКО{Иф,(рф) =

пО

a3(Z1,Z2,Zm)2 dшdoф, п ' Z2, Zm)2 dudoф'

построенными также, но при е = 0 после численного интегрирования соответствующих сечений (см., например, [1 - 4]):

a3 ^ j j ^ doj da0g = —-—(ZiZ2Zm) —---doфdo, (10)

тг2 хо q$ ш

da, = ^2L{ZlZ2Zny[^f-—dotdo, (11)

ж2 Хо q$ W

где qx = х ~ Хо, X = x(sin 0 cos ip, sin в sin (p, cos 0), x2 = Хо ~ Xo = (4x, \JWz ~ ItL).

Кроме того, поверхности Гц(0ф,<рф) и F^o(0ф,(рф) для наглядности были построены как в прямой геометрии, так и в сферической, где вдоль радиуса, соответствующего вектору кф, откладывались значения этих функций.

Рис. 1, 2 иллюстрируют функции Fg(0o, <¿>e) и Fgo(0o, Ve) при различных направлениях —♦

вектора кф. На рис. 1 представлены соответствующие поверхности для вф = 0 и вф = 7г/2 при <рф = 0, а эти же функции на рис. 2 изображены при значениях <рф — 7г/4, <рф — ж¡2 и 0ф = 7Г/2. Нетрудно видеть, что рассматриваемые сечения поляризованного тормозного излучения отличаются не только величиной, но и зависимостью от направления началь ного импульса относительного движения частиц и поляризацией тормозных фотонов, в случае, когда внешнее электрическое есть, и когда его нет.

Рис. 1. Поверхности: (а) Ж«о,¥>.) " (б) при в0 £ (0; 1), € (0;2тг), ы = 300,А:0 =

30,вф = 0,<рф = 0; (в) и (г) при в0 6 (0;1),у>. 6 (0;2тг),и> = 300,А0 = 30,0* = тг/2, <рф = 0.

Рис. 2. Поверхности: (а) и "Р" ^о € (0; 1), <£е € (0; 2л"), а; = 300,£0 =

30, вф = тг/2,<рф = тг/4; ,¥>.) « ^ "Р" ^о € (0;1), 6 (0;2тг), и; = 300,Аг0 = 30,^ = тг/2, <рф = тг/2.

Рисунки 3, 4 иллюстрируют зависимость пространственного распределения интен-сивности тормозного неполяризованного излучения от направления вектора в случае наличия внешнего поля и при его отсутствии. При отсутствии поля изменение направления начального относительного импульса сталкивающихся частиц приводит только

V ттпвлплфлг иплгфп а иг тириилт пагппря^п<аииа иптоигинипгФи тппитчилгп ичтпшриттсг т¿г\-

—*

торое остается неизменным относительно вектора ко, что является очевидным результатом (рис. Зг, 4г). При наличии же внешнего электрического поля происходит заметное изменение в пространственной структуре тормозного излучения при во, близком к

Рис. 3. (а) поверхность Г^(вф,(рф) при вф 6 (0; 7г), £ (0;2тг),ц; = 300, к0 = 30, в0 = 0; (б) та же функция Гл(вф,(рф), представленная в сферических координатах, величина функции отложена вдоль радиуса, определяемого углами вф = 0, <рф = 0, (вектор е нормален к плоскости ху); (в) поверхность Гц0(вф,(рф) при вф е (0;7г), (ре е (0;27г), и = 300, = 30, в0 = 0; (г) та же функция Рц0(вф, <рф), представленная в сферических координатах, величина функции отложена вдоль радиуса, определяемого углами вф = 0, (рф = 0, вектор е нормален к плоскости ху.

7г/2(0о = 1) (рис. 46). Это связано с заметным увеличением доли отраженных частиц от потенциального барьера внешнего электрического поля (по сравнению со случаем = 0), тогда как при в0 = 0 рассматриваемые функции Гя(вф,<рф) и Т^о(вф,(рф) имеют одинаковый вид (рис. 3). Численное же отличие этих функций связано с тем, что при б ^ 0 вероятность излучения фотона делилась на плотность потока вероятности, взя тую не в окрестности центра масс сталкивающихся частиц (как это фактически имеет место при е = 0), а на границе поля (см. также сноску).

Таким образом, проведенные расчеты показывают, что внешнее электрическое поле

Е, =6.377084е-03 п0

'¿.26194671058465 Ю.75398223686155

Еп=6.864187е-04

4.5238934211693

2.26194671058465

75398223686155

/ Ф

"2.26194671058465

4.5238934211693

.507964473''231~/О.75398223686155

Рис. 4. (а) поверхность Гя(вф,срф) при 9Ф £ (0; тг), <ре £ (0; 2тг), и = 300,к0 = 30, в0 = 1; (б) та же функция Гц(вф,(рф), представленная в сферических координатах, величина функции отложена вдоль радиуса, определяемого углами вф = 0, <рф = 0 (вектор с нормален к плоскости ху); (в) поверхность Ряо(Оф,<рф) при вф £ (0; 7г), ¡ре £ (0;27г), и = 300,к0 = 30, в0 = 1; (г) та же функция Рц0(вф,(рф), представленная в сферических координатах, величина функции отложена вдоль радиуса, определяемого углами вф = 0, <рф — 0, вектор е нормален к плоскости ху.

заметно влияет не только на излучение рассеянных частиц в узком интервале направлений их конечных импульсов, как это было показано в работах [1 - 3] (что проявлялось в существовании осцилляционной структуры соответствующих дифференциальных сечений), но и на излучение, связанное с рассеянием частиц по всем направлениям.

Отметим, что условия применимости полученных здесь выражений должны включать неравенства (подробнее см. [1 - 3]) .Ё^/ее <С п-1/3 (п - концентрация рассеивающих тяжелых частиц) и (тЕг)1^2/ете «С г, которые соответствуют малости расстояния между рассеивающей частицей и точкой отражения (от потенциального барьера внешнего поля) легкой частицы и среднего времени прохождения ею этого

расстояния соответственно по сравнению с расстоянием п-1/3 между тяжелыми частицами и характерным временем задачи т (для плазмы вместо п-1/3 характерным размером задачи в данной теории, по-видимому, должна являться длина свободного пробега электрона).

Авторы выражают глубокую благодарность А. А. Рухадзе за внимание к работе. Настоящие исследования поддержаны Программой Министерства образования и на уки РФ "Федерально-региональная политика в науке и образовании", подпрограмма 1; проект 1611.

ЛИТЕРАТУРА

[1] К р ы л о в В. И. Столкновения частиц во внешнем электрическом поле. Хабаровск, Изд-во Хабаровского гос. пед. университета, 1999.

[2] К р ы л о в В. И., П и в к и н В. В. Физика плазмы, 26, N 8, 737 (2000).

[3] К р ы л о в В. И. Прикладная физика, вып. 4, 2004 (в печати).

[4] Берестецкий В. Б., Л и ф ш и ц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М., Наука, 1989.

Институт общей физики

им. А. М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 18 мая 2004 г.