CC BY
106
УДК 539.12
Ю. П. Кунашенко ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ БЫСТРЫХ НЕЙТРОНОВ
Построена теория тормозного излучения нейтронов в электрическом поле атома. Найдено сечение процесса. Исследована зависимость сечения от энергии нейтронов, энергий и углов вылета фотонов. Показано, что существует две возможности излучения фотона нейтроном. В первом случае ориентация спина нейтрона не меняется, во втором - в процессе излучения спин нейтрона переворачивается.
Ключевые слова: быстрые нейтроны, тормозное излучение.
Введение
Нейтрон обладает электрическим зарядом равным нулю, но благодаря спину (а точнее аномальному магнитному моменту) нейтрон может взаимодействовать с электромагнитным полем. На возможность рассеяния нейтронов электрическим полем атома впервые указал Швингер [1]. Физика этого процесса объясняется следующим образом: в системе покоя нейтрона возникает магнитное поле, с которым взаимодействует магнитный момент нейтрона. Электромагнитное Швингеровское рассеяние нейтронов было экспериментально обнаружено в 1956 году [2]. В работе [3], посвященной полувековой годовщине обнаружешт Швингеров-ского рассеяния нейтронов, сделан обзор теоретических и экспериментальных рибот по это й тем а-тике, а также описаны возможные новые эксперименты. Более того, в настоящее время изучаются спин-спиновые взаимодействия [4]. Когерентное Швингеровское рассеяние и каналирование нейтронов в кристаллах рассматривалось в работах [5-12].
Другой механизм взаимодействия нейтронов с электромагнитным полем - излучение фотонов. Впервые излучение фотонов нейтронами во внешнем магнитном поле было теоретически исследовано в [13-14] в рамках квантовой электродинамики. В работе [15] это излучение рассматривалось в рамках квази-классического метода. Этот новый вид излучения, возникающий благодаря взаимодействию спина с магнитным полем, был назван спиновый свет [15].
Сечение тормозного излучения
Рассмотрим тормозное излучение нейтрона в нерелятивистском случае. Релятивистский случай будет рассмотрен в отдельной работе. Согласно золотому правилу Ферми, сечение излучения фотона нейтроном имеет вид
, 2п | |
=~^\ МА
S{Et
-Йю) d р,
d р =
d3pf d3k (2пЙ) (2n)
Здесь М^ матричный элемент перехода нейтрона из начального состояния (і) в конечное ф с испусканием фотона при рассеянии на атоме, р -плотность конечных состояний, р - импульс нейтрона в конечном состоянии и к - волновой вектор фотона, 3 - начальный поток нейтронов 3 = V/V, V -скорость нейтронов и V - нормировочный объем (в дальнейшем V = 1).
Матричный элемент имеет вид
=![
Г(Ж1«)(«1^1»)
E. - E
+ -
dk
(2)
+ (Ж!«)(« fclQ 1
E - Ea здесь
|/) = Х; exp[ikir]|0),
\f) = Х f exp[ik f r]|l), (3)
|a) = xa exp[V]l(0)
волновые функции начального |i^, конечного | f') и промежуточного состояний, ki(f a) - волновой вектор нейтрона, |0 и 11 - волновые фун-
кции фотона в представлении вторичного квантования, Xf - спиновые волновые функции.
В уравнении (2) суммирование проводится по промежуточным спиновым состояниям и интегрирование по волновому вектору нейтрона, Ei, Ea -суммарные энергии в начальном и промежуточном состояниях. Знаменатель в первом слагаемом в (2) равен
= Ei - Ea= EiMn - Ea,kin ~
и во втором
Z„ = E. -E = E.hi -E k. ,
П і a i,kin a,kin 5
здесь Efa)Mn - кинетическая энергия нейтрона, ha - излученная энергия фотона. Оператор взаимодействия нейтронов с электрическим полем атома имеет вид [1, 16]
(1)
VS =-^ a [Е, ihV]. mc
(4)
Здесь ц = - оператор магнитного момента
нейтрона, о - матрицы Паули, ц = 1,91^, где цп = ей / 2тс - ядерный магнетон, т - масса нейтрона, Е - электрическое поле атома и іЙУ оператора импульса.
Оператор испускания фотона нейтроном имеет вид (см., напр.: [13, 17])
2 nhc1
[і k,ek ] + exp [-tkr ]. (5)
Ш I— x
1 \2nti 2 Ze I/ \
Mfi =-J—V q j(Xf|Xi)
—
% +КиЛ
V Z і Z її J
M
+
+ І
i( X f |<r|X,)
Ki _ Кц.
V Zi Z її J
M
Здесь введены следующие обозначения: hq = й(к,- — к — к) - переданный атому импульс и К = [кД. - к], К = [к7 + к,к,].
меньше импульса нейтрона до и после излучения hk < hk¡, hkф, то матричный элемент значительно упрощается:
м =' 78 * [К М]'
Здесь К = |~к/,к1 "| и Sр =(~Х/ . Запишем
квадрат матричного элемента в следующем виде:
Здесь тк - частота, ек - вектор поляризации, к -волновой вектор испущенного фотона, а к - оператор рождения фотона.
Остальные обозначения в формуле (2)
nfi2
Z2 е2
lA a el
(a\VS\в = mC\X“’1(0)lfехР[-ЩП*WB х X exp[zkв]dr Xp,(0)1^ - (6)
матричный элемент рассеяния нейтрона в электрическом поле атома,
2т Йю q'
в последней формуле введен новый вектор
А, =(,к )к-(кк) „.
Суммируя по поляризации фотонов с помощью
хорошо известной формулы [16]
ее ^ 2(- пп),п=| ’
находим
пй2
и
Z2 е2
(7)
Х(ХаЛ| V [k,ei ]J eXP [-КГ ]X
x exp [-zkr] exp [zk^r J dr ak +1 Xp ,0j -
матричный элемент испускания фотона нейтроном.
Подставляя (3)-(5) в (6)-(7) после интегрирования по r находим для заданных волнового вектора и вектора поляризации испущенного фотона:
№1 x.|l>’[V к.-е]]|х)(П77 •
(«Ы в =1П- (хД-^еЦх^^-к,,- k).
Здесь e - заряд электрона, Z - атомный номер атома мишени.
После суммирования по промежуточным спиновым состояниям нейтрона и интегрирования по промежуточным волновым векторам нейтрона получаем
(9)
(8)
2т д
Х( А*/;)-(АА П)(А*А П))
Подставляя матричный элемент (8) в сечение (1), находим сечение тормозного излучения нейтрона при его рассеянии на атоме.
Выбирем систему координат таким образом, чтобы начальный импульс нейтрона был направлен вдоль оси 02, после рассеяния нейтрон движется в плоскости У0Х (плоскость рассеяния). Рассмотрим следующие возможные ориентации спина нейтрона: спин нейтрона параллелен начальному импульсу нейтрона, спин нейтрона перпендикулярен импульсу нейтрона и лежит в плоскости рассеяния, спин нейтрона перпендикулярен плоскости рассеяния.
С учетом закона сохранения энергии волновые векторы нейтрона до и после излучения равны
К = V2тЕшм 1 й kf = >/2т ((,кт - ) й . (10)
Проведенный анализ показывает, что в первых двух случаях существует две возможности излучения фотона нейтроном: в первом случае в процессе излучения ориентация спина нейтрона не меняется, в другом случае излучение фотона нейтроном происходит с переворотом спина нейтрона. В тре-тем случае процесс излучения возможен только с переворотом спина нейтрона.
Рассмотрим случай, когда спин нейтрона параллелен начальному импульсу нейтрона и, следовательно, параллелен оси 02. Спиновые волновые в этом случае имеют вид
(1Л (о 1
намного X, = , X, —
1 V 0 ) V 1,
Для тормозного излучения нейтрона с сохранением ориентации спина дифференциальное сечение имеет вид
2 I 2/2
da.
_____________= 2 Z2a цА kf 1 k ¿k¿
dQndQdha n1 h2c2 ha
(cos ©2 + cos Ф2 sin ©2 )sin &n2
x,----------------------- -----ту>
(2 + (2 + R-2 - 2kfki cos ©n )
(11)
здесь a =
hc
постоянная тонкой структуры,
Ию - энергия, 0 и Ф - углы вылета фотона относительно начального направления движения нейтрона, О - элемент телесного угла, отвечающий направлению излученного фотона, 0п - угол рассеяния нейтрона, Оп - элемент телесного угла, отвечающий направлению рассеянию нейтрона, 2 - атомный номер и R - радиус экранирования. Использован экранированный атомный потенциал в простой форме:
V (г ) = —е" ^. г
После интегрирования по углам рассеяния нейтрона получаем
гу2 4
2 а ^
dап --4
Z tt
dQdha 2n h2c2ha x (cos 02 + cos Ф2 sin 02), здесь введено обозначение
F 2■k 2=4r?x
(
(l + (2 + kf 2 )2 jArctg
(12)
2kfkiR2
-2kfkfi
. (13)
licTV.j-j.
drfasd/2
yJbam/MeV/st
В формулах (11)-(13) и далее волновые векторы к, к нейтрона в начальном и конечном состоянии определены в соответствии с (10).
На рис. 1 показано угловое распределение тормозного излучения нейтрона на атоме вольфрама (а), рассчитанное по формуле (11), и индикатриса излучения (б). Энергия нейтрона ЕіЛІМ = 1 МэВ, энергия излученного фотона равна Ию = 0.1 МэВ.
Для тормозного излучения нейтрона с переворотом спина полностью дифференциальное сечение равно
йо2п 2 22а /л4 ^2к, Ч2
Рис. 1. Сечение излучения фотона нейтроном
и индикатриса излучения (б) sin 02 sin 0и2
(kf2 + k¡2 + R- - 2kfk¡ cos 0И)
da
Z tt
d Qd ha
(a)
(14)
и проинтегрированное по углам рассеяния неитро-на сечение равно
da
Z ti
F (kf, k¡ )in 02. (15)
dО.СІйт 2п й с йт На рис. 2 показано угловое распределение тормозного излучения нейтрона на атоме вольфрама с переворотом спина (а) (14) и индикатриса излучения (б). Энергия нейтрона ЕіЛІМ = 1 МэВ, энергия излученного фотона равна Ию = 0.1 МэВ.
dQ dQdha
п
h c ha
а
2
e
б
2
X
а
d/io/ d/2
/ibam/MeV/st
Рис. 2. Сечение излучения фотона нейтроном
do
z U
(a) и
х' _ЗТ
Vi
х _ х’ 4Ї
V-i
da
da
Z tt
da
Y tt
da
получаем общую формулу для рассмотренных выше типов тормозного излучения нейтронов:
da
Z (7 )
F ((f> к).
~ 3 ,2 (15)
d Йю 3
На рис. 3 показано сечение, проинтегрованное по углам фотона в зависимости от энергии нейтрона Ешн и энергии фотона Ию при столкновении нейтрона с атомом вольфрама.
¿£РІ{Т]
dfiij
/ib am/MeV
20
Бкщ, MeV
20 Hw, MeV
Рис. 3. Сечение тормозного излучения нейтронов
da
Z (Y)
d hm
С ОС йт индикатриса излучения (б)
Как следует из рис. 1 и 2, эти два тип тормозного излучения нейтрона различаются угловыми распределениями испущенных фотонов.
В случае, когда спин нейтрона перпендикулярен начальному импульсу нейтрона и лежит в плоскости рассеяния нейтрона (параллелен оси OY). спиновые волновые функции нейтрона имеют вид
^ 1 ГО
как функция кинетической энергии нейтрона Екш и энергии фотона Ьш
На рис. 4 показано полное сечение о^ как функция кинетической энергии нейтрона ЕіЛШ. Для построения графика формула (15) была численно проинтегрирована.
Расчеты показывают, что сечение тормозного излучения нейтрона с переворотом спина для выбранной ориентации спина совпадает с сечением тормозного излучения нейтрона без переворота спина для спина, ориентированного вдоль импульса нейтрона, и наоборот:
dQ.ndQ.dh(o dQ.ndQ.dh(o dQ.nd0.dho dQ.nd0.dh(0 После интегрирования по углам вылета фотона
EMeV
kin’
Рис. 4. Полное сечение ctZ(V) как функция кинетической энергии нейтрона EhKM
Рассмотрим последнюю ситуацию, когда спин нейтрона перпендикулярен плоскости рассеяния нейтрона (параллелен оси OX). В этом случае спиновые волновые функции нейтрона имеют вид
б
ґ i\
х = J_ Х2 42
Ґ 1 л
v-Ъ
Х' = 72
Расчеты показывают, что в этом случае отличным от нуля оказывается только сечение с переворотом спина. Для дифференциального сечения имеем
72 4 и 2и 2^2
da
X ti
4 j 2j 2j 2 4 kf ki k
(16)
dQndQdha 2n2 h2c2 ha
Í5 - cos20 + 2 cos2Ф sin02)sin©n
x-----------------------------------
2 2 + kt2 + R~2 - 2kfkt cos ©n)
После интегрирования по углам рассеяния нейтрона получаем
daxП - Z2а F(,. k )x
dQdha 2n h2c2ha ^ f ’
x(5 -cos20 + 2cos2Ф sin02). (17)
На рис. 5 показано угловое распределение тормозного излучения нейтрона на атоме вольфрама с переворотом спина (а) (14) и индикатриса излучения (б). Энергия нейтрона EKN = 1 МэВ, энергия излученного фотона равна Ью = 0.1 МэВ.
После интегрирования по углам вылета фотона получаем
daxп 32 Z2а ¡л4
F (kr, í,).
, (18)
dЙю 3
На рис. 6 показано сечение, проинтегрованное по углам фотона в зависимости от энергии нейтрона Еки и энергии фотона Ию при столкновении нейтрона с атомом вольфрама.
На рис. 7 показано полное сечение о2(Х) как функция кинетической энергии нейтрона Ешн. Для построения графика формула (15) была численно проинтегрирована.
а
б
10; /ib a 111 MeV/st
Рис. 5. Сечение излучения фотона нейтроном индикатриса излучения (б)
^(ГХП
da
X ti
d Qda
(a) и
dfiitf
//baniMeV
20
Ejdn’ MeV
40
20 йш, MeV
Рис. 6. Сечение тормозного излучения нейтронов
da
x t
dhw
как функция кинетической энергии нейтрона Е,к км и энергии фотона Пш
Ек|п,МеУ
Рис. 7. Полное сечение аДУ) как функция кинетической энергии нейтрона Е,к км
Заключение ентированного вдоль импульса, и наоборот: сечение
Таким образом, проведенные расчеты показы- без переворота спина (спин перпендикулярен им-
вают, что если спин нейтрона лежит в плоскости пульсу нейтрона) совпадает с сечением с переворо-
рассеяния, то существует две возможности излуче- том спина (спин ориентирован вдоль импульса). ния фотона нейтроном: в первом случае в процессе В случае, когда спин нейтрона перпендикуля-
излучения ориентация спина нейтрона не меняет- рен плоскости рассеяния нейтрона, отличным от
ся, в другом случае излучение фотона нейтроном нуля оказывается только сечение с переворотом
происходит с переворотом спина нейтрона. Эти спина.
два типа тормозного излучения нейтрона различа- Из сравнения формул (15) и (18) видно, что сеются угловыми распределениями испущенных фо- чение тормозного излучения нейтрона, когда его
тонов. спин перпендикулярен плоскости рассеяния, в два
Если спин нейтрона лежит в плоскости рассея- раза больше, чем сечение для спина, лежащего в
ния нейтрона и перпендикулярен его импульсу, то плоскости рассеяния.
сечение тормозного излучения нейтрона с переворо- Работа выполнена при частичной поддержке
том спина совпадает с сечением тормозного излуче- РФФИ, грант 10-02-01386-а, и гранта «Поддер-
ния нейтрона без переворота спина для спина, ори- жка ведущих научных школ», проект № 224.2012.2.
Список литературы
1. Schwinger J. On the polarization of fast neutrons // Phys. Rev. 1948. Vol. 73. P. 407.
2. Александров Ю. А., Бондаренко И. И. Обнаружение Швингеровского рассеяния нейтронов // ЖЭТФ. 1956. T 31. С. 726.
3. Alexandrov Yu. A. To Semi-Centenary anniversary of discovering and starting the first works on neutron polarization // Preprint E3-2006-142 JINR. 2006. P. 17.
4. Жотиков В. Г. Экспериментальное наблюдение спин-спинового дальнодействия // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (Tomsk State Pedagogical University Bulletin). 2004. Вып. 6 (43). С. 7.
5. Дюмин А. С., Коренблит И. Я., Рубан В. А., Токарев Б. Б. Электромагнитное (Швингеровское) рассеяние быстрых нейтронов в кристаллах // Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 31. С. 413.
6. Барышевский В. Г., Зайцева А. М. Ориентационная зависимость рассеяния быстрых нейтронов в кристаллах // Изв. вузов. Физика. 1985. Вып. 3. С. 103.
7. Kunashenko Yu. P. Coherent Schwinger scattering of fast neutrons versus coherent elastic nuclear scattering in a crystal // IL Nuovo Cimento. 2011. Vol. 34 C. No 4. P. 453.
8. Дюмин А. С., Рубан В. А., Токарев Б. Б., Власов М. Ф. Рассеяния быстрых нейтронов в кристаллах // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т. 42. С. 61.
9. Высоцкий В. И., Кузьмин Р. Н. Магнитное каналирование нейтронов в немагнитных кристаллах // ЖЭТФ. 1982. Т. 82. С. 177.
10. Высоцкий В. И., Кузьмин Р. Н. Каналирование нейтральных частиц и квантов в кристаллах // УФН. 1992. Т. 162. С. 2.
11. Высоцкий В. И., Кузьмин Р. Н. Особенности ориентационного движения релятивистских и медленных нейтронов и частиц с аномальным магнитным моментом в кристаллах // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2010. Вып. 4. С. 162.
12. Korotchenko K. B., Kunashenko Yu. P. Neutrons planar channeling in crystals // IL Nuovo Cimento. 2011. Vol. 34 C. No 4. P. 537.
13. Тернов И. М., Багров В. Г., Хапаев А. М. Электромагнитное излучение нейтрона во внешнем магнитном поле // ЖЭТФ. 1965. Т. 48. С. 613.
14. Любошиц В. Л. О спиновой поляризации нейтронов в электрическом и магнитном полях // Ядерная физика. 1966. Т. 4. С. 269.
15. Бордовицын В. А., Тернов И. М., Багров В. Г. Спиновый свет // УФН. 1995. Т. 38. С. 1037.
16. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989. 704 с.
17. Галицкий В. Н., Карнаков В. И., Коган В. И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981. 648 с.
Кунашенко Ю. П., доктор физико-математических наук, профессор.
Томский государственный педагогический университет.
Ул. Киевская, 60, Томск, Россия, 634061.
Томский политехнический университет.
Пр. Ленина, 30, Томск, Россия, 634050.
E-mail: [email protected]
Материал поступил в редакцию 11.05.2012.
Y. P Kunashenko BREMSSTRAHLUNG FROM FAST NEUTRONS
The theory of bremsstrahlung from fast neutrons in electric field of atom is developed. The cross-section of process is derived. The angular and energy cross-section dependence is investigated. There are two possibilities of the photon emission: with and without neutron spin flip.
Key words: fast neutrons, bremsstrahlung.
Tomsk State Pedagogical University.
Ul. Kievskaya, 60, Tomsk, Russia, 634061.
Tomsk Polytechnic University.
Pr. Lenina, 30, Tomsk, Russia, 634050.
E-mail: [email protected]
