Поляризация вакуума в поле точечного дефекта Текст научной статьи по специальности «Физика»

— ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА —

Поляризация вакуума в поле точечного дефекта

Ю.В. Грац,1' * П.А. Спирин1'+

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет.

Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 (Поступила в редакцию 12.04.2024; после доработки 18.04.2024; подписана в печать 22.04.2024)

Рассматривается эффект поляризации вакуума массивного скалярного поля ф(х) вблизи точечного источника с ¿-образным потенциалом. Соответствующее взаимодействие вводится в рамках техники, основанной на построении самосопряженных расширений оператора Лапласа. Этот метод введения ¿-образных взаимодействий широко обсуждался в рамках квантовой механики. Мы предлагаем воспользоваться им для исследования вакуумных теоретико-полевых эффектов. В рамках этого подхода получено выражение для перенормированной функции Адамара и перенормированной плотности вакуумной энергии (Too(x))ren массивного скалярного поля с минимальной связью. Проанализирована зависимость эффекта поляризации вакуума от массы поля.

PACS: 11.27.+d УДК: 53.02

Ключевые слова: точечные взаимодействия, самосопряженные расширения, поляризация вакуума. DOI: 10.55959/MSU0579-9392.79.2440101

ВВЕДЕНИЕ

В 2023 г. исполнилось 75 лет эффекту Казимира. Получивший экспериментальное подтверждение спустя 10 лет, он наглядно подтвердил нетривиальную зависимость теоретико-полевых эффектов от макроскопических внешних условий, таких как наличие границ, внешних полей, нетривиальной топологии пространства-времени. С формальной точки зрения причиной таких нетривиальных эффектов является эффективная нелокальность теории поля. Последняя проявляется в том, что уравнения поля, как уравнения в частных производных, «чувствуют» структуру пространства в целом. Эта нелокальность дает себя знать даже если рассматривается евклидово пространство с дискретным (конечным или бесконечным) числом выколотых точек. В этом случае наложение адекватных граничных условий позволяет исследовать квантовые системы, гамильтониан которых на эвристическом уровне записывается в виде

Н = —Д + ^ Ху ¿й(х — у),

у

где Д — оператор Лапласа на Ъ2(Шй), й =1,2, 3 — размерность конфигурационного пространства, ¿с1(х — у) — ¿-функция Дирака, локализованная в точке у, а Ху — константа взаимодействия с локализованным в точке у источником.

Взаимодействия такого типа обсуждались в литературе в связи с задачами, возникающими в физике твердого тела [1], атомной и ядерной физике [2]. Аналогичный подход позволил рассмотреть

* E-mail: [email protected]

1 E-mail: [email protected]

казимировское взаимодействие двух параллельных идеально проводящих пластин [3-5], двух точечных или линейных источников с потенциалом нулевого радиуса [6]. Выяснилось, что похожая ситуация возникает при рассмотрении теоретико-полевых эффектов в окрестности космических струн. Действительно, при подходящем выборе координат уравнение для безмассового скалярного поля с неминимальной связью приобретает вид полевого уравнения с линейным ¿-образным потенциалом, что требует корректного учета этой особенности [7].

Ниже мы рассмотрим эффект поляризации вакуума массивного скалярного поля вблизи ¿-образного источника в рамках подхода, основанного на введении соответствующего взаимодействия путем построения самосопряженных расширений оператора поля. Ранее предложенный подход использовался для исследования теоретико-полевых эффектов в случае безмассового поля [8-10]. Наша задача состоит в изучении зависимости рассматриваемого эффекта от массы.

В работе используется система единиц Н = с =1 и метрика пространства-времени с сигнатурой (+, —, —, —).

1. САМОСОПРЯЖЕННОЕ РАСШИРЕНИЕ

Формально уравнение Клейна-Гордона с ¿-образ-ным потенциалом имеет вид

(□ + т2 + Х¿(x)) ф(г, х) = 0 , (1)

и нахождение его положительно- и отрицательно-частотных решений,

ф(±)(1, х) = е^ пш (х),

сводится к поиску решении уравнения

( - Д + \6(х)) пи (х) = (ш2 — т2) пш (х). (2)

Уравнение (2) имеет вид стационарного уравнения Шрёдингера для частицы массы 1/2 в поле потенциала нулевого радиуса. Однако это формально записанное уравнение требуется доопределить, поскольку следует дать определение эвристически записанного выражения Х6(х) для потенциала.

Считается, что корректное описание ¿^-взаимодействий при размерности пространства ! = 1, 2, 3 достигается построением самосопряженного расширения неотрицательно определенного оператора —Д, рассматриваемого на М^\{0} [11-13]. В случае одного пространственного измерения (! =1) это достигается наложением условия на разрыв первой производной волновой функции в точке расположения источника. При этом при надлежащем выборе параметра самосопряженного расширения он совпадает с интенсивностью одномерного ¿-взаимодействия Л. В случае двух и трех измерений оператор —Д остается самосопряженным, даже если собственные функции обращаются в бесконечность в точке локализации центра, но при условии, что они остаются локально квадратично интегрируемыми и удовлетворяют соответствующим граничным условиям. Для этих двух размерностей конфигурационного пространства имеются однопараметрические семейства самосопряженных операторов. При этом параметр самосопряженного расширения а уже не связан напрямую с интенсивностью взаимодействия, а определяет длину в-волнового рассеяния [11, 12] (см. также [14]). При ! ^ 4 оператор —Д являет-

ся существенно самосопряженным и указанным способом ввести точечные взаимодействия уже нельзя.

Таким образом, в рассматриваемом нами случае речь идет о самосопряженном расширении неотрицательно определенного оператора Н = — Д, рассматриваемого на М3\{0}.

В сферических координатах пространство Ь2 (М3) представляется в виде прямой суммы

Ь2(М3) = 0 Ь2 ((0, то); г2Сг)§§ [У1-1,..., Уц ] ,

1=0

(3)

где Ь2((0, то); г2!г) обозначает пространство функций, локально интегрируемых на М+ с мерой г2, {У,т | I = 0,1, 2, ... ,т = 0, ±1, ±2,..., ±1} — сферические гармоники, а символом [... ] обозначена линейная оболочка соответствующих векторов.

Соответственно этому оператор Н разлагается в сумму (см. [11-13] и процитированную там литературу)

н = 0щ® i:

(4)

г=о

где

сС2 2 ! 1(1 + 1) Яг = -—+ г>0, / = 0,1,2,...

аг2 г аг г2

(5)

Известно, что операторы Н1 при I ^ 1 являются самосопряженными, в то время как однопарамет-рическое семейство самосопряженных расширений оператора Н0 имеет вид [12, 13]:

н0

d2 2d dr2 r dr '

D(H0 a) = \ua € L2((0, to); r2dr); 4na lim rua(r) = lim [ua + rua] f

' I r^+0 r^+0 J

-Ao„ ; r2-

где —то < а ^ то. При этом выключение взаимодействия соответствует предельному случаю а = то.

Таким образом, самосопряженное расширение оператора Н = —Д задает точечное взаимодействие только в в-волне.

1.1. Функция Грина

Задача на собственные функции и собственные значения оператора Н0,а,

Но,а ира(г) = р2пыа(г), р2 = (ш2 — т2) , (7) сводится к исследованию уравнения

ира(г) + ~ и'ра +Р2ира = 0 .

(8)

(6)

Xpa (r)/r ОНО

После очевидной подстановки upa приводится к уравнению

Xpa Р Xpa :

о

которое для действительных значений p2 имеет следующие решения:

sinpr + v+ cospr, p2 > 0;

Xpa = <j ^-e-lplr + v-e+lplr, p2 < 0;

lor + vo, p = 0,

где коэффициенты определяются граничными условиями и требованием квадратичной интегрируемости. Последнее условие однозначно фиксирует v- = |o = vo = 0.

В результате при p2 > 0 s-волновое решение отличается от соответствующего пустому пространству Минковского регулярного решения sin pr/r и может

быть представлено в виде

ира(г) = сра у—---1- tg(5po, ' j

с некоторым углом смешения ¿ра, который фиксируется из граничных условий при г = 0:

tg Spa

Р 4па

Коэффициент Сра находится из условия нормировки

в3хф± д ф(±) = ¿¿(ш — ш'),

что эквивалентно требованию, чтобы выполнялось

¿(р — р')

d X Upa Up, а

2p

Откуда получаем Сра = со8бра/(2пфр).

Таким образом в-волновое решение имеет вид:

pa

(r) =

1 sin(pr + Spa)

2nr

Vp

(9)

Это решение имеет место при всех р2 > 0 и для любого —то < а ^ то.

Если а ^ 0, то самосопряженный оператор Но,а не имеет отрицательных собственных значе-

ний и полный набор его собственных функций состоит из {ир1т}, I > 0, и пра(г), где пр\т представи-мо в виде

Пр1т (г, в, ф) = ир1(г)Уьт (в, ф) , Нир1 = р2Ур1 .

Если —то < а < 0, то гамильтониан Но,а имеет одно дискретное собственное значение

pa

— (4па)2 , w2a = — (4па)2 + m2 ,

при этом соответствующий собственный вектор равен

U0,a(r)

Лпат

В квантовой механике это решение описывает связанное состояние частицы в поле точечного потенциала притяжения. В нашей же ситуации при m2 < (4па)2 квадрат частоты становится отрицательным и соответствующее решение уравнения Клейна-Гордона становится неустойчивым. Поэтому ограничимся случаем а ^ 0, когда расширения оператора — Д являются неотрицательными самосопряженными операторами, спектр оператора Ho,a непрерывен и покрывает всю неотрицательную полуось R+ = [0, то), а неустойчивости отсутствуют.

Пусть {upim} — полный набор собственных функций свободного лапласиана. Тогда функция Адама-ра рассматриваемой задачи может быть представлена в виде

d£\x,x') = \ (ф(х)ф(х') + ф(х')ф(х)\ = Re [

2 \ / vac J

dw i

Заметим, что при а = то полученное выражение совпадает с функцией Адамара в отсутствие взаимодействия:

D&4

ОО

= Яе! вш ]Г пш1т(х) п*и1т(х').

0 1=0 т= — 1

Последняя определяет вакуумное среднее тензора энергии-импульса в пустом пространстве Минков-ского, которое принимается равным нулю, и потому должна быть отброшена при перенормировке.

Таким образом, следует определить перенормированную функцию Грина ^геп как разность

ren a

В результате мы имеем

Dren (x, x )

Re dw e-iu(t-t,)

upa(x) upa(x ) Upoo (x) Upoo (x )

с l

Upa(x) Upa (x

plm

(x) Uplm (x0

i=e m= —l

(10)

Здесь мы учли, что Up00 = Upc .

Подставляя найденные Upa (9) и заменяя переменную интегрирования w на z = р/4па, мы окончательно получаем перенормированную функцию Адамара в виде

D(en (x, x 1

4n2r

r cos \J{4-Kaz)2 + m2(t - i')l

dz z--1 x

\J z2 + (т/4па)2(1 + z2)

X (sm\4паz(г + г')^ + z cos\4паz(г + г'. (11)

Как и следовало ожидать, в безмассовом пределе полученное нами выражение совпадает с опубликованным нами ранее [8, 15].

2. ВАКУУМНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ

При вычислении вакуумной плотности энергии мы ограничимся случаем скалярного поля с минимальной связью. Добавление члена (где К — скалярная кривизна) в лагранжиан в случае плоского пространства не меняет уравнение поля, но

приводит к изменению выражения для тензора энергии-импульса. Однако это отражается только на числовых коэффициентах и не приводит к существенному изменению интересующего нас характера зависимости поляризационных эффектов от массы поля.

Тогда

т; = д"ф д^ф + 1 й- {т2ф2 - дхф дхф) (12)

и перенормированное вакуумное среднее оператора тензора энергии-импульса определяется дифференцированиями перенормированной функции Адама-ра ^геП(х,х') с последующим переходом к пределу совпадающих точек:

Асимптотические режимы. Помимо расстояния г от точки наблюдения до точечного источника взаимодействия, в задаче есть две константы с размерностью длины: комптоновская длина 1С и длина рассеяния .

Пусть г ^ тах{1С, ¿я}. В этом случае можно воспользоваться асимптотическим разложением функций Макдональда [16]

К (х) =

Г(^ + к +1/2) (2х)

-к

к=0Г(и — к +1/2) к!

х > 1, (19)

и верна асимптотика

Т

00/геп =

Ит

д0дЬ + ± (т2 -д*д'х)]0Ы(х,х') .

(13)

В результате мы получаем, что перенормированная вакуумная плотность энергии может быть записана в виде

Т

1

оо

'геп 4 п2 г^

где введено

(14)

с

3(в, а) = J !г

1

1 + г2 Vх-2 + о2

Бт вг + г сов ,

31 (в, а) = в

дЛ/З, а)

д/З

а аргументы в = 8паг , а = т/4па .

Функции 3 и можно привести к виду

СС

3(в, а) = К0(ва) — е^ И е- K0(аt),

3\(в, а) = в3 — ваКх(ва).

(15)

(16)

где К(•) — функции Макдональда. Тогда для вакуумной плотности энергии мы получаем окончательно

Т

1

00 геп =

геп 4^2г^

2 4 + I2

3 (+

V 4' 1п

г- /2г\

+гМг)

, (17)

V ¿я ' 1г

^е-2г/'". (20)

2(4 + у V г

Соответственно плотность энергии вакуума на больших в указанном смысле расстояниях спадает экспоненциально:

т

1

1-3/2 е-2г/1с

00—

(21)

+еп 8п3/2 1 + 1С/ая г5/2 ' В то время как для безмассового поля при г ^

1

00 геп =

геп 4^2г^

1 г 2г 1

(22)

и вакуумное среднее спадает степенным образом [8, 9]:

(Тс

4

00'геп 87Г2'Г5

1 + О

¿я

(23)

Рассмотрим теперь малые, г ^ т1п{1С,Ся}, расстояния. В этом случае используем разложение функции Макдональда [16]:

К0(х) =

1

к=0

(к!)2 V 2)

2

1п - + 1гк - 7

х

х < 1, (24)

где Нк — к-е гармоническое число, а 7 — постоянная Эйлера. Тогда верно

где введены две константы с размерностью длины: комптоновская длина 1С = 1/т и длина рассеяния !я = 1/4па.

В безмассовом пределе (а ^ 0)

3(в, 0) = е^Е\ (в), 31 (в, 0) = в3(в, 0) — 1:

(18)

+ (25)

\ая 1С / г

и для (Т00)геп верна асимптотика

№

1

00 геп =

геп 8^2 г^

1П- +0(1) г

(26)

где Е1(х) обозначает интегральную экспоненту, и наш результат переходит в полученный ранее в работах [9, 10].

Таким образом, на малых расстояниях плотность вакуумной энергии растет логарифмически с увеличением комптоновской длины.

— х

е

X' х

я

г

г

Для безмассового поля или при 1С ^ малость расстояния означает г ^ ¿3; тогда справедлива асимптотика

3(х, а)

^ 1п — — 7 ^ (1 + х) + х—

- I (х2 1п - + а2 1п + О (а2 + х2). (27) 2 V х а/

Подставляя асимптотику в (22), получим: 1

оо геп =

геп г^

1п| + (1-7)

(28)

График плотности вакуумной энергии (на масштабах порядка ¿3) представлен на рис. 1. Все кривые при г ^ 0 имеют предельное значение тангенса угла наклона к горизонтали, равное —4, в соответствии с выражением (26). На больших расстояниях безмассовая кривая имеет тангенс наклона —5, в соответствии с формулой (23), а массивные поля экспоненциально подавлены при г > 1С. Точки, соответствующие г = 1С для каждого графика массивного поля, отмечены вертикальной штриховой линией соответствующего цвета.

Мы видим, что на масштабах г < 1С кривые, соответствующие массивным частицам, практически неотличимы от безмассовой. Область очень малых, г ^ 1С, расстояний представлена на рис. 2. В этой области кривые практически параллельны, а их небольшое расхождение обусловлено только разностью значений логарифмов 1С/г и д,а/г (26, 28). Таким образом, парциальные вклады различающихся по массе мод в плотность энергии вакуума в этой области становятся сравнимыми.

Это подтверждает сделанные в [15, 17-19] выводы об эффективно безмассовом поведении массивных полей в эффекте Казимира на малых, по сравнению с комптоновской длиной, расстояниях.

И^ооЧ4)

1пТ

4 1 - 2 'V N 1

\

\ ^

\ \

\ \

\ \

1 \

Рис. 1. Плотность вакуумной энергии в двойном логарифмическом масштабе: для безмассового поля (зеленая штриховая), для 1с/йа = 10 (черная пунктирная), 1с/Ла = 1 (красная сплошная) и 1с/йа = 0.1 (синяя штрихпунктирная).

1п( Г00" о

■ •

" ч _ * V

4 • „

V

Рис. 2. Плотность вакуумной энергии на малых расстояниях в двойном логарифмическом масштабе: для безмассового поля (зеленая штриховая), для 1с/йа = 10 (черная пунктирная), 1с/йа = 1 (красная сплошная) и 1с/йа = 0.1 (синяя штрихпунктирная).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрена задача о поляризации вакуума массивного скалярного поля в поле точечного источника. Задача формально сводится к рассмотрению трехмерного стационарного уравнения Шре-дингера с ¿-образным потенциалом. Однако возникает вопрос, каким образом следует понимать формально на эвристическом уровне введенный ¿3-потенциал. Можно понимать такого рода потенциал как предел соответствующим образом подобранной ¿-образной последовательности и работать методами теории возмущений. Однако в этом случае возникает необходимость бесконечной перенормировки параметра, определяющего интенсивность взаимодействия, и он становится неопределенным. В работе используется альтернативный подход, основанный на построении самосопряженных расширений оператора — Д. Это позволяет получить точное выражение для перенормированного вакуумного среднего оператора тензора энергии-импульса, которое однозначно определяется параметром самосопряженного расширения, т.е. характеризующей данный потенциал длиной рассеяния.

Показано, что на расстояниях, существенно меньших комптоновской длины, вакуумная плотность энергии массивного поля становится сравнимой с массой безмассового. В другом же предельном случае вакуумная плотность энергии массивного поля спадает экспоненциально, в то время как для безмассового она убывает степенным образом.

Исследование выполнено в рамках научной программы Национального центра физики и математики, направление № 5 «Физика частиц и космология».

[1] Kronig R.L., Penney W.G. // Proc. Roy. Soc. A (London) 130, 499 (1931).

[2] Демков Ю Н., Островский ВН. // Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Изд. Лен. ун-та, 1975. (Demkov Y.N., Ostrovskii V.N. // The Usage of Zero-Range Potentials in Atomic Physics (in russian). Moscow: Nauka, 1975).

[3] Мамаев С.Г., Трунов Н.Н. // Изв. вузов (Физика) 7, 9 (1980). (Mamaev S.G., Trunov N.N. // Russ. Phys. J. 23, 551 (1980)).

[4] Bordag M., Hennig D., Robaschik D. //J. Phys. A 25, 4483 (1992).

[5] Munos-Castaneda J. M., Mateos Guilarte J., Moreno Mosquera A. // Phys. Rev. D 87, 105020 (2013).

[6] Грац Ю.В. // ЯФ 81 (2), 242 (2018) (Grats Yu. V. // Phys. Atom. Nucl. 81 (2), 253 (2018)).

[7] Grats Y.V., Spirin P. // Eur. Phys. J. C. 77, 101 (2017).

[8] Грац Ю.В. // ЯФ 82 (2), 157 (2019) (Grats Yu. V. // Phys. Atom. Nucl. 82 (2), 153 (2019)).

[9] Grats Y.V., Spirin P. // Universe. 7, 127 (2021).

[10] Grats Y.V., Spirin P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 77 (2), 448 (2022).

[11] Reed M, Simon B. // Methods of Modern Mathematical Physics. II. Fourier Analysis. Self-

Adjointness. Academic-Press: New-York-London, 1975.

12] Albeverio S., Gesztezy R., Hoegh-Krohn R., Holden H. // Solvable Models in Quantum Mechanics. World Scientific: Singapore, 1995.

13] Gitman D.M., Tyutin I.V., Voronov B.L. // Self-adjoint Extensions in Quantum Mechanics. Springer: New York, 2012.

14] Jackiw R.W. // Diverse Topics in Theoretical and Mathematical Physics. World Scientific: Singapore, 1995.

15] Грац Ю.В., Спирин П. // ЖЭТФ 165 (1), 43 (2024). (Grats Y. V., S'pirin P. // Journal of Experimental and Theoretical Physics 138 (1) (2024)).

16] Градштейн И.С., Рыжик И.М. // Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физмат-гиз, 1963. (Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.// Table of Integrals, Series and Products, Academic Press: New York, USA, 2007).

17] Грац Ю.В., Спирин П.А. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 78 (5), 2350101 (2023). (Grats Y. V., Spirin P. // Moscow Univ. Phys. Bull. 78 (5), 585 (2023)).

18] Grats Y. V., Spirin P. // Phys. Rev. D 108 (4), 045001 (2023).

19] Grats Y. V., Spirin P. // MDPI Physics, 5, 1163 (2023).

Vacuum Polarization in the Point Impurity Background

Y.V. Grats", P. Spirin6

Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University

Moscow 119991, Russia E-mail: [email protected], [email protected]

The vacuum polarization effect of a massive scalar field ф(х) near the point ¿-like source is considered. The corresponding interaction is introduced within a technique of self-adjoint extension of the Laplace operator. This method has been widely discussed within the framework of quantum mechanics. We propose to use it to investigate vacuum field effects. This approach allows computing the renormalized Hadamard function and the renormalized vacuum energy density {Too(x))rer for massive real scalar field with minimal curvature coupling. The dependence of the vacuum polarization effect upon the fields's mass is analyzed.

PACS: 11.27.+d.

Keywords: point impurities, self-adjoint extension, vacuum polarization.

Received 12 April 2024.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2024. 79, No. 4. Pp. 426-431.

Сведения об авторах

1. Грац Юрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-53-89, e-mail: [email protected].

2. Спирин Павел Алексеевич — канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель; тел.: (495) 939-53-89, e-mail: [email protected].