CC BY
1
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Поляризация вакуума в гравитационном поле космической струны
Ю.В.Грац,1' * П.А.Спирин1' +
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 (Поступила в редакцию 14.06.2023; после доработки 26.06.2023; принята к публикации 29.06.2023)
В рамках однопетлевой квантовой гравитации рассмотрен эффект поляризации вакуума массивного скалярного поля с минимальной связью вблизи прямолинейной космической струны. Показано, что относительный вклад массивных полей в перенормированное вакуумное среднее тензора энергии-импульса (ТЭИ) становится пренебрежимо малым уже на расстоянии нескольких комптоновских длин волн от струны.
PACS: 11.25.Wx. УДК: 53.02
Ключевые слова: поляризация вакуума, эффективное действие, размерная регуляризация. БСТ: 10.55959/MSU0579-9392.78.2350101
ВВЕДЕНИЕ
Начиная с середины прошлого века квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени привлекает к себе все большее внимание. Являясь прямым доказательством существования связи между квантованными полями и макроскопическими внешними условиями, эта теория представляет интерес с точки зрения как фундаментальной, так и прикладной физики. Меняя спектр вакуумных флуктуаций, кривизна пространства-времени порождает конечную добавку к энергии вакуума.
Одной из задач последнего типа является задача о поляризации вакуума в гравитационном поле космической струны.
Космические струны представляют собой одномерные протяженные замкнутые или бесконечные топологические дефекты, которые могли образоваться при космологических фазовых переходах [1, 2]. В настоящее время космические струны рассматриваются как возможная причина ряда наблюдаемых эффектов [3]. Это стимулирует поиск путей их обнаружения и, как следствие, изучение особенностей поведения классической и квантованной материи в конических пространствах.
В настоящей работе мы ограничиваемся рассмотрением пространства-времени бесконечно тонкой прямолинейной струны. Замечательной особенностью прямолинейной струны является ее так называемая гравитационная стерильность, под которой понимается равенство нулю ньютоновского гравитационного потенциала прямолинейной струны и которая проявляется в отсутствии гравитационного взаимодействия между струной и окружающей материей на классическом уровне [1, 2]. Однако глобальное отличие конических пространств от
* E-mail: [email protected]
1 E-mail: [email protected]
пространства Минковского приводит к изменению спектра вакуумных флуктуаций квантованных полей и, как следствие, к появлению ряда нетривиальных квантово-гравитационных эффектов.
В случае безмассового поля вакуумное среднее оператора тензора энергии-импульса было вычислено в работах [4-10]. Целью настоящей работы является определение относительного вклада массивных мод в суммарный эффект поляризации вакуума в окрестности струны.
В работе используется система единиц О = Н = с = 1 и метрика пространства-времени с сигнатурой (+ , — , — , — ).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим четырехмерное пространство-время, которое представляет собой прямое произведение двумерного пространства Минковского (с координатами (г, г)) на двумерную риманову поверхность (с координатами х = (хх, х2)). Тот факт, что двумерная риманова поверхность локально конформна евклидовой плоскости, позволяет соответствующим выбором координат привести метрику рассматриваемого пространства-времени к виду [11]
йв2 = ¿г2 — ¿г2 — в-а(х) (¿х2 + йх2) . (1)
В цилиндрически-симметричном случае а(х) = а (г), г = [ж2 + ж2]1/2 , и скалярная кривизна равна
Я = ва Ае а, (2)
где Ае — двумерный евклидов лапласиан.
Для струны конечного радиуса го внешняя область должна быть конической, но сглаживаться вершина конуса может разными способами. Поэтому, с учетом требования нужной гладкости кон-
формного фактора а, он должен быть выбран в виде [2]:
г(г) =
2(1 - ß)f (r/ro), r < ro ;
2(1 — в) ln(r/r0), r ^ r0 ,
(3)
где параметр в < 1, а /(г) — дважды дифференцируемая функция радиальной координаты, удовлетворяющая условиям
f (ro) = 0, f' (ro) = — .
ro
(4)
При таком выборе конформного фактора скалярная кривизна
R(x) = Д а
(где Д — ковариантный лапласиан, соответствующий метрике (1)) равна нулю всюду, где r > ro:
ie-(r) Де a(r) ,r < ro ;
R(x) = < n (5)
0 , r > ro ,
и в этой области метрика совпадает с метрикой бесконечно тонкой космической струны [12]. При этом критерием малости возмущения и возможности работать в рамках теории возмущений является малость параметров (1 — в). Предполагается, что для космических струн, рассматриваемых в рамках Теории Великого объединения (GUT), величина параметров (1 — в) имеет порядок 10-6.
Рассматриваемая метрика является решением уравнения Эйнштейна, в правой части которого стоит тензор энергии-импульса (ТЭИ), tt-компонента которого равна
Ttt
R
1
16nG 16nG
e- Де а.
Следовательно, энергия струны дается выражением
сю
j Ttt^—g dz d 2x = ЦТ— j dz j d 2x Де а =
1 — в
8п
dz / d 2x Де f.
Таким образом, величину M =
1 в fd2x Деf
8n
(6)
можно интерпретировать как энергию на единицу длины струны.
Переход к пределу бесконечно тонкой струны предполагает стягивание носителя функции Де о в точку при сохранении численного значения интегралов по d2х, т.е. при го ^ 0, что соответствует фиксации линейной плотности энергии струн.
Тогда, понимая указанный предел в смысле обобщенных функций, мы получаем
lim Деа = 4п(1 — в) S2(x). (7)
И, следовательно,
а(х) = 2(1 — в)1п r .
(8)
Таким образом, при выборе функции / в дополнение к (4) мы должны потребовать, чтобы
d2x Деf = 2п .
Тогда из (6) мы получаем, что 1 — в
M =
и пределу бесконечно тонкой струны соответствует выражение [12]
Ttt(x) = M e-(x) S2 (х),
(9)
где конформный фактор задается выражением (8).
При этом двумерная поверхность (^1^2) представляет собой локально плоскую гиперповерхность с конической особенностью, локализованной в точке х = 0, а параметр ^ определяет связанный с особенностью дефицит угла: = = 2п(1-в).
В случае бесконечно тонкой струны особенностями пространства-времени являются отсутствие в метрике каких-либо размерных параметров и высокая степень симметрии. Первое позволяет утверждать, что в случае безмассового поля вакуумное среднее оператора тензора энергии-импульса может зависеть только от расстояния до особенности, причем,в случае четырех пространственно-временных измерений справедливо тас ~ г-4 [11, 13]. Второе — разделить переменные в полевом уравнении, построить аналитическое выражение для соответствующей функции Грина и вычислить перенормированное вакуумное среднее оператора тензора энергии-импульса.
Переход к случаю массивного поля заметно усложняет задачу, поскольку появляется дополнительный параметр с размерностью длины — комп-тоновская длина 1С = т-1. В этом случае из соображений размерности мы только можем утверждать, что вакуумное среднее ТЭИ может быть представлено в виде
(
т \ren TW vac ~
— F(mr),
(10)
где F(г) — некоторая однозначная функция, и характер зависимости результата от расстояния от струны требует отдельного исследования. И, следовательно, характерным масштабом, на котором влияние массы будет существенным, является комп-тоновская длина 1С = 1/т.
—ю
DO
2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА ВБЛИЗИ СТРУНЫ
Случай скалярного поля с минимальной связью соответствует выбору действия в виде
Бф = -2 J dйхф(х) L(x, д) ф(х)
где оператор поля L(x,d) = (□ + m2),
□ = V MVM — оператор Лапласа-Бельтрами и d = 4 — размерность пространства-времени.
Представим оператор L(x, д) в виде L(x, д) = (д2 + m2) + 5L(x, д)
д2 = д2 - д2 - ае .
(11)
В рассматриваемом случае соответствующий метрике (1) оператор 6Ь(х,д) имеет вид
SL(x, д) = Л(х) (д2 - д2 + m2)
Л(х)
-а(Х)
- 1 « -а(х) .
(12)
Тогда в первом порядке теории возмущений по малому параметру (1 — в) ^ 1 фейнмановская функция Грина может быть представлена в виде
e
Gf(x, x') = GF(x - x') + 17d4 eiqxa(q) ^ d P
(2n)2
eip(x-x')[p2z - p0 + m2] (2n)4 [p2 - m2 + ie] [(p + q)2 - m2 + ie]
где д = (0,0, q), е ^ +0, а О^(ж — ж') — фейнманов- поля с минимальной связью ская функция Грина плоского пространства. Построение теории возмущений для функций Грина в фоновых пространствах с коническими особенностями рассмотрено, в частности, в [11].
В терминах функции Грина вакуумное среднее оператора ТЭИ дается выражением
= VMVv' - 1 VaVa' + 1 m2 g^v , (14)
(x)) VaC = -i I™ DMv GFeg(x, x') ■.
(13)
где — дифференциальный оператор, который определяется классическим выражением для ТЭИ. В рассматриваемом случае массивного скалярного
где через Vм и Vм обозначены ковариантные про-зводные по переменным С принятой точностью
изводные по переменным xM и x'M, соответственно.
1 ' m^n ^ (х) '
Dtt = дг дг' - -ПMv д^' + — + 5аЬ дадЬ',
a, b, ... =1, 2 , и мы получаем, что
(15)
<Ttt(x))Z = - ~2J
d 4p 2p02 - p 2 + m2 +
2 J (2n)4 p2 - m2 + ie
1 f ^ eiqx,) f d^
4 J (2n)2 (q) J (2n)4 (p2 - m2 + ie)[(p + q)2 - m2 + ie]
i f d2q i f d4p 4p0 - (p + q)2 - p2 + q2 + 2m2 ( 2 2 . 2\
+ 7 / 7^2eq 7^7:2—^2 , , ^2—^2 , ..vi К -p2 + m ).
Последующее использование стандартной техники метода размерной регуляризации [14] приводит к результату
< Tt(x))-g =Г-§1 (m f4m4 - Щ-ф (m )d-4m2 f eiqx|q|2.(q)+
\ «V '/vac 2(4n)d/2\ ¡л) 6 (4n)d/2 У ¡л) J (2n)2 yq'
1
, Г[2 - d/2] Г d2q iqx 4 ,, f , ( 8 о 4 4W A(a, q)\d/2-2
+ J -Щ2 etqxlql4-(q) J 4a - 3a + 3a4)(-2-) , (16)
0
где d = 4 - 2e (e ^ +0), ¡л — параметр с размерностью массы, вводимый для сохранения размерности регуляризованного выражения, а
А(а, q) = а(1 - a) q2 + m2 . При малых e ^ +0 справедливо разложение
А(а, q)\d/2-2_ ( d^ А(а, q)
1 - (2 + O(e2), (17)
¡л2 2 ¡л2
и для регуляризованного вакуумного среднего мы получаем
ге8 = Г[—d/2] /т4 _ г[1 - d/2] /тЧ
(2п)2
2(4п)^/Н Д У
е<чх^4о^) —
6(4п)й/2 VдУ d 2д
2
I т
(2п)2
е®чх |q|2o(q) +
4(4п)^2 У (2п)2
8
4
е*чх№|4о^) / da а — а3 + - а4 1п
3
3
Г[2 — d/2]
40(4п)^/2
Д(а, ^
Д2
(18)
В безмассовом пределе
1п
Д(а, q)
Д2
1п а(1 — а) + 1п
Д2
(Т«(х)
vac
1
16
40(4п)^/2 УГ[2 — +
(2п)2
е®чх |q|4o(q) —
Первый член в полученном выражении представляет собой вычисленную в рассматриваемом приближении и умноженную на 2/^/—д вариационную производную расходящейся части эффективного действия, которая отбрасывается в ходе его перенормировки и, следовательно, должна быть отброшена и в выражении для перенормированного ТЭИ [15].
Таким образом,
<т ¿и ::=—
1 Г d2д 20(4п)^2 У (2п)2
е<чх^|4о^) 1п М .
Д
(20)
Дальнейшие вычисления сводятся к использованию известных в теории обобщенных функций интегралов [16].
d2д е®чх^|4о^) 1п М .
Д
(19)
20(4п)^2 У (2п)2 Для фурье-образа мы имеем
o(q) = 2(1 — в) / d2х е-®чх 1п г = — 4п(1-«/ 1 q
4п(1 — в) |о12"
(21)
Оставшийся интеграл также хорошо определен:
^2д |12 е®чх 1п = 84 . (22)
Подстановка полученного выражения в (20) дает
<зд> ::=
Д
vac 10п2г4
(23)
что совпадает с результатами работ [4-10].
Для учета массы мы должны вернуться к выражению (18). В этом случае перенормировка эффективного действия требует отбрасывания первых трех членов в этом выражении [15], и мы получаем
< №С8с = £/ е^/ ¿^(а — 3 а3 + 4 (1п т2 + 1п ["(1 — а) ^/т2 + 1]) . (24)
Интегрирование по а позволяет привести это выражение к виду
< Т ¿(хС8с =2^/
(2п)2
е®чхд2
А(и)
16
и2
1п т + ^(3 — ^ + — 45 (24 — + ^Г
1
45
230
и2
120
и'
(25)
где
А(и) ^1 + (2/и)2 АгеИи , и = М . (26)
2т
Фурье-образы членов подынтегрального выражения, которые не содержат функции А(и), известны [16].
Оставшиеся интегралы имеют вид
Ьк =
d2д е®
(2п)2 д2а-*)
АЫ/т), к = 0,1, 2 . (27)
Они представляют собой фурье-интегралы от функций медленного роста и должны быть хорошо определены в смысле обобщенных функций, но из-за наличия арксинуса они не известны в табличном виде.
Поскольку двумерный интеграл Фурье берется от сферически-симметричной функции от переменной = д, то результат преобразования будет сферически-симметричной функцией от переменной г = |х|. Будем иметь в виду, что интегрирование по полярному углу ^ в плоскости может быть осуществлено с помощью табличного интеграла [17]
2п
J е^' с°8 ^ = 2п7о(дг).
(28)
Но остающиеся одномерные интегралы по содержат либо инфракрасную (Ь0), либо ультрафиолетовую (Ь1 , Ь2 ) расходимости. Наша задача — привести их к суперпозиции сходящихся одномерных римано-
х
1
х
2
и
1
1
вых интегралов и уже введенных обобщеннофунк-циональных интегралов преобразований Фурье.
Для оценки сходимости нам нужно знать разложение А(и) при малых и больших значениях аргумента; тейлорово разложение имеет вид
А(и) = 1 + — и2 — — и4 + — и6 + 0(и8), (29) к ' 12 120 840 /' V )
а асимптотическое разложение дается выражением
А(и) = 1п и +
2 1п и + 1
21п и — 1/2 ( 1п и
и4 +
(30)
Тогда в каждом из интегралов Ь^, в зависимости от характера неинтегрируемой особенности, мы вычтем и добавим низшие члены соответствующих разложений (контрчлены), следя за тем, чтобы от контрчленов не возникало новой особенности на противоположном пределе интегрирования. Тогда вычитаемые контрчлены будут регуляризовывать неинтегрируемую особенность, а двумерные инте-
гралы от контрчленов уже будут являться табличными интегралами Фурье обобщенных функций.
Для примера при вычислении Ьо, согласно (29), вычтем и добавим единицу к А:
Г d 2о е®чх Г d 2о е®чх
Ьо« = /(^ V <А — + ^ (31)
Второй интеграл стандартно вычисляется, а в первом после интегрирования по углу инфракрасная особенность исчезнет, а новой ультрафиолетовой расходимости не возникнет:
сю
Ьо(г) = I
d-
^о(дг) А — 1 2п -
1п г
— -2П-. (32)
Оставшийся интеграл сходится в римановом смысле и может быть вычислен численно.
Собирая все вклады в (25) и опуская дельта-функции с носителем на струне, мы получаем следующее выражение для перенормированной плотности энергии:
Д
40п2
-Ло(9г)
А-2 — 16 т2 + 3 £) + '" т( Т т2 — —
Сделав замену переменной, мы получим окончательно:
(Т е(г,т)
сю
"4 Г Г / 16 8 N
F(^ = "44У Ж^1 — 3-^2 + +
Д
vac 10п2г4 (-10
2 8 т2
— т2( 1+3 ^
F (тг),
d- +
Д ( 1 5 т2 10пД г4 + 6 Т2 '.
16 8 ч ( 10 л , 1 / 8 \
(33)
¿Й + (1 + 6 .
(34)
Функция F(") определяет вклад массивных мод в эффект поляризации вакуума в окрестности струны относительно вклада безмассового поля. График функции F(") представлен на рисунке. Из приведенного рисунка видно, что вклад массивного поля становится пренебрежимо малым уже на расстоянии порядка нескольких комптоновских длин волн, как это и следовало из размерных соображений. Из него также следует, что для скалярного поля с массой т на расстояниях, меньших приблизительно 0.71С, плотность энергии выше, чем для безмассового поля.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В рамках однопетлевой квантовой гравитации рассмотрен эффект поляризации вакуума массивного скалярного поля с минимальной связью вблизи прямолинейной космической струны. Показано, что относительный вклад массивных полей в перенормированное вакуумное среднее тензо-
Рисунок. График Е(г)
ра энергии-импульса становится пренебрежимо малым уже на расстоянии нескольких комптоновских длин волн от струны.
2
и
со
Исследование выполнено в рамках научной программы Национального центра физики и математики, направление № 5 «Физика частиц и космология».
Благодарности
Ю.В.Грац благодарит проф. И. П. Волобуева за ценные замечания.
[1] The Formation and Evolution of Cosmic Strings. Gibbons G. W., Hawking S. W., Vachaspati T. (eds.) Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
[2] Vilenkin A., Shellard E. P. S. Cosmic Strings and Other Topological Defects. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
[3] Copeland E. J., Pogosian L., Vachaspati T. // Class. Quant. Grav. 28, 204009. (2011).
[4] Helliwell T. M, Konkowski D. A. // Phys. Rev. D. 34. 1918. (1986).
[5] Frolov V.P., Serebriany E.M. // Phys. Rev. D. 35. 3779. (1987).
[6] Linet B. // Phys. Rev. D. 35. 536. (1987).
[7] Dowker J. S. // Phys. Rev. D. 36. 3095. (1987).
[8] Dowker J. S. // Phys. Rev. D. 36. 3742. (1987).
[9] Hiscock W.A. // Phys. Lett. B. 188. 317. (1987).
[10] Гальцов Д.В., Грац Ю. В. , Лаврентьев А. Б.// ЯФ. 58. 570. (1995). (Gal'tsov D. V., Grats Yu.V., Lavrent'ev A. B. // Phys. Atom. Nucl. 58. 516. (1995)).
[11] Grats Y. V., Spirin P. // Eur. Phys. J. C. 77. 101. (2017).
[12] Vilenkin A. // Phys. Rev. D. 23. 852. (1981).
[13] Grats Y.V., Spirin P. // Int. J. Mod. Phys. A. 35 N 02-03. 2040030. (2020).
[14] Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. Т. 2. М.: Мир, 1984. (Itzykson C., Zuber J. B. Quantum Field Theory. McGraw-Hill, 1980.)
[15] Биррелл Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. М.: Мир, 1984. (Birrell N. D., Davies P. C. W. Quantum Fields in Curved Space. Cambridge University Press, 1982.)
[16] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Т. 1. М.: Физматгиз, 1958. (Gel'fand I.M., Shilov G.E. Generalized Functions: Properties and operations. Academic Press, Waltham, 1964.)
[17] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физмат-гиз, 1963. (Gradshteyn, I.S.; Ryzhik, I.M. Table of Integrals, Series and Products. Academic Press: New York, USA, 2007.)
Vacuum polarization in the cosmic-string background
Yu. V. Gratsa, P. A. Spirinb
Department of theoretical physics Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University
Moscow 119991, Russia E-mail: [email protected], [email protected]
Within the framework of one-loop quantum gravity, we consider the vacuum polarization effect of the minimally-coupled massive scalar field near the infinitely-thin straight cosmic string. It is shown that the massive-field relative contribution to the renormalized vacuum mean of the energy density becomes negligible at a distance of several Compton lengths.
PACS: 11.25.Wx.
Keywords: vacuum polarization, effective action, dimensional regularization.
Received 14 June 2023.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2023. 78, No. 5, pp. 585-590.
Сведения об авторах
1. Грац Юрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-53-89, e-mail: [email protected].
2. Спирин Павел Алексеевич — канд. физ.-мат. наук, ассистент; тел.: (495) 939-53-89, e-mail: [email protected].
