CC BY
48ГРАЦ Ю.В., МИХАЙЛОВ А.С.
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ В МОДЕЛЯХ РЭНДАЛЛ-СУНДРУМА
Грац Ю. В., Михайлов А. С.
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, физический факультет, 119991 Москва Поступила в редакцию 06.10.2010
Исследуется решения линеаризованной гравитации в моделях Рэндалл-Сундрума с локализованным на бране так называемым безвакуумным дефектом (космической струной или глобальным монополем). Рассматриваются модель Рэндалл-Сундрума с одной браной (RS2), нестабилизированная модель с двумя бранами (RS1) и модель со стабилизирующим полем Бранса-Дикке. Полученные результаты используются для изучения обусловленных наличием дополнительного измерения особенностей эффекта топологического самодействия на помещенный вблизи дефекта точечный заряд.
Ключевые слова: модели Рэндалл-Сундрума, топологические дефекты, самодействие.
УДК 530.12: 531.51_______________________
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение (44).
2. Электростатическое самодействие в гравитационном поле (45).
3. Безвакуумные дефекты в RS2-мoдEли (46).
3.1. метрика безвакуумных дефектов. 3.2. Эффект самодействия вблизи безвакуумных дефектов в RS2-модели.
4. Безвакуумные дефекты в нестабилизированной rsi -модели (49).
4.1. гравитационное поле безвакуумных дефектов в RS1-модели. 4.2. самодействие вли-зи безвакуумных дефектов в RS1-модели.
5. Безвакуумные дефекты в стабилизированной rsi модели (51).
5.1. метрика безвакуумных дефектов. 5.2. Эффект самодействия в поле топологических дефектов.
6. Заключение (54).
Литература (54).
1. ВВЕДЕНИЕ
в настоящее время почти все многообразие наблюдаемых физических явлений может быть
описано с помощью двух теорий — Стандартной модели и Общей теории относительности. Однако существует целый ряд вопросов, таких как, например, проблема иерархии взаимодействий, ответы на которые не получены до сих пор. Это привело к возрождению интереса к моделям с дополнительными измерениями пространства-времени. Однако, если в первоначальных вариантах таких теорий предполагалось, что дополнительные измерения имеют планковский размер и потому ненаблюдаемы, то сейчас все большей популярностью пользуются теории, в которых дополнительное пространство предполагается достаточно большим. И одними из наиболее популярных являются различные модификации моделей Рэндалл-Сундрума (RS), предполагающие наличие одной или двух четырехмерных гиперповерхностей (бран), помещенных в пространство-время с одним пространственноподобным дополнительным измерением.
В случае RS1-модели [1] дополнительное измерение представляет собой орбифолд S /Z, в неподвижных точках которого расположены две браны с ненулевой плотностью энергии. В работе [1] было найдено точное решение для метрики в случае отсутствия материи на бранах и показано, что проблема иерархии взаимодействий может быть решена благодаря экспоненциальному фактору в выражении для метрики. Однако RSt-модель имеет существенный недостаток. Поскольку расстояние между бранами не фиксируется условиями модели, в ней появляется скалярная и безмассовая с четырехмерной точки зрения мода, называемая радионом, которая очень сильно взаимодействует с материей на бране, на которой предположительно находится наш мир, что противоречит имеющимся экспериментальным данным. Эта проблема может быть решена путем введения в модель дополнительного скалярного поля с некоторым потенциалом во всем
1-2 НОМЕР | ТОМ 2 | 2010 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ В МОДЕЛЯХ РЭНДАЛЛ-СУНДРУМА
пространстве и дополнительными потенциалами на бранах [2]. вакуумная конфигурация скалярного поля имеет ненулевую плотность энергии, которая достигает минимума при определенном размере дополнительного измерения. Таким образом, расстояние между бранами уже не может быть произвольным. Это приводит к появлению массы у радиона, которую подбором параметров модели можно сделать такой, чтобы он оказался ненаблюдаемым во всех проведенных до сегодняшнего времени экспериментах.
RS2-модель [3] предполагает наличие одной браны, и, вообще говоря, может быть получена из RS1 устремлением расстояния между бранами к бесконечности. в этой модели иерархия между четырехмерным гравитационным и электрослабым масштабами уже не может быть объяснена геометрией пятимерного пространства. Тем не менее, сценарий мира на бране RS2-модели в силу своей относительной простоты также пользуется популярностью.
Принципиальная возможность решения в рамках моделей с дополнительными измерениями ряда фундаментальных проблем, таких, как уже упомянутая проблема иерархии взаимодействий, делает актуальным вопрос о возможности обнаружения обусловленных дополнительными измерениями эффектов в планируемых лабораторных экспериментах или в явлениях астрономического масштаба. в случае моделей Рэндалл-Сундрума некоторые из эффектов такого рода были рассмотрены в [4-9]. Предлагаемая работа продолжает начатые в них исследования.
Рассматриваются три пятимерные модели. Это модели Рэндалл-Сундрума с одним дополнительным пространственноподобным измерением и одной или двумя бранами, а также один из вариантов модели RS1 со стабилизацией расстояния между бранами. все рассматриваемые модели характеризуются тем, что в отсутствие материи решение для метрики на бранах пуанкаре-инвариантно. Поэтому нетривиальные гравитационные эффекты возможны, если индуцированная на бранах метрика искривлена присутствием материи. В качестве локализованной на бране материи в работе рассматривается относительно новый и мало изученный вид дефектов — так называемые безвакуумные струна и монополь [10, 11]. Исследуется их гравитационное поле и индуцируемый этим
полем эффект электростатического самодействия. Проводится сравнение полученных результатов с аналогичными результатами для “обычных” топологических дефектов. выбор объектов обусловлен тем, что они могли образоваться в ранней вселенной и дожить до настоящего времени, а также их возможной ролью в космологической эволюции.
В работе используется система единиц c = 1 и метрика пространства-времени с сигнатурой
(-++++).
2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ САМОДЕЙСТВИЕ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Явление самодействия в плоском пространстве-времени было изучено еще в первой половине прошлого века. Было показано, что на ускоренно движущуюся заряженную частицу действует сила, связанная с потерей импульса на электромагнитное излучение, и получено общее выражение для этой силы. соответствующее уравнение движения известно как уравнение Дирака-Лоренца.
В случае искривленного пространства-времени ситуация значительно усложняется. Оказалось невозможным найти общее выражение для силы самодействия в произвольном гравитационном поле [12-13]. Более того, было обнаружено, что сила самодействия на заряженную частицу в гравитационном поле отлична от нуля даже в том случае, когда поле статическое и частица покоится. Первоначально этот эффект был изучен для случаев пространства-времени Шварцшильда [14-15], Райснера-Нордстрема [16] и Керра [17]. Впоследствии — в поле топологических дефектов [18-22].
Хороший обзор проблемы самодействия и соответствующую библиографию можно найти в работе [23].
В нашей работе мы рассмотрим эффект самодействия на покоящуюся заряженную частицу в статическом гравитационном поле локализованных на бране безвакуумных топологических дефектов.
Мы будем исходить из формального выражения для для энергии самодействия (см., например,
[23])
UJx■) = 2mfG(x х) (1)
РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2010 | ТОМ 2 | НОМЕР 1-2
46
ГРАЦ Ю.В., МИХАЙЛОВ А.С.
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
в котором под G(x, x) понимается взятая в пределе совпадающих точек трехмерная функция Грина, которая является решением уравнения
di (V-g(x)g (x)g00 (x)dj ) G (xx) =
= 5(3)(x-x ) , i, j,... = 1,2,3.
(2)
Здесь и ниже x = (x1, x , x) - пространственные координаты частицы.
Как и в случае плоского пространства, сложность заключается в том, что в пределе совпадающих точек функция грина G(x, x') расходится и должна быть регуляризована.
Б наших вычислениях мы будем следовать работе [19].
Представим уравнение (2) в виде
SiJдjdiG(х,х ) = -d(3) (х - х )- VG(x,x ) ,
V = -di (ypggJg00дj )-8lJdiдj .
S =
1
16nG<
j"( R - Л )yj-g dx° d3 xdy
+
+V j*J-gd(y)dx0 d3 xdy
(5)
где Л - пятимерная космологическая постоянная, G5 - пятимерная гравитационная постоянная, g ^ (ц, v, ... = 0, 1, 2, 3) - индуцированная метрика на бране, а^ - координата вдоль дополнительного пятого измерения.
Предполагается, что космологическая постоянная Л и натяжение браны V жестко связаны через параметр модели k 2 ~ 3к
Л = —12к", V = —
4nG<
(3)
Б рамках теории возмущений решение уравнения (3) можно записать следующим образом G(x,x') = Grj(x,x') + Grj(x,x")V(x")Grj(x",x') +..., (4) где Gr — функция Грина уравнения Лапласа в трехмерном евклидовом пространстве, а обусловленные кривизной поправки к функции Грина определяются членами ряда (4), начиная со второго. Для наших целей достаточно ограничиться вычислением регуляризованного значения взятой в пределе совпадающих точек первой поправки
G1(x,x') = G0(x,x')V(x')G0(x'',x).
3. БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ В RS2-МОДЕЛИ
Первая из моделей, которая будет рассмотрена, предполагает наличие в пятимерном пространстве-времени четырехмерной гиперповерхности (браны), которая удерживает на себе поля стандартной модели, в то время как гравитационное поле эволюционирует во всем пятимерном объеме (балке).
3.1. Метрика безвакуумных дефектов.
Гравитирующая брана характеризуется одним параметром — плотностью энергии на единицу трехмерного объема или натяжением V.
Б случае отсутствия материи на бране дей -ствие модели имеет вид
Б этом случае решение для метрики имеет вид
ds2 = yM^N^dxMdxN = e2kl,lr(^сЫ1 dX + dy2,
M, N.. = 0, 1, 2, 3, y ^ (6)
Для того, чтобы рассмотреть взаимодействие с материей на бране, к действию добавляется член
у J hMV(x,0)tMV(x)dx°d3x,
Brane (7)
где возмущение метрики
KhMN = gMN ~ У MNP (8)
К = ■Jl6nG5 , а t — тензор энергии-импульса локализованной на бране материи.
При наложении на возмущение метрического тензора калибровочного условия 8Mh^v = 0 , где h = h^v - (1/4)q h, решение линеаризованных уравнений гравитации [24], записанное для случая статического источника, имеет вид
М x)=* f-dq efqd
j(2k)3 q2
+
q
,1 fd3q e‘qxKo(\ q |/k)ff№(q)
H— К I----з-------------------
2 J(2^)3 Ki( \q\/k )\q\
для безследовой части и
2 r
h(x) =----wk -
v 7 з J i
(9)
2 , p d3q
iqx
(2t)3
t (q) 2 q
(10)
для следа.
Здесь тензор определяется соотношениями /oo(q) = too(d) +11 (q),
fik (q) = tik (q) - 3
(
q2 у
1 (q),
(ii)
1-2 НОМЕР | ТОМ 2 | 2010 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ В МОДЕЛЯХ РЭНДАЛЛ-СУНДРУМА
47
а под tk(q), q = (q1, q2, q), понимается трехмерный фурье-образ тензора энергии-импульса (источник статический).
Б качестве материи на бране мы будем рассматривать безвакуумные монополь и струну, которые, как это считается, могут представлять интерес с точки зрения космологической эволюции.
То, каким образом должен выглядеть потенциал мультиплета скалярных полей, с тем, чтобы соответствующие решения имели место, а также вид метрики создаваемого дефектами гравитационного поля в четырехмерной теории, изложено в работах [10, 11].
Соответствующие этим дефектам тензоры энергии-импульса могут быть представлены в виде
Tmon = А/IQ М2
00 10 5r ’
Зл/То М2 xixk I---
“ГГТ"+2 ) > r = Vx,xi ,
10 5r r (12)
mon
Tik
rpstr rjiV.Str
T00 Tzz =
2y[e M2
3 8r
rpstr __
Tab
V6 M2
XaXb
r =
3
XaXa
K0(q/k) q
Kl(q /к) K0(q /k) Kl(q /k)
-fin (q/k), к
при q! к <к 1.
- 1, при q / & » 1.
в смысле обобщенных функций. Значительная часть сводится к интегралу [25]
F [r *]= JrfV^r1 =
= 21+п пп/2 Г(1 + п2 )Г^--1 ^ -п,-п - 2,...,
q
-1-п
(15)
или получены из (15) с помощью соотношений
F
d
д,ч,
Я
q
= -5, д kF
1
Я
q
n q jnq = _d_ 4 qn±1 dX
F И
X=-n+1
(16)
(17)
Б случае же, когда X = n, можно показать, что
F
1
2п
пГ2
Г
1 Y 1 1 (пл
ln q +--ln2----у I —
2 2 у 2 у
(18)
2пи
иГ
ln q - ln 2 + Y + И
Mk
q2
2 S r ' (13)
Б приведенных выше выражениях 8 — размер ядра дефекта, а M — характерный масштаб с размерностью массы, входящий в потенциал скалярных полей [10]. Индексы i, k пробегают значения 1, 2, 3, а a, b — значения 1, 2.
Первый интеграл в (9), а также след (10) интегрируются при произвольных значениях входящих в них параметров, второе же слагаемое в (9) общем случае проинтегрировать не удается. Поэтому ограничимся рассмотрением случаев больших (rk » 1, где q/k « 1) и малых (rk « 1, где q/k » 1) расстояний от ядра дефекта.
Боспользуемся асимптотическими разложениями
(19)
Здесь у ~ 0.58 — константа Эйлера, а
W( z) = Г'( z)/ Г( z) — пси-функция.
Покажем, каким образом проводятся вычисления в случае монополя в пределе kr » 1. Другой предельный случай kr « 1, а также случай безвакуумной струны исследуются аналогично.
Подставляя компоненты тензора энергии-импульса (12) в (9), (10) и (11) с учетом первого из соотношений (14) получаем
л/Ш*.
imon
яп00
S
,2Г\
15
mon
Щк
-g4m2-\ 4щ,
15 8\
_4
kS
ХЛ г2
kr
G.M2 In (кг) ( „ х.х, +-------—-----— 8Л+-Чг-
15 к8
kr
kr>1.
(14)
Бсе интегралы, которые необходимы для для расчетафурье-образовкомпоненттензоровэнергии-импульса t^(q) и при обратном преобразовании Фурье в выражениях (9) и (10) хорошо определены
(20)
Б приведенных выше выражениях G4 — четырехмерная гравитационная постоянная, связанная с пятимерной гравитационной постоянной G5 через параметр модели к соотношением G4 = kG .
Для сравнения с результатами четырехмерной теории перейдем к сферическим координатам. При этом компонента h не претерпевает каких-либо изменений, а пространственные компоненты возмущения метрического тензора примут вид
п
п
2
xixk
r
ik
и
РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2010 | ТОМ 2 | НОМЕР 1-2
48
ГРАЦ Ю.В., МИХАЙЛОВ А.С.
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
х/г,.™ _ аЛОтг^г г | 4л/к)лС4М2 Щкг)
" 3 4 8 15 кЗ кг ’
_ -sin2 (Я)
41-\/к)7г 2 г 2tJWx G.M2 In (кг)
- -G.M —v
xh"m
15
S 15 kS кг
(21)
Перейдем к новой радиальной координате таким образом, чтобы выполнялось условие g' = 1, т.е. чтобы выражение dl2 = (1 + (r))dr2 + (1 + (r))r2d2Q.
w'
заменилось на
dl'2 = dr'2 + (1 + jdigg (r') + f(r'))r'2d2 Q.
Для этого нужно, чтобы f(r) было решением дифференциального уравнения
/(г) + г + nhn (г) = О,
dr (22) и новая координата была связана со старой выражением г' = (1 —f(r)/2)r.
В результате метрика безвакуумного монополя при kr» 1 принимает вид (всюду ниже штрих у радиальной координаты опущен)
ds,
2
mon
1 - 2Мп04M2 rfi +
S{ 15k2 r2
dt2 + dr2 +
1 - 2 r fi + 2]^
5 l 21k2 r2
r2 dQ2, kr » 1.
ds2 = -
mon
1 - д/iOwG, M2 -
8ln(kr)
15kr
dt + dr +
7VI0;
1 -^ G.M1 —
8
5
5
1 + -
V
21kr
- dQ2, kr < 1.
=
1 - W6nG4 M2 -
5
1 +
ln(k-)
V
9k2 -2
1 - l0* G.M
3
■2 -
Г и.ДалЗ 1 +
2ln2(k-)
15k2 -
22
К =
1 - 4j6nG. M2 -
V 1-"v '
( \MU\\
1-
\
ln(kr)
9k-
10V6n
1 --:— GM
3
5
1+-!' V 15kr у
r 1dq>1, kr << 1.
(—dt + dz ) + d- + -2dp2, k- »1,
(-dt1 + dz2) + dr2 +
(25)
(26)
Из полученных выражений видно, что для обоих дефектов вклад от пятого измерения становится существенным только на малых (kr Д 1) расстояниях. Поскольку считается, что k1 ~1 мм, то в рамках астрономических наблюдений обнаружение эффектов дополнительного измерения представляется невозможным.
3.2. Эффект самодействия вблизи безвакуумных дефектов в RS2-модели. Интересующая нас поправка к функции Грина имеет вид
il'( x'- x')
^хАКД^ДДnxn I _
(27)
В терминах отклонения метрического тензора от фонового оператор возмущения
V(x”) = dtH (х”)дk + Hk(x")did,
iwk ’
(28)
(23)
Аналогичные вычисления дают, что в случае малых расстояний от кора
где
Нгк (х") = у 5гкИ(х") + кд*к{){) (х") - кКк (х") ,
и через дi обозначена производная по xt .
В результате первая поправка к функции Грина в пределе совпадающих точек после замены переменных l' — l = q и l = p определяется выражением
w, ч г diq d3p e, .TTiki л
G (x’x) = f72n?72m—(qpk - PiPk)H (?) •
J(2n) (In) (p - q) p (29)
Интеграл по p в (29) содержит ультрафиолетовую расходимость, которая устраняется методом размерной регуляризации. Это позволяет привести выражение (29) к виду
(24)
Для безвакуумной струны в полярных координатах мы получаем
( 2h(q) + 4h00(q)-
-Щ-Ь*{q)-8tkHk(q) ? ,
В (21)-(24) независящие от масштаба k слагаемые в метрических коэффициентах совпадают с результатами четырехмерной теории.
G\x,x) = ^\pe-*q 26 ■* {2лf
(30)
Подчеркнем, что это выражение (30) справедливо как для RS2-, так и для RSI-модели.
Перейдем к вычислению G1(x, x) для случая RS2-модели. Подставляя в выражение (30) значения компонент возмущения метрики (9) и (10) и учитывая условие калибровки = 0 , получим, что интересующая нас величина может быть представлена в виде суммы двух слагаемых Gl = GlE + GlB , первое из которых соответствует результатам четырехмерной теории, а второе представляет собой поправку, обусловленную пятым измерением,
Gi =3^ G :d^q_ e^_
G 4 4 J (2л)3 q Ло’ (31)
(2n)3 q
2
Г .
+
1
+
+
5
+
1-2 НОМЕР | ТОМ 2 | 2010 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
,i _ 3п G4 с d3q e_iqx K0(q /k) f
e J00 ■
Gl=^4 f-
B 8 k J
8 k J(2n)3 K1(q / k)
Вклад, соответствующий четырехмерной теории для обоих дефектов, может быть вычислен точно. Часть же, обусловленная наличием дополнительного измерения GlB, вычислялась в двух предельных случаях — больших и малых расстояний от кора дефекта.
Подставляя в (31) и (32) значения тензоров энергии-импульса (12), (13), найдем, что сила электростатического самодействия Fem (х) = -2пе2 V G1 (х, x) (33)
для безвакуумного монополя имеет вид
T\0n e2G4M2 -
----------------+
Fem (\ 5 S- Г
^mon \-*v
л/lOn e2G4M2
lO Sk2-2
-v/lOn e2G4M2 г
(2ln(kr) -1)-, кг »l,
— +
fz (x)
5 S- -
Mn2 e2G4M2 -
— , кг < 1.
FSr (x)
12
Sr
■ +
46n2 e2G4M2 r , ,
+--------------, kr » 1,
12 Sk1 r3 r
y[6n2 e2G4M2 r
FT (x)
12
Sr r
+
+
ZTOn2 e2G4M2 ?
kr ^ 1.
БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ 4 9 В МОДЕЛЯХ РЭНДАЛЛ-СУНДРУМА ^ ^
4.1. Гравитационное поле безвакуумных дефектов в RS1-модели. Действие RSI-модели име-(32) ет вид [1]
G j(R -Л)4Чdx°d3 xdy -
S 16nG5
’ +
+V jy/-gS(y)dx0 d3 xdy +
+V2 jyj-gS (y - L)dx° d3 xdy ,
(36)
где L — расстояние между бранами, а натяжения бран выбираются следующим образом К, = -V2 = -3k/4nG.
Соответствующее этой модели фоновое решение ds2 = ela{'y dxBdxv + dy2,
&(y) = -к | y | +const. (37)
Взаимодействие с материей на бранах осуществляется введением в действие дополнитель-
ного слагаемого — J h ^ (x,0)t 1v(x)dx°d3 x -
Branel
—
20 Sk- — (34)
Что же касается безвакуумной струны, то для нее мы получим
л/бп2 eG4M2 r
2
J h^v(x,0)t2v(x)^- det(^v (I))dx0d3x.
Brane 2 (38)
Линеаризованная гравитация в данной модели была рассмотрена в работе [4]. Было показано, что разумные физические следствия получаются, если предположить, что наш мир соответствует бране с отрицательным натяжением. В этом случае решение линеаризованных уравнений может быть представлено в виде
=v+e ?v|cr+-
24 Skr r (35)
Из приведенных выражений видно, что при любых значениях радиальной координаты, сила самодействия является силой отталкивания. При этом на больших расстояниях результаты близки к тем, которые получаются в четырехмерной теории. Однако, при приближении заряженной частицы к ядру дефектов начинают доминировать слагаемые, обусловленные наличием пятого измерения.
4. БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ В НЕСТАБИЛИЗИРОВАННОЙ RS1-МОДЕЛИ
Перейдем к рассмотрению гравитационного поля безвакуумных дефектов и индуцируемых ими эффектов самодействия в нестабилизированной модели Рэндалл-Сундрума.
V
(39)
Здесь х = фTnGs , о(у) = -k[y\ + kL (такой вид о обеспечивает галилеевость координат на второй бране).
Входящее в выражение (39) безследовое поле v v дается выражением
/л J(2j)4 2 q
1^е~и lh)K2(qek{y-L)/к) + Цде^/Щде^/к)
-kL ,
J(y~L) ,
K^qlky^lkyi^qlW^lk)
(40)
где fv определено в (11), а скалярное поле Ф удовлетворяет уравнению
-
РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2010 | ТОМ 2 | НОМЕР 1-2
50
ГРАЦ Ю.В., МИХАЙЛОВ А.С.
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
□Ф = —t.
6L (41)
Приведенное решение получается при наложении на возмущение метрики калибровочных условий dvjv = 0, v = 0.
Подставляя (41) в (39) и проводя преобразование Фурье правой и левой части получившегося выражения, находим, что при локализации материи на второй бране (y = L) индуцируемая на ней метрика имеет вид
ж 2 к t (q)
hav(q) = vav(q) +v
JUV\U и
2
6 q2
ж
+ -
12k 2 L
ж
2к
kL -1 2 у
qMqv
q^q-^ t (q) +
q2
t (q)-
(42)
K{(q I k)!^111 к)-/Д I к)Д((Дк Ik)
9
f -(1 + e )(q 14к + 2kqe I q), при - «1 и
к
lx{qe~iL /РД^/РДГДД2 lk)I2{qlk)
9.
KAqikMqe^ikHMiWAqe^ik)
-kL
-1, при - » 1.
к
ds2 = -
mon
' 3^10^ G2M2e2kL
1 + - 2
15
5
1 +
1^Я0п G2 M2 e
"15
2 2kL
dt2 + dr2 +
r d Q, kr >> 1,
(44)
ds
2
mon
, 16л/!о G2 M 2lx2kL
1 + —-------2----ln(kr )e2kL
15 M
df + dr +
1 -
8^10 G2 M2
15 M
2JU ^2£L
r2d2Q, kr < 1.
(45)
В случае же безвакуумной струны мы получаем
ds2
' 4416л G2 M2e2kL , '
1 +--------2-------kr
9
kS
(-dt2 + dz2)
+
ds2
+dr2 +
1 +
' 2246л G2M2e2kL , '
1 +--------2------kr
9
kS
Ml ЦАт y*
9 kS
+dr2 +
1 -
846л G2 M2
_9 kf
2kL
r2 dq>2, kr >> 1,
(—dt + dz ) +
r2dy2, kr < 1.
(46)
3(1 - e ~2kL ) q 4
Дальнейшие вычисления аналогичны выполненным в случае RS2-модели.
Используя явные выражения для тензоров энергии-импульса безвакуумных дефектов (12) и (13), а также асимптотические представления (выполнить интегрирование в выражении (40) в общем случае не удается)
™ > lW 2 lV^ " (43)
мы находим, что метрика безвакуумного монополя может быть представлена в виде
(47)
Здесь G2 — гравитационная постоянная на второй бране, связанная с пятимерной гравитационной постоянной выражением G2 = G^ke-2kL, и мы пренебрегли членами порядка e-2kL по сравнению с единицей.
Мы видим, что в силу наличия большого экспоненциального фактора e2kkL (было показано, что kL ~ 35) поправка к метрике от пятого измерения является слишком большой. Это можно рассматривать как еще один пример того, что нестабилизированная RSI-модель не может претендовать на роль теории, описывающей наш мир.
4.2. Самодействие влизи безвакуумных дефектов в RS1-модели. Рассмотрим эффект электростатического самодействия в поле безвакуумных дефектов в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами.
Первая поправка функции Грина, как и в RS2-модели, может быть представлена в виде (30). Подставляя в (30) выражение для возмущения метрики (42), мы получаем, что
f2v(</) + 4v00(</)--^(ЯУЗ^ЧЯ)
q .
(48)
Далее, условия калибровки dv^ = 0, v = 0 и то, что для безследового тензора V00 = 8 kVk, позволяют представить (48) в виде Ъж г <23q
2 J(2 пу
qv (q).
(49)
Откуда с учетом (43) и (33) мы получаем
F-м e5MLf, +e“ v
5
Sr
4k2 r2
—, кг » 1, r
Fem (x) =
mon v"*'/
41On2 e2G2M
20 kSr2
2 M ~2kLr, kr << 1,
(50)
r
+
r
+
r
1-2 НОМЕР | ТОМ 2 | 2010 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ В МОДЕЛЯХ РЭНДАЛЛ-СУНДРУМА
и
к; (х)
к; (х)
у[вп2 e2G2M2 r 12 8r r ’
■Tkn- e2G2M2 ж
/л ^
24 kSr2
kr »1,
—, kr ^ 1. r
(51)
мы видим, что на больших расстояниях доминирующий вклад в силу электростатического самодействия дают слагаемые, воспроизводящие результаты четырехмерной теории (напомним, что метрический тензор таким свойством не обладает). однако, если для безвакуумного монополя вклад от дополнительного измерения становится существенным уже при kr ~ ekL, то для безвакуумной струны соответствующим масштабом является kr ~ 1.
5. БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ В СТАБИЛИЗИРОВАННОЙ RSI-МОДЕЛИ
Последней из рассматриваемых нами моделей будет RS1-модель, в которой стабилизация расстояния между бранами достигается посредством дополнительного скалярного поля Бранса-Дикке [26].
5.1. Метрика безвакуумных дефектов.
Действие этой модели записывается в виде
S = 4 x\_Ldy4~S
VR _ ® gMqNy _ у ((р)
V _
_ J я> ((p)d4x _ f ,4-i^2 (v)d4x •
Jy=° Jy=L (52)
Здесь V(f) — потенциал скалярного поля в балке, к (ф) — потенциалы на бранах, а ы — пятимерный параметр Бранса-Дикке.
Линеаризованная гравитация для этой модели была исследована в работе [26]. Приведем основные необходимые для дальнейшего результаты этой работы.
Если потенциалы в объеме и на бранах выбраны в виде
Vfy) — Лф, кЬ2 — ±кф, (53)
то фоновое решение имеет такой же вид, как и в нестабилизированной модели (37), при этом функции a(y) и ф(у) имеют вид
a—-k\y\ + C, ф — C1e-u|y|, (54)
где
и =
(3ю + 4)(4ю + 5) ’
к = (ю + 1)и,
х = W-л,
3ю + 4 4ю + 5
(55)
Можно показать, что при ы ^ ю воспроизводится стандартное решение Рэндалл-Сундрума.
Как и ранее, взаимодействие с материей обеспечивается введением в действие дополнительных членов (38). При этом в линейном приближении теории гравитации поправка к метрике на второй бране может быть пред -ставлена в виде
1
hv(х’L)=К(xL) - 2 1
1-
2
3(© + 4/3)
p(x, L) +
+8,
2и(ш + 4/3)
p'( x, L).
(56)
Фурье-образ введенного в (56) скалярного поля
Р
. .. xt(q)u кл ( и
p(q,L) — —I 3m 9C1 qUulk \ к
3-+ 1|euL|q| x
Щ+Jk) - Oi + y + WL^ (qlk) - к\qlkГ2
L{qlk )
- (l+y + 1)Hk - q1 +Hq'-{*)
L з iy(qi k)
(57)
Здесь L (%) — функция Ломмеля мнимого аргу-
мента и введены обозначения
H =
1—(а—- 4а')
— 1 — d2X2
—' 4(а + 4/3) d— (3а + 4)4 —
и
Y
ly=L-0 ,
/
(58)
2к
2и2
(Ю +1 + 2 -) + (2к -1)2.
3к и 2к (59)
Фурье образ тензорного поля b v имеет вид
b,„,(q,L) = d (q,L)-
ж (и + 2 к) 1
же
л --> /~т 2 kL 2
12це q
6Cj (4к + и) q
pv
-JL2~Kq) +
■2
Mil
Ч2 J
t(q),
(60)
где d задается выражением
duv(q,L) = ~
2дф(Ь)
/k)Ka(q/k) + Ка_х(де-к1 lk)Ia(q/k)
Ка-М/кУа-М^ /к)-/и_!(q/к)Ка1 (qe~ /к)
и
(61)
а — 2 +-.
2k
k
РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2010 | ТОМ 2 | НОМЕР 1-2
52
ГРАЦ Ю.В., МИХАЙЛОВ А.С.
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Использованное при получении метрики калибровочное условие имеет вид, аналогичный использованному в нестабилизированной модели
dv dJv = 0, d = 0.
Рассмотрим вклад от скалярного и тензорного поля по отдельности.
Начнем с тензорного поля b . Ограничимся
Р pv Р
случаем малых q/k (больших расстояний). В этом приближении
Д-1 (ge-L / к) Kg (q / к) + Ка_г (qe-L / к) Д (q / к)
Ka-i (q /k)Д- (qe-k /к)-IaA (q/ к)К^ (qe^ /к)
*-(1 + e~2K(a-1))
( 7 Л
JL + 2(а -1) VK(a-1) 2ка
q
, q « 1, к
виде суммы двух слагаемых
b,,r(q) =
xe
6С1(4к + и)" x(2k + u)
4C,e2kL
t(q)
2------------1],
q
q2
xbm(r) = 2№xGl M ’(1+"/2t) -
C,
2410л G2 M2 e 2il+ul
H--------------------2— ,
15 C, (1 + и /4k)k2 Sr
xb--(r)/r’- -lJ™’ G2M!(1 + u/2k) r
5 C1
31416л G2M2 e 2kl+ul 15 C,(1+и/4k)k2Sr '
Для струны в этом случае
j.str t \ л [7 G2M (1+и/2k) r
xb: (r) - 4л/6л —-----^--------- - +
C1 о
46л G2 M2 e 2kL+uL
S
9 C1(1 + и /4k)k2 Sr ’
,2 1046л G2M2(1+и/2k) r
(Ф - - —----------c------S'
246л G2M
2 e 2kL+iL
9 C1(1 + и /4k)k2 Sr
В приведенных выше выражениях К = 16nG2e2kL/k, а G2 — гравитационная постоянная на второй бране.
Перейдем к слагаемым в выражении для возмущения метрики (обозначим их h’]v), которые зависят от скалярного поляp(x, у) и фурье-образ которых дается выражением (57).
Воспользуемся следующим представлением функций Инфельда и Ломмеля при малых значениях аргумента
(
L’fi) ” („+1)’-г’
1 +
(м+3)2 -Г2
,при z «: 1
(66)
(62)
и тензорное поле b может быть представлено в Iy( z)!
1 + -
z
2 Л
22Г(у +1) ^ 4(г +1),
при Z <1.
(63)
Здесь мы пренебрегли слагаемыми порядка уща-1 по сравнению с единицей.
Выполнив обратное преобразование Фурье, мы получаем выражение для метрики рассматриваемых топологических дефектов.
В координатах, в которых bjx) = 0, для безвакуумного монополя мы получаем
(67)
Рассматриваемая модель не накладывает ограничений на параметр и, поэтому ограничимся наиболее интересным с физической точки зрения случаем u/k « 1.
Подставляя в (57) выражения (66), (67) и (59), получим, что в рассматриваемом приближении
1
2 2 ’
q +т
, 2 4Ни (со + 4/3)
гое т =
3(Н + 4 к)
(68)
(64)
Параметр m представляет собой массу радиона, т.е. низшего возбуждения скалярного поля.
Обратное преобразование Фурье при данном виде функции p(q) может быть проведено аналитически для каждого из топологических дефектов.
Аналогично может быть найдена производная p'(q,L) = dp(q,j)/dy\^=b. Она имеет следующий вид
1
р\д,В = - 8*,(‘?)*г" М
9С,[Н + 4к] q +т щ
Подставляя в (68) тензоры энергии-импульса дефектов получаем
Pmo«(x,L) = 19^Ш2к euL(\-e-mr) .
ЗОСхЗп г
Pstr (x L)-
п46лхМ2к
36ClSm
euI(I0(mr)-L 0(mr)),
(70)
(71)
(65)
где L(z) — функция Струве.
При этом p’(x,L) = (ku)p(x,L)/3[H + 4k].
В результате мы можем переписать выражение (56) в виде
2
z
7
z
+
1-2 НОМЕР | ТОМ 2 | 2010 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ В МОДЕЛЯХ РЭНДАЛЛ-СУНДРУМА
К (XL) = buv (X L) + gUvPP(X L)
в=2
цу \ 5 / о цу /
2H + 9к
-1
(72)
_ 3(ю + 4 / 3)( H + 4к)
Переход к сферическим координатам для слагаемых метрики, пропорциональных скалярному полю У, осуществляется так же, как и ранее. Б интересующем нас случае больших значений радиальной координаты мы получаем
Kmon (Г)_ 19л/Ш*М2кр
(
uL
30С, 3m2r
1 - в-ш -
Ex(mr) - ln(kr)
19\[\0xM2к2р uL ln(kr)
30Cj^m
kr
(r) _ 1 \46nxM2kp
r2 36C1Sm
x [Lo(mr) + — 2F3
(73)
ж
( Г. з з 1 22 m r
[1,1]; 2,-,-
L 2 2 J 4 J
+
ж
н— (L0(mr) I\(mr) - Ll(mr) 10(mr))]
2
1h/6*M2k2p uL ln(kr)
18C Sm2
kr
(74)
Здесь E (z) — интегральная показательная функция, а pFq([a1,.,a]; [ft^...,в]; z) — обобщенный гипергеометрический ряд.
Б результате для метрики, порождаемой локализованными на второй бране рассматриваемыми топологическими дефектами, в приближении kr» 1 и u/k « 1 мы получаем
ds2 =
mon
1 т lm-м2 r 2л]\6к G2M2em f 1
1 ZvlOn C S 15 C1Sr vk2 m2 ,
Фк G2M2 r Ф G2M2em f 37,152в ЫМ Ц
15 C S 15 C1Sr ,2 1 2 in(k/ ' V km J
dt +dr +
r2d 2П,
dsi
1-W6. Ml lA МУ 1Ж 1 dt 2 rfw
C 5 9 C15r 2h1 m1 Jf 1
(75)
+dr2+ 1
vh2 m2
1<Ъ/бп G2 M2 r 246k G2 M 1еШ/'
3 C 5 9
C15r
] L2dq>2
h2 m2
(76)
Анализируя выражения (75)-(76), можно убедиться, что для обоих дефектов на достаточно больших расстояниях доминируют слагаемые, которые при C1 = 1 воспроизводят результаты четырехмерной гравитации. Эффекты пятимерия начинают проявляться при условии А/ mr ~ 1. Соответствующие расстояния значительно превосходят k-1. Поэтому то, что мы
2
r
ограничились рассмотрением приближения kr » 1, является оправданным.
Б данной модели справедливы те же оценки параметров, что и в модели без стабилизации, а именно kL ~ 35, k ~ 1 ТэБ [28]. Оценки же параметра m могут быть получены из следующих соображений. С одной стороны, феноменология модели предполагает достаточно большую массу радиона, чтобы он не обнаруживал себя в экспериментах, проведенных до настоящего времени. С другой стороны, приближение и/k « 1, которое использовалось при выводе выражений (75)-(76), накладывает ограничение на параметр Бранса-Дикке о » 1 (55). Поэтому, как видно из выражения (68), параметры m и и по порядку величины отличаются на л[а . Таким образом, приемлемые значения параметра о ~ 100, что соответствует значению массы радиона порядка сотен ГэБ. Учитывая это, можно показать, что для безвакуумных дефектов дополнительное измерение проявляется уже на расстояниях порядка сантиметра. Однако даже столь “большие” расстояния не спасают ситуацию, поскольку по различным оценкам в наблюдаемой части Бселенной топологических дефектов от одного до десяти.
5.2. Эффект самодействия в поле топологических дефектов. Для нахождения электростатической функции грина в рассматриваемой модели воспользуемся выражением (30) я г d2q
р\/ ч я г aq _
G (х х) = — ---те
26 \2nf
iqx
q(lh + 4/г00 hA -81кИк
„ (77) Возмущения метрики на второй бране стабилизированной RSI-модели дается выражениями (56), (57), (60) и (61). Однако можно показать, что при подстановке в подынтегральное выражение все слагаемые, кроме дают нулевой вклад.
Таким образом, с учетом калибровочных условий д А = 0, d = 0 функция Грина d4q
G\x,x) = .
2б }(2ж)4
-iqx
qd00 (q).
(78)
Как и следовало ожидать, при u = 0 выражение для первой поправки к функции Грина (78) совпадает с соответствующим выражением, полученным в нестабилизированной модели (49).
Дальнейшие вычисления проводятся в полной аналогии с RSI-моделью без стабилизации.
Приведем окончательные выражения для силы электростатического самодействия.
РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2010 | ТОМ 2 | НОМЕР 1-2
ГРАЦ Ю.В., МИХАЙЛОВ А.С.
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Для безвакуумного монополя мы получаем _ л/10я(а -1)
FZ (х)
FZ (х)
e2G2 M2 C15r
1 + -
е
(2k+u) L
2а(а - 1)k r
—, kr » 1. r
-\/10я2 e2G2M2
(2k+u )L Г
2О
C1k5r2 ,
а для безвакуумной струны Fem = 4ёп2(а-1) e2 G2 Iм
—, kr « 1,
(79)
r
Ci5r r
FZ (x) =
12
у/вп2 e2G2M2
■e
(2k+u) L
kr »1.
kr ^ 1.
(80)
24 C1kSr2
Учитывая, что a = 2 + u/2k, легко увидеть, что при значении параметра С1 равном единице, в приближении u/k « 1, полученные результаты в точности соответствуют результатам нестабилизированной модели.
Как и прежде, на расстояниях r » k-1, для безвакуумной струны поправками, связанными с дополнительным измерением, можно пренебречь и говорить о проявлении заметного влияния дополнительного измерения можно лишь на масштабах r ~ k-1. Для безвакуумного монополя ситуация обстоит иначе, дополнительное измерение начинает себя проявлять уже на расстояниях r ~ Z/k, что соответствует расстояниям в ekL раз большим.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
5
Мы рассмотрели линеаризованное над фоновым гравитационное поле “обычных” и безвакуумных дефектов в рамках трех моделей мира на бране. Нами были выбраны модели Рендалл-Сундрума с одной (RS2) и двумя (RS1) бранами, а так же стабилизированная RSI-модель, фиксация расстояния между бранами в которой достигается путем введения дополнительного скалярного поля типа Бранса-Дикке. Это позволило рассмотреть эффект электростатического самодействия вблизи дефектов и показать, что заметное влияние дополнительного измерения на рассматриваемый эффект наступает на расстояниях, которые ничтожно малы по космологическим меркам. Если же рассматривать систему дефект-заряд как некоторую игрушечную модель, то, возможно, полученные результаты являются некоторым аргументом в пользу той точки зрения, что искать дополнительные измерения нужно в явлениях микроскопических масштабов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Randall L., Sundrnm R. Large mass hierarchy from a small extra dimension // Phys.Rev.Lett., 1999, v. 83, p. 3370-3373.
2. Goldberger WD., Wise M.B. Modulus stabilization with bulk fields / / Phys.Rev.Lett., 1999, v 83, p. 4922-4925.
3. Randall L., Sundrum R. An alternative to compac-tification // Phys.Rev.Lett., 1999, v. 83, p. 4690-4693.
4. Волобуев И.П., Смоляков М.Н. Точные решения для линеаризованной гравитации в модели Рэндалл-Сундрума // ТМФ, 2004, т. 139, № 1, с. 12-28.
5. Grats Y., Rossikhin A. Vacuum polarization near cosmic string in RS2 brane world // Mod.Phys.Lett. A, 2002, v. 17, p. 1207-1214.
6. Грац Ю.В., Дмитриев В.В., Россихин АА. Глобальный монополь в мире с одним дополнительным измерением / / Нелинейный мир, 2005, № 1-2, c. 48-53.
7. Grats Yu.V., Dmitriev V.V. Gravitational field of topological defects in the Rendall-Sundrum model // Grav. and Cosmol., 2006, v. 12, p. 21-28.
8. Грац Ю.В., Дмитриев В.В., Михайлов А.С. Гравитационное линзирование в модели Рендалл-Сундрума с двумя бранами // Электронный журнал “Исследовано в России”, 229/061011, с. 2189-2198.
9. Grats Yu.V., Dmitriev V.V., Mikhaylov A.S. Selfinteraction in RS1-model // Grav. and. Cosmol., 2006, v.12, № 2-3(46-47), p. 155-158.
10. Cho I., Vilenkin A. Vacuum defects without a vacuum // Phys.Rev. D, 1998, v. 59, p. 021701-1-021701-4.
11. Cho I., Vilenkin A. Gravitational field of vacuumless defects // Phys.Rev. D, 1999, v. 59, p. 063510-1-063510-6
12. DeWitt B.S., Brehme R.W Radiation damping in a gravitational field // Ann.Phys. (New York), v. 9, p. 220-259.
13. Hobbs J.M. Vierbein formalism of radiation damping // Ann.Phys. (New York), 1968, v. 47, p. 141-149.
14. Vilenkin A. Self-interaction of charged particles in the gravitational field // Phys.Rev. D, 1979, v. 20, p. 373-380.
15. Smith A.G., Will C.M. Force on a static charge outside a Schwarzshild black hole // Phys.Rev. D, 1980, v. 22. p. 1276-1282.
16. Leaute B., Linet B. Electrostatics in a Reissner-Nordstrom spacetime / / Phys.Lett. A, 1976, v 58, p. 5-11.
17. Leaute B. Electromagnetisme dans l’espace-temps de Kerr // Ann.Inst.Henri Poincare, Sect. A, 1977, v. 27. p. 167-173.
1-2 НОМЕР | ТОМ 2 | 2010 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
БЕЗВАКУУМНЫЕ ДЕФЕКТЫ В МОДЕЛЯХ РЭНДАЛЛ-СУНДРУМА
18. Bezerra de Mello E.R. Self-forces on electric and magnetic linear sources in the spacetime of a cosmic string // Phys.Rev. D, 1995, v. 51, p. 7140-7146.
19. гальцов Д.Б., грац ю.Б., лаврентьев АБ. Поляризация вакуума и топологическое самодей-ствие заряда в мультиконическом пространстве // Ядерная физика, 1995, т. 58, c. 570-576.
20. Grats Yu.V., Garcia A. Topological interactions in (2+1) gravity // Class.Quantum Grav, 1996, v. 13, p. 189-197.
21. Bezerra de Mello E.R., Bezerra V.B., Grats Yu.V. Self-forces in the spacetime of mutiple cosmic strings // Class.Quantum Grav., 1998, v. 15, p. 1915-1925.
22. Грац Ю.Б., Россихин А.А. Электростатика на локально-плоском пространстве с коническими особенностями // ТМФ, 2000, т. 123. с. 150-162.
23. Хуснутдинов Н.Р. Эффекты самодействия частиц в гравитационном поле // УФН, 2005, т. 175, № 6, с.603-620.
24. Aref eva I.Ya., Ivanov M.G., Muck W, Viswanathan
K.S., Volovich I.V. Consistent linearized gravity in brane backgrounds // Nucl.Phys. B, 2000, v. 590, p. 273-286.
25. Шилов Г.Е. Математический анализ: второй специальный курс. - М.: Наука, 1965, с.327.
26. Mikhaylov A.S., Mikhaylov Yu.S., Smolyakov M.N., Volobuev I.P. Constructing stabilized brane world models in five-dimensional Brans-Dicke theory // Class. Quantum Grav., 2007, v. 24, p. 231-242.
27. Mikhaylov AS., Mikhaylov Yu.S., Smolyakov M.N., Volobuev I.P. Gravity in a stabilized brane world model in five-dimensional Brans-Dicke theory // arX-iv: hep-th/0812.2699v1.
28. Боос Э.Э., Болобуев И.П., Кубышин ЮА, Смоляков М.Н. Эффективные лагранжианы в модели Рэндалл-Сундрума // ТМФ, 2002, т. 131, № 2, с. 216-230.
Грац ^Эрий Владимирович,
действительный член РАЕН, д.ф.-м.н., профессор, МГУ им. М.ВЛомоносова, физический факультет 119991 Москва, Ленинские горы, д.1, стр.2, тел.: (495) 939-5389, e-mail: [email protected]
Михайлов Алексей Сергеевич,
аспирант, МГУ им. М.ВЛомоносова, физический факультет 119991 Москва, Ленинские горы, д.1, стр.2, тел.: (495) 939-5389.
РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2010 | ТОМ 2 | НОМЕР 1-2
ГРАЦ Ю.В., МИХАЙЛОВ А.С.
МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
VACUUMLESS DEFECTS
IN THE RANDALL-SUNDRUM MODELS
Grats Yu.V., Mikhaylov A.S.
Lomonosov MSU, Department of Theoretical Physics,
Leninskie gory, 1, b.2, 119991 Moscow, Russia tel. +7(495) 939-5389, e-mail: [email protected]
We investigate linearized gravity in the Randall-Sun-drum models with the so-called vacuumless defect (cosmic string or global monopole) imbedded into the brane. We consider Randall-Sundrum model with one brane (RS2), unstabilized model with two branes (RS1) and the model stabilized by the Brans-Dicke field. Our results are applied for the investigation of the peculiarities of topological self-action effects on a point charge held near defect which are induced by the extra dimension.
Keywords: Randall-Sundrum models, topological
defects, self-action
УДК 530.12: 531.51
Bibliography — 28 references Received 06.10.2010
1-2 НОМЕР | ТОМ 2 | 2010 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
