Гравитационное линзирование на бране Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.12: 531.51

ГРАВИТАЦИОННОЕ ЛИНЗИРОВАНИЕ НА БРАНЕ

Ю. В. Грац, В. В. Дмитриев

(.кафедра теоретической физики) E-mail: grats@string.phys.msu.ru

Получено выражение для угла отклонения света в гравитационном поле глобального монополя, вложенного во Вселенную Рэндалл-Сундрума. Показано, что угол отклонения зависит от характерного параметра модели ft, и, таким образом, возникает принципиальная возможность получения ограничений на этот параметр из данных астрономических наблюдений.

Введение

Популярные в последнее время модели мира на бране основаны на гипотезе, что наш мир является гиперповерхностью (браной), вложенной в некоторое многомерное фундаментальное пространство (см. обзор [1], а также процитированную в нем литературу). Число дополнительных измерений, а также их характерный размер в различных моделях могут заметно отличаться. Вместе с тем, как правило, предполагается, что этот размер достаточно велик, и дополнительные измерения могут в принципе быть обнаружены в планируемых в недалеком будущем экспериментах.

В работе рассматривается Вселенная Рэн-далл-Сундрума второго типа (НЭ2-модель) с помещенным на брану глобальным монополем. Исследуются особенности эффекта гравитационного линзи-рования, которые обусловлены наличием дополнительного измерения. Выбор объекта исследования обусловлен тем, что глобальный монополь является одним из наиболее интересных с точки зрения космологии топологических дефектов, и тем, что с эффектом линзирования связываются основные надежды на обнаружение топологических дефектов в наблюдаемой части Вселенной. Аналогичный процесс в поле другого важного для космологии типа дефектов, космической струны, был рассмотрен в работе [2].

Гравитационное поле монополя на бране

В этом разделе приведем основные результаты работы [3], в которой исследовалось гравитационное поле глобального монополя, помещенного на брану мира Рэндалл-Сундрума с одним бесконечным дополнительным пространственным измерением [4].

Прежде всего отметим, что, поскольку в рамках рассматриваемой модели предполагается, что формирующие монополь поля Стандартной модели локализованы на бране, при нахождении метрики монополя в линейном приближении в качестве его тензора энергии-импульса следует взять выражение,

которое этот тензор имеет в пространстве Минков-ского [5]. В декартовых координатах его неравные нулю компоненты имеют вид

¿оо = |, ^ = /?2=*гУ, и= 1,2,3,

(1)

где 7} — энергетический масштаб спонтанного нарушения симметрии, порождающего рассматриваемый дефект.

При наличии материи на бране метрика всего пятимерного ЯБ2 -пространства может быть представлена в виде (подробнее см. [6])

ds2 = g^dx^dx" + 2NIJdxlidy + (1 + ф) dy2

где

gfiV — е v + hfj.v) >

x!Ji — координаты на бране (р, v,... = 0, 1,2,3), координата у соответствует дополнительному измерению, gfn,(x,y) — метрика на времениподобной гиперповерхности у = const (брана локализована в точке у = 0), г)ц„ = diag(—1, 1, 1, 1), a k — характерный параметр модели, который однозначно определяет входящие в действие пятимерную космологическую постоянную и натяжение браны [4].

Можно показать [6], что при наложении калибровочных условий

sgn у sgn у Nfi =--51-К/л' Ф=--—h,

8k

4k

h'i1 =0

где /г = гГк^, а /г^ = /г^ - — бесследовая

часть /г^, уравнение для линейных возмущений метрики приобретает вид

ду (e^cyv)-2ksgny e-2k\y\dyh^ + nh^ =

= — 16ттG58(y)

L[iv '

Vfj-f '

djA ,

а для следа h справедливо соотношение пы 32G§k

ПЛ1у=0 = —3—

, (2)

где □ = ди&\ G5

пятимерная гравитацион-

ная постоянная, которая связана с гравитационной постоянной на бране соотношением = кй^, а г =

На поверхности браны при у = 0 решение уравнений (2) и (3) может быть представлено в виде [3]

3„2

h00(x) =

кц(х) =

16G47T TJ

3k~ 8 G47tV 3k

d3q eiqx K2(q/k)

(2тг)3 q2 Mq/kY

эщх

' d3q (2vr)3

mj\ K2(q/k)

q2 J Mq/kY

остальные компоненты равны нулю, а 128G4vrV d3q eictx

h{x) =

(2vr)3 q3 '

Переходя к сферическим координатам, получаем

hoo(R) =

hRR{R) =

SuG^q2 3k

8яС4Г12

3k

dq

о 00

sin(qR) K0(q/k)

, ,2k sinf qR)

K2(q/k) ( sin (qR) — qRcos(qR)

Mq/k) hee(R) = ^tR2

3k

qZR*

, 4k sin(qR) | K2(q/k) dq{ q qR +Kt(q/k)X

x

• sin (qR) + qR cos (qR ) + q2R2 sin (qR )

q3R3

htfJR) = h00(R) sin2 в.

Метрику монополя на бране можно привести к более удобному для исследования виду, если ввести новую радиальную переменную г, которая связана с R соотношением

hee(R)+R2= [l-8G47nf(l +fi(kr)) В терминах новой радиальной координаты

ds = -dt2

dr2

\-m^f2(kr)

"l - тАщ2(\ +fi(kr))} r2dtt, (4) где функция f\ определяется уравнением

dx[xfi(x)]

dq

sin(qx) — qx cos(qx) Ko(q)

qx K\ (q)

0

с граничным условием xf\(x)\x^too = 0, a

Ш =

dq

sin (qx) Ko(q) qx K\ (q)'

Полученные соотношения позволяют показать, что для интересных с точки зрения космологии (см. ниже) больших значений радиальной координаты (г» l/k)

1 lni2&r)

№r) = -w?(2\n(2kr)+l), f2(kr) = ^l.

(5)

Отсюда видно, что при г —)■ ос полученная метрика переходит в соответствующее решение, которое справедливо в четырехмерном случае. Однако в отличие от стандартной теории в мире на бране гравитационный потенциал монополя не равен нулю и на больших расстояниях ведет себя как ln(2kr)/k2r2.

Уравнения геодезических. Эффект линзы

Полученные результаты позволяют исследовать движение свободно падающей массивной частицы или фотона в статическом гравитационном поле рассматриваемого вида.

Записывая линейный элемент (4) в виде

ds2 = -dt2A(r) + dr2 + B(r)dtt2,

A(r) = I - 8nG4<n2f2(kr), B(r) = r2 ^1-8^4^(1 -

(6)

находим, что отличные от нуля символы Криетоф-феля равны соответственно

1 Л'

г' _/)' г< __

1 и — п71 ' 1 rt — п л

2 А

■pr _ 1 р/

Lee — 2 '

ч>ч>

TL. = -^B'sm2e, Г-? -

]_В>_ 2 ~В'

ipr

=

Ч>Ч>

ув

Чг 2 В ' sin б cos б,

-Е, (7)

где штрих означает производную по г. Подставляя их в уравнения геодезических и учитывая, что в силу сферической симметрии поля монополя можно считать, что орбита рассматриваемой частицы лежит в экваториальной плоскости в = ж/2, получаем интегралы движения

dp dp \ир / А В

где р — геодезический параметр, который выбран таким образом, чтобы первый из интегралов движения был равен единице, а / играет роль углового момента на единицу энергии частицы.

Из полученных соотношений следует, что ds2 = —Е dp2. Таким образом, Е > 0 для массивных частиц и Е = 0 для фотонов. Кроме того, частица может достигать радиуса г, если

/2

1

>

■Е.

А(г) ' В(г)

Для принятых в рамках рассматриваемой модели значений параметров (k-1 < 1 мм и G^q2 ~ 10^6)

в задаче рассеяния типичнои является ситуация, когда минимальное расстояние между частицей и ядром монополя удовлетворяет неравенству Ь2гтт ^ Это связано с тем, что в наблюдаемой части Вселенной может находиться не более одного монополя [5], а расстояние между наблюдателем и монополем — это величина порядка г^/й^2.

При этом реализуются неограниченные траектории, а (1 — Е) играет роль квадрата скорости частицы на бесконечном удалении от монополя.

Из (7) непосредственно следует, что

В2 В2Е АР

dtp) ^

откуда, удерживая в правой части полученного равенства слагаемые первого порядка по б^2, а также используя (5) и (6), для больших расстояний 1 /к), получаем

Ф

ж 1 д 1

°°) = ±2±2д17

тг/2

dtp jevrG^2/2

AnG^rf-

(1 — Е) cos <р ■

2 1

3k2

(1-Е) cos2 ip ) In

2 kJ

или

где

oes

= ±¡(1

£ = 4 ki¡ G¡ ■

2irq2G4 (3 — E)

Ш

/2

In

VI — E cos <p

4 kJ

(8)

(9)

Уравнение (8) описывает отклонение частицы на угол те.

Рассмотрим полученный результат подробнее в случае, когда движущейся частицей является фотон (эффект линзы). Пусть d — расстояние от наблюдателя до монополя, а Ь — от монополя до источника. Тогда если наблюдатель находится на линии источник-монополь, то он увидит окружность с угловым размером

'ф = 2шТ^—. (10)

г L + d

Подстановка (9) в (10) с учетом того, что в низшем порядке по гравитационной постоянной угловой момент можно записать в виде J = ■фd/2, приводит к нелинейному уравнению для угла 'ф. Последнее допускает приближенное решение, если учесть, что расстояние между монополем и наблюдателем заведомо удовлетворяет неравенству d^> 1/М?4^2. При этом мы получаем, что с принятой точностью

'ф = 8ж G/^rf

L

L + d

L + d An2G4'q2k2d2L

x

■ / i6<7r2G4í?2ML\ П V L + d )

■ (ID

Можно также показать, что если наблюдатель находится на расстоянии я от линии иеточник-мо-нополь, но внутри конуса с углом раствора 2те за монополем, то он увидит два изображения на угловом расстоянии, которое теперь определяется из соотношения

1

1

L + d ireL

и оказывается одного порядка с выражением (11).

Полученные нами выражения отличаются от аналогичных результатов стандартной четырехмерной космологии [5] наличием члена, который зависит от параметра модели к. Связанные с существованием дополнительного измерения поправки существенно зависят от расстояния и ведут себя приближенно как l/d2.

Заключение

Гравитационное линзирование дает нам уникальный способ обнаружения в наблюдаемой части Вселенной таких экзотических объектов, как космическая струна и монополь. В статье мы рассмотрели эффект линзы в случае, когда линза порождается глобальным монополем, вложенным в брану во Вселенной Рэндалл-Сундрума второго типа. Мы показали, что, хотя поля Стандартной модели и, в частности, сам монополь локализованы на бране, наличие пятого измерения накладывает отпечаток на характер движения массивных частиц и света вблизи монополя. Как и в случае четырех проетран-етвенно-временных измерений, либо монополь на бране в зависимости от взаимного расположения источника света, монополя и наблюдателя порождает двойное изображение, либо изображением точечного источника является окружность. И в том и в другом случае угловые размеры изображения зависят от параметра модели к, и тем заметнее, чем ближе к монополю проходят лучи света.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 04-02-16476).

Литература

1. Рубаков В.А. И УФН. 2001. 171, № 9. С. 913.

2. Davis S.C. П Phys. Lett. В. 2001. 499, N 1-2. P. 179.

3. Грац Ю.В., Россихин A.A. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2004. № 6. С. 11 (Moscow University Phys. Bull. 2004. N 6. P. 12).

4. Randall L„ Sundrum R. // Phys. Rev. Lett. 1999. 83, N 23. P. 4690.

5. Barrióla M„ Vilenkin A. // Phys. Rev. Lett. 1989. 63, N 4. P. 341.

6. Aref'eva I.V., Ivanov M.G. et al. // Nucl. Phys. В. 2000. 590, N 1-2. P. 273.

Поступила в редакцию 18.10.04