Генерации фермионной массы с участием фермионов Калуцы-Клейна под влиянием калибровочного поля в модели с 2+1 измерением Текст научной статьи по специальности «Физика»

Генерации фермионной массы с участием фермионов Калуцы-Клейна под влиянием калибровочного поля в модели с 2+1 измерением

В. Ч. Жуковский l'a, Е.А. Степанов1

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а zhukovsk@phys. msu. ru

Статья поступила 28.07.2011, подписана в печать 05.10.2011

Рассмотрена генерация массы на двумерной бране в трехмерной модели с четырехфермионным взаимодействием в присутствии внешнего калибровочного поля А3. В рамках данной модели генерируемая масса получается легче масс калуца-клейновских мод, что указывает на возможность решения проблемы иерархии масс в реалистических 4-мерных моделях. Получена зависимость эффективного потенциала и константы связи от параметров модели, таких как радиус компакти-фикации, калибровочное поле и параметр фазового смещения.

Ключевые слова: хиральный конденсат, модель Калуцы-Клейна, компактификация, проблема иерархии масс.

УДК: 539.12.01. PACS: ll.30.Qc, ll.30.Rd, 12.38.Mh, 12.39.-х, 21.65.-f.

Введение

Одной из проблем многомерных теорий является механизм, благодаря которому дополнительные измерения оказываются скрытыми. Оригинальной идеей Калу-цы-Клейна является то, что дополнительное пятое измерение компактифицировано с тем, чтобы описать физические процессы в четырехмерном пространстве-времени нашего мира [1]. В таком случае при изучении обычных физических явлений в пределе малого радиуса компактификации R -¥ 0 пространство-время выглядит как четырехмерное. Согласно распространенной до недавнего времени точке зрения, масштаб компактификации должен быть порядка планковского. На план-ковских масштабах (/ ~ 10^33 см, соответствующая энергия Mpi ~ 1019 ГэВ) дополнительные измерения должны быть ничтожного размера R ^ 10"17 см и их непосредственное обнаружение представляется невозможным. Однако недавно стало уделяться внимание представлению мира на бране, в котором подразумевается локализация обычного вещества на трехмерном многообразии — бране, вложенной в многомерное пространство. В моделях мира на бране, таких как модели ADD [3] и Рэндалл-Сундрума [4], дополнительные измерения могут иметь большой или даже бесконечно большой размер, что могло бы приводить к экспериментально наблюдаемым эффектам. Таким образом, многомерные теории являются одним из способов объяснения иерархии масс элементарных частиц. Соответствующие частицы из разных поколений взаимодействуют одинаково, но массы их отличаются на порядки. Объяснение этому дается, например, в задаче [7], где была рассмотрена модель многомерного мира с одним дополнительным измерением.

В последние годы проявляется также интерес к теориям с небольшим количеством пространственно-временных измерений (так называемые низкоразмерные модели — см., например, [8, 9], а также [10, 11] и указанную там литературу). Теория поля в случае двух пространственных измерений давно признана важной

для понимания некоторых физических явлений, которые могут быть приближенно рассмотрены как плоские. Пример такой двумерной модели — графен, плоский одноатомный слой углерода, обладающий целым рядом необычных характеристик. В ряде недавних исследований [12, 13] были открыты аномальный эффект Холла, необычные свойства проводимости и ряд других интересных характеристик материала. В описании графена поведение электронов эффективно подчиняется уравнению Дирака, и в таком случае удобно рассматривать эту задачу в рамках квантовой теории поля для фермионов в пространстве 2+1 размерности. В частности, модели Намбу-Йона-Лазинио [14-16] и Гросса-Невё [17] хорошо подходят для рассмотрения подобных задач. В таких плоских системах модель Гросса-Невё обычно используется для исследования свойств симметрии, нарушения хиральной симметрии [18], а также для задач генерации массы фермионов [19].

В работе [21] была предложена модель, в которой существуют два типа фермионов: одни живут в пятимерном пространстве-времени и взаимодействуют с другими фермионами, живущими на 3-бране. Такое взаимодействие можно описать с помощью четырех-фермионного взаимодействия при обмене калуца-клей-новскими модами гравитона, что ведет к генерации динамической массы. С другой стороны, существует идея о том, что в качестве хиггсовской частицы может выступать дополнительная компонента калибровочного поля высшей размерности Л5. Юкавская связь, состоящая из четырехмерных скаляров и Л5, похожа на калибровочную связь (также называемую юкавской унификацией) и тоже может приводить к генерации массы. Ненулевое поле Л5 нарушает калибровочную и хиральную симметрию и играет роль хиггсовско-го поля [7]. В работе [22] модель [21] была рассмотрена в пятимерии, где высшая размерность была компактифицирована по кругу с радиусом компактификации Я и, кроме того, были добавлены периодические и антипериодические граничные условия для фермионов. Модель была расширена введением по-

стоянного калибровочного поля Л5, живущего в пятимерном пространстве, для исследования нарушения хиральной симметрии и получения динамической массы для легких фермионов при четырехфермионном взаимодействии с компонентой калибровочного поля Л5. В нашей работе мы исследовали похожую модель, но в размерности 2+1. В таком случае мы получили плоскую модель с браной размерности 1 + 1, т.е. нитью с пространственной размерностью 1. В данной модели мы рассмотрели генерацию массы, состоящей из компоненты калибровочного поля Лз и 20-конденса-та фермионов. Для этого мы получили эффективный потенциал взаимодействия как функцию фермионного конденсата и постоянного поля Л3 при периодических и антипериодических условиях на фермионы. Была вычислена критическая константа связи как функция радиуса компактификации и поля Лз. Кроме того, мы рассмотрели асимптотическое поведение константы связи g при радиусе компактификации й-40, что соответствует константе связи в двумерии, и й-4оо, что соответствует константе связи в трехмерии. В таком случае полученные значения конденсата, выраженные через константы для 20- и ЗО-случаев, получаются схожими с данными работы [23], с той лишь разницей, что в нашем случае используется другое обезразмеривание параметров.

1. Модель

Рассмотрим ЗО-фермионную модель, содержащую два типа фермионных полей Ф и Ь и калибровочное поле Ам в трехмерном пространстве. Ф-фермионы существуют в ЗО-пространстве, а Ь — на 20-бране. Лагранжиан модели аналогичен лагранжиану для 50-моде-ли [21]

= Ф/уМДиФ + {Lii>DllL + g2(ЩмL)(L%^íЪ)]5(x3),

(1)

где М = 1,2,3; ^ = 1,2; Бм = дм — ¿еАм. Здесь используется метрика (+, —, —) и 7-матрицы, заданные в виде

7

О

7

7

(2)

Проведем преобразование Хаббарда-Стратоновича, введя вспомогательное поле ам аналогично [21]. В результате получим

£(3) = Ф/7М%Ф + Ф73еЛ3Ф +

+ [Г/ ßL - + gaM®jML + h. c.l 5(x3). (4)

Далее используем приближение среднего поля, заменяя реальное поле его средним значением, тогда <<тм> =0, <£Г3> =а3 = -а.

Совершим хиральный поворот [24]:

Ф -i- ехр (¿^7з) Ф> L ->• ехр (¿^Тз) L (5) и, используя, что

ехр(^7з) =7з.

получим

£(3) = ф/ _ феЛ3Ф - /Ф<93Ф +

+ [I/ ßL - |ст|2 + (ёаШЬ + h. с.)1 5(х3). (6)

Компактифицируем третью размерность по кругу радиуса Я и зададим дополнительный параметр — фазовое смещение а:

+00 П. — — 00

тогда лагранжиан будет выглядеть так:

2тгЯ

(7)

£® =

dx3Cm =

=

п + а

еЛ3 Ф„Ф„ +

+оо

+ Ы — \а\2 + I т ^пЬ + Ъ.с. , (8)

\ п= — оо /

где т = Ыёа, N = — нормировочная константа.

2. Спектр масс

Теперь перейдем к матричному представлению для фермионных полей Ф

(Ф)г = (I, Ф0, Фь Ф_1, Фг. Ф—2> ■ ■ ■)■

Массовая матрица запишется (еЛ3 = а) в виде

/ О т* т* т* т* ■

О О

О)

М =

Представим калибровочное поле как конденсат со средним значением компонент <Лз> = const Ф О и <Л1> = <Лг> = 0. Тогда лагранжиан примет вид

£( 3) = ф7зел3Ф + Ф/уиамФ +

+ \Lhfd,L + g2 (ФrML) (17м Ф)1 5 (*3). (3)

т j - а

т т т

О О О

т* О

а+1 _

О

о

о

а— 1

О

о

О ^ ^а

V ■ ■ •7

(10)

Тогда эффективный лагранжиан можно записать в матричном виде

£<*/ = Ф/0Ф + ФЛ1Ф-Н2. (И)

а смешанную часть лагранжиана для фермионных полей в виде

£(2) = V

mixing / у

п + а R

еЛ3 Ф„Ф„ +

+ im Ф^ + h.c. ] =ФМФ. (12)

Запишем уравнение на собственные значения

. 2

где эффективный потенциал определяется стандартным образом:

<Ы(ЛГ - XI) = Щ

^ /=1

. а

Х + а^-

х (Л(л + а-|)

= 0. (13)

К нетривиальным решениям приводит равенство нулю только второй скобки.

Далее воспользуемся формулой

X] п2

п=1

У

(14)

и получим

Л (А + а - -

или

АД = т2Д2тг^ (тгД (Л + а - ^

(16)

Если считать аргумент котангенса малым параметром, то из предыдущей формулы имеем

тгЛЙ= (тг|от|й)2 1

откуда

А =

тгД (А + а - |)

а ^ аД ± л/{аЯ ^а)2 +4\т\2Я2 2Д

(17)

(18)

г =

[1>Ф] [2?Ф] [2?<т] [Ъо*]е'1"~хС,2). (20)

Интегрируя по фермионным полям, получаем

г =

(21)

или

Кл = И2

Кл = И'

г й2к (ЗД2

?1пёе1(М + /

Г 1-\пйе1{М2 + 1!г2).

(2тг)2 2

Отсюда с помощью формулы (13) найдем

(22) (23)

Кл = н2

' йкк ~л- Х

АТГ о

х 1п [(к эЩтгкЯ) + т2тгД сЬ(тгкК))2 +

+ {к2 - т4тг2Д2) зт2(тг(а - аД))]. (24)

Запишем уравнение щели, = 0:

Н2тгй (х + а - ^(тгД (А + а - = 0, (15) 1

л

' йкк

АтГ

к эЩтг^Д) + сЬ(тгд2 сЬ(тгкК) - ^ вт2М) {к эЩтг^Д) + сЬ(тгкЩ)2 +(к2^ вт2М)

= 0, (25)

где А = а - аЯ. График поведения эффективного потенциала при а = 0 изображен на рис. 1. Как видно,

при условии |т| <С 1/Д.

Из уравнения (18) видно, что генерируемая масса зависит от радиуса компактификации, параметра фазового смещения а и калибровочного поля а. Таким образом, мы можем получать различные значения массы, варьируя эти параметры. Заметим, что при условии а = 0 и а = 0 следует А = ±|т|. Таким образом мы получили массу для легких фермионов, много меньшую массы калуца-клейновских мод для фермионов в трехмерии. Следовательно, данный результат может рассматриваться как указание на одну из возможностей обоснования проблемы иерархии масс.

3. Эффективный потенциал модели

Вернемся к формуле эффективного лагранжиана модели в матричном виде

= ф/ $>Ф + ФМФ _ |сг|2. (19)

Производящий функционал нашей системы дается формулой

0.40

-2

-ЯА = 0.1, а = 0, аЛ-1 = 0

.........ЛЛ. = 0.1, а = 0, аЛ-1 = 1/2

---ЛЛ. = 0.1, а = 0, аЛ-1 = 3/2

0.5

1.0

1.5 2.0 2.5 тК

-1

Рис. 1. Зависимость эффективного потенциала от /яЛ^1 при нулевом значении параметра фазового смещения а. Эффективный потенциал имеет ненулевой экстремум (тЛ~ 0.1) при значениях поля а = 0, два экстремума при а = 3/2 и равный нулю экстремум при а = 1/2

эффективный потенциал имеет экстремум (тД~ 0.1) при значениях поля а = 0, два экстремума при а = 3/2 и экстремум в нуле при а = 1/2.

4. Критическая константа связи

Вычислим критическую константу связи, которая определяется из условия |<т| = 0:

' (Иг эЩтгуУ?) сЩтгуУ?) 4тг 5Ь2(7г^) + 5т2(7гЛ)

= 0,

(26)

где введено обрезание поскольку интеграл расходит ся на нижнем пределе при А—¥ 0. Вычисляя получив шийся интеграл, получаем

?, 8тг2ЙЛ

1п

При Я А оо имеем

еЬ(2лУ?А) — С05(2л-Да — ¿то) сЫ2жй(1) — соМ2жйа—2жа)

Атт

Т'

(27)

(28)

что соответствует поведению критическои константы в ЗО-пространстве [23]. Переходя для удобства временно к безразмерным переменным

ЯА^Я,

Т £

л

получим

8тг2й

1п

о11(2тгД) — С05(2л-Да/Л—¿то) Л(2л-Д£) —С05(2ггДа/Л—2гта)

(29)

(30)

На рис. 2 и 3,а изображена зависимость критической константы связи при различных значениях параметра обрезания На рис. 2,а при значении аА^[ = 1 критическая константа связи ведет себя как затухающая осциллирующая функция, стремящаяся асимптотически к критической константе связи при аА^[ =0. На рис. 2,6 при достаточно малом значении параметра обрезания £ = 0.001 график критической константы связи получается негладким и на нем имеются особенности — острия. При более реальном значении

этого параметра £ = 0.1 график оказывается похожим на поведение константы в пятимерии [22]. На рис. 3,6 параметр обрезания выбран равным нулю и его роль здесь выполняет параметр смещения а.

5. Динамическое поле а

Теперь рассмотрим случай, когда а — динамическая переменная. Тогда экстремум эффективного потенциала дается уравнением щели

-т^1 = 0 для поля а:

л

' йкк

— зт(2тг(а - аЯ))тгЯ{!г2 - тА-к2 Я2) х х [{к эЩтгкЯ) + т2жЯ сЬ(тгкЯ))2 +

+ {!г2 ^тАтг2Я2) зт2(тг(а ^ ай))] = 0,

откуда находим, что экстремум 5т(2-7г(а — аЯ)) =0, или

а

аЯ =

2'

где п — целые числа. Тогда а =

2а—п 21} ■

(31)

имеет место при

(32)

что эквивалентно

2а — 1

при

решению а = | при четных п = 2к и а = нечетных п = 2к + 1. В частности, при периодических граничных условиях (а = 0) а = 0 и я = — при

2тга) = 1,

антипериодических (а = |) а = 0 и а = . При четных значениях п, со&(2тгЯа —

критическая константа связи выглядит так: о 8тг2Й

\п

сЫ2лЯ)-1 сЫ2ТТЯО-1

(33)

При нечетных значениях п, со&(2тгЯа — 27га) = критическая константа связи выглядит так:

, 8тг2й

1п

о11(2тгД) I 1 с11(2тгДО I 1

■1,

(34)

аЛ_1= 1, а = 0, ^ = 0.1

---аЛ-1 = 0, а = 0, ^ = 0.1

4 5 6 7 8 9 НА

V 1

V ^

аЛ_1= 1, а = 0, ^ = 0.1

---аЛ_1=1, а = 0,^ = 0.001

9 ДЛ

Рис. 2. Зависимость g¡:A от Я А: а — при различных параметрах поля а. При значении а А 1 = 1 критическая константа связи ведет себя как затухающая осциллирующая функция, стремящаяся при НА —у оо к асимптотической кривой, соответствующей критической константе связи при аЛ^1 =0; б — при различных параметрах нижнего обрезания интеграла При достаточно малом значении параметра нижнего обрезания (£ = 0.001) график критической константы связи получается негладким и на нем имеются

особенности— острия

-аЛ_1= 0, а = 0, ^ = 0.1

---аЛ-1 = 0, а = 0, ^ = 0.01

8 9 RA

gcЛ 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

-аА 1 = 0, а = 1

---аЛ-1 = 0, а = 1/2

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 RA

Рис. 3. Поведение gcA: а — при различных параметрах обрезания £ и а = 0, а = 0; б) — при значении параметра обрезания £ = 0 и различных граничных условиях: периодических (а= 1) и антипериодических

<«=5)

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 RA

9 RA

Рис. 4. Поведение |£Л при значении поля а = ^, при котором эффективный потенциал модели имеет экстремум (а), и поведение g2A при различных параметрах тА (б). Выбирая различные значения для тА и радиус компактификации, можно получить соответствующее значение критической константы модели, а следовательно, и разные массы, что может решить проблему иерархии масс

Оценим генерируемую массу при этих критических значениях поля а .

Для четных значений п имеем а- § = 0 и получаем

\Я = ж\тЩ2 (35)

Нас интересуют легкие фермионы с массами Л <с ^, в этом случае

или

Л R =

\т.Щ

или Л = \т\.

Для нечетных значений п имеем а и получаем

1

XR = тг\т.Щ1 ctg (я- |ЙЛ - -Для (я- (RX - j) с 1 получим

АЯ= 1тЩ2

XR

(36)

" 2Ä

(37)

ХК = \ + \1тв + 1шЩ2 4 + (39)

Таким образом, = Тем самым мы получаем

массу меньшую, чем калуца-клейновские моды А„ = |.

6. Асимптотическое поведение константы связи

Вернемся к уравнению щели (25), положив А = 0 и выразив все через т {&= ^\f2irR ):

л

g2 chi-rrkR)

' k dk

4тг k sh(nkR) + m2TrR сЦтгkR)

= 0.

(40)

Когда R мало, т. e. mR с 1, и в то же время АЛ » 1

(т. е. считаем, что ^ = const = g-2 — константа связи в двумерии), k дает основной вклад при k~m. Этот

случай соответствует компактификации 3D ->• 2D. Сле

м

2

довательно с\\{-ккй) и 1 + и sh(-7r^i?) и irkR, тогда

л

1

откуда

' k dk

1 +

(■vkR)2

4ж k4R + irRm2 +

8TT(TTR + Ш2ТГ3Й3)

= 0,

/ A2+A2m2ir2R2 I i 2 m2

Поскольку mR <C 1, получим

2тг

ATTR

или

m = Ae^/g2, что согласуется с результатом [23]

т =

(3

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

для двумеризоваииои модели с точностью до очевидной замены обозначений. Сравнивая эффективный потенциал задачи [23]

Veff =

1

(2тг)2

d2k \og{k2 + ф2) + -^-ф2 (46)

с нашим результатом, с очевидностью находим, что | выбрано как параметр обрезания интеграла (что

соответствует А в нашей модели), g в модели [23]

2

равно ¿д нашей модели, а ф равно ^ нашей модели.

График зависимости g2A. от RK при различных значениях параметра т/А показан на рис. 4,6. В пределе больших ЙА верхняя кривая стремится к бесконечности, а нижняя стремится к 4-7Г. Из графика видно, что при малом радиусе компактификации (й < 1) значение констант связи при разных т различно, тогда как при R —¡- оо критическая константа связи стремится к своему асимптотическому значению (28). Если рассмотреть константу связи, лежащую немного выше критической (т = 0.1А), то при малых значениях R мы можем получить различные малые значения констант связи и, следовательно, различные малые массы. Таким образом, можно объяснить иерархию масс разных поколений частиц. Зависимость константы связи от малого радиуса компактификации также дается формулой (43).

2

При R ^ оо имеем s\i{-KkR) -¥ he7rkR и ch(irkR) -¥

1 „TrkR

т. е. это величины одного порядка, тогда можно воспользоваться логарифмическим приближением. Действительно, сделаем замену ^гkR -¥ х:

irAR

dsh(x)x

4ir2R

m2ir2R2

x sh(jc) + m2Tr2R2 ch(x) g2

(47)

откуда при условии R —t оо (будем считать, что g = const и m2R = const = M3) получим

4ж

А - m2Rir'

(48)

или

т. е.

m2R = М3 = — - Д.

ж g2'

мз = 4 ( i - i

(49)

(50)

что также согласуется с результатом [23] для трехмерного предела.

7. Связь параметра обрезания £ с конденсатом т

В полученном результате для критической константы связи положим а = 0, тогда

, 8^г2R (51)

j сЬ(2тгД) — cos (2-ггД J ) ' chprff) —cos

После преобразования этого выражения получим , 8тг2й

При R ^ 0

. i сЬ(2тгД) — cos (2-ггД |-) . П I ch(2rf|-)-cos(2irfif) +

8тг2й

(52)

(53)

Устремляя £ —¡- 0 (рассматриваем инфракрасный предел) и проводя сравнение с выражением для асимптотики константы связи, получим а2 ~ 2т2. Откуда видно, что поле а в выражении для критической константы связи играет роль конденсата т в выражении для обычной константы связи. Если же положить а-¥ 0, то получим £2 ~ 2т2, откуда следует, что роль параметра обрезания в обычной константе связи играет конденсат т. При Я -¥ оо

Поскольку £ — малый параметр инфракрасного обрезания, то он мал по сравнению с А, и тогда в пределе Я-¥ оо

о АтГ &=Т,

что согласуется с результатом (28).

(55)

Заключение

В настоящей работе мы изучили процесс динамического образования массы фермионов в ЗО-модели с одним дополнительным измерением при взаимодействии двух типов фермионов, живущих в трехмерии и на 20-бране, с учетом воздействия калибровочного поля Л3 .

Если поле Л3 рассматривать как внешний параметр, то динамическая масса оказывается осциллирующей функцией (при аф 0) с амплитудой, уменьшающейся с ростом радиуса компактификации. При этом динамическая масса становится независимой от калибровочного поля при большом радиусе компактификации и стремится к постоянному значению (см. рис. 2).

Если же рассматривать калибровочное поле Л3 как динамическую переменную, то экстремальное значение калибровочной переменной приводит к тривиальному

значению константы связи (рис. А, а). Следует отметить, что при условии (32) генерируемая масса (18) получается порядка Л ~ ^ ПРИ п=\, что равно калибровочной константе при антипериодических граничных условиях а = |, а = |. Тем самым мы получаем массу меньшую, чем массы калуца-клейновских мод Хп = .

Если рассмотреть график константы связи (28), лежащий немного выше критической величины {т = 0.1А), то при изменении R в области малых значений мы можем получить различные малые значения констант связи, а следовательно, и различные малые массы. Таким образом можно объяснить иерархию масс разных поколений частиц. При этом зависимость константы связи от малого радиуса компактификации дается формулой (43).

Авторы выражают благодарность А. В. Борисову и А. Е. Лобанову за ценные замечания и участие в плодотворной дискуссии при проведении исследования.

Список литературы

1. Kaluza Th. 11 d. Preuss. Akad. d. Wiss. Sitzungaber. 1921.

P. 966.

2. Klein О. 11 Zeitsch. f. Phys. 1926. 37. P. 895.

3. Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Duali G.R. 11 Phys. Lett.

1998. B429. P. 263.

4. Randall L., Sundrum R. 11 Phys. Rev. Lett. 1999. 83.

P. 3370.

5. Zhukovsky V.Ch., Klimenko K.G., Khudyakov V.V.,

Ebert D. 11 JETP Lett. 2001. 73. P. 121.

6. Zhukovsky V.Ch., Klimenko K.G., Khudyakov V.V. 11

Theor. Math. Phys. 2000. 124. P. 1132.

7. Sundrum R. // arXiv:hep-th/0508134v2 17 Nov 2005.

8. Zhukovsky K.V., Eminov P.A. 11 Phys. Lett. B. 1995. 359.

P. 155.

9. Жуковский К.В., Эминов П.A. 11 Ядерная физика. 1996.

59. С. 1265.

10. Жуковский Б.Ч., Разумовский A.C., Жуковский К.В. // Изв. вузов (Поволжский регион). 2003. 2. С. 80.

11. Zhukovsky V.Ch, Razumovsky AS., Zhukovsky K.V. 11 arXiv:hep-th/0402070.

12. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S. V. et al. 11 Nature. 2005. 438. P. 197.

13. Castro Meto A.H., Guinea F., Peres N.M.R. et al. // arXiv:0709.1163v2.

14. Nambu Y, Jona-Lasinio G. // Phys. Rev. 1961. 122. P. 345.

15. Klimenko K.G. 11 Z. Phys. 1988. C37. P. 457.

16. Rosenstein В., Warr В. J., Park S.H. 11 Phys. Rev. 1989. D39. P. 3088.

17. Gross D., Neveu A. // Phys. Rev. 1974. DIO. P. 3235.

18. Caldas H., Rudnei O. Ramos // Phys. Rev. 2009. B80. P. 115428.

19. Drut I.E., Dam Thanh Son // Phys. Rev. 2008. B77. P. 075115.

20. Caldas H. 11 Nucl. Phys. 2009. B807. P. 651.

21 .Abe H., Miguchi H., Muta Т. // Mod. Phys. Lett. 2000. A15. P. 445.

22. Ebert D., Zhukovsky V.Ch., Tyukov A. V. // Mod. Phys. Lett. 2010. A25. P. 2933.

23. Bietenholz W., Gfeller A., Wiese U.-J. 11 JHEP. 2003. 0310. P. 018.

24. Волобуев И.П., Кадышевский В.Г., Матеев М.Д., Мир-Касимов P.M. II Теор. и мат. физ. 1979. 40. С. 3.

25. Juan F. de, Cortijo A., Vozmediano M.A.H. 11 Phys. Rev. 2007. B76. P. 165409.

26. Vozmediano M.A.H., Katsnelson M.I., Guinea F. 11 Physics Reports. 2010. 496. P. 109.

27. Gonzalez J., Guinea F., Vozmediano M.A.H. 11 Nucl. Phys. 1993. B406. P. 771.

28. Aharonov Y., Böhm D. // Phys. Rev. 1959. 115. P. 485.

29. Gamayun A. V, Gorbar E.V. // Phys. Lett. 2005. B610. P. 74.

30. Ferrer E.J., Incera V. de la. 11 arXiv:hep-ph/0408229vl 20 Aug 2004.

31. Hosotani Y. Ц Phys. Lett. 1983. В 126. P. 309.

Fermion mass generation with Kaluza-Klein fermions and under the influence of gauge field in the 2+1 dimensional model

V.Ch. Zhukovsky' ", E. A. Stepanov 1

Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: a zhukovsk@phys.msu.ru.

In this article generation of mass on two dimensional brane in three dimensional model with four-fermion interaction including external gauge field A3 was considered. In the framework of this model the generated mass proves to be lighter than Kaluza-Klein modes, thus indicating to a possibility of solving the mass hierarchy problem. Dependence of the effective potential and the coupling constant on such characteristics of the model as compactification radius, gauge field and phase shift parameter was also obtained.

Keywords: chiral condensate, Kaluza-Klein model, compactification, hierarchy of mass problem. PACS: ll.30.Qc, 11.30.Rd, 12.38.Mh, 12.39.-x, 21.65.-f. Received 28 July 2011.

English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2012).

Сведения об авторах

1. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@phys.msu.ru.

2. Степанов Евгений Андреевич — аспирант; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: stepanov@physics.msu.ru.