Электромагнитное и гравитационное поля в 5-мерной модели расширенного пространства, их локализация и взаимодействие с веществом Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ И ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЯ В 5-МЕРНОЙ МОДЕЛИ РАСШИРЕННОГО ПРОСТРАНСТВА, ИХ ЛОКАЛИЗАЦИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВЕЩЕСТВОМ

1Андреев В.А., 2Ципенюк Д.Ю.

Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, http://www.lebedev.ru/ Москва 119991, Российская Федерация

2Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, http://gpi.ras.ru/ Москва 119991, Российская Федерация Поступила 11.12.2018, принята 21.1.2019 Представлена действительным членом РАЕН А.В. Андреевым

В рамках 5-мерной модели расширенного пространства рассматриваются электромагнитное и гравитационное поля. В качестве пятой координаты в ней используется действие. Показано, что в данной модели они объединяются в единое элекгром агнитно-гравитационное поле. Это поле обладает 10 компонентами, к обычным 6 полям Е и Н добавляются еще 4 компоненты: векторное поле G и скалярное поле Q. Построена система обобщенных уравнений Максвелла, которым удовлетворяют эти поля. Также найдено выражение для силы Лоренца, которая определяет взаимодействие этих полей с заряженными массивными телами. В рамках этой модели изучается вопрос о возникновении у фотона ненулевой массы и о его локализации. Ключевые слова: 5-мерное пространство, электромагнитное поле, гравитация, уравнения Максвелла, фотон, масса, локализация

PACS 11.10 КК, 03.50.-Z, 03.65. РМ_

Содержание

1. Введение (93)

2. Токи и потенциалы (95)

3. Поля напряженностей и обобщенная система уравнений максвелла (96)

4. обобщенная сила лоренца (98)

5. локализация полей и частиц (99)

6. заключение (101) литература (101)

1. ВВЕДЕНИЕ

Проблема объединения электромагнитного и гравитационного полей в одно единое поле обсуждается с конца 19-го века. Характерно, что все эти попытки были сделаны на пути построения геометрических моделей физических взаимодействий и интерпретации физики как геометрии в пространствах большего числа измерений. В конце 19 века немецкий математик Феликс Клейн [1] построил теорию Гамильтона-Якоби, как оптику в пространстве высшего числа измерений. Однако, в то время его идеи не получили развития. Новый всплеск интереса к проблеме геометризации физики был стимулирован созданием Общей теории относительности (ОТО) [2]. Были предприняты

попытки по аналогии с гравитацией описать и электромагнетизм в геометрических терминах. Их авторы не пытались создать новую модель, а старались расширить тем или иным образом уже существующую схему ОТО. Наибольшую известность получили модели Калуцы [3] и О. Клейна [4]. Также следует отметить работы Манделя [5] и Фока [6]. Характерно, что при этом им приходилось использовать 5-мерное пространство. Проблема физической интерпретации пятой координаты удовлетворительного решения не получила. В дальнейшем многие ученые, в том числе Эйнштейн, де Бройль, Гамов, Румер [7] пытались развить данные подходы, но каких-то интересных результатов им получить не удалось. На наш взгляд, причина заключается в том, что их работы основывались на формальных обобщениях уже имеющихся моделей, без привлечения новых физических гипотез.

Отдельно следует упомянуть и о теории калибровочных полей, как об одном из направлений геометризации физических взаимодействий [8]. В рамках этой идеологии и электромагнетизм, и гравитация, и другие

взаимодеиствия рассматриваются с единои геометрической точки зрения [9].

Позже, в целях создания теории элементарных частиц, стал развиваться другой подход к объединению гравитации с другими взаимодействиями.

На необходимость учета гравитационного поля при описании взаимодействия элементарных частиц было указано 50 лет назад К.П. Станюковичем [10] и М.А. Марковым [11]. Они выдвинули гипотезу о существовании тяжелых частиц — планкеонов и максимонов. Авторы исходили из предположения, что в природе существует три фундаментальные константы: постоянная Планка Ь, скорость света с и гравитационная постоянная О. Из этих величин можно составить выражения, имеющие размерности длины, времени и массы. Их называют длиной Планка I временем Планка и массой Планка т„,.

Р =]%О -10-33 sm,

Р =]- 10-43*ес,

тр1 = \1~рг-10" Яг• о

(1)

гг

-г, • (3)

Но с массой т можно связать и другой линейный параметр — гравитационный радиус Шварцшильда От

г =

Яг

(4)

с

В квантовой теории частице с массой т

соответствует комптоновская длина волны %

к =— • (2) тс

Эту длину волны можно ассоциировать с размером частицы, некоторым ее "квантовым радиусом". Если в формулу (2) подставить массу Планка тр, то окажется, что комптоновская длина волны совпадает с длиной Планка

к = 1т,

Согласно Общей теории относительности, если сферически-симметричное распределение вещества сжать до таких размеров, то оно сколлапсирует, образовав черную дыру. Поэтому сейчас считается, что величина тр1 является

максимальным значением массы элементарной частицы. Их и называют максимонами. Частицы с большими массами должны превращаться в черные дыры. Соответственно, и отвечающий им гравитационный радиус г можно считать минимальным возможным размером элементарной частицы.

Если в формулу (4) подставить массу Планка т, то она примет вид

(5)

Таким образом, гравитационный радиус максимона по порядку величины совпадает с длиной Планка.

В работе Ландау [12] были получены оценки для величины "радиуса" элементарных частиц, исходя из предела применимости электродинамических представлений в квантовой механике. Интересно, что "радиус" электрона при этом оказался равным нулю.

Именно такие соотношения обсуждались при попытке учесть гравитационные силы в процессах взаимодействия элементарных частиц. Данный подход предполагает изначальное существование частиц с большой массой покоя, и поскольку таких объектов мы не наблюдаем, непонятно, как его можно использовать для описания процессов, происходящих в лабораторных условиях.

Наш подход принципиально отличается от всех указанных и аналогичных им теорий. В основе Модели расширенного пространства (МРП) лежит физическая гипотеза, которая состоит в том, что масса (масса покоя) и сопряженная ей величина — действие (интервал) являются динамическими переменными, величина которых определяется взаимодействием полей и частиц. В этом отношении наша модель является непосредственным обобщением Специальной теории относительности (СТО), в СТО интервал и масса покоя частиц являются инвариантами, в МРП они могут меняться. В частности, фотон может приобретать массу, причем как положительную, так и отрицательную. Эта масса может появляться и меняться вследствие электромагнитного взаимодействия и порождать гравитационные силы. Именно данное обстоятельство и позволяет рассматривать

МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

гравитацию и электромагнетизм как единое поле.

Различные аспекты МРП изложены в статьях [13-17]. В данной работе мы даем систематическое изложение формализма электромагнитно-гравитационного поля, выводим обобщенную систему уравнений Максвелла, которой удовлетворяют его напряженности, и находим выражение для силы Лоренца, которая задает его взаимодействие с веществом.

2. ТОКИ И ПОТЕНЦИАЛЫ

Источником электромагнитного поля

служит ток. В традиционной формулировке электромагнитный ток описывается (1+3) вектором в пространстве Минковского М(1, 3) [18].

( г \ 2

р = (р, 3) =

Ро с

Ро V

в2 = Р = с2. (6)

Здесь р0{(, х,у, г) — плотность электрического заряда в точке (4 х, у, %) пространства М(1, 3), а р(г, х, у, £), ^(4 х, у, £), х, у, %) - локальная скорость плотности зарядов.

При переходе к расширенному пространству 6(1, 4) (1+3) вектор тока р следует заменить (1+4) вектором р. В соответствии с теми принципами, которые положены в основу развиваемой модели, дополнительная координата вектора р вводится таким образом, чтобы получающийся (1+4)-вектор был изотропен. Кроме того, мы хотим, чтобы наша модель описывала одновременно с электромагнитным и гравитационное поле, поэтому пятую компоненту тока следует определить так, чтобы она служила источником гравитационного поля.

Мы считаем, что источником единого электромагнитно-гравитационного поля служит частица, которая имеет и массу, и заряд. При этом мы предполагаем, что масса может не иметь заряда, но заряд всегда должен иметь массу. В нашей модели мы исходим из того, что заряд является величиной постоянной, и не меняется при преобразованиях из группы вращений ^(1, 4) расширенного пространства С(1, 4). А масса покоя, которая была скаляром по отношению к

группе Лоренца, является компонентой вектора по отношению к группе Ц1, 4).

Мы хотим получить 5-мерный вектора тока р как обобщение 4-мерного вектора тока р. Для этого ему надо приписать еще одну компоненту.

Вектор тока (6) по своей структуре похож на вектор энергии-импульса частицы, обладающей массой покоя. Разница между ними состоит в том, что в векторе (6) вместо массы покоя т0 стоит локальная плотность заряда р0. При переходе к расширенному пространству С(1, 4) от вектора энергии-импульса мы переходим к вектору энергии-импульса-массы, а при переходе от механики к электродинамике масса меняется на заряд. Но, поскольку мы хотим получить ток, который будет одновременно служить источником как электромагнитного, так и гравитационного поля, мы умножим каждую компоненту вектора энергии-импульса-массы на плотность заряда р0, сохраняя при этом плотность массы т. Для краткости мы будем обозначать плотность заряда буквой е. Таким образом, 5-мерный вектор тока, порождающий единое электромагнитно-гравитационное поле, имеет вид

(

р = Но, 3, 34) =

етс

ету

Л

, етс

(7)

Это изотропный вектор р2 = 0.

Уравнение непрерывности, как и в обычном случае, выражается равенством нулю 5-дивергенции 5-тока

у 3 = о.

^ дХ

1=0 Щ

Если заряд покоится, то непрерывности принимает вид

дт дт

— +-= 0.

Ы дхл

(8)

уравнение

(9)

Соотношение (9) можно интерпретировать как закон изменения массы покоя частицы за счет изменения свойств окружающей среды.

В обычной электродинамике из уравнения непрерывности следует закон сохранения заряда

андреев в.а., ципенюк д.ю.

МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

д_

Ы

1=

(10)

В левой части этого соотношения стоит интеграл по объему, а справа — интеграл по поверхности, ограничивающей этот объем.

В электро-гравидинамике имеет место закон сохранения величины, которая является произведением заряда на массу частицы, которая обладает этим зарядом. Этот закон имеет вид

— [у0ё¥ = - [- [— д^ : : дх.

(11)

тт 1 ^

тт л ■

П(5>4=— /

Здесь

+

+

Они объединяются в одно поле только тогда, когда масса т становится переменной и возникает зависимость от переменной

3. ПОЛЯ НАПРЯЖЕННОСТЕЙ И ОБОБЩЕННАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

По потенциалам (А, А, А, А, А) можно построить тензор напряжений

Р1к =

дА Л

В данном случае изменение величины произведения ет заряда на массу внутри некоторого объема определяется как потоком заряженных частиц через поверхность этого объема, так и изменением массы частиц внутри объема за счет их зависимости от координаты х4. Таким образом, у нас не нарушается закон сохранения заряда, поскольку в произведении ет меняется масса, а заряд остается постоянным.

Ток (7) порождает электро-гравитационое поле в расширенном пространстве 6(1, 4). Это поле задается 5-вектор-потенциалом А.

А = (А А А А А) = (А А А А А). (12)

Здесь и ниже мы пользуемся обозначениями t =

V' V' ~ V' 1/ ~ V' ~ V' Г ~ V'

л л2> 4'

Компоненты этого вектор-потенциала определяются уравнениями

дх, дх

(

; к = 0,1,2,3,4.

(17)

Ш =

Здесь

0 - Ех - ЕУ - Е - б

Ех 0 - Н Ну - Ох

Еу Н 0 - Н - О

Е - НУ Нх 0 - Ог

б Ох ОУ О 0

(18)

б = ^ = дЛ4

¿Л _ дЛ,

дхп дх.

ох=^=дг

дх1

Г17 дЛл

Оу = ^ 42 =

дЛ дх4 дЛ

дх2 дх4 дЛ4 дЛз

О = ^ = - 4 3

сдг дх

= Л

ду дЛ„

др дя

дя Л

(19)

дя

дЛ

(20)

(13)

(14)

(15)

(16)

Э,^ дх' ду* дг* ' ~ '

Отметим, что в том случае, когда зависимость от координаты s отсутствует и масса т, входящая в компоненты тока (7), является постоянной величиной, система уравнений (13)-(15) распадается на две независимые части. Уравнения (13), (14) задают обычные потенциалы электромагнитного поля, а уравнение (15) задает потенциал скалярного гравитационного поля. И эти поля существуют независимо друг от друга.

дх3 дхл дх дя

Приведем уравнения, которым удовлетворяют напряженности УМы будем их называть расширенной системой Максвелла. Обычная система уравнений Максвелла состоит из двух пар уравнений, которые имеют принципиально различную структуру. Их обычно так и называют, первая и вторая пара уравнений Максвелла. Расширенная система уравнений Максвелла также состоит из двух типов уравнений принципиально разной структуры, однако теперь их уже не по два, а больше, поэтому мы их будем называть не первой и второй парой, а уравнениями первого и второго типов.

Уравнения первого типа являются формальным следствием формулы (17), выражающей напряженности через потенциалы. Из ее вида непосредственно следует, что для любых трех индексов (г, ], М) выполняется соотношение

dFj дК dF

jk

дхк dxj

дх,.

= 0.

(21)

Справедливость уравнения (21) проверяется непосредственной подстановкой. Действительно, подставляя в уравнение (21) выражение (17) для напряженностей через потенциалы, имеем

д2 a

д2 a

j д Ak д2 A j +-k---— +

д2 a,.

д2 a,.

= 0.

дхк дх3 дхк дх1 дх3 дх1 дх] дхк дх 1 дхк дх 1 дх3

Таких уравнений у нас имеется столько, сколько существует различных наборов индексов (г,], к), т.е. число сочетаний из 5 по 3, что равняется 10. Рассмотрим теперь конкретные формы этих уравнений, пользуясь тензором напряженностей (18).

Если ограничиться наборами индексов, принимающих значения (0, 1, 2, 3), то соответствующие им 4 уравнения есть просто первая пара уравнений Максвелла

ШуН = 0, ~индексы (1, 2 3) (22)

Это одно уравнение, остальные 3, отвечающие наборам индексов (0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 2, 3), объединяются в одно векторное уравнение

тагЕ+- — = 0. (23)

с дг

Таким образом, первая пара уравнений Максвелла сохраняет свой вид. В расширенном пространстве 6(1, 4) к ним добавляются еще 6 уравнений. Три из них, отвечающие наборам (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4), можно объединить в одно векторное уравнение

rotG +dH = 0.

д^

(24)

Три другие тройки (0, 1, 4), (0, 2, 4), (0, 3, 4) дают три оставшиеся уравнения первого типа. Их также можно объединить в одно векторное уравнение

дЕ 1 дG п

— +--+ gradQ = 0.

д^ c дt

(25)

Таким образом, уравнения первого типа, входящие в расширенную систему уравнений Максвелла в пространстве 6(1, 4) имеют вид (22)-(25). Это 10 уравнений, объединенных в 3 векторных уравнения и одно скалярное. Отметим, что появляющиеся в них векторные операторы div, rot, grad имеют обычный 3-мерный вид.

Перейдем теперь к построению уравнений Максвелла второго типа. Эти уравнения следуют из уравнений для потенциалов (13)-(15). Однако, сначала надо наложить калибровочное условие Лоренца, которому должен удовлетворять потенциал (12). В пространстве 6(1, 4) оно имеет вид

1 дА дАх дАу дЛ; дАх

--+—^ + —^ + —£.+—= 0. (26)

с дг дх ду д; дя

Второй тип уравнений Максвелла из

расширенной системы имеет вид

4 дЕ 4П

Уд^Г = - — ^ 1 = 0,1,2,3,4. (27)

к=0 дхк С

Подставляя в (27) элементы тензора напряжений (18) и учитывая калибровочное условие Лоренца (26), получим 5 уравнений, которые в векторной форме имеют вид

ёУЕ + = 4пр, (г = 0), (28)

&

а дО 1 дЕ 4па .. , „

таН-----— = — 3, (г = 1,2,3), (29)

дs с дг с

(И\О + -= 4п34, (г = 4). (30)

с дг

Тензор напряженностей (18) содержит, помимо компонент, являющихся аналогом обычных электрических и магнитных полей, еще и дополнительные компоненты, описывающие гравитационное поле. Точнее говоря, в том случае, когда компоненты 5-тока (7) зависят от координаты х4, все компоненты тензора (18) описывают единое электромагнитно-гравитационное поле, если же ток не зависит от координаты х4, то система уравнений (22)-(25), (28)-(30) распадается на две. На систему уравнений Максвелла и на уравнение Лапласа для скалярного гравитационного поля.

Таким образом, согласно нашей модели, в пустом пространстве гравитационное и электромагнитное поля существуют по отдельности, а в той области, где на частицы и поля действуют внешние силы, они и объединяются в одно поле.

Обсудим коротко физический смысл уравнений из расширенной системы Максвелла (22)-(25), (28)-(30).

андреев в.а., ципенюк д.ю.

МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Уравнение (22) показывает, что никаких магнитных зарядов в данной модели не появляется и его магнитные силовые линии по-прежнему остаются замкнутыми.

Из уравнения (23) следует, что, как и раньше, циркуляция электрического поля по замкнутому контуру определяется только изменением магнитного поля внутри этого контура. При этом тот факт, что поля Е и Н могут теперь зависеть от переменной s, никак не чувствуется уравнениями (22), (23), в них входят только производные по обычным пространственным и временной переменной.

Уравнение (24) показывает, что циркуляция нового поля О по произвольному пространственному замкнутому контуру определяется изменением поля Н , охватываемого этим контуром, по новой переменной s.

Физический смысл уравнения (25) состоит в том, что оно связывает изменение старого поля Е по новой переменной s с изменением новых полей 0 и О по старым переменным. Если поле Е меняется по переменной s, то в пространстве должны существовать аеоднородное поле 0 и нестационарное поле О .

Уравнение (28) показывает, что источником электрического поля Е могут служить и электрические заряды плотности р и изменение поля 0 по переменной ^ Силовые линии электрического поля могут начинаться и заканчиваться не только на электрических зарядах, но и в тех точках, где происходит изменение поля 0 по переменной ^

Из уравнения (29) следует, что циркуляция магнитного поля Н по замкнутому контуру определяется не только током, текущим внутри этого контура и изменением охватываемого им электрического поля Е, но и изменением поля О , находящегося внутри контура, по переменной s.

Уравнение (30) показывает, что источником поля О могут служить не только заряды, образующие компоненту токау4, но и изменение поля 0 во времени. Силовые линии поля О могут начинаться и кончаться не только на электрических зарядах, но и в тех точках, где отлична от нуля производная д^/дк.

4. ОБОБЩЕННАЯ СИЛА ЛОРЕНЦА

Найдем теперь силы, действующие на точечную заряженную частицу, находящуюся в поле (18), и уравнения движения такой частицы. Напишем лагранжиан системы частица+поле для частицы массы т и заряда е и поля, заданного потенциалом (12). Выберем его виде

Ь = -тс-в + тсгх -ер + -(Ау + Ау). (31)

с

Здесь V = (к/йк

Лагранжиан (31) отличается от обычного лагранжиана, описывающего движение заряженной частицы во внешнем поле, тем, что в него добавлен член (е/е)Ад и, кроме того, предполагается, что все 5 компонент потенциала (12) зависят от переменной s. Это приводит к тому, что масса т частицы зависит от времени т = т(/). Данный результат вполне согласуется с исходными постулатами рассматриваемой модели. Действительно, согласно нашим предположениям, только у свободной частицы масса постоянна, если же она взаимодействует с другими частицами, то ее масса может меняться.

Константа взаимодействия е/е, с которой произведение Ау1 входит в лагранжиан, та же самая, что и у произведений пространственных компонент потенциала и скорости частицы Ау . Это необходимо для того, чтобы в уравнения движения частицы входили только напряженности поля (18), а не его потенциалы (12). Как и в обычной классической электродинамике, мы считаем, что наблюдаемыми величинами являются напряженности поля, а не его потенциалы. Импульс частицы определяется по формуле

Р =—.

г ду

Из лагранжиана (31) получаем

ту

Р = р + -А= __

с л/1 -в

г> е А е Л Р = Р, +~ А = тс + ~ А.

с с

(32)

(33)

(34)

По лагранжиану можно построить уравнения движения Эйлера, которые в общем случае имеют вид [18, 19]

МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

(35)

^д^ = дк & дх{

Это четыре уравнения. Первые три из них имеют вид

^ = еЕ + е [V, Н

Ш с

(36)

Внешне они совпадают с обычными уравнениями движения заряженной частицы. Разница состоит лишь в том, что теперь масса частицы т зависит от времени. Эта зависимость определяется уравнением

^ = еб + [V, О].

ш с

(37)

Шт е е -

-г = ~ б + — (У, О). ш с с

(38)

Таким образом, четыре уравнения (37)-(38) описывают эволюцию четырех величин V (/), ^ т().

Уравнение (38) показывает, что в присутствии внешнего поля масса частицы меняется. Ниже мы рассмотрим конкретные примеры и найдем точные решения уравнений (36), (38), а также проинтерпретируем их в терминах поворотов в расширенном пространстве О(1, 4).

5. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПОЛЕЙ И ЧАСТИЦ

В рамках МРП можно естественным образом установить связь между массой фотона и некоторым линейным параметром, который мы будем называть параметром локализации. В некотором смысле его можно считать размером фотона. Отправной точкой для нас послужила аналогия между дисперсионным соотношением свободной частицы

Е2 = (ср)2 + т2с4 (39)

и дисперсионным соотношением волны в моде полого металлического волновода

®2 =ф1 + (с£)2. (40)

Здесь со, — критическая частота волноводной

кг ^

моды, а £ — постоянная распространения волны.

На сходство соотношений (39) и (40) обращали внимание де Бройль [20], Фейнман [21] и другие авторы. Суть проблемы состоит в

том, что с критической частотой сокг связывается параметр Й®,

т=

'кг

(41)

Учитывая, что р = тс, а скорость света с постоянна, получаем уравнение эволюции массы т

который имеет размерность массы, и возникает вопрос, можно ли эту величину интерпретировать, как настоящую массу? Массу, которую приобретает электромагнитное поле, когда оно попадает в волновод. В работах Ривлина эта проблема изучалась систематическим образом [22, 23].

Но здесь мы не будем вдаваться в этот вопрос, а отметим лишь тот факт, что масса т связана с геометрией и размерами волновода. В частности, если волновод имеет квадратную форму со стороной размером а, то эта связь имеет вид

а =

(42)

тс

Именно эту величину мы и предлагаем считать линейным параметром, который ассоциируется с безмассовой частицей, когда она приобретает массу т. Мы считаем, что одновременно с тем, как при попадании во внешнее поле безмассовая частица приобретает ненулевую массу, отвечающая ей бесконечная плоская волна сжимается до конечных размеров. И этот конечный размер характеризуется параметром локализации

I = П (43)

тс

По виду величина (43) напоминает комптоновскую длину волны электрона, однако, физический смысл у нее совсем другой. В формуле для комптоновской длины волны электрона параметр т — масса покоя электрона, у нас же в формуле (43) т — это та масса, которую приобретает фотон, когда он подвергается внешним воздействиям.

В МРП внешнее воздействие описывается с помощью поворотов в расширенном пространстве О(1, 4). Выше мы рассмотрели такие повороты, принадлежащие группе 0(1, 4), и установили, как меняется масса фотона при этих поворотах. Поскольку линейный параметр I выражается с помощью формулы (43) через массу фотона, то с ее помощью можно найти зависимость этого параметра от величин, задающих эти повороты.

2

Так, в случае поворотов в плоскости (TS) зависимость массы фотона от угла поворота в определяется формулой mt2 = hwsh^> [14, 17]. Подставляя это выражение в формулу (43), получаем выражение для параметра l через угол в

l = . (44)

— sinh &

В случае поворотов в плоскости (XS) зависимость массы фотона от угла поворота ф определяется формулой mt? = hwsin^ [14, 17]. С ее помощью получаем выражение для параметра /через угол ф.

2же

I = —-• (45)

— Sin^

Сопоставим теперь формулы для линейного параметра (44) с формулой для массы фотона. Если исключить из этих формул величину sinhö, а в качестве массы m подставить массу Планка тр, то для длины l получим выражение

, о hG

I = 2п —.

(46)

h— h— - л Л

—,—М I.

. c c )

(48)

h— h— - Л

-,-k2,Q I.

, c c )

(49)

Подчеркнем, что речь в данном случае не идет о взаимодействии этих фотонов друг с другом, их рассеянии друг на друге и т.п. Здесь мы говорим только о том, что в 3-мерном пространстве присутствуют два фотона. Мы рассматриваем систему, состоящую из этих фотонов, и пытаемся найти 5-вектор, который отвечает ей в МРП. Поскольку эти фотоны не взаимодействуют, энергия системы равна сумме их энергий. Точно так же импульс системы равен векторной сумме их импульсов. Поскольку это изолированная система, на которую не действуют никакие внешние силы, то ей, согласно идеологии МРП, соответствует изотропный 5-вектор энергии-импульса-массы. Этот вектор можно получить, сложив векторы (48) и (49) и добавив к ним массу, такую, чтобы он стал изотропным.

Величина (46) фактически совпадает с длиной Планка 1рГ Поскольку масса Планка тр1 и длина Планка 1р1 считаются предельными значениями длины и массы, мы также будем считать отвечающий им угол поворота 3Р1 предельным значением такого угла. Его величина равна

3Р1 = (47)

На

Мы видим, что фотонам различной частоты отвечают различные углы предельного поворота 3Р1. Но соответствующие им величины тр1 и 1р1 одинаковы и от частоты ы не зависят.

В рамках МРП существует и другой механизм возникновения массы у фотона. Точнее говоря не у одного фотона, а у группы фотонов. Рассмотрим два свободных фотона. Пусть они двигаются в пространстве Минковского в направлениях, которые задаются единичными векторами к1 и

к2. Тогда в МРП им соответствуют два 5- вектора энергии-импульса-массы.

„ h— h— .- - Л

2-,-(к1 + к2 , т1+2С I =

, С С )

[ „ h— h— .- а

= I 2~ ,— (k1+2 C0S - , т1+2С

(50)

Величина массы т должна быть такой, чтобы вектор (50) был изотропным. Поскольку

| к1 + к2 |2 = 2 + 2(к1,к2) =

2а

= 2 + 2cosa = 4cos —,

(51)

для массы системы двух фотонов получаем выражение

т1+2 = 2

h— . а

—rsm—. c2 2

(52)

Здесь а — угол между направлениями векторов к1,

к2.

Изотропный 5-вектор (50) теперь принимает

вид

й— „ h— а „ h— . а Л 2—,2 — cos—,2—sin— I. , c c 2 c 2 )

(53)

Выражение (52) для массы системы двух фотонов можно получить, используя формулу для массы системы п частиц [24, 25]

/■ \2 /■ \2

™2c4 = |£ E

+c

Z Pi

(54)

. i=1

и

МНОГОМЕРНЫЕ ТЕОРИИ 101

rtM/lOMllir/^l/MV плпсм электромагнитное и гравитационное поля в 1U1

ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 5-мерной модели расширенного пространства...

Именно с помощью формулы (54) выражение (52) для массы системы двух фотонов было получено в работе [26].

Отметим, что вопрос о моменте системы из двух фотонов изучался в работе [27].

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Согласно идеологии модели расширенного пространства объединение электромагнитного и гравитационного полей возникает из-за того, что при взаимодействии частиц и полей меняется их масса. В том числе и фотон, попадая в среду, или во внешнее поле, приобретает массу. Одновременно с этим происходит его локализация. В пустом пространстве Минковского фотону сопоставляется бесконечная плоская волна, которая содержит компоненты Е и Н электрического и магнитного полей. После того, как фотон подвергается внешнему воздействию, он локализуется, приобретает массу и, в дополнение к полям Е и Н, у него появляются дополнительные полевые компоненты: векторное поле О и скалярное поле О. Эти 10 полей образуют единый объект, они удовлетворяют расширенной системе уравнений Максвелла и могут переходить друг в друга. Каждое из них по-своему взаимодействует со средой и, благодаря наличию дополнительных компонент, они могут проникать через такие барьеры, которые недоступны для обычного электромагнитного поля. При этом важную роль играет тот факт, что у фотонов появляется масса, и в дополнение к электромагнитному взаимодействию, возникает и гравитационное взаимодействие между фотонами и внешней средой.

Возникновение ненулевой массы у фотона и одновременное изменение массы других частиц приводит к изменению картины их взаимодействия. Развитый нами формализм МРП позволяет учесть эти изменения.

Идеология МРП и развиваемый с ее помощью формализм могут оказаться полезными при обсуждении ряда других проблем в физике. Одной из них может явиться построение калибровочных теорий для массивных полей. Также в рамках МРП появляется возможность по-новому посмотреть на природу корпускулярно-волнового дуализма. Частица, находящаяся вдали от детекторов, распределена по большой области

пространства и проявляет волновые свойства. Подлетев к детектору, она локализуется, и ведет себя как корпускула. Этот механизм позволяет понять и природу нелокальности.

Эти вопросы мы подробно обсудим в следующих работах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Klein Felix. Über neuere englische Arbeiten zur Gesammelte matematishe Abhandlungen. Zeit. f. Math. u. Phys, 1901, s. 375.

2. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.2. Работы по теории относительности. М., Наука, 1966, 878 с.

3. Kaluza T. Zum Unitätsproblem der Physik. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1921, 966-972; https://archive. org/details/sitzungsberichte1921preussi.

4. Klein Oskar. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik, 1926, 37(12):895-906; doi: 10.1007/ BF01397481.

5. Mandel Н. Über den Zusammenbang zwischen der Einsteinschen Theorie des Fern. Parallelismus und der Fünfdimensionalen Fieldtheorie. Zeitschrift für Physik, 1926, 39:136-145.

6. Fock VA. Über die invariante Form der Wellen- und der Bewegungsgleichungen für einen geladenen Massenpunkt. Zeitschrftfür Physik,, 1926, 39:226-232.

7. Румер ЮБ. Исследования по пятимрной оптике. М., URSS, 2010, 152 с.

8. Коноплева НП, Попов ВН. Калибровочные поля. М., Атомиздат, 1972, 240 с.

9. Рубаков ВА. Классические калибровочные поля. М., Эдиториал, УРСС, 1999, 336 c.

10. Станюкович КП. Гравитационное поле и элементарные частицы. М., Наука, 1965, 312 с.

11. Марков МА. Элементарные частицы максимально больших масс (кварки и максимоны). ЖЭТФ, 1966, 51:878-890.

12. Ландау ЛД. О радиусе элементарных частиц. ЖЭТФ, 1940, 10:718-722.

13. Ципенюк ДЮ, Андреев ВА. Расширенное пространство и модель объединенного взаимодействия. Краткие сообщения по физике ФИАН, 2000, 6:23-34.

14. Andreev VA, Tsipenyuk DYu. The 5-dimensional model for electromagnetism and gravity. Natural Science, 2014, 6:248-253.

15. Andreev VA, Tsipenyuk DYu. Tunneling of the potential barrier and particle's size in the Extended Space Model, Physical Interpretation of Relativity Theory: Proc. of Intern. Meeting, Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 29 June-02 July, 2015: 20-32.

16. Andreev VA, Tsipenyuk DYu. The Mass and Size of Photons in the 5-Dimensional Extended Space Model. Journal of Modern Physics, 2016, 7:1308-1315; DOI: 10.4236/jmp.2016.711116.

17. Андреев ВА, Ципенюк ДЮ. Проблема введения конечного размера и переменной массы фотона. Инженерная физика, 2017, 5:17-28.

18. Ландау ЛД, Лифшиц ЕМ. Теория поля.. М., Наука, 1988, 512 с.

19. Арнольд ВИ. Математические методы классической механики. М., Наука, 1974, 432 с.

20. Де Бройль Л. Электромагнитные волны в волноводах в полых резонаторах. М., ГИИЛ, 1948, 108 с.

21. Фейнман Р, Лейтон Р, Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике, т. 6. М., Мир, 1966, 348 с.

22. Ривлин ЛА. Фотоны в волноводе (несколько

23. Ривлин ЛА. Остановленный свет (к электродинамике без плоских волн). Квантовая электроника, 2003, 33:777-797.

24. Окунь ЛБ. Понятие массы. УФН, 1989, 158:511-530.

25. Окунь ЛБ, Селиванов КГ, Телегди ВЛ. Гравитация, фотоны, часы. УФН, 1999, 169:1141-1147.

26. Fedorov MV, Vintskevich SV. Invariant mass and propagation speed of light pulses in vacuum, arXiv:1604.00227v3 [quant-ph] 19 May 2016.

27. Ландау ЛД. О моменте системы из двух фотонов. ДАН СССР, 1948, 60:207-210.

Андреев Владимир Андрееевич

к.ф.-м.н., с.н.с.

Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН Москва 119991, Россия andrvlad@yandex.ru Ципенюк Дмитрий ^Эрьевич

к.ф.-м.н.

Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН Москва 119991, Россия tsip@kapella.gpi.ru.

мысленных экспериментов). УФН, 1997, 167:309-322

ELECTROMAGNETIC AND GRAVITATIONAL FIELDS IN THE 5-DIMENSIONAL EXTENDED SPACE MODEL, THEIR LOCALIZATION AND INTERACTION WITH MATTER

Vladimir A. Andreev

Lebedev Physical Institute of RAS, http://www.lebedev.ru/ Moscow 119991, Russian Federation Dmitry Yu. Tsipenyuk

Prokhorov General Physics Institute of RAS, http://gpi.ras.ru/ Moscow 119991, Russian Federation andrvlad@yandex.ru, tsip@kapella.gpi.ru

Abstract. Within the framework of the 5-dimensional model of the expanded space, electromagnetic and gravitational fields are considered. It uses action as the fifth coordinate. It is shown that in this model they are combined into a single electromagnetic-gravitational field. This field has 10 components, to the usual 6 fields E and H, 4 more components are added: the vector field G and the scalar field Q. A system of generalized Maxwell equations has been constructed, which these fields satisfy. Also found an expression for the Lorentz force, which determines the interaction of these fields with charged massive bodies. Within the framework of this model, the problem of the occurrence of a non-zero mass in a photon and its localization is studied.

Kywords: 5-dimensional space, electromagnetic field, gravity, Maxwell equations, photon, mass, localization

PACS 11.10 Kk, 03.50.-z, 03.65. Pm

Bibliography - 27 references Received 12.11.2018, accepted 21.1.2019 RENSIT, 2019, 11(2):93-102_DOI: 10.17725/rensit.2019.11.093