Поляризация металлической частицы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.975

ПОЛЯРИЗАЦИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ

Н. А. Ленин

Проанализировано влияние столкновений электронов с атомами решетки в металле на поляризацию металлической частицы в переменном электрическом поле. Показано, что в отличие от бесстолкновительного (свободного) электронного газа, в релаксационных металлических частицах увеличение отрицательной электронной диэлектрической проницаемости с уменьшением частоты электрического поля ограничивается временем релаксации проводимости. Показано, что в релаксационном металле плазменная частота возникает только если время диэлектрической релаксации меньше времени свободного пробега в металле.

При помещении металлической частицы в переменное электрическое поле наряду с эффектами проводимости возникает эффект поляризации металлической частицы, что проявляется в возникновении эффективной диэлектрической проницаемости [1, 2, 4]. Рассматривается эффект поляризации прямоугольной металлической частицы в переменном электрическом поле. Предполагается, что размер частицы с1 превышает длину свободного пробега электрона.

Известно, что если поместить металлический образец в постоянное электрическое поле, то в образце произойдет перемещение электронов в сторону положительного полюса источника поля. На концах металлического образца возникнут заряды, электрическое поле которых в образце будет направлено против внешнего поля, т. е. произойдет поляризация образца. Электрическое поле зарядов, возникших на противоположных поверхностях образца, скомпенсирует внешнее поле, и в образце электрическое поле будет отсутствовать. Поляризованный образец в целом останется нейтральным, так как поверхностные заряды равны по величине и противоположны по знакам.

Возникшую поляризацию образца можно уничтожить, если соединить проводом поверхностные заряды. При этом поверхностные заряды нейтрализуются, и образец перестает быть поляризованным, что эквивалентно разрядке одиночного заряженного конденсатора через внешнюю цепь.

При наличии внешней цепи, содержащей источник ЭДС, соединяющей противоположные концы образца, поляризация будет непрерывно возникать и поляризационные заряды, также непрерывно, будут нейтрализоваться (стекать).

Таким образом, наличие внешней сторонней силы вызывает непрерывную нейтрализацию поляризационных зарядов образца, которые замыкаются (нейтрализуются) через внешнюю цепь, и во внешней цепи возникает постоянный ток, который по своей природе, является поляризационным.

Действительно, вектор поляризации электрона р = —ех. В переменном электри-

с1р (1х

ческом поле производная вектора поляризации — = -е-— = —ег;, т. е. является

сИ <И

элементарным током, создаваемым одним электроном. При концентрации электронов

¿Р

п производная вектора поляризации Р единицы объема —— = —еуп = т. е. равна

а1

плотности электрического тока.

Так как производная вектора поляризации в переменном поле эквивалентна плотности тока, то для рассмотрения возникновения поляризации проводника в переменном электрическом поле воспользуемся уравнением движения электронов под действием переменного электрического поля Е = Еое1ш1 в виде:

где V - мгновенная скорость электрона, т - масса электрона, г - время свободного пробега электрона. Второй член в уравнении означает импульс, отдаваемый электроном решетке при столкновении за время свободного пробега т. Будем искать решение этого уравнения в виде

V = Уое

Подставляя V в уравнение (1), получим для мгновенной скорости соотношение

е 1 „

V =--г-:-Е.

т 1 + гит

Согласно определению, плотность электронного тока j = —еуп. Поэтому

, = ^-^-Е. (2)

гп 1 + гит

Освободившись от комплексности в знаменателе, получим, что плотность тока может быть представлена в виде

(3)

1+и>2т2 1 4- со2т2

е2т

где <70 = -п - проводимость на постоянном токе.

тп

Таким образом, проводимость У оказывается комплексной величиной и может быть представлена в виде действительной компоненты

1

КеУ = <70

1 +о;2т2 и мнимой компоненты

ит

I тУ = -сто .

1 + иГТг

В то же время известно, что в случае, когда в проводнике действует переменное электрическое поле, полная плотность тока является суммой, состоящей из тока проводимости и максвелловского тока смещения, плотность которого, согласно уравнениям Максвелла

. _ е0 дЕ ]т = 4ж~дТ'

где Со - микроскопическая диэлектрическая проницаемость металла. В переменном иоле

Е = Е0егш1 плотность максвелловского тока смещения ¿л = г-Е. Поэтому полная

47Г

плотность тока

• б2т 1 ТР , • €0 ^

] = —п--;—Ь + геи—Е.

тп 1 + гит 47г

Поскольку е2пт/гп = а0 - электропроводность на постоянном токе, то выражение для полной плотности тока можно представить в виде:

] =

<7о . и> ( 47Г(7ОГ

+ 1Т~ ¿0 ~

Е.

11 -(- и;2т2 4х V 1 +о;2г2. Второй член в круглых скобках имеет размерность диэлектрической проницаемости, обусловленной подвижными электронами. Следовательно, эффективная диэлектриче екая проницаемость металла в переменном электрическом поле с частотой и определяется выражением

т

б = б0-47Г£70—-(4)

1 + С02Тг

При этом действительная компонента проводимости в переменном поле

1

1 + <■О Т1

На малых частотах, когда шт «С 1, т. е. когда период колебаний Т значительно превышает время свободного пробега г, проводимость не зависит от частоты и совпадает с проводимостью на постоянном токе а0. Напротив, на высоких частотах, когда и>т > 1, проводимость уменьшается с увеличением квадрата частоты и приобретает вид, описывающийся известной формулой Друде для высокочастотной (оптической) проводимости

"М = И-

тпш'т

Из выражения (4) следует, что с увеличением частоты переменного поля происходит уменьшение вклада электронов в диэлектрическую проницаемость бо, и на достаточно высоких частотах, при которых ит 1, вклад свободных электронов в диэлектрическую проницаемость е0 перестает зависеть от времени свободного пробега электрона т, и при частоте ш —> оо стремится к нулю, так что с —♦ б0.

В области низких частот, когда и>т «С 1, в частности при частоте ш —> 0, эффективная диэлектрическая проницаемость е —► бо — 47гсг0т и становится отрицательной, если 47ГСГ0Т > б0.

Возникновение отрицательной эффективной диэлектрической проницаемости е аналогично возникновению отрицательной эффективной емкости Се [5], поскольку Се = б

-—К тому же обе величины б и Се принимают нулевые значения при одной и той же 47та

частоте сор (см. ниже формулу (6)).

Оценим б, например, для железа при и —> t0 и комнатной температуре. Электронная диэлектрическая проницаемость бе/ определяется из формулы (4),

47Г<ТоТ 6е/ = ~1 +u;2r2"

Для железа имеются следующие данные:

п = 1.7- 1023 cm"3,

г = 2.4-Ю-15 s, m = 9.11 • 10"28g, е = 4.803 • Ю~10 CGS, б0 ~ 16.

Из этих данных следует, что при частоте ш —> 0 эффективная диэлектрическая проницаемость железа б —> —3100, т. е. становится отрицательной и достаточно большой.

Из выражения (4) следует, что при некоторой частоте переменного поля эффективная диэлектрическая проницаемость обращается в нуль. Эту частоту принято называть

б

плазменной. При этом сдвиг фаз между действительной и мнимой компонентами тока проводимости компенсируется. Поэтому полная проводимость определяется действительной компонентой проводимости. Явление компенсации диэлектрической проницаемости решетки проводника кинетической диэлектрической проницаемостью электронов иногда называют плазменным резонансом.

Частота о;р/ , при которой возникает плазменный резонанс, определяется из условия

47Г<707'

Со =

1+^Г2

и выражается соотношением

1 / 4гг<т0 Ч1'2 ...

Ш> = А-Т-1) • (5)

е

Величина -= г^ является временем диэлектрической релаксации. Поэтому соотно-

Атга0

шение (5) можно записать в виде

1/2

1 (т \1'2

= ~ -"О • (6)

Т \7л /

Очевидно, что резонанс или плазменная частота имеет место при условии, если только тд < т. При тл = т резонанс и, следовательно, плазменная частота не существуют, т. е. шр1 = 0. Если г^<т, то и>р приобретает известную для бесстолкновительной плазмы форму:

1 /47Г е2п

^Р1 у/тЦт V ¿от

Как было показано выше, эффективная диэлектрическая проницаемость определяется уравнением (4). Из этого уравнения следует, что резкое увеличение электронной диэлектрической проницаемости бе/ с уменьшением частоты может быть вызвано движением подвижных электронов.

В отсутствие столкновений электронов, т. е. в свободном электронном газе, понижение частоты поля приводит к неограниченному увеличению отрицательной электронной диэлектрической проницаемости [1, 3].

Однако при наличии столкновений электронов с атомами решетки, увеличение от рицательной электронной диэлектрической проницаемости с уменьшением частоты ограничивается. Поэтому при частоте, равной нулю, полная диэлектрическая проницаемость будет определяться величиной е = с0 — 47г<т0г.

4

О

со

-4

-8

О

1

2

3

Частота, (0/С0р

4

Рис. 1. Зависимость диэлектрической проницаемости от круговой частоты, (а) Газ свободных электронов: концентрация электронов п = 1022 ст~3, плазменная частота ир1 = 5.641 • 1015 sec-1; (Ь) Релаксационный металл: концентрация электронов п = 3.143 • 10~'1 ст~3, время релаксации т = 10-15s, плазменная частота ир\ = 1.527- 101э sec-1, макроскопическая диэлектрическая проницаемость е0 = 3.

На рис. 1 представлены зависимости эффективной диэлектрической проницаемости е от частоты для двух случаев: для газа свободных электронов [1, 3], и металла со временем релаксации проводимости т.

Величина поляризации проводникового образца зависит от величины переменного тока во внешней цепи, содержащей источник ЭДС, соединяющей противоположные концы образца. В отсутствие тока, но в присутствии постоянного электрического поля, поляризация является полной, статической. С увеличением тока поляризация образца уменьшается, и при токе в цепи, равном поляризационному току, исчезает, и разность потенциалов на образце обращается в нуль. С увеличением тока меняется знак разности потенциалов на поляризуемом образце и возникает обычный дрейфовый ток во всей цепи. С дальнейшим увеличением тока полярность разности потенциалов (напряжения) на образце совпадает с полярностью приложенного напряжения.

При уменьшении частоты поля эффективная диэлектрическая проницаемость образца, как было отмечено выше, становится отрицательной и возрастает. С увеличением частоты приложенного поля эффект поляризации исчезает и диэлектрическая прони-

цаемость частицы стремится к микроскопической диэлектрической проницаемости частицы бо- В металлических частицах различной формы эффект поляризации различен из-за деполяризующего поля. Для плоского образца эффект поляризации равен 47Г. а для сферического равен З/Атг.

Из проведенного в данной статье анализа следует, что увеличение отрицательной диэлектрической проницаемости с уменьшением частоты переменного поля в релаксационном металле ограничивается временем релаксации или временем свободного пробега электрона. В железе, например, при уменьшении частоты до нуля диэлектрическая проницаемость становится отрицательной и достигает величины порядка -3000. На частоте, равной плазменной, эффективная диэлектрическая проницаемость образца б обращается в нуль, а на высокой частоте стремится к микроскопической диэлектрической проницаемости материала бо- Показано, что возникновение отрицательной эф фективной диэлектрической проницаемости аналогично возникновению отрицательной эффективной емкости [5].

Кроме того, показано, что в металле со временем свободного пробега г плазменная частота возникает только если время диэлектрической релаксации тд меньше времени свободного пробега в металле т.

Работа поддержана Программой фундаментальных исследований Президиума РАН "Квантовые наноструктуры" и РФФИ.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела (М., Наука, 1978), с. 282.

[2] А. Анималу, Квантовая теория кристаллических твердых тел (М., Мир; 1981), с. 264.

[3] Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела 1,2 (М., Мир, 1979).

[4] Дж. Займан, Принципы теории твердого тела (М., Мир, 1974), с. 190.

[5] Н. А. Пенин, ФТП 30, 626 (1996).

Поступила в редакцию 27 февраля 2008 г. После переработки 22 января 2009 г.