CC BY
25
Поляризационно-оптическое изучение напряжений в элементах, имеющих различные сингулярности
Г.Н. Албаут, А.Б. Курбанов, В.В. Пангаев, М.В. Табанюхова
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), Новосибирск, 630008, Россия
В работе анализируются изменения значений коэффициентов интенсивности напряжений при нормальном отрыве в балках с угловыми вырезами. Исследования проведены с помощью расчетно-экспериментального метода (метод конечных элементов, поляризационно-оптический эксперимент, некоторые аналитические зависимости).
A study of stresses in beams with geometric singularities by photoelastic method
G.N. Albaut, A.B. Kurbanov, V.V. Pangaev, and M.V. Tabanyukhova
Changes in the mode I stress intensity factors were analysed in beams with angular notches. Investigations are carried out with the help of a numerical-experimental method (a finite-element method, photoelastic method, analytical dependences).
1. Введение
Эксплуатация бетонных, железобетонных и каменных конструкций допускается при наличии в них трещин. Необходимость совершенствования методов расчета и проектирования подобных конструкций требует дальнейшего развития прикладной механики разрушения. Основные зависимости классической механики разрушения ориентированы на идеальные трещины с параллельными берегами. Аналитическое решение таких задач выполняется по формулам линейной механики разрушения с использованием степени сингулярности -0.5. В теории трещин не принимается во внимание строение материала, недостаточно учитывается геометрия сингулярной области. Элементы реальных конструкций часто имеют нестандартные виды разрушений, которые не соответствуют известным математическим решениям, для их учета требуются более сложные подходы. Некоторые из них рассматривались в работах [1, 2]. В реальных задачах элементы конструкций, как правило, имеют конечные размеры, кроме трещин в них имеются дефекты, выколы с различными углами. В связи с этим необходимо учитывать влияние углового выреза на величину коэффициентов интенсивности напряжений.
В работе применяется расчетно-экспериментальный подход к определению первого коэффициента интенсив-
ности напряжений, подобная методика использовалась в работе [3]. Разными методами определялись и анализировались значения первого коэффициента интенсивности напряжений К: для двух партий балок с угловыми вырезами при испытании их на трехточечный изгиб. Угловые параметры варьировались в диапазоне от 0° до 150°. При этом сравнивались результаты, полученные с помощью численного (метод конечных элементов) и поляризационно-оптического экспериментов с одновременным использованием некоторых аналитических зависимостей. Определение значений обобщенного первого коэффициента интенсивности напряжений, как в случае численного, так и экспериментального решений, проводилось с использованием модифицированных степеней сингулярности, которые являются функциями угла выреза. Кроме того, для контроля и сравнения полученных решений были определены значения К: по данным поляризационно-оптических измерений с помощью зависимости для классической трещины со степенью сингулярности -0.5.
2. Напряжения у вершины углового выреза
На рис. 1 изображена балка с угловым вырезом, находящаяся в условиях плоского напряженного состояния. Показана декартова система координат с центром
© Албаут Г.Н., Курбанов А.Б., Пангаев В.В., Табанюхова М.В., 2004
в вершине выреза. Ось выреза является осью симметрии образца. На ней вследствие симметрии задачи возникают наибольшие нормальные напряжения. В данном случае коэффициенты интенсивности напряжений можно определять по зависимости, полученной с использованием асимптотического решения Вильямса [4]:
У = ах(0,7ь/2я
У ^-------------• (1)
Здесь У1 — обобщенный первый коэффициент интенсивности напряжений для случая растяжения при модифицированной (переменной) степени сингулярности (А1 -1), зависящей от углового параметра.
Необходимо отметить, что напряжение ах (0, у) в зависимости (1) может браться только на оси симметрии. Его можно определить различными способами, например, численно (методом конечных элементов) или экспериментально (поляризационно-оптическим методом), что и сделано в настоящей работе. Кроме того, чтобы провести анализ и сравнение значений обобщенных и классических коэффициентов интенсивности напряжений, для всех рассматриваемых моделей определены У1 при постоянной степени сингулярности -0.5 на основе базового соотношения классической механики разрушения, адаптированного к рассматриваемому случаю:
у -а^72П7, (2)
где г — радиус закругления угла выреза.
3. Пример численного решения
В качестве примера определения обобщенного первого коэффициента интенсивности напряжений с учетом модифицированной степени сингулярности (А1 -1) рассматривается трехточечный изгиб балки, ослабленной угловым вырезом в растянутой зоне. Геометрия образца и действующая нагрузка показаны на рис. 1. Приняты следующие безразмерные значения линейных параметров образца и сосредоточенной силы: г= 1 (толщина), Ь = 10 (высота), L = 4Ь (длина), / = 0.5Ь (глубина выреза), F = 2 (сила). Расчеты проводились при следующих конкретных значениях углового параметра: 2в = = 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°. Подобные призматические образцы находят применение при исследовании трещиностойкости материала [5].
\ ь
1 1 X
'У/2 1_/2 1_/2 ¥12 к
Рис. 1. Схема нагружения модели
Методом конечных элементов было найдено поле безразмерных напряжений в рассматриваемой балке с / = 0.5Ь.
Результаты численного определения безразмерных значений обобщенных коэффициентов интенсивности напряжений Утч для рассматриваемой выше балки с глубиной выреза / = 0.5Ь при заданных шести значениях угловых вырезов 2 в представлены в виде графической зависимости (вторая кривая сверху) на рис. 2.
4. Экспериментальное исследование методом фотоупругости
Для проведения поляризационно-оптических исследований было изготовлено две партии моделей балок по шесть образцов в каждой из пьезооптического оргстекла Э2 толщиной 5 мм. В первой партии глубина угловых вырезов составляла / = 0.5Ь (как в случае описанного выше численного эксперимента), во второй / = = 0.25Ь. Углы раствора выреза были теми же, что и в предыдущем численном решении: 2в = 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°. Радиусы закругления у вершин угловых вырезов одинаковы и составляют г = 0.5 мм. Схема нагружения балок трехточечным изгибом показана на рис. 1. Цена полосы материала по напряжениям а0'° определена с помощью тарировочного испытания балки на чистый изгиб и составила а0'° = 1.547 МПа • см. Балки с вырезами исследовались при ступенчатом нагружении, причем в каждой партии из шести балок на каждой ступени нагрузка, при которой производилось сравнение напряженного состояния у вершин вырезов, имеющих разные угловые параметры, была одинаковой. Получены фотографии картин полос интерференции, фрагменты некоторых из них для балок с / = 0.5Ь и / = = 0.25Ь приведены на рис. 3. Напряжения ах(0, у), необходимые для вычисления У1 с помощью зависимости (1), в модельных балках определялись на расстоянии у = 0.5 мм от вершин угловых вырезов, что для балки с глубиной выреза / = 0.25Ь составило у = 0.025/, и для балки, где / = 0.5Ь, у = 0.05/. В результате обработки экспериментальных данных получены значения напряжений в моделях вблизи вершин вырезов амтах (размерность МПа). С помощью масштабов моделирования выполнен их пересчет для балки из численного эксперимента, как для натурной конструкции ах тах, и соответственно в безразмерном виде, как в предыдущем численном решении методом конечных элементов. Далее на основе этих экспериментально полученных напряжений по соотношению (1) при использовании модифицированных степеней сингулярности (А1 -1) вычислены безразмерные значения обобщенных коэффициентов интенсивности напряжений У тэ. С использованием выражения (2) получены графические зависимости значения коэффициента интенсивности напряжений У1 при степени сингулярности -0.5 (пунктирная линия).
.кГ
■к,-
Л!1 1 Ю О II 1—11- А ч К|
►к?
"/- 0.25Ь ,К|
* * ■ -А .... ч
О 50 100 150
2(3°
Рис. 2. Зависимость значения первого коэффициента интенсивности напряжений от угла выреза
5. Анализ результатов
Значения первого коэффициента интенсивности напряжений, полученные в настоящем исследовании с помощью численного и экспериментального методов при использовании аналитической зависимости (1) для балок с различными угловыми вырезами, представлены в графической форме на рис. 2.
Три верхних графика относятся к балкам с глубиной вырезов до половины высоты: верхний график (с наибольшими значениями первого коэффициента интенсивности напряжений) построен с помощью поляризационно-оптического эксперимента для обобщенных коэффициентов интенсивности напряжений, средний — на основе численного расчета, а нижний (пунктир) — с использованием соотношения (2) классической механики разрушения, то есть при постоянной степени сингулярности -0.5 на основе экспериментальных данных. Можно отметить, что при угловом вырезе от 0° до 60° все графики практически совпадают, а при дальнейшем росте угла экспериментально определенный КЭ становится значительно больше численного К Ч. При угловом вырезе 2в = 150 ° эта разница достигает максимального значения.
Два нижних графика на рис. 2 иллюстрируют данные о коэффициентах интенсивности напряжений для балок с угловым вырезом глубиной I = 0.25Ь. Здесь приводятся результаты, полученные только по экспериментальным данным: сплошная кривая для обобщенных коэффициентов интенсивности напряжений, вычисляемых с модифицированной степенью сингулярности, и соответствующая пунктирная кривая для коэффициентов интенсивности напряжений, полученных при использовании постоянной степени сингулярности -0.5 для всех шести различных угловых вырезов. Эти кривые можно считать верхней и нижней границей первого коэффициента интенсивности напряжений для рассматриваемой балки с угловыми вырезами.
Подводя итоги выполненных исследований, можно выделить следующие результаты.
1. Следует обратить внимание на необычную размерность обобщенных коэффициентов интенсивности напряжений, которая зависит от угла раскрытия выреза,
что следует из формулы (1), и определяется значением модифицированной степени сингулярности (к1 -1).
2. Анализ кинетики изменения первого коэффициента интенсивности напряжений по результатам выполненных экспериментально-расчетных исследований показывает, что для углового выреза от 0° до 60° можно определять К 1, используя зависимость классической механики разрушения для трещины с параллельными берегами и степенью сингулярности -0.5. Для этих углов кривые К1 на рис. 2 практически совпадают, разница значений составляет менее 3 %. Для углового выреза 2в = 90 ° она достигает 10 % и ее необходимо учитывать, затем эта разница возрастает еще больше.
3. Определен диапазон изменения коэффициентов интенсивности напряжений для исследованных балок (рис. 2). Нижняя граница соответствует постоянной степени сингулярности -0.5, а верхняя — модифицированной степени сингулярности (Х1 -1) с одновременным использованием экспериментальных данных.
4. Анализируя фотографии картин полос интерференции на рис. 3, можно отметить, что в местах сопряжения углового выреза с нижней гранью балки на выступе наблюдается зона с нулевой полосой, по крайней мере, при углах 0°, 30°, 60°. Самую большую площадь нулевая зона занимает при 2в = 0°. Когда для увеличения углового выреза срезается участок пластины с нулевой полосой интерференции, картина полос на всей оставшейся части модели практически не изменяется. Это наблюдается до угла 2в = 60° и, по-видимому, объясняет совпадение всех трех графиков К1 на рис. 2 в наблюдаемом угловом диапазоне 0°, 30°, 60°.
5. Анализируя фрагменты картин полос интерференции, представленные на рис. 3, можно заметить, что порядок полос вблизи угловых вырезов меняется мало. Максимальная разница в порядках полос составляет немногим более единицы, что не превышает 10 %. Причем наибольшее уменьшение концентрации отмечается в балках, где углы выреза 2в = 0° и 150 °. Для угла 2в = 0° это выглядит несколько неожиданно, поскольку острый разрез является более жестким концентратором, чем вырез большего углового размера.
6. Отметим еще одно по виду парадоксальное явление, которое наблюдается при анализе интерференционных картин полос в моделях балок (рис. 3). Точки с максимальным порядком полос располагаются не у вершин угловых вырезов-концентраторов, что было бы естественно, а несколько сдвинуты от них по контуру выреза в обе стороны.
6. Заключение
Первый коэффициент интенсивности напряжений для элементов с угловыми вырезами определен при помощи упрощенной методики с использованием аналитического, численного и экспериментального методов. Учитывается тот факт, что на оси симметрии возникают
Рис. 3. Фрагменты картин полос интерференции
экстремальные значения нормальных напряжений, определив которые, можно вычислить значения первого коэффициента интенсивности напряжений с использованием относительно простой зависимости (1). Одновременно с отмеченным упрощением произведено и некоторое усложнение методики вследствие применения модифицированных степеней сингулярности, с помощью которых учитывается влияние величины угла выреза на величину коэффициента интенсивности напряжений.
Выполнен графический анализ значений К1, полученных разными методами с использованием различных показателей сингулярности (постоянных, соответствующих классической трещине, и модифицированных).
Следует отметить, что рассматриваемая методика может быть применена для решения прикладных строительных задач и рекомендована для использования при разработке инженерных методов расчета элементов с трещинами. Приведенные здесь задачи определения К1 в моделях балок с угловыми вырезами практически являются примерами такого использования. Некоторым препятствием для прикладного внедрения предлагае-
|2Р = 120°
для балок с l = 0.5b (слева) и l = 0.25b (справа)
мой методики является слишком высокая чувствительность зависимости (1) к малым изменениям координаты y. Решение этой проблемы следует считать первоочередной задачей дальнейших исследований по теме.
Работа выполнена при финансовой поддержке фонда РФФИ (проект № 02-01-00222, MAC 03-01-06128).
Литература
1. Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension // J. Appl. Mech. -1952. - V. 74. - P. 526-528.
2. Корнев B.M. Модификация критерия разрушения Нейбера-Ново-жилова для угловых вырезов (антиплоская задача) // ПМТФ. -2002. - Т. 42. - № 1. - C. 153-159.
3. Ахметзянов М.Х., Тихомиров B.M., Суровин П.Г. Определение коэф-
фициентов интенсивности напряжений при смешанном типе нагружения трещины // Изв. вузов. Строительство. - 2003. - № 1. -С. 19-25.
4. Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. Применение критерия хрупкого разру-
шения В.В. Новожилова при определении разрушающих нагрузок для угловых вырезов в условиях сложного напряженного состояния // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1986. - № 1. -С. 122-126.
5. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами / Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. - Киев: Наукова думка, 1988. - 619 с.
