CC BY
80
Вестник СамГУ. 2015. № 10(132)
МЕХАНИКА
УДК 539.4
Л.В. Степанова, П.С. Росляков1
МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ У ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ2
В статье дано аналитическое определение коэффициентов полного асимптотического разложения М. Уильямса поля напряжений у вершин двух кол-линеарных трещин равной длины в бесконечной пластине в условиях нормального отрыва, поперечного сдвига и смешанного нагружения. На основе точного решения плоской задачи теории упругости - формул Колосова -Мусхелишвили построено полное асимптотическое разложение М. Уильямса поля напряжений у вершин двух коллинеарных трещин при двухосном растяжении пластины, содержащее высшие приближения (Т-напряжение и следующие за ним приближения любого наперед заданного порядка). Проведен анализ необходимого количества слагаемых в асимптотическом разложении М. Уильямса поля напряжений. Из полученных результатов следует необходимость удержания высших приближений в полном асимптотическом разложении М. Уильямса поля напряжений в окрестности вершины трещины.
Ключевые слова: асимптотическое разложение М. Уильямса, поле напряжений в окрестности вершины трещины, две коллинеарные трещины, растяжение пластины, двухосное растяжение, смешанное нагружение пластины, многопараметрическое описание поля напряжений.
1. О построении полного асимптотического разложения М. Уильямса
Актуальным и быстро развивающимся направлением исследований в механике хрупкого разрушения является построение полного асимптотического разложения М. Уильямса поля напряжений в окрестности вершины трещины, содержащего высшие приближения (Т-напряжение и следующие за ним приближения) [1—17]. В [1] аналитическое решение задачи о растяжении бесконечной плоскости с конечным отрезком основано на классическом решении Колосова - Мусхелишвили плоской задачи теории упругости и на асимптотическом разложении М. Уильямса поля напряжений в окрестности вершины трещины, которое является общим асимптотическим представлением поля напряжений вблизи вершины трещины. Асимп-
1(С Степанова Л.В, Росляков П.С., 2015
Степанова Лариса Валентиновна (stepanovalv@samsu.ru), Росляков Павел Сергеевич (rosps89@mail.ru), кафедра математического моделирования в механике, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1.
2Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 13-01-97009—р—Поволжье—а.
тотическое разложение М. Уильямса для каждого образца с трещиной содержит последовательность коэффициентов, зависящих от геометрических параметров образца (длин трещин и расстояний между ними) и величины приложенной нагрузки. Аналитическое представление коэффициентов (амплитудных множителей) хорошо известно для первых двух слагаемых полного асимптотического разложения в области кончика трещины (коэффициент интенсивности напряжения, T-напряжение), но отсутствует для коэффициентов слагаемых высшего порядка. В [1] на основе точного решения, полученного с помощью теории функций комплексного переменного, найдено аналитическое представление для всех коэффициентов асимптотического разложения М. Уильямса.
В [2] на основе поляризационно-оптического метода (метода фотоупругости) выполнено экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в образцах с надрезами, находящихся в условиях смешанного нагружения. Проведенное экспериментальное исследование позволило определить коэффициенты интенсивности напряжений в асимптотическом разложении полей напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины, а также найти коэффициенты высших приближений в полном асимптотическом разложении М. Уильямса. Авторами статьи [3] описана методика определения коэффициента интенсивности напряжений и T-напряжений для трещины нормального отрыва на основе измерения локальных деформационных откликов, вызываемых малыми приращениями ее длины. Отклики в форме полей тангенциальных перемещений регистрируются методом электронной (цифровой) спекл-интер-ферометрии. Интерпретация экспериментальных данных базируется на асимптотическом разложении М. Уильямса. В [3] представлены результаты демонстрационного эксперимента.
В работе [4] рассмотрены две возможные модели и критериальные уравнения механики разрушения тел с вырезами, учитывающие несингулярные члены разложений полей напряжений у вершины выреза (трещины) и основанные на диаграммах трещиностойкости и мастер-кривой. Приведено критериальное уравнение обобщенной диаграммы трещиностойкости, одинаково приемлемой для тела с трещиной и вырезом и учитывающей изменение степени стеснения деформаций у вершины выреза в результате конечности радиуса скругления его вершины и несингулярной составляющей напряжений (T-напряжений). Введено понятие эффективных T-напряжений, определяемых посредством осреднения T-напряжений перед вершиной выреза в области предразрушения, характеризуемой эффективным расстоянием. Построена базовая зависимость вязкости разрушения в функции эффективных T-напряжений (мастер-кривая) трубной стали для данной геометрии надреза. Ю.Г. Матвиенко [5] показал необходимость учета как сингулярных, так и несингулярных компонентов поля напряжений у вершины трещины и разреза в параметрических и критериальных задачах механики разрушения. Обсуждены трехмерные и двухмерные модели и критерии, учитывающие несингулярные T-напряжения. Их использование показано на примере решения задач механики разрушения, включающих анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины, экспериментальное определение трещиностойкости, мастер-кривой и обобщенной диаграммы трещиностойкости тел с трещинами и разрезами, прогнозирование направлений распространения трещины смешанного типа. В рамках работы [6] выполнен теоретический и численный анализ влияния несингулярных компонентов Т-напряжений на размеры области пластической деформации у вершины трещины нормального отрыва в связи с изменением толщины образца. Расчеты проведены для компактного образца трех толщин.
В [6] установлено, что размер области пластической деформации в срединной поверхности образца уменьшается с ростом его толщины. Для более корректного определения формы области пластической деформации необходим учет углового распределения несингулярных Т-напряжений у вершины трещины. В [7] приведены асимптотическое решение задач механики трещин, учитывающие высшие приближения. Приведен асимптотический анализ полей напряжений в задаче о трещине в упрочняющемся упругопластическом материале с учетом высших приближений. Приведены асимптотические разложения полей напряжений и деформаций в окрестности вершин трещины в задаче о трещине антиплоского сдвига в среде с поврежденностью. В [16] дан краткий обзор основных результатов нелинейной механики разрушения, полученных с помощью асимптотического анализа и методов возмущений, за последнее десятилетие, и обсуждаются асимптотические решения целого класса задач о трещинах: проблема определения напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в среде с повре-жденностью; задача об усталостном распространении трещины с учетом накопления микроповреждений; проблема определения спектра собственных значений в разложениях по собственным функциям напряжений вблизи вершины трещины и углового выреза, задача построения высших приближений для компонент тензора напряжений и связанная с ней проблема нахождения амплитудных коэффициентов, зависящих от геометрии рассматриваемого образца и системы приложенных нагрузок. Подчеркивается, что одной из актуальных задач механики разрушения является определение напряженно-деформированного состояния в непосредственной окрестности вершины трещины с помощью асимптотических разложений с удержанием высших приближений в окрестности вершины трещины в материалах с нелинейными определяющими уравнениями.
В работе [9] показано, что в полном асимптотическом представлении полей напряжений следует удерживать приближения высших порядков, которые оказываются существенными для определения амплитуды поля напряжений. Авторы работы [10] провели анализ напряженно-деформированного состояния в малой окрестности вершины трещины - в материале строятся двучленные асимптотические разложения компонент тензора напряжений и деформаций, коэффициенты второго члена асимптотического разложения находятся численно с помощью конечноэлементного расчета. В [10] показано, что необходимо удерживать высшие члены в асимптотических разложениях механических величин в окрестности вершины трещины. Результаты асимптотического анализа [11] показывают, что исключение из расчета коэффициентов высших порядков асимптотических разложений может привести к значительным ошибкам в оценке параметров разрушения элементов конструкций. Опираясь на полное асимптотическое решение М. Уильямса, в [12] в результате обработки экспериментов, проведенных методами фотоупругости, были вычислены коэффициенты интенсивности напряжений, сопоставленные с результатами конечно-элементного решения. Полученные экспериментальные данные показали, что высшие приближения в асимптотических разложениях механических величин могут значительно влиять на коэффициенты интенсивности напряжений. В [13] отмечается, что в механике разрушения принято, что компоненты напряжений и перемещений в рамках теории упругости в окрестности вершины трещины при любой геометрии тела с трещиной и любых граничных условиях нагружения, действующего в плоскости тела, могут быть аппроксимированы однопараметрическим или одночленным представлением, т. е. строго в терминах коэффициентов интенсивности напряжений К и Кц для трещины произвольного разрыва. Впоследствии функция Вестергаарда для сингулярного решения для центральной
трещины при двухосном нагружении пластины была уточнена. Уточненное приближенное двухкомпонентное решение имеет удовлетворительную точность. Такой способ хотя и считался длительное время правильным, явно недопустим в качестве общего утверждения и общего подхода анализа поля напряжений у вершины трещины.
Причина заключается в довольно необоснованном пренебрежении вторым членом в представлении М. Уильямса компонент напряжений для плоского случая в виде рядов по собственным функциям, вклад которого в прямоугольной системе координат x, у не зависит от расстояния от конца трещины. Такой способ может привести к серьезной ошибке как с качественной, так и количественной точки зрения при предсказании локального напряжения, перемещения и связанных с ними величин, представляющих интерес. Это, возможно, лучше всего демонстрируется на примере задачи о двухосном нагружении пластины с трещиной. Произвольный пропуск второго члена в ряду компонент напряжений, вклад которого не зависит от расстояния от вершины трещины, лежит в основе упомянутых выше трудностей. Для этой проблемы влияние нагрузки, приложенной параллельно плоскости трещины, появляется только во втором члене ряда. Следовательно, его нужно четко определять и детально исследовать для технологических сварочных дефектов (непровары, несплавления, подрезы, шлаковые включения), трещиноподобных дефектов (рисок, надрезов) в основном металле. Влияние напряжения аох вдоль оси трещины на тензор напряжений ax, ay, axy и перемещения ux, uy подтверждается экспериментальными исследованиями методом фотоупругости для трещин. В [14] рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния, описываемого сингулярными и регулярными членами, и коэффициента интенсивности напряжений в окрестности вершины трещины трещиноподобного дефекта в пластине при двухосном нагружении. Методом Колосова - Мусхели-швили получены выражения для тензора напряжений вблизи эллипса, из которых следуют формулы для напряжений в случае затупленных трещин.
В [15] построено асимптотическое решение задачи об усталостном росте трещины в изотропном линейно-упругом материале с учетом процесса накопления рассеянных повреждений в рамках связанной (упругость-поврежденность) постановки задачи в условиях реализации плоского напряженного и плоского деформированного состояния. Получены новое численное решение двухточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой сводится проблема определения напряженно-деформированного состояния у кончика трещины в среде с поврежденностью, а также новое аналитическое представление полей напряжений, деформаций и сплошности в окрестности вершины трещины как для плоского напряженного, так и для плоского деформированного состояний. Однако асимптотическое решение содержит масштабные (амплитудные) множители, зависящие от геометрии образца с дефектом и системы приложенных нагрузок, для определения которых требуется процедура асимптотического сращивания ближнего и дальнего полей, представляющая самостоятельную проблему.
В механике разрушения сегодня значительный интерес представляет собой построение высших приближений в асимптотических разложениях напряжений, деформаций и напряжений в окрестности вершин трещин и угловых вырезов [1; 8; 15; 16; 17]. Коэффициенты в полных асимптотических разложениях механических величин должны в общем случае отражать зависимость ближнего поля напряжений (поля напряжений в непосредственной окрестности вершины трещины или углового выреза) от приложенной нагрузки и геометрии образца. Определение такой зависимости составляет одну из задач современной механики разрушения.
Важной и сложной задачей является определение коэффициентов приближений высшего порядка (слагаемые третьего, четвертого порядков) в полном асимптотическом разложении поля напряжений М. Уильямса. Именно определению коэффициентов высших приближений полного асимптотического разложения М. Уильямса поля напряжений в окрестности вершин двух коллинеарных трещин конечной длины в бесконечной пластине, находящейся в условиях смешанного нагружения, посвящена данная статья.
2. Асимптотическое представление поля напряжений у вершины трещины
В линейной механике разрушения хорошо известно полное асимптотическое разложение М. Уильямса компонент тензора напряжений в окрестности вершины трещины [18]:
2 оо
М)=Е Е amm(0)rk/2-1, (2.1)
m=1 k= — o
где fk’1'1 (0) - угловые распределения, определяемые в ходе решения краевой задачи; r - расстояние от вершины трещины; akn = akn(&0j ,a,b) - масштабные коэффициенты, зависящие от геометрии образца с трещиной и приложенной нагрузки; а°? - нормальное напряжение, приложенное на бесконечности; а и b -определяющие геометрию вершины трещины; m - определяет тип нагружения, принимает значения 1 - нормальный отрыв, 2 - поперечный сдвиг (рис. 1).
Угловые распределения напряжений в (2.1) имеют следующий вид. Для первого типа нагружения (нормальный отрыв) угловые распределения компонент тензора напряжений определяются выражениями
f1’11(0) = k[(2 + k/2 + (-1)k) cos(k/2 - 1)9 - (k/2 - 1) cos(k/2 - 3)0]/2,
fl’22(9) = k[(2 + k/2 - (-1)k) cos(k/2 - 1)0 + (k/2 - 1) cos(k/2 - 3)0]/2, (2.2)
fl’12(9) = k[(k/2 - 1) sin(k/2 - 3)0 - (k/2 + (-1)k) sin(k/2 - 1)0]/2.
Для второго типа нагружения (поперечный сдвиг) угловые распределения вычисляются по формулам
fk’11(0) = k[(2 + k/2 - (-1)k) sin(k/2 - 1)0 - (k/2 - 1) sin(k/2 - 3)0]/2,
fl’22(0) = k[(2 + k/2 + (-1)k) sin(k/2 - 1)0 + (k/2 - 1) sin(k/2 - 3)0]/2, (2.3)
f2’12(0) = k[(k/2 - 1) cos(k/2 - 3)0 - (k/2 - (-1)k) cos(k/2 - 1)0]/2.
Радиальные и угловые распределения компонент тензора напряжений (2.1), (2.2 и (2.3) не содержат зависимости от геометрических характеристик образца с трещинами и зависимости от приложенной нагрузки. Геометрия образца и системы нагрузок учитываются только в коэффициентах (амплитудных множителях) akn. В большинстве инженерных приложений в асимптотическом представлении поля напряжений (2.1) удерживается лишь одно слагаемое или два, последнее из которых называется Т-напряжением. В последнее время в механике разрушения [1-18] сложилось ясное понимание необходимости учета высших приближений в асимптотическом представлении поля напряжений (2.1).
Приведем анализ высших приближений в полном асимптотическом разложении М. Уильямса в окрестности вершин двух коллинеарных трещин конечной
длины в бесконечной пластине, находящейся в условиях растягивающего нагружения, базируясь на классическом решении плоской задачи теории упругости в терминах теории функции комплексного переменного - представлении Колосова -Мусхелишвили. Рассмотрим тонкую пластину с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины под действием растягивающей нагрузки (рис. 1).
Рис. 1. Двухосное симметричное растяжение тонкой пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины:
а и b - вершины трещины, 21 - длина одной трещины, d - расстояние между центрами двух коллинеарных трещин в пластине
Комплексное представление поля напряжений в случае двухосного растяжения пластины с двумя коллинеарными трещинами имеет вид [7]
CT11 (z) = 2Re[p1 (z)] - 2x2Im[ip'l(z)] + (а - 1)п2£/2,
ст22(z) = 2Re[tp[ (z)] + 2x2Im[ip'{(z)] - (а - 1)п%2/2, (2.4)
а12 (z) = -2X2Re[ip'i (z)].
Для случая поперечного сдвига пластины с трещинами комплексное представление поля напряжений принимает вид
n2i(z) = 4Re[if2(z)] - 2x21т[ф2(z)],
ст22 (z )=2Х21т[ф2 (z)], (2.5)
п22(z) = -2Im[(p2(z)] - 2x2Re[<p'i(z)] - a?2.
Комплексные потенциалы Колосова - Мусхелишвили (z) и ф2 (z) для пластины с двумя коллинеарными трещинами равной длины определяются формулами [21]
(z) =
П22
z2- С
П ж
__________________+ (а - 1) ,
2 yj(z2 - a2)(z2 - b2) 4 ’
“ OO
z2 С
П
12
ф2 (z) = -i—---, : + i- ,
2W 2 ^/(z2 - a2)(z2 - b2) 2 1
c = b2E(n/2,k)/F(n/2,k), k = y/1 - a2/b2,
(2.6)
где F(n/2, k)
7t/2
/
d6
\Л - k2 sin2 6
- полный нормальный эллиптический интеграл
7т/2
Лежандра первого рода; E(n/2,k) = J Vl — k2 sin2 OdO -
полный нормальный
эллиптический интеграл Лежандра второго рода. Рассмотрим одноосное растяжение тонкой пластины с двумя коллинеарными трещинами равной длины, считаем а = 0 (рис. 1).
Для случая двухосного симметричного растяжения тонкой пластины с двумя коллинеарными трещинами выражения (2.4) принимают вид
au(z) = а22 S Re
—X2lm
022(z)= ^22 5 Re
+X2lm
2
z2 — c
\J (z2 — a2)(z2 — b2) 2z
a12(z)
-X2O22
+ (a — 1) —
z(z2 — c)(2z2 — a2 — b2) V(z2 — a2)(z2 —W) ~ (z2 — a2)(3/2)(z2 — b2)(3/2)
+
z(z2 — c)(2z2 — a2 — b2)
2
z2 c
\J (z2 — a2)(z2 — b2) 2z
vV — a2)(z2 — b2) (z2 — a2)(3/2) (z2 — b2 )(3/2)
Re
}■
1 ■
(2.7)
2z
_______________________z(z2 — C2)(2z2 — a2 — b2)
■\J(z2 — a2)(z2 — b2) (z2 — a2)(3/2)(z2 — b2 )(3/2)
}
Для случая поперечного сдвига выражения (2.5) принимают вид
o21 (z) = 2Im
z2 c
a22(z)
+ X2Re
—a 2 X2
■\J (z2 — a2)(z2 — b2) 2z
+
z(z2 — c)(2z2 — a2 — b2)
■\J(z2 — a2)(z2 — b2) (z2 — a2)(3/2)(z2 — b2)(3/2)
Re
2z
z(z2 — C2)(2z2 — a2 — b2) y/(z2 — a2)(z2 —W) — (z2 — a2)(3/2)(z2 — b2 )(3/2)
(2.8)
a 22(z)= a 12S Re
- X2 Im
2
z2 c
y7 (z2 — a2)(z2 — b2) 2z
/z2 — C2)(2z2 — a2 — b2)
}
y/(z2 — a2)(z2 — b2) (z2 — a2)(3/2)(z2 — b2 )(3/2)
Выделяя действительную и мнимую части комплексных потенциалов, можно получить выражения для компонент тензора напряжений в случае нормального отрыва
a f 1(z) = a?1 (u 1U1 — U2U2) + (a — 1)a$2 — a! X2U4, a\2(z) = a2 (U1U1 — U2U2) + а?!X2U4,
a12(z) = —a22 X2U3,
где приняты обозначения
XX1 — YY1 YX1 + XY1
(2.9)
U1 (X2 + Y 2)(X2 + X2)'
= X2 — Y2 1 X2- Y2
P1 /17-0 . т^ОЧО +
U2 = -
(X2 + Y2)2 ' (X2 + У2)2' "2
±/2x1X2
(X2 + Y 2)(X2 + X2)’
XY X1Y1
+ 1 1
P2 = 2
(2.10)
(X2 + Y2)2 ' (X2 + Y2)2_
X=
\J ~(x\ + x2 — a2) + \/(X2 + x2 — a2)2 + 4x\x2
Y = ^2 /V2.
Выделяя действительную и мнимую части, для трещины поперечного сдвига можно найти распределение напряжений
021 (z) = 2^12 (U2 U + т U2 ) + ^12 Х2 U3,
022 (z) = — 012 x2 U3, (2.11)
О22 (Z) = О! (U 1 Ui — U2 U2 ) — ^12 X2 U4,
где приняты обозначения
и 1 = x2 — x‘2 — c, u2 = 2x 1x2,
U3 = (xi Ui — x2 U2 )(2 — Ui Pi — U2 P2 ) + (xi U2 + x2 Ui )(U2 Pi — Ui P2 ),
U4 = (xi U2 + x2 Ui )(2 — Ui Pi — U2 P2 ) — (xi Ui — x2 U2 )(U2 Pi — Ui P2).
На рис. 2-9 представлены линии уровня компонент тензора напряжений у вершин трещин при смешанных типах нагружения трех разных геометрий пластины с двумя коллинеарными трещинами равной длины, Me = 0, 0.25, 0.5, 0.75,1, построенные с помощью формул (2.9), (2.11). На графиках буквой A изображены картины распределения компоненты тензора напряжения o11 , B - o22 , C - o12 , D-oe. Me - параметр смешанности нагружения, который определяется как Me = = (2п) arctg [о! /oil] . Параметр смешанности нагружения Me принимает значение Me = 0 для случая поперечного сдвига и значение Me = 1 - для нормального отрыва. Me принимает значения 0 < Me < 1 для смешанных форм деформирования.
Рис. 2. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности касательных напряжений для Me = 1, a/l = 0.25, b/l = 1.25 и Me = 0.75, a/l = 0.25, b/l = 1.25
Коэффициенты интенсивности напряжений вблизи двух кончиков трещины z = = а и z = b (рис. 1) хорошо известны [20]:
{Kj(a),Ku(a), Kiii(а)} = F(a){of?,оЦ, о§|}Хй, {Ki(b), Kjj(b), Kjjj(b)} = F(b){oft,o%,0%}Vni,
(2.12)
Рис. 3. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности касательных напряжений для Me =0.5, a/l = 0.25,b/l = 1.25 и Me =0.25, a/l = 0.25,b/l = 1.25
Рис. 4. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности касательных напряжений для Me = 0, a/l = 0.25, b/l = 1.25; Me = 1, a/l = 0.5, b/l = 1.5
где
F (a) =
F (b) =
d - 2l(d - 2l\ 4Ц d J
1/2
d + 2l d + 2l
1/2
4l
d
1/2
d + 2H E (k) 1
1 -
1/2
d - 2l) F(kk)
E (k)"
F(k)
a = (d - 2l)/2, b = (d + 2l)/2.
В табл. 1 приведены численные значения коэффициентов интенсивности напряжений вблизи вершин трещины z = а и z = b, зависящих от геометрии пластины, в случае двухосного растяжения тонкой пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины: 0 < 2l/d < 1.
%/ <£
°п/242
Рис. 5. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности касательных напряжений для Me = 0.75, a/l = 0.5, b/l = 1.5;Me = 0.5, a/l = 0.5, b/l = 1.5
Рис. 6. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности касательных напряжений для Me = 0.25, a/l = 0.5, b/l = 1.5;Me = 0, a/l = 0.5, b/l = 1.5
Как видно из табл. 1, коэффициенты интенсивности напряжений в областях вершин трещины зависят от геометрии тонких пластин с двумя коллинеарными трещинами равной длины. Очевидно, что чем дальше друг от друга в пластине расположены трещины, тем слабее их влияние друг на друга. Таким образом, в случае пластин с существенным разведением трещин друг от друга на расстояния порядка d > 10/ каждая трещина ведет себя как отдельная (самостоятельная) трещина и практически не взаимодействует с другой трещиной в тонкой пластине. Это подтверждается сближением численных значений Ki (cl)/&22 и К (fy/a^ при увеличении расстояния между двумя коллинеарными трещинами равной длины в пластине.
Рис. 7. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности касательных напряжений для Me = 1, a/l = 1.25, b/l = 2.75;Me = 0.75, a/l = 1.25, b/l = 2.75
Рис. 8. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности касательных напряжений для Me = 0.5, a/l = 1.25, b/l = 2.75;Me = 0.25, a/l = 1.25, b/l = 2.75
Асимптотическое разложение комплексного потенциала ф (z) в окрестности точки z — а имеет вид
ф1 (z) = (+2/2)^2 Sn(z - а)п 1/2 + (а - 1Д22/4,
(2.13)
п=0
где
п+1
п+1
п+1
$п — ^ akХп-k , Хп — ^ ftkСп-k , £п — Л] CkПп — к i к=0 k=0 k=0
По — a2 - c, ni — 2a, щ — 1, Vk — 0,k> 2,
ak — lk(2a)-(2k+1)/2, pk — lk(b - a)-(2k+1)/2, Ck — lk(b + a)~(2k+r>/2.
(2.14)
Рис. 9. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности касательных напряжений для Me = 0, a/l = 1.25, b/l = 2.75
Таблица 1
Численные значения коэффициентов интенсивности напряжений у вершин трещины в случае двухосного растяжения тонкой пластины с двумя коллинеарными трещинами
l, см 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
d, см 1.11 1.65 2.75 3.85 5.5
Ki (а)/а22 , см2 4.0823 1.4623 1.3502 1.3308 1.3219
Ki(Ь)/^Ш , см2 1.5886 1.3824 1.3380 1.3266 1.3206
l, см 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6
d, см 1.21 1.8 3 4.2 6
Ki (a)/<T%, см 2 4.3957 1.5274 1.4102 1.3899 1.3807
Ki(Ь)/аЩ, см2 1.6625 1.4439 1.3975 1.3856 1.3793
l, см 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8
d, см 1.61 2.4 4 4.8 8
Ki (a)/<T%, см 2 5.6205 1.7636 1.6284 1.6050 1.5943
Ki (Ь)/аШ, см1 1.9318 1.6673 1.6137 1.6000 1.5927
l, см 1 1 1 1 1
d, см 2.1 3 5 7 10
Ki (a)/a%, см 2 3.1815 1.9718 1.8206 1.7944 1.7825
Ki (Ь)/аШ, см1 2.0401 1.8641 1.8041 1.7888 1.7806
l, см 3 3 3 3 3
d, см 6.1 9 15 21 30
Ki (a)/a%, см 2 7.7557 3.4153 3.1534 3.1080 3.0874
KI (Ь)Дм > см 2 3.6544 3.2286 3.1248 3.0984 3.0842
l, см 5 5 5 5 5
d, см 10.1 15 25 35 50
Ki (а)/^, см 2 11.9075 4.4091 4.0710 4.0124 3.9858
KI (Ь)Дм > см 2 4.7790 4.1682 4.0341 4.0000 3.9817
Формулы (2.14) дают зависимость коэффициентов асимптотического разложения М. Уильямса от геометрических параметров и от нагрузки а22 ■ Подстановка комплексного потенциала (2.13) в формулы Колосова — Мусхелишвили (2.4) и сравнение полученного результата с асимптотическим разложением Уильямса приводит к выражениям для коэффициентов разложения
4 = а22Sk/fl’22(e = 0), a1 = (а - 1)а22/4, а\к = 0, Ук > 1. (2.15)
Первые семнадцать коэффициентов (амплитудных множителей) ак имеют вид
а22 а2 - с V2a, Vb2 - а2 ’
а1
' 22,
а\к = 0, Ук> 2,
а22л/2 3а4 — 7а2Ь2 + 5а2с — Ь2с 24 а3/2 (b2 - а2)3/2 ’
aSS V2 2а2Ь2с - 34b2а4 - 19b4а2 + 43а4с + 5а6 + 3b4c
а5/2 (b2 - а2)5/2
'22 320
V2 -5b6с + 137Ь2а4с+ 11Ь4а2с+177а6c+113b6а2 + 17а8- 113Ь2а6-227b4a4 1792
аз0?1
а22лД
36864 а9/2 (b2 - а2)9/2
а7/2 (b2 - а2)7/2
{45а10 + 5732b2 а6 + 450b4 а4 с + 2867а8с + 35b8 с-
-124Ь6а2с - 67Ь8а2 - 132b6а4 - 1636Ь2а8 - 7170Ь4а6} ,
22
V2
11
180224 а11/2 (b2 - а2)9/2
{l0398b4a6c + 42997b2а8с + 77а12 - 10986b6а6-
-367b8а4 - 64b6а4с + 295b8а2с + 11531а10с - 6189b2a10 - 47150b4а8--63Ь10с + 103b10a2} ,
а1з =
22
V2
1703936 а13/2 (ь2 - а2)13/2
{48014b2a12 + 559049Ь4а10 + 329124b6 а8-
-92479а12с - 1810Ь10а4 - 273а14 + 343Ь12а2 - 551534Ь2а10с - 298169Ь4а8с--1794Ь6а6с - 3329Ь8а4с + 1330Ь10а2с - 231Ь12с + 11729b8а6} ■
6 6с а'22 V2
1
+
а15 = ——-------1С/„, о--{2919са2Ь12-8649са4Ь10 + 12875са6Ь8+305225са8Ь
15 7864320 а15/2(Ь2-а2)15/2 1
+3123045са10Ь4 + 3223405са12Ь2 + 495а16 + 597Ь14а2 - 3903а4Ь12 +
+ 12945а6Ь10 - 383875а8Ь8 - 3366225а10Ь6 - 3099885а12Ь4-
-188885а14Ь2 - 429сЬ14 + 370345са14} ,
а17 =----22 ----. --- . {6435сЬ16-8547Ь16а2 - 50424сЬ14а2 + 174132са4Ь12-
17 285212672 а17/2(Ь2-а2)17/2 1
-338568са6Ь10 + 11857475са16 - 57873010Ь8а10 - 226239160Ь6а12 + 141664840са14Ь2--131213300Ь4а14 - 5990728b2а16 + 65528Ь14а4 - 229940Ь12а6 - 242296Ь10а8+ +7293а18 + 1022450са8Ь8 + 51407800са10Ь6 + 215980020са12Ь4} ■
1
1
а=
а=
1
2
1
а
3
1
а
5
1
а
7
1
а
9
1
1
1
Аналогичный подход дает возможность построить асимптотическое разложение поля напряжений в случае одноосного растяжения пластины с двумя коллинеар-ными трещинами в окрестности вершины трещины ^ = Ь (рис. 1). Полагая, что
Х2 =0, 9 = 0, ^ = Ь + теъв, имеем
(2.16)
Pi(z)
rr° ____
а22 ( т\г.
2 У у $п (Z Ь)
-i/2 . , л\а22
' +((У-1) — ,qn
n+i n+i
У ^ pk dn-k ? pn У ^ ck en-k 7 k=Q k=0
n+i
en akbn-k7
k=Q
ak
= lk(b - a)-(2k+i)/2, bk = lk(b + a)-(2k+i)/2,
ck
lk = (-1)
,(№ - 11!!) 2k k!
Коэффициенты ряда в окрестности вершины z =
ak = ат2qn/fl,22(o = о), ai = (a - ^/4,
lk (2b)-(2k+i)/2,
(2.17)
b определяются выражениями a2k =0, Vk> 1. (2.18)
Первые семнадцать амплитудных множителей имеют вид
22
b2
a — 1
V2bVb2 - a2 ’
'22,
alk = 0, Ук> 2,
a3
a5
a222>v2 3b4 - 7a2b2 + 5b2c - a2c 24 b3/2 (b2 - a2)3/2 ’
a°V2 2a2b2c - 34a2b4 - 19a4b2 + 43b4c + 5b6 + 3a4c
320
b5/2 (b2 - a2)5/2 ’
V2 137a2b4c-5a6c+11a4b2c+177b6c+ 13a6b2 + 7b8 - 113a2b6 -227a4b4
b7/2 (b2 - a2)7/2 ’
{45bi0 + 5732a2b6 + 450a4b4c + 2867b8c + 35a8c-
11792
*2°2 ^2
9 36864 b9/2 b - a2)9/2
- 124a6b2c - 67a8b2 - 132a6b4 - 1636a2b8 - 7170a4b6}
aii =
22
V2
180224 bii/2 (b2 -a2)9/2
{10398a4 b6c+42997a2 b8c+77bi2 -10986a6 b6-
-64a6b4c + 295a8b2c + 11531bi0c - 6189a2biQ - 47150a4b8 - 63aiQc + 103aiQb2--367a8b4}, (2.19)
a13=
22
V2
1703936 bi3/2 (b2 - a2)13/2 1Q
{48014a2bi2 + 559049a4biQ + 329124a6b8-
-92479bi2c - 1810aiQb4 - 273bi4 + 343ai2b2 - 551534a2biQc - 298169a4b8c--1794a6b6c - 3329a8b4c + 1330aiQb2c - 231ai2c + 11729a8b6} .
ai5 =
22
V2
1C/-—----—— {2919cb2ai2 - 8649cb4aiQ + 12875cb6a8+
7864320 bi5/2(b2 - a2)15/2 1
+305225cb8a6 + 3123045cbiQa4 + 3223405cbi2a2 + 495bi6 + 597ai4b2-
-3903a4bi2 + 12945a6biQ - 383875a8b8 - 3366225aiQb6 - 3099885a12b4-
-188885b14a2 - 429cai4 + 370345cb14} .
22
V2
1
{6435ca16 - 8547a16b2 - 50424ca14b2-
a17 285212672 b17/2(b2 - a2)17/2
-338568cb6a1Q + 11857475cb16 - 57873010a8b1Q - 226239160a6b12--131213300a4b14 - 5990728a2b16 + 65528a14b4 - 229940a12b6 - 242296a1Qb8+ +7293b18 + 1022450cb8a8 + 51407800cb1Qa6 + 215980020cb12a4 + 174132cb4a12+ +141664840cb14a2} .
1
1
a=
a=
1
2
1
a
7
1
1
В табл. 2 приведены численные значения коэффициентов a1, a^, a^, a^, a^ при изменении геометрии образцов.
Анализируя полученные в табл. 2 результаты численного расчета коэффициентов ak, можно говорить о сходимости решения. Прослеживается уменьшение
численных значений коэффициентов от а\ к ag. Это говорит о величине вклада коэффициентов а\ в общее решение.
Таблица 2
Численные значения коэффициентов а\ в окрестности вершины z = а,
где k = 1, 3, 5, 7, 9
l, см 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
d, см 1.11 1.65 2.75 3.85 5.5
a1b 0.024999 0.137751 0.440187 0.723774 1.134518
a3b 0.439027 0.367171 0.263622 0.195011 0.113230
a5b 0.177131 0.120602 0.065929 0.036518 0.003762
a7b 0.073828 0.042985 0.019801 0.007275 -0.007974
a9b 0.076167 0.038729 0.017787 0.008457 -0.001948
l, см 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6
d, см 1.21 1.8 3 4.2 6
a1b 0.128680 0.218548 0.508644 0.792393 1.211366
a3b 0.384946 0.330106 0.240954 0.179077 0.103398
a5b 0.136558 0.096115 0.053307 0.029163 0.001468
a7b 0.051794 0.031163 0.014386 0.004851 -0.007077
a9b 0.048675 0.025643 0.011909 0.005475 -0.001929
l, см 1 1 1 1 1
d, см 2.1 3 5 7 10
a1b 0.573518 0.606721 0.869142 1.181335 1.678622
a3b 0.212717 0.199800 0.156793 0.118811 0.067022
a5b 0.035630 0.029459 0.017663 0.009047 -0.002181
a7b 0.007585 0.005479 0.002563 0.000413 -0.002594
a9b 0.004019 0.002647 0.001312 0.000487 -0.000600
l, см 3 3 3 3 3
d, см 6.1 9 15 21 30
a1b 1.410514 1.331962 1.689415 2.183320 3.006840
a3b 0.094512 0.099218 0.081908 0.062850 0.034923
a5b 0.003899 0.004208 0.002717 0.001309 -0.000695
a7b 0.000255 0.000249 0.000118 -0.000004 -0.000186
a9b 0.000041 0.000039 0.000021 0.000006 -0.000016
l, см 5 5 5 5 5
d, см 10.1 15 25 35 50
a1b 1.884417 1.748587 2.200031 2.832820 3.892077
a3b 0.070573 0.075854 0.062912 0.048328 0.026817
a5b 0.001644 0.001901 0.001237 0.000592 -0.000333
a7b 0.000063 0.000067 0.000032 -0.000002 -0.000052
a9b 0.000006 0.000006 0.000003 0.0000009 -0.000003
l, см 7 7 7 7 7
d, см 14.1 21 35 42 70
a1b 2.259767 2.078419 2.609307 2.968804 4.608514
a3b 0.058748 0.063875 0.053046 0.046909 0.022610
a5b 0.951516 0.001139 0.000743 0.000546 -0.000203
a7b 0.258614 0.000029 0.000014 0.000006 -0.000023
a9b 0.000002 0.000002 0.000001 0.0000006 -0.0000008
Определим поле напряжений в случае поперечного сдвига пластины с двумя коллинеарными трещинами для вершины трещины z = а (рис. 1). Таким образом, x 1 =0, в = 0, z = а + re10.
al = <24/йк’П(в = 0), aik =0, Ук> 0.
Первые амплитудные множители ак имеют вид
2 а° a2 - с
ai~
2 а 1 а2 — —— 012 >
л/2а л/b2 — а2 ’ ^ 4
2 аЮ\/2 3а4 — 7a2b2 + 5a2 с — b2 с
аз —
а2к — 0, Ук > 2,
24
a3/2 (b2 — a2)3/2
г.2Ы2 „ о ли2 „4
2 аГ2Щ 2а2Ь2с — 34b2a4 — 19b4a2 + 43а4с + 5а6 + 3b4c
а5 —
320
а5/2 (b2 — а2)б/2
К6 „ I 1 1 h4„2„ II TV,,6» I 1 ЧК6 „2
2 аО\/2 137b2a4c— 5b6c+11b4a2c+177a6c+13b6a2 + 7а8 — 113b2a6 — 227b4a4
а7 = 11792
2 012 V2
ад -
a7/2 (b2 — а2)7/2
{45а10 + 5732b2 a6 + 450b4 a4 с + 2867a8c + 35b8c—
36864 ад/2 (b2 — а2)д/2 — 124b6 а2 с — 67b8 a2 — 132b6 a4 — 1636b2 a8 — 7170b4 a6}
2 C12V2
an -
180224 aii/2 (b2 — a2)д/2
— 64b6 а4 с + 295b8a2с + 11531а10с — 6189b2a10 — 47150b4 a8 —
— 367b8a4 — 63Ъ10с + 103b10a2} ,
012 V2 1
(2.20)
а1з —
а1б —
{l0398b4a6с + 42997b2a8с + 77a12 — 10986b6a6 —
— 6189b2a10 — 47150b4a8—
1Q/0 {48014b2a12 + 559049b4a10 + 329124b6a8 + 11729b8a6 — 1703936 a13/2 (b2 — a2)13/2 1 1 1 1
— 92479а12с — 1810b10a4 — 273a14 + 343b12a2 — 551534b2a10с — 298169b4а8с—
— 1794^а6с — 3329b8а4с + 1330^°^ — 231b12с} ,
^ 1 {495b16 — 188885a2 b14 — 3099885a4b12 — 3366225a6b10 —
(2.21)
7864320 b15/2 (b2 — a2)15/2 — 383875a8b8 + 12945a10b6 — 3903a12b4 + 597a14b2 + 2919a12b2с + 3223405a2b12с+ +305225a6b8с + 12875а^6с — 8649a10b4с + 370345Ъ14с — 429а14с + 3123045a4b10с} .
1
На рис. 10-13 показаны распределения компонент тензора напряжений у вершины трещины z = b для различных расстояний от кончика трещины. Видно, что по мере удаления от вершины трещины требуется удержание все большего числа членов асимптотического разложения. Поэтому для расширения области действия асимптотического разложения необходимо построение высших приближений в асимптотическом разложении.
Аналогичный подход позволяет определить асимптотическое разложения поля напряжений в случае поперечного сдвига пластины с двумя коллинеарными трещинами для вершины трещины z = b (рис. 1). Таким образом, xi =0, в = 0, z = b + re10.
Для анализа необходимого числа слагаемых полного асимптотического разложения М. Уильямса поля напряжений необходимо построить графики распределения напряжений ац/аЩ и ^22/аЩ в окрестности вершины трещины для случая двухосного растяжения пластины с двумя коллинеарными трещинами.
На рис. 14 приведены графики распределения напряжений ац/аЩ в окрестности вершины трещины b для случая двухосного растяжения пластины с двумя коллинеарными трещинами, при а =1, b = 2. На рисунке кривой с надписью N =1 изображен график распределения напряжений в окрестности вершины трещины для случая асимптотического разложения поля напряжений с удержанием
v<s
1.5
Г---r/a--- 0.15
\ N---1 у N-1
/ N---5,7,9 11,15,50 N-5,7 ,9,11,15,50
N---^
N---2 N---2
Рис. 10. Угловые распределения компоненты тензора напряжений ah у вершины трещины г = b для различных расстояний от кончика трещины
Рис. 11. Угловые распределения компоненты тензора напряжений ah у вершины трещины г = b для различных расстояний от кончика трещины
Рис. 12. Угловые распределения компонент тензора напряжений ah у вершины трещины г = b для различных расстояний от кончика трещины
°п/с£ а\\1а22
Рис. 13. Угловые распределения компонент тензора напряжений ah у вершины трещины z = b для различных расстояний от кончика трещины
Рис. 14. Графики распределения напряжения an/a22 в окрестности вершины трещины b для случая двухосного растяжения пластины с двумя коллинеарными трещинами
Рис. 15. Графики распределения напряжения a22/&Ш, в окрестности вершины трещины b для случая двухосного растяжения пластины с двумя коллинеарными трещинами
одного слагаемого полного асимптотического разложения поля напряжений. На рисунке приведены распределения компоненты тензора напряжений с удержанием двух слагаемых в асимптотическом разложении (N = 2), трех (N = 3) и пяти (N = 5) слагаемых в асимптотическом разложении. Графики с удержанием слагаемых шестого и высших порядков совпадают с кривой, отвечающей N = 5.
На рис. 15 приведены графики распределения напряжений ^22/^22 в окрестности вершины трещины b. На рисунке приведено распределение &22/&Ш, построенное с помощью одночленного асимптотического разложения (N = 1). Показаны распределение напряжения 022/02 в окрестности вершины трещины для случая асимптотического разложения поля напряжений с удержанием двух слагаемых полного асимптотического разложения поля напряжений (N = 2), трех (N = 3) и пяти слагаемых (N = 5) в асимптотическом разложении. График с удержанием слагаемого второго порядка совпадает с графиком, соответствующим N = 1. Графики с удержанием слагаемых шестого и высших порядков совпадают с кривой, соответствующей N = 5..
На рис. 14 и 15 для каждого графика удерживается определенное число слагаемых полного асимптотического разложения поля напряжений N = 1..9.
Как видно из графиков, изображенных на рис. 14 и 15, шестое и последующие слагаемые полного асимптотического разложения поля напряжений не оказывают влияния на общую картину распределения напряжений в окрестности вершины трещины на расстоянии r/[(b — a)/a] =0.3 от нее. Стоит отметить, что удаление от кончика рассматриваемой трещины увеличивает количество слагаемых полного асимптотического разложения поля напряжений, которые оказывают влияние на распределение напряжений в области данного кончика трещины.
Используя полученные выражения для амплитудных множителей, можно построить линии уровня компонент тензора напряжений для различных значений параметра смешанности нагружения Mе. На рис. 16-22 показаны линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений в окрестности вершины z = а для различных значений параметра смешанности нагружения Mе. Из рисунков видно, что высшие приближения в асимптотических разложениях оказывают существенное влияние на поле напряжений.
Рис. 16. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений в окрестности вершины г = a
Рис. 17. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений в окрестности вершины г = a
Рис. 18. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений в окрестности вершины г = a
Рис. 19. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений в окрестности вершины г = a
Выводы
Опираясь на построенные асимптотические разложения поля напряжений у вершин трещин в бесконечной пластине с двумя коллинеарными трещинами рав-
Рис. 20. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений в окрестности вершины z = a
Рис. 21. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений в окрестности вершины z = a
Рис. 22. Линии уровня компонент тензора напряжений и интенсивности напряжений в окрестности вершины z = a
ной длины, можно утверждать, что в асимптотическом представлении необходимо удерживать приближения высших порядков в полном асимптотическом разложении М. Уильямса поля напряжений.
С помощью полученных аналитических выражений для амплитудных множителей, зависящих от геометрических характеристик пластины с трещинами и от системы приложенных нагрузок, можно удержать любое наперед заданное число членов полного асимптотического разложения поля напряжений у вершины двух коллинеарных трещин при двухосном растяжении пластины. В работе приведен анализ необходимого числа слагаемых полного асимптотического разложения М. Уильямса поля напряжений, которые оказывают влияние на поле напряжений.
Таким образом, в статье найдены аналитические выражения для амплитудных (масштабных) коэффициентов полного асимптотического разложения поля напряжений у вершин двух коллинеарных трещин конечной длины в бесконечной пластине, находящейся в условиях 1) чистого растяжения; 2) чистого поперечного сдвига; 3) смешанного нагружения. Показано, что, наряду с главным членом асимптотического разложения и Т-напряжением, высшие приближения в полном асимптотическом разложении являются важными параметрами механики разрушения, учет которых необходим для аккуратной оценки несущей способности и долговечности образца. Аналитические выражения коэффициентов асимптотического разложения поля напряжений для любого наперед заданного числа удерживаемых слагаемых доступны лишь для пластины с одной трещиной конечной длины, поэтому важно расширить класс образцов, для которых имеются аналитические зависимости амплитудных множителей от приложенной нагрузки и геометрических параметров образца. Полученное в работе решение может быть использовано для 1) проверки численной обработки экспериментальных данных, полученных с помощью поляризационно-оптических методов механики деформируемого твердого тела для образцов с трещинами; 2) проверки численных алгоритмов, активно разрабатываемых в настоящее время для вычисления амплитудных коэффициентов многопараметрического поля напряжений.
Литература
[1] Hello G., Tahar M.-B., Roeland J.-M. Analytical determination of coefficients in crack-tip stress expansions for a finite crack in an infinite plane medium // J. International Journal of Solids and Structures. 2012. V. 49. P. 556-566.
[2] Герасимова Т.Е., Ломаков П.Н., Степанова Л.В. Цифровая фотомеханика: численная обработка результатов оптоэлектронных измерений и ее приложение к задачам механики разрушения // Вестник Самарского государственного университета. 2013. № 9/2(110). С. 63-73.
[3] Писарев В.С., Матвиенко Ю.Г., Одинцев И.Н. Определение параметров механики разрушения при малом приращении длины трещины // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2012. Т. 78. № 4. С. 45-51.
[4] Матвиенко Ю.Г. Два подхода к учету несингулярных Т-напряжений в критериях механики разрушения тел с вырезами // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2011. № 5. С. 104-110.
[5] Матвиенко Ю.Г. Несингулярные Т-напряжения в проблемах двухпараметрической механики разрушения // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2014. Т. 78. № 2. С. 51-58.
[6] Матвиенко Ю.Г., Починков Р.А. Влияние несингулярных компонент Т-напряжений на зоны пластической деформации у вершины трещины нормального отрыва // Деформация и разрушение материалов. 2012. № 3. С. 6-14.
[7] Степанова Л.В. Математические методы механики разрушения. Самара: Изд-во ’’Самарский университет”, 2006. 242 с.
[8] Stepanova L. V. Eigenspectra and orders of stress singularity at a mode I crack tip for a power - low medium // Comptes Rendus. Mechanique. 2008. № 1-2. P. 232-237.
[9] Evaluation of the stress singularities of plane V-notches in bonded dissimilar materials / Z. Niu [et al.] // Applied Mathematical Modelling. 2009. V. 33. P. 1776-1792.
[10] Ding P., Wang X. Solutions of the second elastic-plastic fracture mechanics parameter in test specimens // Engn. Fracture Mechanics. 2010. V. 77. P. 3462-3480.
[11] Ayatollahi M.R., Dehgany M., Nejati M. Fracture analysis of V-notched components -Effects of first non-singular stress term // International Journal of Solids and Structures. 2011. V. 48. P. 332-341.
[12] Ayatollahi M.R., Nejati M. Experimental evaluation of stress field around the sharp notches using photoelasticity // Materials and Design. 2011. V. 32. P. 561-569
[13] Остсемин А.А., Уткин П.Б. Теоретические и экспериментальные исследования по механике разрушения трещиноподобных дефектов при двухосном нагружении // Известия РАН. Сер.: Механика твердого тела. 2009. № 2. C. 130-142.
[14] Остсемин А.А., Уткин П.Б. Напряженно-деформированное состояние и коэффициент интенсивности напряжений в окрестности трещиноподобных дефектов при двухосном растяжении пластины // Прикладная механика и техническая физика. 2014. Т. 55 № 6(328). C. 162-172.
[15] Степанова Л.В. Уточненный расчет напряженно-деформированного состояния у вершины трещины в условиях циклического нагружения в среде с поврежденностью // Вестник Самарского государственного университета. 2011. № 2(83). C. 105-115.
[16] Адылина Е.М., Степанова Л.В. О построении многомасштабных моделей неупругого разрушения // Вестник Самарского государственного университета. 2012. № 9(100). С. 70-83.
[17] Степанова Л.В., Федина М.Е. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной постановке (ползучесть-поврежденность) // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43. № 5(255). C. 114-123.
[18] Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1957. V. 24. P. 109-114.
[19] Shih C.F. Small-scale yielding analysis of mixed plane strain crack problem // Fracture Analysis. 1974. ASTM STP 560. P. 187-210.
[20] Kachanov M., Shafiro B., Tsukrov I. Handbook of elasticity solution. Berlin: Springer-Science+Business Media, 2003. 329 p.
[21] Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
References
[1] Hello G., Tahar M.-B., Roeland J.-M. Analytical determination of coefficients in crack-tip stress expansions for a finite crack in an infinite plane medium. J. International Journal of Solids and Structures, 2012, Vol. 49, pp. 556-566 [in English].
[2] Gerasimova T.E., Lomakov P.N., Stepanova L.V. Digital photomechanics: numerical image processing of photoelasticity experiments and its application to the problems of fracture mechanics problems. (Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta) [Vestnik of Samara State University], 2013, no. 9-2(110), pp. 63-73 [in Russian].
[3] Pisarev V.S., Matvyenko Yu.G., Oditsev I.N. Determination of fracture mechanics parameters at a small gain of length of a crack. Zavodskaia laboratoriia. Diagnostika materialov [Industrial laboratory. Materials diagnostics], 2012, Vol. 78(4), pp. 45-51 [in Russian].
[4] Matvyenko Yu.G. Two approaches to the account of notsingular T-pressure in measure of a fracture mechanics of bodies with cuts. Problemy mashinostroeniia i nadezhnosti mashin [Engineering and Automation Problems], 2011, no. 5, pp. 104-110 [in Russian].
[5] Matvyenko Yu.G. Nonsingular T-Stress in Problems of Two-Parameter Fracture Mechanics. Zavodskaia laboratoriia. Diagnostika materialov [Industrial laboratory. Materials diagnostics], 2014, Vol. 78(2), pp. 51-58 [in Russian].
[6] Matvyenko Yu.G., Pochinkov R.A. Influence of not singular components of T-pressure on teh field of plastic strain at normal separation crack tip. Deformatsiya i Razrushenie materialov, 2012, Vol. 3, pp. 6-14 [in Russian].
[7] Stepanova L.V. Mathematical methods of fracture mechanics. Samara, Izd-vo ’’Samarskii universitet”, 2006, 242 p. [in Russian].
[8] Stepanova L.V. Eigenspectra and orders of stress singularity at a mode I crack tip for a power - low medium. (Gomptes Rendus - Mechanique, 2008, no. 1-2, pp. 232-237 [in English].
[9] Niu Z., Cheng C., Ye J., Recho N. Evaluation of the stress singularities of plane V-notches in bonded dissimilar materials. Applied Mathematical Modelling, 2009, Vol. 33, pp. 1776-1792 [in English].
[10] Ding P., Wang X. Solutions of the second elastic-plastic fracture mechanics parameter in test specimens. Engn. Fracture Mechanics, 2010, Vol. 77, pp. 3462-3480 [in English].
[11] Ayatollahi M.R., Dehgany M., Nejati M. Fracture analysis of V-notched components -Effects of first non-singular stress term. International Journal of Solids and Structures, 2011, Vol. 48, pp. 332-341 [in English].
[12] Ayatollahi M.R., Nejati M. Experimental evaluation of stress field around the sharp notches using photoelasticity. Materials and Design, 2011, Vol. 32, pp. 561-569 [in English].
[13] Ostsemin A.A., Utkin P.B. Theoretical and experimental studies of fracture mechanics of crack like defects under biaxial loading. Izvestiia RAN. Ser.: Mekhanika tverdogo tela [Izvestiya RAN. Ser.: Solid Mechanics], 2009, no 2, pp. 130-142 [in Russian].
[14] Ostsemin A.A., Utkin P.B. Stress-strain state and stress intensity coefficient in the vicinity of crack like defects under biaxial loading. Prikladnaia mekhanika i tekhnicheskaia fizika [Journal of Applied Mechanics and Theoretical Physics], 2014, Vol. 55, no 6(328), pp. 162-172 [in Russian].
[15] Stepanova L.V. Refined study of stress-strain state near the crack tip under cyclic loading in a damaged medium. (Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta) [Vestnik of Samara State University], 2011, no. 2(83), pp. 105-115 [in Russian].
[16] Adulina E.M., Stepanova L.V. On development of multiscale fracture models. (Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta) [Vestnik of Samara State University], 2012, no. 9(100), pp. 70-83 [in Russian].
[17] Stepanova L.V., Phedina E.M. Self-similar solution of antiplane shear crack problem in coupled (creep-damage) statement of the problem. Prikladnaia mekhanika i tekhnicheskaia fizika [Journal of Applied Mechanics and Theoretical Physics], 2002, Vol. 43, no. 5(255), pp. 114-123 [in Russian].
[18] Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics, 1957, Vol. 24, pp. 109-114 [in English].
[19] Shih C.F. Small-scale yielding analysis of mixed plane strain crack problem. Fracture Analysis, 1974. ASTM STP 560, pp. 187-210 [in English].
[20] Kachanov M., Shafiro B., Tsukrov I. Handbook of elasticity solution. Berlin, Springer-Science+Business Media, 2003, 329 p. [in English]
[21] Mushelishvili N.I. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. М., Nauka, 1966, 707 p. [in Russian]
L.V. Stepanova, P.S. Roslyakov3
MULTIPARAMETRIC ANALYSIS OF THE STRESS FIELD NEAR THE CRACK TIP4
The paper is devoted to analytical determination of coefficients of the Williams asymptotic expansion of the stress field in the neighborhood of two collinear crack tips in an infinite plate under mixed mode loading. On the basis of the Kolosof-Muskhelishvili approach the complete asymptotic expansion of the stress field in the vicinity of the crack tips of two collinear cracks of equal lengths under mixed mode loading is derived. The analysis of the higher order terms in the asymptotic expansion series is performed. It is clear that it is necessary to take into account the higher order terms.
Key words: Williams asymptotic expansion, stress field in the neighborhood of crack tips, two collinear crack tips, mixed mode loading, higher order terms.
Статья поступила в редакцию 29/VI/2015. The article received 29/VI/2015.
3Stepanova Larisa Valentinovna (stepanovalv@samsu.ru), Roslyakov Pavel Sergeevich
(rosps89@mail.ru), Department of Mathematical Modelling in Mechanics, Samara State University, 1, Acad. Pavlov Street, Samara, 443011, Russian Federation.
4The work is carried out with financial support from grant of the Russian Foundation for Basic Research 13-01-97009—р—Поволжье—а.
