Поля напряжений и перемещений вблизи вершины трещины в линейной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2010, том 53, №11_______________________________

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

УДК 624. 042

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, А.А.Ходжибоев,

О.А.Ходжибоев

ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ВБЛИЗИ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ В ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан

В статье рассматривается аналитическое решение задачи механики разрушения по определению полей напряжений и перемещений в малой окрестности трещины, расположенной в бесконечной плоскости.

Ключевые слова: трещина - коэффициент интенсивности напряжений - ширина раскрытия трещины - поле напряжений - поле смещений - асимптотические формулы.

Как известно [1], решение плоской задачи теории упругости в напряжениях может быть сведено к бигармоническому уравнению

д4Ф д4Ф д4Ф

дх4 дх2ду2 ду4

V2V2Ф = — + 2—— + — = 0 . (1)

При этом напряжения выражаются формулами

ах=д2Ф I ду2, а =д2Ф I дх2, г =— д2Ф I дхду. (2)

Решение задачи предполагает, что функция напряжений Ф(х, у) должна удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям.

Если переходить к комплексным переменным г = х + іу, г = х—іу, то бигармоническое уравнение (1) приобретает вид

д 4Ф

= 0, (3)

2 о—2

дг дг

где функцию напряжений можно представить в виде [2]

Ф(г, г) = Яе[гр(г) + х(г)] = 1 [!ф(г) + гр( 1) + х(г) + х(г )], (4)

(р(г), %(г) — соответствующим образом подобранные аналитические функции комплексного переменного г , а (р( 1), %(1) — сопряженные им функции. Например, если /(г) = е‘а2, то /(1) = е‘а2,

—\ —гаг ~

г ) = е , где a - действительная постоянная.

Адрес корреспонденции: Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович. 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 121, Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: hojiboev@mail.ru

Компоненты напряжений можно получить из (4) с учетом (2)

д2Ф д2Ф . д2Ф _г ,, ч г, \

ах +ау = — + — = 4 —— = 2[р (г) + р (г)] = 4Яер (£),

дУ дх дгдг

д2Ф д2Ф _. д2Ф . д2Ф

—;------г — 2г-------= 4—-

дх дУ дхду дг

дФ дФ ^.дФ , д Ф ^г_ ш, ч чп ч

Сту —Стх + 2гТху = ^ — ^^ — 2/^^ = 4= 2[гр (г) + ^ (г)]. (5)

Через функции Колосова-Мусхелишвили р(г) и х(г) также можно выразить компоненты перемещения:

20(ых + 1пу ) = кр г) — гр(! ) — х'(2 ), (6)

где к = (3 — г) / (1 + г) в случае плоского напряженного состояния; к = 3 — 4v в случае плоской деформации. Таким образом, задав определенные функции р(г) и %(г) из (5) находим напряженное состояние, а соответствующие этому состоянию перемещения определяются из (6).

Для тел, содержащих трещины, функцию напряжений можно представить через одну функцию Вестергаарда [5] 2(г) :

Z = й2 / дг, 2 = й2 / дг, 2' = й2 / дг, (7)

где функция 2 и её производные должны быть аналитическими функциями. Например, если

2 = Яе 2 + / 1т 2 , (8)

тогда У2Яе 2 =У21т 2 = 0, что является следствием условий Коши-Римана (Даламбера-Эйлера), которые записываются в виде

д 2Яе 2 д 1т 2

= Яе 2,

дх дУ

д21т 2 д Яе 2

дх ду

= 1т 2 . (9)

Из (9) с учетом условий Коши-Римана следует, что действительная и мнимая части функции 2 удовлетворяют уравнению Лапласа :

А Яе 2 = 0, А 1т 2 = 0, (10)

и, следовательно, являются гармоническими функциями. Таким образом, действительная и мнимая

части функции 2 и их производные могут применяться в качестве функций напряжений ^ :

Ф = ^1 + х^2 + У¥з, (11)

где ^ — гармонические функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа.

Для трещины нормального разрыва Вестергаард ввел функцию напряжений Ф в форме

Ф = Яе 2 + У 1т 2, (12)

которая удовлетворяет уравнениям равновесия и совместности (1). Подстановка (12) в (2) дает следующие значения напряжений:

ах = Яе — у 1т 2\, ау= Яе ^ + У 1т ,

?ху =— У Яе А

(13)

Для бесконечной плоскости с центральной трещиной, расположенной вдоль оси х , между точками х = —а и х = +а, на берегах которой су = 0 , т = 0, функция 21 может быть представлена в виде [3].

= = (14)

7 7(г + а)(г — а) л/(г2 а2) ’

где g (г) — аналитическая функция, зависящая от формы удаленной границы и граничных условий. Если на бесконечности задано равномерно распределенное растягивающее напряжение С, то g(a) = са.

В окрестности вершины трещины х = а введем замену переменных: £ = г — а, тогда функция 2 может быть представлена в виде

= _g(l+a^= т

7 ,/(£ + 2а)£ ^ ’

где /(£) = g(£ + а) / у]£ + 2а — функция, которая не имеет особенностей при £ ^ 0. При £ ^ 0

значение функции /(£) стремится к постоянной величине, поэтому (15) можно записать в таком

виде

2 = /, К' Л , при 0, (16)

У(£- 20

где К = /(£)/при £ ^ 0. (17)

Поле напряжений вблизи вершины трещины может быть определено при постановке (16) в (13). При переходе в полярных координатах (рис.1)

£ = ге1в = г(созд + / втв), £~1/2 = г-у2е-гв/2 = г 12 (соз в /2 — / 8шд /2) ,

1/2 = г-3/2е—3в/2 = г 3 2(созЗв/2 — г8т3д/2) , у = гБтд = 2г8тв/3совв/2, (18)

>

функции 2 и 2” = / й£ приобретают вид

V К1 ( в • • в\ гу,

2, = , ' : (cos-----г Б1п —), = —

7 у/(2лг ) 2 2 7 ё£

К

\

К , 3д . . 3в

, = —, 7 (cos-------/sm—).

у1(2л£) J 2^2жг3 2 2

Рис. 1. Двухосное нагружение пластины с центральной трещиной длиной 2а.

(19)

Внося (19) в (13) получаем

Сх =

к в в в к . 3в к в в . звч

гят— =

cos — — 2г slп — cos ^2жг 2 2 2 2^2,

яг

= г-^COS —- (1 — slп —slп—) ,

2 фЯ 2У 2 2У'

К

в

cos — + 2г slп —cos

.в в К ■ 3в К

в

. в . звч

пт

2 2^2

яг

cos—(1 + slп—slп—),

2 ЛЯ 2У 2 2

в в К

3в К в в 3в

г slп — cos —cos-

т, = +2г slп — cos--, ' cos — = —

хУ 2 2 242x7 2 у[2жг 2 2

2

(20)

Из (20) следует, что при стремлении к вершине трещины по любому радиальному направлению напряжения растут пропорционально г 12, т.е. при г ^ 0 напряжения стремятся к бесконечности.

Для трещины, расположенной в бесконечной пластине (рис.1), функцию напряжений можно представить в виде [3], [5], [6]

с(£ + а)

2: =

Сг

у1( г + а)( г — а) ^£(£ + 2а)

(21)

которая является аналитической всюду, за исключением области (—а < х < а, у = 0), тогда из (16) следует, что

К, = Ит^2п£ С(£ + а= = с^[яа = еот(. ' ' ,/£(£ + 2а)

£^0

Перемещения поверхностей трещины вблизи её вершины могут быть определены из закона

Гука

ди су.

Єх =-Х = У — Е СУ +Сг ) ’ Є = 0 , С = У(Сх + Су ) >

(23)

откуда, учитывая (13), получаем

диг сх у г .

—--------1 Су +у(

Т7 Т7- у 4

дх Е Еь у х у ^ Е

Интегрированием этого выражения находим

-| сх (1 -у2) су (1 + у)у (1 + у)(1 — 2у) 1 + у ,

с +су )_| = ^^-----------------= ------^1 Яе ^ — у—— 1т 2\.

Е

Е

их =

(1 + у)(1 — 2у) ^ , 1 + у

Е

| Яе 1^х-----------1 у 1т 1'1ёх,

Е

Е

(24)

где интегралы с учетом (7) и (9) равняются

Г Яе 1,ёх = Гд Яе 7/ ёх = Яе ^ ,

Г 1 Г Яг 1

дх

(25)

Внося (25) в (24) получим

их = ^1^у)[(1 — 2у)Яе І1 — у 1т ^1 ] ,

Е

(26)

откуда с учетом (7) и (19) находим

их =

2К (1 + у) г в

' ООБ

Е

2ж 2

К и 2 в

— (к — 1) + Б1П — 22

(27)

где к = 3 — 4v для плоской деформации и к = (3 — г) / (1 + г) для обобщенного плоского напряженного состояния.

Аналогичным образом из деформации е находим перемещения и

иу =

2К1 (1 + у)

Е

в

Б1П —

2ж 2

К и 2 в

— (к +1) — ООБ — 2 2

(28)

Таким образом, для тела с трещиной первого вида в плоскости хг (перемещения берегов трещины перпендикулярны плоскости трещины) напряжения вблизи вершины определяются уравнениями (20). Перемещения вблизи вершины определяются из соотношения (27) и (28). Коэффициент интенсивности напряжений, введенный Ирвином, выражается формулой (22)

К1 =^>/2^1,

(29)

где функция напряжений 2 выбирается в зависимости от внешнего воздействия [4].

Полученные в рамках теории упругости компоненты напряжений и перемещений в непосредственной близости от конца прямолинейной трещины нормального разрыва определяют напряженно - деформированное состояние при условии 0 < г / а << 1. Следует отметить, что выражения (20), (27), (28) дают правильные результаты только в случае, когда приложенные растягивающие напряжения равны, т.е. а = 1 (рис. 1). В общем случае, когда а Ф 1, необходимо учитывать второй член разложения в ряд для напряжения [7], [8], [9].

Функции напряжений Колосова-Мусхелишвили с учетом второго члена ряда представляются

в виде

р(г) = Д21/2 + , х(г) = В,23/2 + Вг22 .

Тогда компоненты напряжений и перемещений вблизи трещины при двухосном нагружении представляются в виде

ст =

К

К

К

л/2

яг

/х(в) — (1 — а)с , Су = -='= /у,(в), г = -='= /ху(в)

>/2

яг

л/2

яг

(30)

К' / г (1 — а)(к + 1)с . п .

"х = ~0 №(в)-------------85------(гcOsд+а)'

К г (1 — а)(3 — к)с .

"у = * I--Р., (в) — -----—------— г 31пв.

у 0\ 2я 80

(31)

г в(л ■ в . 3вЛ . в( . в . 3вЛ „ .в в 3в

/х(в) = cos— 1 — 31п — 31п— I, / (в) = шз— 1 + 31^—31п I, / (в) = sm—cos—cos—,

2

2 2

... вГк — 1 . 2в^ ... . вг

Рх (в) = |^Т + ^пу I, Ру (в) = 31п2

к +1 2в

-----—

V 2 2,

при условии что 0 < г / а << 1 для компонент напряжения и 0 < г / а << 1 для компонент перемещения. Из (31) следует, что при г = 0 перемещения " в вершине трещины отличается от нуля при а Ф 1:

"х = —

(1 — а)(к + 1)са 20

(32)

Максимальное касательное напряжение с использованием (20)

[К

Тшах *

V Л2

с —с

х у

+ Тху =

I 2 в . 2 в

—— COS — 31п —

2яг 2 2

в . 9 в з1п2 в

К, =с яа, cos —з1п — =

с2яа slп2 в с2 а sin2 в

2

2

т , =-

шах,1

8яг

8г

(33)

4

Максимальное касательное напряжение, полученное на основе (30), будет равняться

К'-/ + /г - г/х/. + 4/1)+-KL(/ - fx)+(І а)а!

Snr

nr

2

4

a1 a sin2 в 2/1 4 I—— 6 . в . 36 (1 -a)2 a2

=-----------ha (1 -ah/a/2rcos —sin—sin--------1---------

8r 2 2 2 4

Главные напряжения в окрестности вершины трещины будут равны:

(ГГ /! 1 _Л

а + а,,

аі =■

г

■ + г =а

max

a в І—а

cos---------

v гг г г у

+ г„

а +а„

аг =■

г

— г =а

max

\

a в І — а

cos-------------

v гг г г у

—г„

(34)

В теории разрушения предполагается, что трещина растет по нормали к направлению наибольшего растягивающего напряжения. В табл. 1 приведены значения перемещений и напряжений вблизи вершины трещины при О = 0° и г / а = 0.001 при различных значениях а . Можно заметить, что с увеличением а от -2 до +2 перемещения и х, как в самой вершине, так и в точке ее окрестности

увеличиваются, также увеличивается сгх. При этом & будет иметь постоянное значение

& = 22.3607&, а ттах имеет переменный характер изменения.

Таблица 1

Численные результаты при г / а = 0.001, О = 0°

2

т

max,2

а uxG I aa ах I а ау а u GI аа xG г I а max

-2 -1.1149 19.3607 22.3607 -1.1250 1.5

-1 -0.7396 20.3607 22.3607 -0.7500 1.0

0 -0.3642 21.3607 22.3607 -0.3750 0.5

1 0.0112 22.3607 22.3607 0.0 0.0

2 0.3866 23.3607 22.3607 0.3750 0.5

Таблица 2

Численные результаты при в = 10°, a = 0

r I a uxG I aa ^GI aa ах I а ау ^ г I а max

0.001 -0.3641 0.0011 20.7731 22.7780 2.1264

0.002 -0.3597 0.0015 14.3959 16.1065 1.5779

0.003 -0.3565 0.0019 11.5707 13.1509 1.3403

0.004 -0.3539 0.0022 9.8866 11.3890 1.2015

0.005 -0.3516 0.0025 8.7372 10.1867 1.1084

Таблица 3

Численные результаты при в = ±180° , r / а = 0.001.

а -2 -1 0 1 2

uxG / аа —1.1239 —0.7492 —0.3746 0.00 0.3746

—1.1239 —0.7492 —0.3746 0.00 0.3746

uG / аа 0.0335 0.0335 0.0335 0.0335 0.0335

У —0.0335 —0.0335 —0.0335 —0.0335 —0.0335

ах / а —3.00 —2.00 —1.00 0.00 1.00

—3.00 —2.00 —1.00 0.00 1.00

В табл. 2 приведены результаты в окрестности вершины трещины при а = 0 и в = 10° . Максимальные значения перемещений и напряжений при а = 0 , r / а = 0.001 наблюдаются в следующих точках окрестности: ах = 21.3607а при в = 0°, а = 29.0474а при в = 60°,

т^ = -10.1481а при в = 110° , т^ = 3.9528а при в = 30° , ттах = 11.5393а при в = 90° , ux = -0.3642аа /G при в = 0°, u^ = 0.0335аа/G при в = 180° .

В табл. 3 представлены данные для одной точки, расположенной на расстоянии г = 0.001а от вершины на берегах трещины при у = ±0. Можно заметить, что с увеличением а увеличиваются ых

и ах по линейному закону. Ширина раскрытия трещины равняется Au = u+y — uy = 0.067G / аа .

Таким образом, поля напряжений и смещений около вершины трещины отрыва для случая плоской деформации определяются формулами (30). Эти формулы получены [4] с учетом второго члена разложения в ряд и их можно рассматривать как асимптотическое приближение в области, где r мал по сравнению с длиной трещины, и дают точные решения, когда r стремится к нулю. Коэффициент интенсивности напряжений не зависит от полярных координат r и в, а зависит от внешних сил, конфигурации тела и длины трещины. Реализация асимптотических формул и полученные численные результаты могут быть использованы для сравнения с другими решениями, полученными численными методами.

Поступило 12.05.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. -М.: Наука, 1975. - 576с.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966 -707с.

3. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещин/ В кн. Прикладные вопросы вязкости разрушения. -М.: «Мир», 1968. - с. 64-142.

4. Irwin G.R. Fracturing of metals. ASM, Cleveland, 1948, pp. 147-166.

5. Westergaard H.M. Bearing pressures and cracks., J. Appl. Mech., 61, 1939 pp. A49-53.

6. Кортен Х.Т. Механика разрушения композитов/ В кн. Разрушение, т.7, 1976 - с. 367-471.

7. Броек Д. Основы механики разрушения. -М.: «Высшая школа», 1980. -368с.

8. Кобаяси А. Линейная механика разрушения упругих материалов./ В кн. Вычислительные методы в механике разрушения. -М.: «Мир», 1990. - с. 12-48.

9. Либовиц Г. Эфтис Дж., Джонс Д. Некоторые недавние исследования по механике разрушения./ В кн. Механика разрушения/ Под ред. Р.В. Гольдштейна, -М.: «Мир», 1980. - с. 169-202.

Ч.Н.Низомов, А.А.Х,очибоев, О.А.Х,очибоев МАЙДОЩОИ ШИДДАТ ВА ЧОЙИВАЗКУНЙ ДАР НАЗДИКИИ ЦУЛЛА^ОИ ТАРЦИШ ДАР НАЗАРИЯИ ЧАНДИРИИ ХАТТЙ

Институти сохтмони ба заминчунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илм^ои Цумхурии Тоцикистон

Дар мак;ола хдлли аналитикии масъалаи муайян намудани шиддат ва чойивазкунй дар нуктах,ои назди куллаи таркиш максади мух,окима карор гирифтааст.

Калимщои калиди: тарциш - коэффисиенти интенсивнокии шиддат - васеъгии кушодашавии тарциш - майдони шиддатуо - майдони цойивазкуни^о - формулауои асимптотики.

J.N.Nizomov, A.A.Hojiboev, O.A.Hojiboev FIELDS OF STRESS AND DISPLACEMENT NEAR THE CRACK TIP IN LINEAR ELASTICITY

Institute of Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

The article considering the analytic solution of the problem of fracture mechanics to determine stress fields and displacements in a small surrounding of a crack in an infinite plane.

Key words: crack - the stress intensity coefficient - crack opening width - the stress field - the field of displacements - asymptotic formula.