Полукольцо натуральных чисел как базовая модель изучения полуколец Текст научной статьи по специальности «Математика»

том усилий учителя, который старается реализовать представившиеся возможности. Важно, что при этих условиях работу по индивидуализации обучения можно вести в рамках классно-урочной системы.

Эта работа предполагает движение в двух направлениях:

1) ориентированность на индивидуальное своеобразие личности ребенка, в том числе в интеллектуальном отношении, учет индивидуальных особенностей, уникальности его интеллекта, поддержка и совершенствование его сильных сторон, преодоление слабостей, умелое их использование;

2) обогащение интеллекта в целом: развитие тех качеств ума, способностей, даже стилевых особенностей, которые не являются характерными для данного ребенка, но овладение которыми расширит его познавательные возможности, возможности его адаптации и социализации.

Пути индивидуализации обучения на уроке информатики:

1. Использование задачного подхода к обучению в целях индивидуализации деятельности ученика, индивидуальный подбор системы задач.

2. Индивидуальный подбор форм представления изучаемого материала, предъявления задач и заданий, предоставления инструкций и справочных материалов.

3. Учет предпочтений, склонностей, стилевых особенностей при выборе вида учебной деятельности и формы контроля результатов обучения.

4. Ориентация на самостоятельную работу ученика, движение от самостоятельного подбора средств для выполнения деятельности, через самостоятельный поиск путей решения проблем к самостоятельному и ответственному выбору приоритетов в познании.

5. Оказание дозированной помощи, консультирование, подбор индивидуальных точечных воздействий.

6. Общение как особый вид деятельности учителя и учеников на уроке.

7. Организация деятельности учащихся на уроке как системы нескольких процессов, протекающих параллельно друг другу и руководимых учителем.

8. Выделение групп учащихся по критерию общего уровня сформированности тех или иных интеллектуальных качеств, значимых для данного вида деятельности на уроке, с целью эффективного управления их работой.

Примечания

1. Угринович Н. Д. Информатика и ИКТ. Базовый курс: учебник для 9 класса. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. С. 195-196.

2. Холодная М. А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования. СПб.: Питер, 2002. С. 207.

УДК 512.55

В. В. Чермных

ПОЛУКОЛЬЦО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ КАК БАЗОВАЯ МОДЕЛЬ ИЗУЧЕНИЯ ПОЛУКОЛЕЦ

Работа посвящена возможному подходу к изучению основных полукольцевых понятий. Рассматриваются идеалы и конгруэнции полукольца натуральных чисел.

This paper is devoted to possible way of study of basic semiring notions. The ideals and congruencies of nonnegative integer semiring are investigated.

Ключевые слова: кольцо, полукольцо, идеал, конгруэнция, методика изучения.

Keywords: ring, semiring, ideal, congruence, methods of studying.

На кафедре алгебры и дискретной математики ВятГГУ в последние годы регулярно читаются такие курсы для магистрантов и аспирантов, как «Современная алгебра», «Полукольца», «Функциональная алгебра». Одной из причин включения в программы обучения этих дисциплин является возможность подготовить слушателей к самостоятельной исследовательской работе, связанной с теорией полуколец. Напомним, что полукольцо служит основным объектом исследований в рамках научной школы «Функциональная алгебра и теория полуколец» под руководством профессора Е. М. Веч-томова. Фундаментом для изучения полуколец является курс «Общей алгебры», читаемый в обязательном порядке как на бакалавриате, так и на специалитете для студентов математических специальностей и направлений подготовки на факультете информатики, математики и физики ВятГГУ. В рамках этого курса изучаются кольца, начальные понятия и методы теории колец.

Одним из первых примеров в теории колец является кольцо Z целых чисел, на котором, как на наиболее доступном для понимания студентами объекте, демонстрируются многие первоначальные понятия. Естественным полукольцевым аналогом кольца Z является полукольцо N целых неотрицательных чисел (по сложившейся традиции называем его полукольцом натуральных чисел). По этой причине привлекательной выглядит идея знакомства с полукольцевыми понятиями на примере этого полукольца. В этом подходе видятся также очевидные системность и преемственность в обучении, благодаря чему достигается как глубина усвоения нового материала, так и лучшее понимание ранее изученного материала теории колец. В ста-

© Чермных В. В., 2012

тье излагается возможный подход к изучению свойств полукольца N в контексте сравнения с кольцом целых чисел. С основными понятиями теории полуколец можно познакомиться в [1, 2].

Дадим исходное определение.

Определение 1. Полукольцом называется непустое множество 5 с двумя бинарными операциями сложения и умножения, если выполняются аксиомы:

1) (Э,+,0) - коммутативная полугруппа с нулем 0;

2) (Э,-,1) - полугруппа с единицей 1;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон;

4) мультипликативность нуля, то есть(У$ е 5)(б0 = 0Б = 0).

Таким образом, следуя Голану [3], под полукольцом мы понимаем систему, отличающуюся от ассоциативного кольца с 1 только возможной необратимостью аддитивной операции. Помимо колец класс полуколец содержит такие важные системы, как ограниченные дистрибутивные решетки, минимаксные полукольца; особо отметим полутела, изучение которых в последнее время ведет к оформлению развитой теории со своим специфическим языком и методами. Исторически развитие теории полуколец начиналось с попыток применения кольцевых методов, таких, как изучение идеалов, радикалов полуколец, построение полуколец частных. Актуальным является такой подход и в настоящее время, но все большую роль начинают играть чисто полукольцевые конструкции.

Идеалы полукольца определяются так же, как и в кольцевом варианте.

Определение 2. Идеалом полукольца 5 называется непустое его подмножество Л, такое, что

1) (Уа,Ь е Л)(а+Ь е Л);

2) (у а е Л, s е 5)(аз е Л, за е Л).

В курсе общей алгебры стандартным является рассмотрение следующих свойств кольца целых чисел.

1. Все идеалы в Ъ имеют вид 1, где т - произвольное целое число; следовательно, Ъ является кольцом главных идеалов.

2. Каждый ненулевой простой идеал в Ъ является максимальным идеалом и порождается простым числом.

3. Ъ является целостным кольцом, поэтому нулевой идеал прост (но не максимален).

Рассмотрим сейчас строение идеалов полукольца натуральных чисел. Напомним, что идеал А коммутативного полукольца 5 называется конечно порожденным, если существует такая конечная совокупность элементов а1,...,ах е 5, что а5 +...+ак е = Л. Если при этом система а1,...,а е 5 такова, что ни один элемент а1 невыразим через остальные, то ее будем называть системой образующих идеала Л, а сам идеал к-порожденным.

Предложение 1. Для полукольца N справедливы следующие утверждения:

1. Произвольный идеал полукольца N является конечно порожденным.

2. Для любого натурального числа к существует к-порожденный идеал полукольца N.

Доказательство. 1. Пусть А - произвольный ненулевой идеал полукольца К, число а1 - его наименьший ненулевой элемент. Если элементами, кратными а1, исчерпывается весь идеал, то он будет главным. В противном случае найдется число а2 - наименьший элемент из А, не делящийся на а1. Идеал А содержит элементы вида ка1+ а2, которые представимы в виде ка1+г1, где г1 - остаток от деления а2 на а1. Снова выберем, если возможно, наименьший элемент а3, не кратный а1 и непредставимый в виде ка1+г1. Получим, что элементы вида ка1+г2 лежат в А, где г2 - остаток от деления а3 на а1 и г1 * г2. Такая процедура конечна, поскольку конечно число остатков от деления на а1. Выбираемые при этом элементы а1>.., ат порождают идеал А.

2. Очевидно.

Замечание 1. В [4] дано другое доказательство этого утверждения, в котором указан алгоритм нахождения системы образующих идеала. В нашем же случае порождающие идеал элементы не всегда будут образовывать систему образующих. Отметим, что система образующих любого идеала Л полукольца N определяется однозначно и является наименьшим множеством, порождающим идеал А.

Таким образом, идеалы в N имеют более интересную структуру, нежели идеалы в Ъ. Рассмотрим подробнее строение идеалов полукольца натуральных чисел.

Предложение 2. Все элементы произвольного идеала полукольца N.. начиная с некоторого, образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна НОД образующих идеала.

Доказательство. Пусть d = (а,,..,ап) - НОД всех представителей системы образующих идеала Л. По теореме о линейном представлении НОД d = а1х1 +...+ апхп для некоторых целых х1,.,хп. Положим к - максимум из абсолютных значений чисел х1,.,хп. Тогда элементы а = к(а1 +...+ а) и а + d = а1(х1 + к) +...+ ап(хп + к) лежат в идеале Л. Очевидно, что d - наименьшее натуральное число, на которое могут отличаться два элемента идеала Л, и (а,а + d) = d. Обозначим Ь = а + Ь. Пусть d + ах + Ьу, для некоторых целых х, у, и одно из них, допустим х, не положительно. В таком случае рассмотрим число с = аХ + ЬУ с такими достаточно большими натуральными коэффициентами X, У, чтобы для любого целого к,0 # к # а, выполнялось X + кх $ 0. Тогда для любого такого к элемент аХ + ЬУ+ kd = аХ + ЬУ + ках + кЬу = а(Х + кх) + + Ь(У + ку)

лежит в А. Таким образом, начиная с элемента с, мы имеем арифметическую прогрессию в точности из а + 1 элементов, лежащих в идеале А, причем первый и последний элементы отличаются на ай. Прибавляя к каждому из этих элементов, начиная с аХ + ЬУ + й, число ай, мы получим следующие а элементов этой же прогрессии. Такую процедуру можно повторять сколь угодно долго, получая элементы прогрессии, очевидно, лежащие в идеале

A. Показали, что, по крайней мере, начиная с числа с все элементы идеала А образуют арифметическую прогрессию.

Легко понять, что описание идеалов N полукольца сводится к описанию идеалов с взаимно простой в совокупности системой образующих. Пусть А - произвольный такой идеал; начиная с элемента с(А) все натуральные числа будут принадлежать идеалу А. Задача представления с(А) в виде функции образующих в общем случае не решается. Для студентов посильной задачей является нахождение с(А), если идеал А порождается парой взаимно простых чисел или тройкой образующих вида а,а + й,а + 2й, в некоторых других частных случаях. Отметим, что в литературе известна задача, равносильная нахождению с(А), сформулированная в терминах линейных форм с натуральными коэффициентами. При этом ищется элемент /(А) = с(А) - 1, так называемая константа Фробениуса [5]. Заметим также, что академик

B. И.Арнольд посвятил несколько своих работ проблеме распределения констант Фробениуса.

Предложение 3. Полукольцо N обладает следующими свойствами:

1. Нулевой идеал, главные идеалы, порожденные простым числом, идеал М = М\{1] исчерпывают множество простых идеалов полукольца натуральных чисел N.

2. М = М\{1] является единственным максимальным идеалом полукольца N.

Доказательство. 1. Нулевой идеал, идеалы вида pN для простого числа р, очевидно, являются простыми идеалами. Также понятно, что не будет простым главный идеал, порожденный составным числом. Более того, если составное число входит в систему образующих какого-либо идеала, то его собственные делители не будут лежать в идеале, поэтому и он не прост. Получили важное свойство, что система образующих ненулевого простого идеала может состоять лишь из простых чисел. Пусть Р - простой идеал полукольца натуральных чисел, не являющийся главным, и р, q - простые числа из системы образующих идеала Р. Поскольку р и q взаимно просты, то, начиная с некоторого, все числа будут лежать в Р. Отсюда вытекает, что в идеале будут лежать некоторые степени чисел 2 и 3. В силу простоты идеала Р в нем будут лежать 2 и 3. Остается заметить, что идеал, порожденный числами 2 и 3, будет содержать все

натуральные числа, кроме единицы. Это наибольший собственный идеал полукольца N поэтому доказана и вторая часть предложения.

Замечание 2. Как правило, студенты при нахождении простых идеалов полукольца N замечают максимальный идеал, но не могут обосновать полноту списка, указанного в предложении 3. Сложным для них оказывается факт о взаимной простоте представителей системы образующих простого идеала и принадлежность идеалу степеней двойки и тройки.

Идеалы в кольцах и полукольцах имеют существенное различие. Идеалы произвольного кольца Я находятся во взаимно однозначном соответствии с конгруэнциями на этом кольце, следовательно, с факторкольцами и естественными гомоморфизмами кольца Я. Студентам, в частности, известна связь идеалов кольца с ядрами гомоморфизмов. В полукольцах даже не каждый идеал является ядром какого-либо гомоморфизма.

Определение 3. Идеал А полукольца 5 называется полустрогим (строгим), если а+ Ь, а е А (а+Ь е А) влечет Ь е А.

Ясно, что каждый идеал кольца является полустрогим, каждый идеал ограниченной дистрибутивной решетки строгий, и каждый строгий идеал является полустрогим.

Предложение 4. Равносильны следующие утверждения:

1. Идеал А полукольца Б полустрогий.

2. Идеал А является ядром некоторого гомоморфизма полукольца Б.

3. Идеал А является классом нуля некоторой конгруэнции на полукольце Б.

Оставим это несложное утверждение без доказательства (в качестве упражнения).

Предложение 5. Полукольцо N натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. Главные идеалы, и только они, являются полустрогими идеалами в N.

2. Нулевой идеал и идеал, совпадающий со всем полукольцом, являются единственными строгими идеалами полукольца N.

Доказательство. 1. Предположим, что собственный полустрогий идеал А имеет систему образующих а1,...ак и й их НОД. Тогда с(А) + й,й е А, откуда в силу полустрогости идеала й е А. Поскольку й не превосходит каждого из образующих, то он сам входит в систему образующих, а поскольку каждый из а..выражается через й, то А - главный идеал с образующим й. То, что главный идеал полукольца N полустрогий, является простым следствием свойств делимости целых чисел.

2. Пусть А - собственный ненулевой идеал и а - наименьший ненулевой элемент этого идеала. Тогда 1 + (а - 1) е А и оба слагаемых не лежат в А, поэтому идеал не является полустрогим. Очевидно, что оба тривиальных идеала полустрогие.

Укажем еще одно важное понятие теории полуколец. Заметим, что строгость нулевого идеала полукольца S равносильна тому, что S - антикольцо. Полукольцо называется антикольцом, если нуль является единственным аддитивно обратимым элементом.

Хорошо известно, что кольцо целых чисел является нетеровым, но не артиновым. Знаменитая теорема Гильберта о базисе утверждает, что если R - коммутативное кольцо, каждый идеал которого конечно порожден, то любой идеал кольца многочленов от одной переменной над R является конечно порожденным (или равносильная формулировка: кольцо многочленов над коммутативным нетеровым кольцом нетерово). В полукольцах ситуация не такая, что опять же можно продемонстрировать с помощью полукольца натуральных чисел.

Предложение 6. Полукольцо многочленов N[x] содержит идеал, не являющийся конечно порожденным.

Примеров не конечно порожденных идеалов предостаточно, и отыскать их не составляет никакого труда.

Наконец, понятна роль конгруэнций на полукольцах. Опишем поэтому строение конгруэнций на N.

Пусть = - ненулевая конгруэнция на полукольце N. Выберем числа а и k, удовлетворяющие требованиям:

k = min{n е N\{0}: 3b е N)(b . b + k) а = min{b е N: b . b + k} + k В силу выбора а элементы а,а + 1,..., а + к - 1 лежат в различных смежных классах по отношению .. Поскольку к = к, то а . а + k следует, что а+ k . а + k + k, далее по индукции а + rk . а + (r + 1)k. Это означает, что элементы a,a+k,a+2k. лежат в классе элемента а. Для любого S такого, что 0 < s < k, справедливо отношение а + rk + s. а+ (r + 1 )k + s, где r е N. Следовательно, все элементы вида а + rk+ s лежат в классе элемента а+s. Таким образом, начиная с элемента а, отношение . разбивает N на классы вычетов по модулю k (для любых c, d, больших а - 1, c . d ] c - d делится на k). Предположим сейчас, что существуют такие c, d, что c<d<a+1 и c . d. Тогда а + c . а+ d, означающее, что (а + d) - (а + c) делится на k. Получаем d= c+ nk для некоторого n > 1 (n * 1 в силу минимальности элемента а и числа k). Из c . c + nk получаем, c + (a - 1 - c) . c + nk+ (а-1 - ^или a-1 . а-1 + nk. Поскольку элемент в правой части последнего отношения больше а, то он сравним с элементом а - 1 + k. Следовательно, а-1 . а - 1 + k, и мы получили противоречие с выбором элемента а. Значит, элементы, меньшие а + 1, попарно несравнимы по отношению .. Тем самым доказано

Предложение 7. Пусть . - произвольная ненулевая конгруэнция на полукольце N. Тогда суще-

ствуют натуральные числа a и k,k $ 1, такие, что выполняются следующие соотношения:

x . y ] x = y для любого x < a;

x . y ] x - y делится на k для любых x, y, $ a.

Предложенный подход к изучению базовых понятий теории полуколец, как показала практика, позволяет установить нужные связи нового материала с ранее изученным, что ведет также к лучшему пониманию теории колец.

В заключение сформулируем некоторые вопросы, рассмотрение которых поможет глубже понять природу полукольца натуральных чисел.

Задачи и упражнения

1. Покажите, что процедура, описанная в предложении 1, не обязательно дает семейство образующих идеала.

2. Найдите c(A) для идеала с системой образующих T, взаимно простых в совокупности:

a) T = {a, b};

b) T ={a, a+1,a+2};

c) T = {a,a+2,a+4};

d) T = {a, a + d, a + 2d};

e) T = {ab, ac, bc}, где a, b, c - попарно взаимно простые числа; обобщите результат на любое конечное множество попарно взаимно простых чисел.

3. Докажите предложение 4.

4. Найдите идеал, не являющийся конечно порожденным в полукольце N[x].

5. Как выглядят идеалы и конгруэнции полукольца NxN?

6. Опишите идеалы, в том числе простые, максимальные, строгие, полустрогие, в полукольце N[x]; каждый ли главный идеал этого полукольца является полустрогим?

7. Пусть S = Nu{+~} и (S,max,+) - минимаксное полукольцо. Исследуйте идеалы и конгруэнции полуколец S и S[x].

8. Опишите максимальные (отличные от единичной) конгруэнции полукольца N.

Примечания

1. Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2000.

2. Чермных В. В. Полукольца. Киров: Изд-во ВятГГУ, 1997.

3. Golan J. S. Semirings and their applications. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1999. 380 p.

4. Чермных В. В., Николаева О. В. Об идеалах полукольца натуральных чисел // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2009. Вып. 11. С. 118-121.

5. Коганов Л. М. О функциях Мебиуса и константах Фробениуса полугрупп, порожденных линейными формами специального типа // Полугруппы и частичные группоиды. Л.: ЛГПИ им. Герцена, 1987.