CC BY
83
НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА
АГРОНОМИЯ И ЛЕСНОЕ ХОЗЯЙСТВО
УДК 539.3
ПОЛУЧЕНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
AXISYMMETRIC FRAUGHT ROTATION SHELL STIFFNESS MATRIX RECEIVING
P.3. Киселева, старший преподаватель
ФГОУВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия
R.Z. Kiseleva
Volgograd state agricultural academy
Разработана матрица жесткости объемного конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных для расчета оболочки вращения при осесимметричном нагружении.
Stiffness matrix of volumetrical finite element with nodal unknowns in the form of transferences and their derivatives for rotation shell at axisymmetric fraught was designed.
Ключевые слова: осесимметрично нагруженная оболочка
вращения, геометрия оболочки вращения, матрица жесткости, объемное тело вращения, функционная Лангранжа.
Key words: axisymmetric fraught rotation shell, rotation shell geometry, stiffness matrix, volumetrical rotation figure, Langranian functional.
1. Геометрия осесимметрично нагруженной оболочки вращения.
Положение произвольной точки М отсчётного меридиана оболочки вращения определяется радиусом-вектором
R=xi+r(x)k, (1.1)
где х - декартова координата точки отсчётной поверхности; г - радиус её вращения; f ; у Д -орты декартовой системы координат.
Векторы локального базиса точки М определяются выражениями
^’S ^ ^ ® ■ Q-2)
Их производные могут быть представлены разложением по этим же базисам в матричном виде
{a,s}=[M]{a}, (1.3)
Радиус-вектор произвольной точки оболочки М' определяется выражением
А, (1.4)
а векторы её базиса получаются дифференцированием (1.4)
М2\)+а1 М22 ; §з=Я,\=а . (1.5)
2. Перемещения, деформации, закон Гука.
Вектор перемещения точки М* определяется выражением
У=у^а\+уа, (2.1)
а его производные равны
У’$=я\{у’\ +^Мц+у М2\ }^я(у,5 +у^М\2+у М22);
?,(=У,} Я1+У5, а. (2.2)
Точка А// в результате нагружения займёт положение М , определяемое радиус - вектором
= (2.3)
а её базисные векторы определяются дифференцированием
ё\=^=ё\+У,$- ё2=*4=ё2+У4. (2.4)
Деформации в точке М определяются соотношениями механики сплошной среды
£\\-£\ ' V’Я? 833~83'У^’ £\з=-{В\ ''^)'
Деформация в окружном направлении определяется выражением
£22=уЧ,+ух (26)
г+г х,ц
Деформации (2.5), (2.6) можно представить через перемещения в матричном виде
{«}=№}. (2.7)
где УГ=1е1 1 ^22 ^33 2*1 з}; М7^1 ^}; М - матрица алгебраических и дифференциальных операторов.
Соотношения между напряжениями и деформациями связаны законом Гука и представляются матричным соотношением
{■ФНЫ’ (28)
где {<711 <722<733<713}; [С]-матрицаупругости.
3. Матрица жесткости конечного элемента.
Конечный элемент принимается в виде объёмного тела вращения, поперечным сечением которого является произвольный четырёхугольник с узлами /,_/,&,/ (рис. 3.1а). Для выполнения численного интегрирования произвольный четырёхугольник отображается на квадрат с локальными координатами а,Ь, изменяющимися в пределах - 1 <а,Ь < 1 (рис. 3.16).
к
Ьі 4
/ -1 1 1г
0 1
С
1 -1 і
а
Рисунок 3.1а
Рисунок 3.16
Координаты внутренней точки М конечного элемента выражаются через координаты узлов четырёхугольника с использованием билинейных функций локальных координат а,Ь соотношениями
1 -а \-Ь I 1+а 1 -Ь ; 1+а 1+Ь к 1 -а 1+Ь I
о =------о Н-------о '* Л------о Н--------о 1
2 2 22 22 22
„ 1 -а 1—Ь 1+а 1—Ь „ / 1+а 1+Ь „ь 1 -а 1+Ь „/
<г=------с +-------с3 +--------с +---------с,
22 22 22 22
где
5”,Г(т=и,к,1)-
координаты узлов четырёхугольника.
(3.1)
Дифференцированием (3.1) получаем производные глобальных координат Я, £ в локальной системе Б,а, £,а, Б,¡у, £и локальных координат а,Ь в глобальной системе Ь,$, Ь,^.
В качестве неизвестных величин в каждой узловой точке четырехугольника принимаются перемещения и их первые производные. Векторы узловых неизвестных в локальной и глобальной системах координат записываются в виде
М=М‘Л №№}} ™
1x24
1x12 1x12
1x24
Связь между производными в локальной и глобальной системах координат определяется выражениями
дq_дq дя дд 5^ дд_дд бя дд р 3^
да дя да д£ да ’ дЪ бя дЪ д£ дЬ’
где под символом понимаются перемещения ,У.
На основе выражений (3.3) можно сформировать матричные соотношения между векторами узловых неизвестных в локальной и в глобальной системах координат
С использованием (3.6) можно сформировать матричное соотношение
Ь'}= [г] ьп
24x1 24x24 24х1
(3.4)
(3.5)
Каждая компонента вектора перемещения V внутренней точки Мчетырехугольника (рис. 3.1а) аппроксимируется через узловые величины выражением
ц={(р(а,Ь)}Т ^у}, (3.6)
где элементами матрицы м являются полиномы Эрмита третьей степени.
На основании (3.6) матрицу-столбец перемещений внутренней точки М четырехугольника можно представить матричным выражением
М=М V;}. р.?)
2x1 2x2424x1
С учетом (3.7) матрицу-столбец деформации внутренней точки четырехугольника с узлами ,Лг,/ можно записать в матричной форме
м к }= и к | <3 8>
4x1 4x22x1 4х22х2424х1 4х2424х}
Функционал Лагранжа при учете (3.7) и (3.8) принимает вид
п=\\'$ ([вЛсм^к Г мг ¡«к (3-9)
^ V 5
где (IV = Г0с1$с1(^— элементарный объем тела вращения; =с1$с1 ¿Г — элемент площади
конечного элемента; 0~ фиксированная величина 0=сот1.
Входящие в (3.9) объемный и поверхностный интегралы
обозначают соответственно матрицу жесткости
KJ
и вектор узловых
усилий |/"л | конечного элемента в локальной системе координат,
[K^iiBficlBjdV; \fn\=\Af {q}ds. (ЗЛ0)
V 5
Для представления матрицы \к1 ] и вектора |/л| в глобальной системе координат используется выражение (3.5), в результате чего матрица жесткости кг и вектор узловых усилий в глобальной системе координат представляется выражениями
(3.11)
Принимая во внимание (3.10) и (3.11), из выражения (3.9) после минимизации по | у г ^ получим соотношение
№М*г} (3 12)
Библиографический список
1. Седов, Л.И. Механика сплошной среды / Л.И.Седов. - М.: Наука, 1976. - Т.1.
- 535 с.
2. Николаев, А.П. К расчету оболочек на основе метода конечных элементов / А.П. Николаев, А.П. Киселев // Вестник Российского университета дружбы народов. - Сер. Инж. исследования. - М., 2002. - С. 107-112.
E-mail: kuznetsov-gidro@mail.ш
