CC BY
11УДК 531.01+531.552+517.925
ПОЛНЫЙ список первых интегралов динамических уравнении
ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ ПРИ УЧЕТЕ ЛИНЕЙНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ
М. В. Шамолин1
В работе предъявляется новый случай интегрируемости в задаче о пространственном движении твердого тела при наличии неконсервативного момента сил. При этом, в отличие от некоторых предыдущих работ, при построении неконсервативного силового поля воздействия среды на тело учитывается линейная зависимость данного поля от угловой скорости, хотя само ее введение в компоненты такого поля априори не очевидно.
Ключевые слова: твердое тело, сопротивляющаяся среда, динамические уравнения, фазовое пространство, трансцендентный первый интеграл.
A new case of integrability in the spatial problem of rigid body motion with consideration of the nonconservative moment of forces is discussed. A nonconservative force field of action of the medium on the body is constructed. Contrary to some previous author's works, a linear dependence of this field on the angular velocity is taken into account, although the introducing of this dependence into the components of such a field is not obvious.
Key words: rigid body, resisting medium, dynamic equations, phase space, transcendental first integral.
1. Сила воздействия среды. Рассмотрим пространственное движение однородного осесимметрич-ного твердого тела массой m с передним круглым торцом (диском, кавитатором) в поле силы сопротивления в условиях квазистационарности [1-6]. Пусть (v, а, в) — сферические координаты скорости центра D диска; {Qx, Qy, Qz} — компоненты угловой скорости тела; Д, I2, I2 — главные моменты инерции в системе координат, связанной с телом (ось Dx совпадает с осью симметрии, оси Dy, Dz лежат в плоскости диска, рисунок). Воздействие среды на тело моделируется приложенной в точке N диска нормальной к нему силой s, проекция которой со знаком представляется в виде S = s(a)v2, v = \vD| (ср. с [1-3]).
Одним из ключевых вопросов моделирования воздействия среды на тело является запись координат (yN ,Zn ) точки N в системе Dxyz как функций в первую очередь угла атаки а, а также, возможно, других переменных (прежде всего компонент угловой скорости). Что касается введения данной зависимости от угловой скорости, то будем использовать линейную, при этом, чтобы построенный момент имел диссипа-тивный характер, выберем функции yN, Zn (xn = 0) в следующем виде:
Пространственное взаимодействие осе-симметричного твердого тела со средой в условиях квазистационарности
0
yN zN
= Q -
1
/ 0 -Qz Пу \
а
0 -Qx
/hx\ hy
\hz)
(1)
\-tty Пх 0 /
где Q — вектор-функция, не зависящая от угловой скорости, Н = Нх = Ну > 0 (по причине осевой симметрии тела), Нх > 0. При этом следует учесть, что если (у, а, в) — сферические координаты в К3, то (ср. с [4-6])
1 Шамолин Максим Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф., вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ; e-mail:
shamolin@imec.msu. ru, shamolin@rambler.ru.
Q =
( 0 \
R(a)cos ß V R(a) sin ß )
(2)
Для описания воздействия среды на тело используется пара динамических функций R(a), s(a), информация о которых носит качественный характер. Явный вид даже для кавитаторов простой формы аналитически описать довольно затруднительно. По этой причине и используется прием "погружения" данной задачи в более широкий класс задач, учитывающий лишь качественные свойства функций R(a), s(a) (см. также [1-3]).
Опорным для нас является результат С.А. Чаплыгина, получившего для плоскопараллельного струйного обтекания бесконечной пластины функции R(a), s(a) аналитически [1, 2]:
R(a) = A sin a, A> 0; s(a) = B cos a, B> 0. (3)
2. Наличие следящей силы и динамические уравнения. Будем рассматривать более общую задачу о движении тела, а именно при наличии некоторой дополнительной следящей силы t, проходящей через ось симметрии и обеспечивающей во все время движения постоянство скорости центра масс (t = —s). Тогда при некоторых условиях в случае функций типа Чаплыгина воздействия среды на тело динамическая часть уравнений движения приводится к системе, в которой имеет место отделение независимой подсистемы более низкого порядка.
Действительно, во-первых, выбор фазовых переменных позволяет рассматривать систему динамических уравнений шестого порядка в качестве независимой. Во-вторых, сохраняется компонента продольной составляющей угловой скорости: Qx = Qx0 = const. Ограничимся далее движением тела без собственного вращения: Qxo = 0.
Введем следующие обозначения, безразмерные параметры и дифференцирование: z1 = Qy cos ß + sin ß, z2 = — Qy sin ß + cos ß, n0 = AB/I2, a = CD,
• (4)
Zi = Zivn0 (i = 1, 2), a = a'vn0, ß = ß'vn0, v = v'vn0, b = an0, H1 = hB/I2n0;
[b] = Hl] = [Zi] = 1. Тогда динамическая часть уравнений движения благодаря (1)-(4) преобразуется к следующему виду:
v = vФ(a,Zl,Z2), (5)
' а = —Z2 + b(Z2 + Z|) sin а + b sin a cos2 a — bHiZ2 cos2 a,
cos a
Z'2 = sin a cos a + bZ2(Zf + Zf) cos a — bZ2 sin2 a cos a — (1 + bH\)Zf —--h
sin a
+ bHiZ2¿ sin a cos a — HiZ2 cos a, (6)
cos a
Z[ = bZi(Zj + Zf) cos a - bZi sin2 acos a + (1 + bHl)ZlZ2 --+
sin a
+ bHiZiZ2 sin a cos a — HiZi cos a,
0 = {l + bHl)Zl^, (7)
sin a
^(a, Zi, Z2) = —b(ZÍ + Z|) cos a + b sin2 a cos a — bHiZ2 sin a cos a.
3. Полный список первых интегралов. Поскольку мы рассматриваем такой класс движений тела, когда постоянна величина скорости центра масс C, то система (5)—(7) пятого порядка имеет аналитический первый интеграл следующего вида:
v2(l — 2bZ2 sin a + b2(Z2 + Zf)) = V20. (8)
Видно, что соотношение (8) позволяет рассматривать вопросы интегрируемости в элементарных функциях системы (6), (7) уже четвертого порядка, в которой выделилась система третьего порядка (6).
Применяя часто используемую подстановку т = sin а, систему (6) можно привести к следующей системе с алгебраическими правыми частями:
dZ2 _ т + bZ2(Zf + Z2) - bZ2r2 - (1 + bHi)Zf/r - RXZ2 + 6ffiZ2r dr ~ —Z2 + 6r(Z2 + Z|) + Ът(1 — т2) — bH\Z2(l — r2)
dZi _ bZ^Zf + Z22) - bZ\T2 + (1 + bHi)Z\Z2/T - RZX + 6ffiZiZ2r dr ~ —Z2 + br(Z2 + + 6r(l — r2) — bH\Z2(l — r2)
Произведем переход к однородным координатам Uk, k = 1, 2, по формулам = Ukт. Тогда система (9) примет вид
du2 _ 1 - (6 + ffi)u2 + (1 + ~ (1 + ftgpnj Т ~ -U2 + br2(u2 + u2) + 6(1 - r2) - bHlU2(l - r2)'
dui 2(1 + bHi)uiu2 — (b + Hi)ui
= -U2 + 6r2Cu2 + u2) + 6(1 - г2) - - r2)'
Этой системе можно формально сопоставить уравнение первого порядка (разделив одно уравнение на другое), которое интегрируется в элементарных функциях и позволяет получить явный вид трансцендентного первого интеграла исследуемой системы:
(i+M.K + a+M.^-c+ftb+i = =
u1
или в переменных (Zi,Z2,a)
(1 + 6ffi)Z2 + (1 + bHj)Z2 - (6 + H1)Z2 sing + sin2 a _ _ . .
---- — Ui — COIlSt. ( ±2 )
Zi sin a 1 v 7
Теперь, пользуясь найденным первым интегралом (12) (или (11)), перепишем первое уравнение системы (10) следующим образом:
du2 _ 1 + (1 + ЬНг)и22 - (6 + Нг)и2 - (1 + ЪН^Ц^Сищ) dr ~ -и2 + Ъ(1-т2)+Ъг\и1(Съи2)+и1)-ЪН1и2(1-т2У
и1(Съи2) = |С1 ± ^С2 - 4(1 + ЪЩ) (1 - (6 + Нг)и2 + (1 + ЪН^и2) | /2, или в виде уравнения Бернулли
dт _ {Ь — и2 — ЬН\и2)т - 6т3(1 - и^(С\,и2) - «2 - Н^) аЩ ~ 1 + (1 + ън^и2 - (6 + Н!)и2 - (1 + б# 1)[/2(С1, и2) '
которое легко приводится при помощи (13) к линейному неоднородному уравнению
dp _ 2((1 + bHi)u2 — b)p + 2b( 1 — U2(C 1,U2) — u2 — H1U2) _ 1
22
H u 1
p = -f. (14)
du2 1 + (1 + bHi)u2 — (b + Hi)u2 — (1 + bHi)U2(Ci,U2^ т2
Последний факт означает, что может быть найден еще один трансцендентный первый интеграл в явном виде (т.е. через конечную комбинацию элементарных иррациональных функций). При этом общее решение уравнения (14) зависит от произвольной постоянной C2:
Gi —, Zu Z2, 6, Яь Ci ) =С2 = const. (15)
sin a sin a
Поиск полного набора первых интегралов системы (6) закончен. Для отыскания последнего дополнительного первого интеграла системы (6), (7) (т.е. интеграла, зависящего и от угла в) заметим, что, поскольку
d£ __(1 + bH\)Z\/T_
d^ ~ -Z2 + br(Zf + Z2) + 6т(1 - r2) - 6#i(l - т2)'
равенство
d£ __(1 + bHi)m_
dr ~ -и2т + &r3(-uf + uj) + Ът{ 1 - г2) - bHiTU2{l - т2)
и второе уравнение системы (10) позволяют выписать уравнение для получения искомого интеграла
du\ b + Н\
~W¡= U2 ~ T+bHi
которое легко интегрируется и в координатах (Z\,Z2,a) приводится к виду
cos2[2(/3 + С3)] = G2 —,Zb Z2, b, Нъ сЛ. (16)
\sin a sin а )
Доказано следующее утверждение.
Теорема. Система (5)-(7) обладает полным набором инвариантных соотношений: аналитическим соотношением (8) и тремя первыми интегралами (12), (15), (16), которые являются элементарными трансцендентными функциями своих фазовых переменных.
Трансцендентность в данном случае понимается в смысле комплексного анализа, когда функция после формального продолжения в комплексную область имеет существенно особые точки.
О других похожих случаях полной интегрируемости уравнений пространственного движения твердого тела, взаимодействующего со средой при дополнительном наличии следящей силы, а также об исследовании обобщенных уравнений движения многомерного твердого тела в неконсервативном поле сил см. [7-9].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чаплыгин С.А. Избранные труды. М.: Наука, 1976.
2. Чаплыгин С.А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости // Полн. собр. соч. Т. 1. Л.: Изд-во АН СССР, 1933. 133-135.
3. Самсонов В.А., Шамолин М.В. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. № 3. 51-54.
4. Шамолин М.В. Об интегрируемом случае в пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1997. № 2. 65-68.
5. Шамолин М.В. Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Докл. РАН. 1999. 364, № 5. 627-629.
6. Шамолин М.В. Динамические системы с переменной диссипацией: подходы, методы, приложения // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 3. 3-237.
7. Шамолин М.В. Случай полной интегрируемости в динамике четырехмерного твердого тела в неконсервативном поле // Успехи матем. наук. 2010. 65, вып. 1. 189-190.
8. Шамолин М.В. Интегрируемость по Якоби в задаче о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде // Докл. РАН. 2000. 375, № 3. 343-346.
9. Шамолин М.В. Об одном интегрируемом случае уравнений динамики на so(4) х r4 // Успехи матем. наук. 2005. 60, вып. 6. 233-234.
Поступила в редакцию 12.10.2011
