Полное спектральное тестирование по методу ковэю-макферсона генераторов случайных чисел Лехмера с максимальным периодом Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М. : Наука, 1970.

4. Varlet J. C. Endomorphisms and fully invariant congruences in unary algebras A Г) // Bull. Soc. Roy. Sci. Liege. 1970. Vol. 39.

ПОЛНОЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ ПО МЕТОДУ КОВЭЮ-МАКФЕРСОНА ГЕНЕРАТОРОВ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ ЛЕХМЕРА С МАКСИМАЛЬНЫМ ПЕРИОДОМ Ж. Н. Темиргалиева (Университет Южной Калифорнии,США), Н. Темиргалиев (г. Астана, Казахстан) E-mail: zhanerke@gmail.com, ntmath@mail.ru

Доклад посвящен предельно точным расчетным формулам для построения линейных конгруэнтных последовательностей с максимальным периодом, приводящим к новым выводам по теме «Спектральный тест» из монографии «Искусство программирования» [1, 2], где в [1] дано подробное введение в тему, в последнем издании [2] - дальнейшее развитие (разумеется на период написания).

Генератор случайных чисел Лехмера или же линейная конгруэнтная последовательность есть, по определению, рекуррентная последовательность {Xn) целых неотрицательных чисел

Xn+1 = (aXn + c) modN, n > 0, (1)

где N — модуль (0 < N), а— множитель (0 < а < N), c— приращение (0 < c < N), Xo— начальное значение (0 < Xo < N).

Всюду ниже будем считать, что последовательность (1) имеет максимальный период длины N (см. [2, стр. 36]).

Тогда, целые числа а > 1 и N > а определяют целые числа т(а, N) > > 2, 1 < X(a,N) < (а — 1)т(a,N)—1 такие, что(см. [1, стр. 36-39; 2, стр. 43-45])

(а — 1)т(a'N) = NX(а, N), (а — 1)т(a'N)—1 ф 0 (modN). (2)

В «Спектральном тестировании»-8Т в качестве меры «случайности» последовательностей (1) принимается величина (см. [1,стр. 107-108])

vs (а, N) = min л /m^ + ... + m2s,

где минимум берется по всем т = 0, т = (ш\,... , т8) € 2в, являющихся решениями сравнения т1 + ат2 + • • • + аа-1т3 = 0 (твё,Ы), или, что то же самое (см. [1, стр. 113; 2, стр. 120])

у"2(а, N) = т£ | Шщ — аи2 — ... — ай-1п^ 2

ъ>2(а, N) = inf | [Nu\ — aus — ... — as 1us) + +u2 + ... + u2s : (ui,..., us) = (0,..., 0)} .

Сама же задача заключается в нахождении в условиях (2) чисел а, N и s с как можно большим значением величины vs (а, N).

Отметим, что при всех a,Nиs справедливы неравенства (см. [1, стр. 108; 2, стр. 133])

Vs (a,N) < y (s) Ns. (3)

Как и всякая оценка сверху, неравенство (3) может быть сильно завышенным, поэтому задачи не решает(см. также [1, стр. 111]).

Исследуемая задача относительно s распадается на следующие попарно непересекающиеся случаи

10. s = т (a, N) = 2, 1 < Л (a, N), 20. s = т (a, N) > 3, 1 < Л (a, N), 30. 2 < s <т (a, N), 1 < Л (a, N), 40. 2 < т (a, N) < s, 1 < Л (a,N).

В следующих соотношениях получен полный ответ на истинный порядок vs (a, N; (a — 1)т(a,N^ = NЛ(a, N(эта проблема поставлена в [1],

в последующем, спустя 30 лет, издании [2] ответа на тот же естественный вопрос также не находим):

ST-2: v22 (а, N ; (a - 1)2 = n) = (a - 1)2 (l - 2

а-2 (а-1)2

= N (1 - 2Щ-1

ST (2 < s = т ) : N s (1 - (bs - 1) N- ^ 2 = (a - bs)2 <

< vs2 (a, N ; (a - 1)s = N ) < a2 + 1 = N s (l + 2N-2 + 2N- s) . ST (2 < s<T) :

2

(NA)2 (1 - (bs - 1) (NA)-= (a - bT )2 < vs2 (a, N ; (a - 1)T =

NX, 1 < A < (a - 1)T-s) < a2 + 1 = (NA)2 (1 + 2 (NA)-2 + 2 (NA)-ST (s > т > 2): Vs2 (a, N ; (a - 1)T = NA,A > 1) < Ek=o ( ( k ) ) .

Библиографический список

1. Кнут Д. Э. Искусство программирования для ЭВМ. Получисленные алгоритмы : в 3 т. М. : Мир, 1977. Т.2.

2. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Получисленные алгоритмы : в 2 т. М. : Вильямс, 2007. Т.2.

ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОРНЕВЫМИ КЛАССАМИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ С НОРМАЛЬНЫМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ Е. А. Туманова (г. Иваново) E-mail: helenfog@bk.ru

Следуя К. Грюнбергу [1], содержащий хотя бы одну неединичную группу класс групп K будем называть корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и прямых произведений конечного числа сомножителей и удовлетворяет следующему условию: если X — некоторая группа и 1 ^ Z ^ Y ^ X — субнормальный ряд группы X такой, что X/Y, Y/Z G K, то в группе X существует нормальная подгруппа T такая, что T С Z и X/T G K. Как установлено в [2], класс групп K является корневым тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия подгрупп и расширений, а также вместе с любыми двумя группами X, Y G K содержит декартово произведение yGY Xy, где Xy — изоморфная копия группы X для каждого y G Y. Отсюда легко следует, что корневыми оказываются многие активно изучаемые классы групп: класс всех конечных групп; периодических п-групп, где п — непустое множество простых чисел; разрешимых групп; всех групп без кручения; и что пересечение корневых классов — снова корневой класс.

Напомним далее, что группа X называется аппроксимируемой классом групп K, если для каждого элемента x G X \ 1 существует гомоморфизм а этой группы на группу из класса K такой, что xa = 1. В настоящей работе изучается вопрос об аппроксимируемости корневыми классами обобщенного свободного произведения G = (A * B; U) групп A и B с объединенной подгруппой U в предположении, что данная подгруппа является нормальной в свободных множителях. В этом случае подгруппа U оказывается нормальной в G и потому ограничение любого внутреннего автоморфизма группы G на эту подгруппу представляет собой автоморфизм последней. Множество всех таких автоморфизмов образу-