Об аппроксимируемости корневыми классами некоторых обобщенных свободных произведений с нормальным объединением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Кнут Д. Э. Искусство программирования для ЭВМ. Получисленные алгоритмы : в 3 т. М. : Мир, 1977. Т.2.

2. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Получисленные алгоритмы : в 2 т. М. : Вильямс, 2007. Т.2.

ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОРНЕВЫМИ КЛАССАМИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ С НОРМАЛЬНЫМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ Е. А. Туманова (г. Иваново) E-mail: helenfog@bk.ru

Следуя К. Грюнбергу [1], содержащий хотя бы одну неединичную группу класс групп K будем называть корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и прямых произведений конечного числа сомножителей и удовлетворяет следующему условию: если X — некоторая группа и 1 ^ Z ^ Y ^ X — субнормальный ряд группы X такой, что X/Y, Y/Z G K, то в группе X существует нормальная подгруппа T такая, что T С Z и X/T G K. Как установлено в [2], класс групп K является корневым тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия подгрупп и расширений, а также вместе с любыми двумя группами X, Y G K содержит декартово произведение yGY Xy, где Xy — изоморфная копия группы X для каждого y G Y. Отсюда легко следует, что корневыми оказываются многие активно изучаемые классы групп: класс всех конечных групп; периодических п-групп, где п — непустое множество простых чисел; разрешимых групп; всех групп без кручения; и что пересечение корневых классов — снова корневой класс.

Напомним далее, что группа X называется аппроксимируемой классом групп K, если для каждого элемента x G X \ 1 существует гомоморфизм а этой группы на группу из класса K такой, что xa = 1. В настоящей работе изучается вопрос об аппроксимируемости корневыми классами обобщенного свободного произведения G = (A * B; U) групп A и B с объединенной подгруппой U в предположении, что данная подгруппа является нормальной в свободных множителях. В этом случае подгруппа U оказывается нормальной в G и потому ограничение любого внутреннего автоморфизма группы G на эту подгруппу представляет собой автоморфизм последней. Множество всех таких автоморфизмов образу-

ет подгруппу в Aut U, которая далее будет обозначаться через AutG(U). Легко видеть, что группа Aut^(U) порождается своими подгруппами Aut^(U) и Autß(U), составленными из ограничений на U всевозможных внутренних автоморфизмов групп A и B соответственно. Основным результатом данной работы является следующее утверждение.

Теорема. Пусть K — корневой класс групп, замкнутый относительно взятия фактор-групп, A = U = B, группа AutG(U) является абелевой или совпадает с одной из подгрупп Aut^(U) и AutB(U). Пусть также Q обозначает семейство всех пар (R, S) таких, что R — нормальная подгруппа группы A, S — нормальная подгруппа группы B, A/R G K, B/S G K и R П U = S П U. Группа G аппроксимируется классом K тогда и только тогда, когда

Vf] (R,S)gQ R = 1 = П (R,S)GQ S,

2) подгруппа U K-отделима в группах A и B.

Напомним, что подмножество M группы X называется K-отделимым в этой группе, если для каждого элемента x G X\M существует гомоморфизм а группы X на группу из класса K такой, что xa G Ma. Понятно, что если, скажем, U = B, то G = A и из аппроксимируемости группы G классом K вовсе не следует K-отделимость в ней подгруппы U. Поэтому условие A = U = B в формулировке приведенной теоремы существенно.

Следствие 1. Пусть K — корневой класс групп, замкнутый относительно взятия фактор-групп, A — K-аппроксимируемая группа, B/U G K, A = U = B .И пусть подгруппа U является циклической или AutG(U) = Aut^(U). Группа G аппроксимируется классом K тогда и только тогда, когда подгруппа U K-отделима в группе A.

Следствие 2. Пусть K — корневой класс групп, замкнутый относительно взятия фактор-групп, A — K-аппроксимируемая группа, B — K-аппроксимируемая конечно порожденная нильпотентная группа, A = U = B. И пусть подгруппа U является циклической или AutG(U) = Aut^(U). Группа G аппроксимируется классом K тогда и только тогда, когда подгруппа U K-отделима в группах A и B.

Сформулированные утверждения обобщают и дополняют некоторые результаты, полученные автором в [3].

Библиографический список

1. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. Lond. Math. Soc. 1957. Vol. 7.

2. Sokolov E. V. A characterization of root classes of groups // Comm. Algebra. 2015. Vol. 43.

3. Туманова Е. А. Об аппроксимируемости корневыми классами групп обобщенных свободных произведений с нормальным объединением // Изв. вузов. Матем. 2015. № 10.

СИМВОЛ ТИПА И СИМВОЛ ЧЕТНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОСТОГО ПОЛЯ С. А. Тюрин (г. Нижний Новгород) E-mail: saturin@list.ru

Вычисления в алгебре срезанных многочленов над конечным полем возникают при классификации орбит некоторых объектов в конечномерных простых алгебрах Ли над полями положительной характеристики. В частности, при изучении свойств модулярных тригонометрических функций [1] появляются вычисления факториалов элементов в поле классов вычетов по простому модулю.

Приведем используемые ниже определения, некоторые из которых введены в работах [2, 3].

1. Класс вычетов по модулю р будем называть классом 1-го типа, если абсолютно наименьшие вычеты этого класса и обратного по модулю р имеют одинаковые знаки, и, соответственно, классом 2-го типа, если эти знаки разные. Типом целого числа будем называть тип его класса вычетов.

2. Символом типа числа г, взаимно простого с модулем р, называется (-1), если число г первого типа, и (+1), если число г второго типа.

3. Подмножество Ет(а,р} = {а, —а, а-1, -а-1} группы Zp ненулевых элементов простого поля называется четверкой, порожденной элементом а е Z*.

4. Пусть наименьшим положительным вычетом класса а по модулю р является число г, а наименьшим положительным вычетом обратного класса по модулю р является число ]. Символом четности класса а по модулю р называется число (—1}(г+').

5. Четверка Гт(а,р} называется четной, если числа г и ] имеют одинаковую четность, и нечетной, если числа г и ] имеют разную четность.

Все элементы четверки Гт(а,р} имеют одинаковый символ типа и одинаковую четность.