Полиномиальные замены антикоммутирующих переменных в функциональном суперанализе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.988.54; 517.982

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ЗАМЕНЫ АНТИКОММУТИРУЮЩИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ СУПЕРАНАЛИЗЕ

Н. Н. Шамаров

В работе используется функциональный подход к суперанализу [1, 2]. Доказывается, что если полиномиальное отображение Ф : Л™ —Л™ конечномерного суперпространства над нечетной частью локально выпуклой топологической суперкоммутативной алгебры Л = Ло ® Л1 (над М или С) с нулевым аннуля-тором нечетной части осуществляет супердиффеоморфизм пары окрестностей II, V С Л™, то оно имеет обратное полиномиальное отображение Ф : Л™ —Л™, такое, что Ф(Ф(ж)) = Ф(Ф(ж)) = ж (\/ж € Л"). Полученная таким образом группа замен п антикоммутируюгцих переменных является нетривиальным расширением группы СЬп, что в свою очередь позволяет расширить группу локальных калибровочных преобразований, учитывающую духи Фаддеева-Попова [3].

Определения и предварительные сведения. Далее К — алгебраическое поле. Суперкоммутативной алгеброй (СА) над К называется векторное пространство Л над К, являющееся прямой суммой двух своих подпространств Ло (называемого вместе со всяким его элементом четным) и Л1 (называемого вместе со всяким его элементом нечетным) и оснащенное ассоциативным билинейным отображением 1 Л2 э [х, у) I—х ■ у (= ху) € Л так, что если х, и € Ло и у, у € Лх, то хи,уу € Ло и ху € Лх (Ж^-градуиро-ванность), а также [хи] = [ху] = у2 = 0 (суперкоммутативность), где [ху] = ху — ух.

Назовем такую алгебру невырожденной (НСА), если

1) поле К обладает нулевой характеристикой и является подалгеброй в Ло;

п) Уж € А х ■ Лх = {0} -<==> х = 0 (при этом сИт^ Лх = оо [1]).

Примером НСА является грассманова алгебра с бесконечным числом образующих (над любым полем нулевой характеристики).

Отображение ф : Л™ —Л назовем полиномиальным, если

п

ф : Л? Э [хъ ..., хп) ^ с0 + хп ■ ■ ■ х3к>

к=1 1<~]1< — <Зк<~п

где 2га коэффициентов С {1 ,...,п}) взяты из Л. Если СА Л невырождена, то эти коэффи-

циенты определяются однозначно с помощью (скажем, правого) алгебраического дифференцирования [4, 1]. Далее рассматриваем только НСА. Отметим, что алгебра (относительно поточечных операций) Р(Л™, Л) всех полиномиальных отображений (=полиномов) Л™ -» А с коэффициентами из НСА Л = Ло Ф Лх сама является НСА Р(Л™,Л) = Р(Л™,Л)о ©Р(Л™,Л)х, в которой четные полиномы — в точности принимающие значения в Ло, а нечетные полиномы — в точности принимающие значения в Лх- При этом четное подпространство Р(Л™,Л)о является линейной оболочкой множества, образованного однородными полиномами четной степени с четными коэффициентами и однородными полиномами нечетной степени с нечетными коэффициентами, а нечетное Р(Л™,Л)х — линейной оболочкой множества, образованного однородными полиномами четной степени с нечетными коэффициентами и однородными полиномами нечетной степени с четными коэффициентами. Полиномом назовем также отображение2 Ф : Л^ Л^ : [ж1;... ,хп) ^ [/х(ж1; • • -,хп),..., /„(жх,.. .,хп)), если /ь ..., }п — полиномы.

Всякий полином Ф : Л™ —Л™ является алгебраически супердифференцируемым [4] в каждой точке ж € Л™, т.е. обладает квадратной матрицей (Якоби) Jф(x) € Ма1]Гга(Ло) размером п х п с элементами из Ло, такой, что для к = [к\,..., Кп) е Л™

Ф(ж + /г)Т = Ф(ж)Т + .1ф(х)НТ + (слагаемые степеней > 2 по ..., Кп),

где }гт — столбец с теми же элементами, что и строка Л,.

1 Упорядоченную пару, тройку и т.д. обозначаем [ац,... , хп).

2 Вместо /([ж1,... , хп)) пишем /(ж1,.. . , ж„); Л™ = (Л1)11.

Предложение 1. Пусть п = 1,2,... — произвольное натуральное число, А = Ло ® Л1 — НС А над некоторым полем К и полиномиальное отображение Ф : Л™ —Л™ обладает, обратимой матрицей Якоби в некоторой точке. Тогда существует обратное полиномиальное отображение Ф : Л™ —А", т.е. такое, что Ф(Ф(ж)) = ж и Ф(Ф(ж)) = ж для всех х € Л"; при этом если </ф(0) хТ = хт для всех х € Л™7 то и

Доказательство. Проведем индукцию по п. Если п = 1 и переменная у £ Л1 связана с переменной ж € Л1 формулой у = Ф(ж) = Со + С\Х, то обратимость матрицы Якоби в некоторой точке Жо £ Л} означает обратимость четного элемента с\ и непосредственно проверяется, что искомым обратным является Ф : -(с!)"1^ + (С1)~1у е Ль Для индуктивного шага предположим, что для некоторого натурального к, каковы бы ни были НСА Ь = над К и полиномиальное отображение Фд. : Ьк —Ьк с обратимой в некоторой точке матрицей

Якоби, найдется обратное отображение Фд. : Ьк —Ьк, причем если 7ф?с(0)жт = хТ, то и к(0)хт = хт.

Пусть п = к + 1, пусть Л = Ло Ф Л1 — НСА над некоторым полем К и полиномиальное отображение Ф : Л™ —Л™ обладает обратимой матрицей Якоби 7ф(жо) в некоторой точке Жо £ Л™. Ясно, что при отыскании обратного к Ф отображения можно без ограничения общности считать, что Жо = 0 = Ф(0) и что матрица </ф(0) единичная. Формула Тейлора-Маклорена принимает тогда вид Ф(х)т = хт + (полином с высшими одночленами по ж) = хт + С\(х)хт + Со, где (к + 1)-я компонента столбца Со является нечетным полиномом от ..., и матрица С^ж) нильпотентна. Составим систему уравнений

и найдем выражение ж через у. Для этого используем так называемый экспоненциальный закон, согласно которому полиномы от ж, т.е. от п = к + 1 переменных Х\,... ,Хк+\, с коэффициентами из алгебры Л можно рассматривать как полиномы от к переменных Х\,...,Хк с коэффициентами из алгебры 7V[a?fc_|_i] полиномов от (к + 1)-й переменной с коэффициентами из Л (этот закон применйм в нашем случае, поскольку суперкоммутативная алгебра Л невырождена и, значит, полиномиальное отображение однозначно определяет (левые) коэффициенты). Положим Lq = P(Ai,A)o, L = Р(А\, А) = A[ccfc_|_i(G Ai)], L\ = P(Ai, A)i, xk = [Ж1,... ,Xk), и рассмотрим первые к компонент Д(ж),..., Д(ж) полинома ж i—Ф(ж) = [/i(ж),..., Д (ж), Д_|_1(ж)) как нечетные полиномы д\(хк), ..., ди{%к) от переменных Ж1,..., с коэффициентами из НСА L — алгебры полиномов от одной дополнительной переменной Xk+i £ Ai. Отображение Фд; : Lk —Lk : (хк) I—[gi(xk),..., gk(xk)) обладает свойствами: оно полиномиально; Ф&(0) = 0, J$k(Q))xk = хк. По предположению индукции существует обратное отображение Фд. с такими же свойствами: оно полиномиально от к переменных (обозначим их у\,... ,ук, и пусть ук = [у\,... ,Ук)) с коэффициентами из L; Ф(0) = 0 и J#fc(0) (ук)Т = (ук)Т■ Таким образом, используя первые к строк системы (1), возможно выразить Х\,...,Хк полиномиально через переменные у\,... ,ук, x^+i- Это, в частности, означает, что последняя строка системы (1) имеет вид Xk+ii)- +Ni(xk)) +N2(xk) = Ук+i (наД Л; здесь и далее в доказательстве N\,... ,Nq — полиномы с нильпотентными значениями). Отсюда, используя свойства Фд., получим Xk-\-i(l + Ns(yk, Xk-\-i)) + N4(yk, Xk-\-i) = Ук+ъ что в силу равенства Xk+iXk+i = 0 влечет уравнение вида Ж£_|_1(1 + Nb(yk)) + Ng(yk) = Ук+i, из которого Xk+i выражается полиномиально через у. Значит, и остальные компоненты столбца ж выражаются полиномиально через у. Предложение 1 доказано.

Топологические структуры и супердифференцируемость. Далее топологические (в частности, топологические векторные) пространства подразумеваются хаусдорфовыми, а все рассматриваемые локально выпуклые топологические векторные пространства (ЛВП) — заданными над основным полем К G {R,C}. Если Е — ЛВП, то его ограниченным покрытием назовем всякую такую систему непустых ограниченных подмножеств в Е, объединение всех элементов которой совпадает с Е. Используемые далее примеры ограниченных покрытий: система всех конечных, система всех компактных, система всех ограниченных подмножеств. Если Е и F — ЛВП, то L(E, F) — векторное пространство линейных непрерывных отображений (операторов) Е F, а если к тому же В — ограниченное покрытие пространства Е, то L(E,F)b — ЛВП, получаемое из пространства L(E,F) заданием на нем топологии равномерной сходимости на каждом множестве М G В.

Пусть Е и F — ЛВП, U С Е, / : U —F, Жо — внутренняя точка в U, В — ограниченное покрытие пространства Е. Отображение / называется дифференцируемым в точке Жо относительно В (короче — -В-дифференцируемым в Жо), если существует оператор /'(жо) £ L(E,F) (называемый производной отображения / в точке Жо), такой, что отображение ("остаточный член") : {U — Жо) —► F, задаваемое формулой r^'x°(h) = /(Жо + h) — /(Жо) — /'(жо)Л-, удовлетворяет условию: каково бы ни было множество

7ф(0) хт = хт для всех ж G А™.

(1)

M G В, при t —>■ 0 функция (_КД{0}) х (Î7 — Жо) Э [t, h) t~l(t-h) G F стремится к нулю равномерно по Л, £ М3. При этом ^-дифференцируемые (в точке) отображения называются дифференцируемыми по Гато (в этой точке), если В является системой всех конечных (или, что равносильно, всех одноточечных) подмножеств в Е, по Адамару — если всех компактных, по Фреше — если всех ограниченных.

Если Вг и В2 — такие ограниченные покрытия пространства Е, что каждый элемент из В\ покрывается конечным числом элементов из В2, то очевидно, что из 1?2-Дифференцируемости (в некоторой точке) следует !?1-дифференцируемость; так будет, в частности, если В\ С В2.

Пусть Uq — открытая в Е часть множества U С Е. Отображение / : U —F называется -В-дифференцируемым в Uq, если / дифференцируемо в каждой точке множества Uq. При этом возникает отображение

f'\u0:U03x0»f'(x0)eL(E,F),

называемое первой производной или производной первого порядка функции / на множестве Uo и обозначаемое еще символом f^\u0-

Отображение / называется дважды ^-дифференцируемым в Uq, если оно 13-дпфференцпруемо в Uo и f'\u0 является ^-дифференцируемым (в Uo) отображением множества Uo в ЛВП L(E,F)b ; возникающее при этом отображение (/'\и0У\и0 называется второй производной или производной второго порядка функции / на Uo и обозначается f"\u0 или f^\u0-

Положим L(°) [Е, F)b = F, bW [F, F)b = ЦЕ, L<°) [F, F)в)в = L(E, F)в и рекурсивно (Е, F)B =

L(E,L^(E,F)b)b (к = 1, 2, ... ). Ясно, что L^(E, F)в и L^1\E,F)b являются локально выпуклыми пространствами значений производных функции / нулевого4 и первого порядков. Теперь рекурсивно же определим и многократную 13-дпфференцпруемость на Uq. Если наше отображение / является к раз -В-дпфференцпруемым на Uq, причем его производная к-го порядка f^\u0 является ^-дифференцируемым отображением Uo —L^(E,F)b, то / называется (к + 1) раз дифференцируемым на Uo и функция f(^\Uo, определяемая формулой = (1^\и0У\и0 '■ Uo (Е, F) в, называется производной

к + 1-го порядка функции / на Uq. Если ж g Uq, вместо f^\u0(x) пишем для краткости f^k\x).

Локально выпуклой НСА называется НСА Л = Ло ©Ai над полем К G {R,С}, такая, что Ло и Ai — ЛВП над К, А — их топологическая прямая сумма и умножение в ней — непрерывное отображение

Пусть теперь в обозначениях определения дифференцируемости Е = Л™. Тогда В-дифференцируемое в точке Жо G U С Л™ отображение / : U —Л будем называть 13-супердифференцпруемым (справа) в этой точке, если для каждого j = 1,2,...,п существует такой элемент /j(Жо) G Л, что производная (оператор) /'(жо) G ¿(Л™, Л) имеет вид А™ э [hi,..., hn) i—fj(xо) ' hj G Л; в силу невырожденности СА Л выбор элемента /j(Жо) для каждого j однозначен, и этот элемент называется (j-й левой) частной суперпроизводной отображения / в точке Жо-

Если U — открытое подмножество в Л™ и непрерывное отображение / : U —Л является 13-супердпф-ференцируемым в каждой точке Жо G U, причем функция U Э Жо ^ [f[(xо), • • • > fn(xо)) S Лга непрерывна, то / называется непрерывно 13-супердифференцпруемым (на U).

Если непрерывное отображение F : U —Ат (п,т G N) имеет вид F : ж и [fi(x),...,fm(x)), где fj (j = 1 ,...,т) непрерывно 13-супердпфференцпруемы, то и F называем непрерывно 13-супердпффе-ренцируемым и записываем F G SCg(U, Ат). Частные производные компонент такого F, т.е. функции вида [fk)'j '■ U А, называются компонентами матрицы Якоби для F. Пишем F G SC^(U, Ат), если F G SCg(U, Am) и все компоненты матрицы Якоби для F принадлежат классу SCB(U,A). Рекурсивно если F G SCg(U, Ат) и все компоненты матрицы Якоби для F принадлежат классу SCB(U,A), то пишем

F G SCk+1(U,Am) (к = 1,2,... ). Полагаем SC^{U,Am) = П SCkB{U,Am). Очевидно, что в силу непре-

к=1

рывности линейных операций полиномиальные отображения Л™ —Ат относятся к классу ¿>С|?(Л™, Ат).

Отметим, что если функция / G SCB(U,A), то ее частные суперпроизводные (вида Д) имеют в свою очередь непрерывные частные суперпроизводные (вида (f'k)'j или короче f'^j), которые называются

частными суперпроизводными второго порядка. Рекурсивно если / G SC^l(U, А), то все частные супер-

3 Заметим, что в силу ограниченности M при всех достаточно малых t множество tM содержится в области определения отображения кроме того, оператор /'(жо) в случае его существования однозначно определяется формулой f'(xo)h = limt^o t-\f(x0+th) - /(жо)), heE.

4 Производной функции / нулевого порядка на множестве Uo естественно считать сужение f\u0 функции / на это множество: /(0Vo = /ко-

производные (вида /ji) имеют в свою очередь (непрерывные) частные суперпроизводные к-го порядка (вида (/1)^ ,• ,• = ,• ,• ), которые называются частными суперпроизводными {к + 1)-го

с/1 «уз? ^ j к ^ j к 1 jq/y'"'у jk у jk 1

порядка.

Из этих определений непосредственно следует, что класс SCß(U,Am) состоит из (некоторых) отображений U —>■ Ат, _В-дифференцируемых к раз на множестве U С Л™ ; при этом если / £ SCß(U, Ai), hj = [hl,... ,hJn ) G A" (j G N, 1 < j < А;) и ж G U, то при к = 1

п

L(A1,A)3f'(x):h1»1£,f'j(x)-h1j

з+1

(точка — умножение в Л), при к = 2

п п

f(x) : /¿2 - [Л.1 ^ fWihiXh) = Е Е ' ^ ' Л},]

Л = 1 .72 = 1

и, наконец, полагая для краткости

/^(x)(hk)(hk-1)... (й2)^1) = j{k)(x)(hk,hk~l,...,h2, hl),

по индукции получаем

f<k\x)(hk, hk-\Е ■ ■ ■ h%hl

bb---Jfc>e{l,...,ra}fc

Отсюда заключаем, что при к > п для h1 = h2 = ■ ■ ■ = hk = h = [h\,..., hn) G Л™ "fc-й дифференциал" dfrf(x) = f(k\x)(h,..., h) обращается тождественно в нуль, если / G SCß(U,A\), так как в равенстве

f^(x)(h, ....h) Е fhl,jk ■ ''Ii ■ ■ ■ ^ ■ ^

bb---jfc>e{i,...,n}fc

среди произведения нечетных множителей hj найдется хотя бы одна пара совпадающих. Следовательно, "к-й дифференциал" d^F(x) = , h) обращается (покомпонентно) тождественно в нуль, если

F G SCß(U, Л™) при т G N, к > п. Отсюда вытекает следующее предложение.

Предложение 2. Пусть F G ¿>Сд(Л™,Л™)7 fc,m,n G N, к > п. Тогда F является полиномиальным (степени < п) отображением Л™ —Л™.

Доказательство проведем аналогично [1] с тем только изменением, что используем формулу Тейлора для _В-дифференцируемых отображений локально выпуклых пространств.

Согласно следствию 3 [5, с. 33], для F справедлива формула Тейлора в следующем виде: V/г = [hi,...,hn) G Kl

F(h)-F(0)-F'(0)h- ... - y^d^FiO) e^{±dkF(th) :te(0,l)},

где conv{... } означает замыкание выпуклой оболочки множества {...}.

Но поскольку d3hF = 0 при j = п + 1,..., к, то формула Тейлора превращается в равенство F(h) =

lh(h),..., fm(h)} G AT, где fe(h) = /,(0) + i ЕГ=1(Л)^0) ' Ы + Jj E[ilj2>e{i)...,n}2 ff32(0) • hh ■ hn + ... +

h. S[J-1>...>,-n>e{i>...>n}n fhl-dk^ ' hin ' h3n-1 • • • ' = 1, • • •, m), т.е. F - полином. Предложение 2

доказано.

Предложение 3. Если / G SCß\lJ, Л") и g G Л™)7 где g(V) С U, то для каждого у G V ксш-

позиция f од является супердифференцируемой по Гато в точке у, причем матрица Якоби (отвечающая оператору (/ о д)'(у)) для / о g в точке у равна произведению (отвечающему произведению операторов f'idiy)) ' Я'{у)) матрицы Якоби для / в точке д(у) и матрицы Якоби для g в точке у.

Доказательство. Пусть у G V, t G К \ {0} и Л, G Л™. Покажем сначала, что t 1(f(g(x + th)) — f(9(x))) ~ f'(9(x))(t~1(g(x + th) — g(x))) -»0b F при t —>■ 0. Действительно, в силу формулы Тейлора

t-l(f(g(x + th)) - f(g(x)) - f{g{x)){g{x + th) - g(x))) G G i 1Шш{гЫ2{д{х+щ_д{х))/((1 - a)g(x) + a ■ g(x + th)) :ae [0,1]},

но так как

t~ldlg{x+th)_g{x))f((l - a)g(x) + a ■ g(x + th)) =

= /"(( 1 - a)g(x) + a ■ g(x + th))(Tl(g{x + i/i) - g{x)))(g{x + ifc) - #(ж)),

то ввиду сходимости t~l(g(x + th) — g(x)) —g'(x)h, непрерывности /"иди (равномерной на компактах) непрерывности алгебраических операций в Л последнее множество стремится к нулю при t —0 (в том обычном смысле, что оно будет содержаться в произвольно заданной окрестности при достаточно малых t). Наконец, отметим, что

f'(cÂy))(t~l(g(y + th) - д(у))) f(g(y)) • д'(у)

в силу супердифференцируемости ¡иди опять-таки непрерывности алгебраических операций в Л. Предложение 3 доказано. □

Определение супердиффеоморфизма. Если U,V — открытые множества в Л™ и отображение / G SCg(U, Л") является такой биекцией U на V, что обратное к нему отображение g : V —>■ U принадлежит аналогичному классу SCB(V, Л"), то говорят, что / является супердиффеоморфизмом U на V класса SCg.

Теорема. Пусть п = 1, 2,... 7 Л = Ло ©Ai — локально выпуклая ПСА, Ф G ¿>С|>+1(Л™, Л") u сужение отображения Ф на открытую окрестность U некоторой точки Xq G Л™ является супердиффеоморфизмом этой окрестности на окрестноеть V т,очки, Ф(жо) класса S СТогда Ф являет,ся биективным полиномиальным отображением Л™ на Л™ с полиномиальным обратным.

Доказательство. По предложению 2 гладкость класса влечет полиномиальность отображе-

ния Ф, в частности гладкость класса S СОбратимость этого полинома в некоторой окрестности влечет обратимость матрицы Якоби в некоторой точке в силу предложения 3, так как Ф(g(у)) = у при у G V (для некоторой функции g : V —>■ U класса SC¿) и, значит, оператор f'{g{y)) • g'(у) — тождественный для у = Ф(жо). Тогда, согласно предложению 1, для / существует обратный полином Л™ —Л™. Теорема доказана. □

Замечания. 1. Полученная в предложении 1 группа замен п антикоммутируюгцих переменных содержит группу GLn(K) в качестве подгруппы. Требование калибровочной инвариантности относительно более широкой подгруппы замен духовых переменных, включающее нелинейные замены, налагаемое на эффективный лагранжиан Фаддеева-Попова, может дать дополнительную информацию при квантовании теорий поля в терминах функционального интеграла [3, 6]. Простейшие нелинейные замены с участием нечетных переменных, отвечающие суперсимметрии, рассматривались в некоторых физических работах (см., например, [7]), но общая теория групп нелинейных замен фактически не изучалась. Это вызвано по меньшей мере двумя обстоятельствами: во-первых, расширяемые линейные группы конечномерны над С или R, тогда как расширение до полиномиальных замен нечетных переменных в конечномерных супералгебрах требует преодоления алгебраических трудностей, связанных с вырожденностью последних: в них аннулятор нечетного подпространства ненулевой; во-вторых, известные невырожденные банаховы супералгебры, как правило, не имеют естественной гильбертовой структуры [8-10], хотя естественно ожидать расширения наблюдаемого физического пространства с (псевдо) евклидовой или римановой метрикой именно до пространства с аналогичной структурой.

2. Напомним проблему полиномиального якобиана в Кп (_fÎG {М, С}, п> 1): пусть / : Кп —Кп — полином с всюду обратимой матрицей Якоби, обратим (инъективен, сюръективен) ли он? Предложение 1 решает усиленный аналог такой проблемы в случае антикоммутируюгцих переменных.

3. Интересен вопрос, является ли предложение 2 справедливым при k = п (хотя бы в случае п = 1).

Автор выражает благодарность О. Г. Смолянову и рецензенту за стимулирующие замечания.

Работа поддержана грантом РФФИ № 02-01-01074.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Владимиров B.C., Волович И.В. Суперанализ. 1: Дифференциальное исчисление // Теор. и матем. физ. 1984. 59, № 1. 3-27.

2. Rogers A. A global theory of supermanifolds // J. Math. Phys. 1980. 21. 1352-1365.

3. Коноплева Н.П., Попов B.H. Калибровочные поля. М.: Атомиздат, 1980.

4. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Изд-во МГУ, 1983.

5. Смоляное О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. М.: Изд-во МГУ, 1979.

6. Смоляное О.Г., Шаегулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. М.: Изд-во МГУ, 1990.

7. Гедепштейп Л.Э., Криее И.В. Суперсимметрия в квантовой механике // Успехи физ. наук. 1985. 146, вып. 4. 555-590.

8. Kupsch J., Smolyanov О.С. Hilbert norms for graded algebras // Proc. AMS. 1999. 128, N 6. 1647-1653.

9. Kupsch J., Smolyanov O.C. Functional representations for Fock superalgebras // Infinite Dim. Analys., Quantum Probab., and Rel. Topics. 1998. 1, N 2. 285-324.

10. Urinovskii A.N., Shamarov N.N. Inner products compatible with an algebra structure // Russ. J. Math. Phys. 2002. 9, N 3. 351-370.

Поступила в редакцию 03.07.2003 После доработки 05.10.2005

УДК 519.237.3

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О МАТРИЦЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ МНОГОМЕРНОЙ

ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Д. А. Бусарова

Для проверки гипотезы о равенстве нулю регрессионных коэффициентов в модели многомерной линейной регрессии предложена новая аффинно-инвариантная асимптотически свободная от распределений данных тестовая статистика. Изучены ее асимптотические распределения как при нулевой гипотезе, так и при близких к ней альтернативах и найдена асимптотическая эффективность по Питману соответствующего критерия.

1. Рассмотрим модель многомерной линейной регрессии

Уг = ВдХг+ег, 1 = 1,2, . . . ,П,

где Уг — наблюдаемый (д х 1)-вектор отклика, Х^ — наблюдаемый (р х 1)-вектор фактора и е^ — (д х 1)-вектор случайных ошибок. Мы будем предполагать, что как фактор Х^, так и отклик являются случайными. Наша задача — по п наблюдениям проверить гипотезу Но : Во = 0 о равенстве нулю неизвестной (р х д)-матрицы регрессионных коэффициентов.

Идея построения тестовой статистики, представленной в статье, основана на медианной оценке Тэйла [1] параметра наклона для модели простой линейной регрессии. Пусть

Уг = bol + b02Xí +£i, Í = 1, Медианная оценка Тэйла параметра наклона 6q2 есть

,п.

¡32n = med

Ytl , 1 < h < г2 < n, Xh ф X,

X%2 Xi^

г2

т.е. (32n = argmin/32eRC72n(/?2)) где

и2пШ =

E

Y — Y

P2 ~ X - X