Полиномиальные решения дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами II Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕ РЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ П Р ОИЗВОДНЫХ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ II

В. В. Карачик1

Предлагается метод построения полиномиальных решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами общего вида.

Ключевые слова: полиномиальные решения, линейные дифференциальные уравнения в частных производных.

1. Введение

Предлагаемая вашему вниманию статья является продолжением результатов автора, изложенных в работе [1] и посвящена построению полиномиальных решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами общего вида. Изучению полиномиальных решений конкретных уравнений в частных производных посвящено много работ. В основном это исследования полигармонических [2, 3], поливолновых [4], тепловых [5] и других полиномов [6]. В [7] исследуются базисные системы полиномиальных решений множества различных уравнений, однако при построении решений существенно используется структура дифференциального оператора уравнения. В [8] сделаны первые попытки общего подхода нахождения полиномиальных решений. В [9] построены полиномиальные решения неоднородного полигармонического уравнения и уравнения Гельмгольца. В настоящей работе не имеет значения ни структура оператора уравнения, ни тип дифференциального уравнения. Используя результаты, полученные в работе автора [1] и понятие / -нормированной системы функций [10], приводится метод построения полиномиальных решений дифференциального уравнения с постоянными ко ффициентами общего вида (2).

2. Полные системы полиномиальных решений

Пусть матрица 1(х) в системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

1( О)и( х) = / (х) (1)

квадратная и невырожденная. Выберем в теореме 4 из [1] в качестве векторов г/г)(х) столбцы

присоединенной (взаимной) к матрице 1( х) матрицы I (х). В этом случае V/, Я (г)( х) = det 1( х) и значит для того, чтобы, воспользовавшись теоремой 4 из [1], записать произвольное полиномиальное решение системы (1), мы должны найти полиномы Р^г)(х), которые удовлетворяют уравнению det 1( О) Р(г)( х) = £ (х). Таким образом, решение системы (1) с квадратной, невырожденной матрицей, сводится к отысканию полиномиальных решений линейных дифференциальных

уравнений вида

1(О)и = ^ ааОаи(х) = /(х), (2)

к <\а\^

где аа е М , / е V - пространство полиномов и х е Мп. Следует отметить, что уравнение (2) является частным случаем системы (1) при ^ = t = 1 и, следовательно, к нему применимы все результаты, полученные в [1]. Такой подход к построению полиномиальных решений системы уравнений (1) при ^ = t является универсальным, но увеличивает порядок дифференциального уравнения из (1), делая его равным степени полинома det 1(х).

Исследуем способы построения полиномиальных решений уравнения (2). Для этой цели введем следующее необходимое понятие.

l Карачик Валерий Валентинович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и динамических систем, факультет вычислительной математики и информатики, Южно-Уральский государственный университет. e-mail: karachik@susu.ru

Пусть Ъу, Ь - линейные операторы, действующие на функции / (х), принадлежащие множеству X такому, что ЬX с X (к = 1,2) и определенные в некоторой области йс МП.

О пределение 1. Упорядоченную систему функций {/к (х): к е М0, /к е X} назовем / -нормированной относительно (Ь_,12) в области й с основанием /0(х), если всюду в этой области

ЦМх) = / (х); ^/к (х) = Ь2/к-1(х), к е М, х ей.

Основное свойство / -нормированной системы функций относительно (!_, 12) в области й

состоит в том, что ряд и(х) = Xк=0 /к (х) формально удовлетворяет в й уравнению Ь1и(х) - Ь2и(х) = /(х).

Важным частным случаем введеного понятия является 12 = I, где I - единичный оператор. Тогда / -нормированную относительно (I, I) систему функций {/к (х): к е N0} будем называть / -нормированной относительно Ь. В этом случае в й имеют место следующие равенства [10]:

Ъ/о(х) = / (х); Ъ/к (х) = /к-1(х), к е М, х ей. (*)

Более того, если VkЖЦк (х) = ЪЩ'к (х) в й , тогда нетрудно установить, что система функций {^к/к (х): к е М0} будет / -нормированной относительно (Ъ,Ж) в й .

Пример 1. Пусть Ъ(О) линейный дифференциальный оператор первого порядка

п д

Ь( О) = X ак (х)—,

к=1 дхк

где ак (х) - аналитические в й функции, (х): к е N0} - некоторая / -нормированная относи-

тельно Ь( О) в й система функций и

(О) = X (-1)к <Рь (х)Ък (О).

к=0

Тогда, существует такая область й с й , что для любой аналитической в й функции Г(х) справедливы равенства:

Ь( ОЩ1 (О) Г (х) = Г (х), Ь( О)W0 (О) Г (х) = 0 для х ей . Оператор W/ (О) является обобщением известных рядов Ли.

Это утверждение сразу следует из соответствующих результатов по обобщенным рядам Ли [11], если заметить, что при (рк(х) = ^к,!(х) = ^к(х)/к!, где Ь(О)ф(х) = 1, система функций {фк (х): к е М0} будет 1-нормированной относительно Ь( О) в й .

В дальнейшем будем предполагать, что X = V , й = МП , и операторы I (_/ = 1,2) - дифференциальные операторы в частных произвольных с постоянными коэффициентами. Относительно существования / -нормированных относительно (О) систем полиномов, в силу теоремы 1

из [1], можем утверждать, что они всегда существуют.

Пример 2. Пусть Ь(О) = Ов, где ве МП. Уравнение (2) с таким оператором Ь(О) - простейшее из всех возможных. В соответствии с равенствами

Оахв' = 1 Я'в-“'!-

| 0,

система {хкв+а,!:ке N0} , в которой в^а является 0-нормированной относительно оператора

Ов системой полиномов, имеющей основание ха,!: Овхкв+а,! = х(к-1) в+а,! и Овха,! = 0. Кроме

того, система полиномов {ха,! :ае ^,в ^а} составляет базис в кег С(О) п V , поскольку если Овха = 0, то в$а.

Вернемся к уравнению (2). Для построения его полиномиальных решений воспользуемся основным свойством / -нормированных систем функций, которое в данном случае выглядит так: предположим, что оператор Ь(О) как то разбит на сумму операторов ^(О) и Ь1(О) и {/к (х): к е М0} - / -нормированная относительно оператора Ь1(О) система полиномов, тогда формальное решение уравнения (2) может быть записано в форме

и(х) = X (-1)к4(О)/к (х). (3)

к=0

Основная проблема, которую необходимо решить в дальнейшем, состоит в подборе операторов Ь_(О) и Ь2(О) таким образом, чтобы ряд из (3) был не формальным решением уравнения (2), а его полиномиальным решением и по возможности наиболее общим.

Необходимы некоторые приготовления. Рассмотрим Г0 = {ае N0 : аа Ф 0,| а|= к} - множество индексов оператора Ьк (О) младших производных из (2). Обозначим Т^ =Г^-1 \ Г^ для 7 е 1П-1 и Тп = ГП-1, где множество Г^ определяется рекуррентно по формуле Г^ = шт Г^-1, а

операция шт задана над множествами В с М следующим образом:

7

шіп В = (вє В: Уає В,в) ^а^}. Выберем последовательность натуральных чисел |к1;..., к, | так, чтобы множества Тк, были не пусты и Г0 = ^ Тщ . Очевидно, что і Ф ^ Тк, п Тк, = 0 . Из опре-

к>

I =1

деления последовательности {к;} видно, что к, = п. Определим символ МтЬк как вектор в -единственный элемент множества Тп . Тогда, каждому множеству Тк, (0 < I < я0) соответствует вк. ~я компонента вектора в так, что Гк; 1 = - ■ = Гк;-1 при условии, что к0 = 0.

Пример 3. Пусть

д5 д5 д5 д6

Ь(О) =-----2--------+-----2—2 +------2—2--------+-6 ’

дх1дх2дхздх4 дх1дх2дхз дх1 дхздх^ дх^^

тогда

Г0 = {(1,2,1,1); (1,2,2,0); (2,0,2,1)}, Г1 = Г2 = {(1,2,1,1); (1,2,2,0)}, Г3 = {(1,2,1,1)}.

Поэтому Т =Г0 \Г ={(2,0,2,1)} , Т2 = Г \Г2 = , Т3 =Г2\Г3 ={(1,2,2,0)} , Т4 =Г3 ={(1,2,1,1)} . Поэтому в нашем случае в = (1,2,1,1), к1 = 1,к2 = 3,к3 = 4 и Г0 = Т1 иТ3 иТ4,

а, следовательно, s0 = 3 .

Пусть р е N. Рассмотрим уравнение

Кр (О)и( х) = ( К1( О) + К 2( О)) ри (х) = 0, в котором К1(х) и К2(х) однородные полиномы степени к и кроме этого полином К1(х) по отношению к х1 имеет минимальную степень большую чем вь , а полином К2(х) - однороден по степени вь. Определим множества полиномов Л^ г следующим рекуррентным соотношением:

Л* = (кегКг(О)пV,)\Л' -1,г> 1; Л* = кегК(О)пV,,

в котором , = т + к(р — 1), а V - множество однородных полиномов степени , .

%(х) єлт, р

Лемма 1. Всякий полином (х) е Л^ р может быть записан в форме

д( т)

%р (х) = X (—1)і

і=0

1

К (ОМ+р—1( х),

(4)

где 3(т) = т + (р - 1)в/, а {щ(х): I е М0} - некоторая 0-нормированная система полиномов относительно оператора К2(О), удовлетворяющая условию щ (х) е Vm+ik .

Доказательство. Во-первых, необходимо отметить, что по теореме 1 из [1] для любого основания и0(х)е кегК2(О)п Vm существует 0-нормированная относительно К2(О) система полиномов такая, что щ (х) е Vm+ik . Определим полином ^(х) следующим равенством:

( п + р —1^ р — 1

КП+1( О)ип+р—1( х).

Пусть полиномы %г (х), 1 < г < р определяются из равенства

8(т)

%г (х) = X (—1)

і=0

і + г

л

К[ (В)щ+Г—1( х).

(5)

Ясно, что (х), найденный по этой формуле, совпадает с (4). Тогда для г > 1 можно запи-

сать

5(т)

К(О)%(х) = (К^П) + К2(В)) X (—1)

(і + г — Л

і=0

6( т)

6( т)

= X (—1)і —! Кі1+1(П)п1+г—1(х) + X (—1)і

і=0 V г 1 У і=0

8(т)+1 1 (і + г — 2 ^ ^(т)

К{ (П)И;+г—1( х) = (і + г — Л

= X (—У

і=1

V

г — 1

К(О)^+г—2(х) + X (—1)

У

і=0

. г — 1

V У

(і + г — 1^

V

г — 1

К1( О)Щ+г—2( х) = К ( О)Мі+г—2( х) =

/

б(т) а(г)

5(т)

5(т)(х) + X (—1)і(

( і + г — Л

і=0

г — 1

) К ( ОН+г—2( х) =

5(т)

= (—1/(т) ^(х) + X (—1)

і=0

К (О)Иі+г—2( х) = (—1)* т) 5^т)( х) + %г—1( х).

Аналогично, при г = 1 можно найти

в(т) в(т)

К(О)^(х) = (К1(О) + К2(О)) X (-1)К (О)щ(х) = X (-1)гК1+1(О)щ(х) +

;=0 г=0

с>(т) £( т) с>(т)-1

+ X (-1)К (О)иг-1(х) = X (-1)^+4О)иг (х) - X (-1)гКГ1(О)иг (х) =

;=1 ;=0 ;=0

= (-1)^(т) ^х).

Далее следует заметить, что для г < р верны рассуждения

^р)(х) = 0 ^ Кп+1(О)ип+р-1(х) = 0 ^

(6)

• 0 = Кр—г (О)КП+1(О)Мп+ _—1(х) = КП+1(О)Ып+г—1(х) ^ S(nг)(х) = 0.

По тому для выполнения условий

К(О)#г(х) = ^Г-1(х), 2 < г < р; К(О)^1(х) = 0,

необходимо, чтобы х) = 0. Поскольку степень полинома ип+ р-1(х) по переменной х1 равна

т + (п + р — 1)в/, а оператор К(г+1(О) снижает степень полинома по переменной Х{ не меньше чем на ві +1, то степень полинома КІ(О)ип+р—1(х) по переменной хі не больше, чем т + (п + р — 1)ві — п(ві +1) = т + (р — 1)ві — п . Если п выбрано так, что т + (р — 1)Д < п, то Чх) = 0. Поскольку 6(т) = т + (р — 1) в1, то (х) = 0. Кроме этого, общая степень полино-

Карачик В.В. Полиномиальные решения дифференциальных уравнений

в частных производных с постоянными коэффициентами II

ма $р (х) равна m + к(p -1). Далее, так как Kl (D)$p (х) = ^p-i (х) Ф 0 для i = 0,1,..., p -1 (первый член в сумме (5), через которую представляется полином $p-i (х)) обладает наибольшей по xt степенью и равен up-i-1 Ф 0) и Kp (D)$p (х) = 0, то справедливо включение i}p (х) е Asm p .

Убедимся, что линейная независимость полиномов u01)( х) и u02)( х) (э то основания соответствующих 0-нормированных систем) приводит к линейной независимости полиномов up-1( х) и up2__\(х). Действительно, если полиномы up1-^х) и up2\(х) линейно зависимы, то За,ве ^ , aup1-^х) + fiu(,2_\(х) = 0 ^ Kp-1(D)(aup1-^х) + Pup2-X(х)) = 0 ^ au§\х) + Puq2)(х) = 0, т.е. полиномы u01)( х) и u02)( х) линейно зависимы. Противоречие. Значит, uj,1-^ х) и u ^p2)1 (х) линейно независимы. Из этого, в свою очередь, следует линейная независимость полиномов ^(1)(х) и ^(2)(х), поскольку в сумме (4) только первые слагаемые up1-^ х) и u (p-\( х) имеют старшую степень по переменной хi, и они линейно независимы. Следовательно,

dim Am, p > dim (ker K2(D) n Vm). (7)

Если обозначить

lA = dim ^ (ker K2( D) \ ker K*-1(D)) П Vs j, где s = m + k (p -1), тогда, используя предложение 1 из [1], нетрудно получить

^ s - к (А-1) + n -1^| ( s - kA + n - 1Л

n - 1

n -1

Ясно, что 1р = р . Так как подстановка Я = р в предыдущее равенство дает

s - k (p -1) + n -1^| f s - kp + n - 1Л

lP = 1 1

І n-1

n -1

f m + n -1^ f m - k + n -1^

n -1

n -1

= dim(ker K2( D) n Pm),

то неравенство (7) превращается в строгое равенство. Поэтому, если выбрать в (4) вместо и0( х)

базисные полиномы из кег К2(О) п Рт , то полиномы Ър (х) будут базисом в Лт р . Чтобы завер-

шить доказательство остается заметить, что почленная линейная комбинация двух 0-нормированных относительно одного и того же оператора систем полиномов будет также 0-нормированной системой полиномов относительно этого же оператора. Лемма доказана. □

Предложение 1. Пусть операторы К1(О), К2( О) и К (О) такие, как описаны в лемме 1. Тогда для любой 0-нормированной относительно оператора К (О) системы полиномов {Ъ (х): і є М0}, удовлетворяющей условию Ъ (х) є 'Рт+Ік , и натурального числа п существует 0-нормированная относительно оператора ^(О) система полиномов {иі (х): і є N0} такая, что

т+в . (і + * ^ і Ъ (х) = Е (-1)і К1 (О)иі+8 (х) (8)

1=0 \ * )

для * = 0,1,..., п.

Доказательство. Поскольку Ъп (х) є Рт+кп и Ъп (х) - э лемент множества {Ъ (х): і є N}, то по лемме 1 найдется 0 -нормированная относительно оператора К2 (О) система полиномов {иі (х): і є N0} такая, что выполнено равенство (8) при * = п. Принимая во внимание, что по лемме 1 верны равенства К(О)Ъ* (х) = Ъ_1(х) для * > 1 и К(О)Ъ0(х) = 0 завершаем доказательство. □

Предложение 2. Пусть К(О) = К1(О) + К2(О). Если оператор К1(О) не однороден и наименьшая степень производных, входящих в него, больше о - порядка однородного оператора

К2(О), то всякое полиномиальное степени т решение уравнения К(О)у(х) = 0 может быть записано в виде

т

у(х) = Е (_1)іКІ(О)Мі(х), (9)

і=0

где {иі (х): і є N} - некоторая 0-нормированная относительно оператора К2(О) система полиномов такая, что иі (х) є Рт+іо.

Доказательство. Заметим, что формула (9) совпадает с формулой (3), записанной для уравнения К(О)у(х) = 0 (Ь = К2,12 = К1), если К[ (О)щ (х) = 0 при I > т. Последнее же очевидно выполняется и значит (9) задает решение уравнения К(О)у(х) = 0 . Согласно предложению 1 из

[1] имеем равенство Шт (кег К (О) п Ит ) = Шт (кег К2(О) п Ит), где Ит - пространство полиномов степени т [1]. Поскольку линейная независимость полиномов и01)(х) и и02)(х) (основания соответствующих 0 -нормированных систем) ведет к линейной независимости по старшему члену полиномов у(1)( х) и у(2)( х) из (3), то базис в кег К2(О) п Ит порождает по формуле (9) базис в кег К(О) п Ит . Разложим по этому базису у(х) - произвольное полиномиальное степени т решение уравнения К(О)у(х) = 0. Имеем у(х) = Е • аіу<к•)(х). Тогда, если обозначить

иі (х) = Е . а и •) (х), то будем иметь

__ _____________________________ т т _

у(х) = Е/ •)( х) = Еа Е (_1УК{(О)и< ^х) = Е (^УК^Е/ •)(х) =

/ / і=0 і=0 /

т

= Е (_1)К (О)щ (х),

і=0

причем К2( О)и0( х) = К2( О)Е; а/и(0-/')(х) = 0 и

К2(О)иі(х) = К2(О)Е 0/и(/)(х) = Е •__>(х) = иі_1(х).

і і

Искомая 0-нормированная система {иі (х): і є N0} полиномов относительно оператора

К2( О) построена. Доказательство завершено. □

Рассмотрим дифференциальные операторы I* (О) и ^ (О), определяемые равенствами

*о

I* (О) = Е (О), Л (О) = Е «аОа.

і=* аєТ^і

Пусть {Ъ • (х): і є N0} при / = 1,., ^т набор 0-нормированных относительно оператора

I* (О) систем полиномов, удовлетворяющих условию Ъ^(х) є Р„+^ с основаниями х), об-

разующими при / = 1,., Мт базис среди полиномиальных степени т решений уравнения

I* (О)у(х) = 0 . Очевидно, что по теореме 1 из [1] такие системы всегда существуют.

Введем полиномы и • (х), определяемые из равенства

а( т)

и/х) = Е (_1)і (Ь(О) _ I* (О) )ЪР(х), (10)

і=0

где а(т) = т + 3[(т) +---+ 3* _1(т) и 3/(і) определяются рекуррентно:

^ (і) = т + в • (і + З^і) +-+ 3/_1 (і)) для / > 1, а З^і) = т + і. 0сно, что а(т) = а(т)|т=1 т , поскольку З^т) = т + в т = (1 + в1)т = 31(т)|т=1 т и по индукции

3/ (т) = т + (т + 3 (т) + • • ■ + З/^т)) = 3/ (т)и= т .

Карачик В.В.

Теорема 1. Максимальная система линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородного уравнения (2) (/ (х) = 0) может быть определена в виде

{uj(х): ] = 1,...,Мт}, где иj(х) находятся из (10).

Доказательство. Пусть ]0(О) = Ь(О) - Ьк (О). Разложим оператор Ь(О) в следующую сумму операторов:

5-1

I=0

Обозначим

К1(О) = ]1 (О), К 2( О) = ]1+1 (О) + • • ■ + Js-1 (О) +I, (О), где 5 > I > 1 и 5 > 1. Заметим, что полиномы К^х) и К2(х) удовлетворяют всем требованиям леммы 1 и поэтому мы вправе использовать предложение 1. Воспользовавшись равенством (8) 5 -1 раз при I = 1,., 5 -1 устанавливаем, что для произвольной 0-нормированной относительно

оператора J1(D) +---+ Js-1(О) +15 (О) системы полиномов (х): г е N}, удовлетворяющих ус-

ловию wi (х) е Рт+к и натурального п найдется 0 -нормированная относительно оператора 15 (О) система полиномов {^ (х): г е N0} такая, что

ж,

(х) — X ("!)

ІІ*-і

І І І1

І І І*-1

^-1

Ґ1( О)... ҐЖ О)^ х),

где г = 0,.,п , | г |j = г + ^ +-+, причем | г |0 = г, а суммирование ведется по всем г'1,...,г5-1 из Nl

удовлетворяющим неравенствам ij < т+1 г | j-1 вк , j е 15-1. Отсюда нетрудно получить, что

ж,

Ті (т)

(х) — X (-1)* X

к=0 |і|5-1 =к

І І І1

І і и

1*-1

ґК о). ґ—кощ+к (х),

где Уі (т) = д1(т) +-+д*-1(т) и, следовательно, поскольку

X

=к

І І І1

і і и

^(О)--Г;-!(О) — X (і+І1 + •+ід-1.)! ,Ґ1 (О) •■/*_ (О) =

Іі +---------+іс-і =к

— X

Іі +---------+Іс-і =к

(і+іі +—+і*-і)!

І! І! — І И І!І1! і*-1!

ґіі1( О)- ґ-( О) =

І!і'і!

(І + к)! І!к! ,

(І + Іі + + 1*-2)!і*-1!

X

к!

Іі +-----+І „ і —к і *—і

і!••■ і -!

ҐЧ( О)- Ґ*_І(П) —

і + к V ,к

(Ґі(О) + - + Ґ*-і(О) )к,

будем иметь

ж,

П(т) ґ і + к \ ,

і(х) — X (_і)к , (Ґі(О) + - + Ґ_і(О)) А+к(х).

к—0

(іі)

Если Ц(О) — Ьк (О), то вычисляя

їо(т)

и(х) — жо(х) — X (_і)к(Ґі(О) + - + Л-і(О))Ч(х),

к—0

можно перейти к доказательству после формулы (13). Если же оператор Ь(О) имеет степень больше к , то воспользуемся предложением 2, а именно формулой (9), при *і(О) — Ґо(О), К2(О) — Ґі(О) + - + Ґ_і(О) +1* (О).

По этой формуле для любого и(х) - полиномиального решения однородного уравнения (2) найдется соответствующая 0-нормированная относительно оператора Ь(О) — Ґо(О) система полиномов {ж, (х): і є N}, которая в свою очередь может быть задана системой {А, (х): і є N0}, такая, что

і

і

и(х) = X (-1) Ч (О)н’ (х). (12)

’=0

Подставляя сюда Н’ (х) из (11) и учитывая при этом, что % (т) < ут (т) для ' < т (увеличивая верхний предел в сумме из (11) мы добавляем в сумму лишь нулевые члены) и а(т) = т + ут (т), получим

т Гт(т) ( ’ + к Л к

и(х) = X (-1)Ч (О) X (-1)" к (-ЛО + - + Ч*-1(»Щ+к (х) =

j=0 к=0 V к )

а(т) ( ’ +" Л к

= X (-1)' XI к Ч (О)( Ч1(О) + - + 7^-1(О)) ^ (х).

'=0 ’+к=' V )

Отсюда сразу находим

а(т)

и(х) = X (-1)'(Л>(О) + Л(О) + - + 1,_х(О))^(х). (13)

'=0

В силу леммы 1 линейная независимость полиномов (х) и ^2) (х) - оснований соответствующих 0 -нормированных систем влечет за собой линейную независимость полиномов х) и н02)(х) из формулы (11), а из этого следует линейная независимость полиномов и(1)(х) и и(2)(х), находимых по формуле (12), поскольку в сумме (12) первые слагаемые х) и н02)( х) имеют наибольшую степень, а они линейно независимы. Поэтому, учитывая что в соответствии с предложением 1 из [1] Мт (п, к) - максимальное число линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородного уравнения (2) равно числу базисных полиномиальных степени т решений уравнения I?(О)у(х) = 0, т.е. Мт(п,к) = Мт, то

система полиномов {и’(х): ’ = 1,...,Мт} является максимальной системой линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородного уравнения (2). Доказательство теоремы завершено. □

Замечание 1. Значение а(т) , вычисленное для некоторых конкретных примеров оказывается довольно завышенным, поскольку в теореме оно служит лишь для доказательства того, что и’ (х) - полином.

Пример 4. Пусть Ь(О) = ^(О) =Д . Используя теорему 1, найдем связь между гармоническими полиномами от п переменных и гармоническими полиномами от п -1 переменной. В соответствии с определением вектора в = ЫтЬ2 найдем в = (0,., 0,2), к1 =' и поэтому в = 0,

31 (т) = т . Выберем я = 2 и поэтому 12(О) = Д = Д - д2/дх2, а(т) = 2т . Чтобы использовать теорему 1 мы должны найти такие 0-нормированные относительно Д системы полиномов, чтобы их основания образовывали базис в кег Д п Тт.

По формуле (11) из [1] находим максимальное число линейно независимых однородных сте-

лт / /->ч I т+п-1 I I т-2+п-1 I / л

пени т гармонических полиномов от п переменных мт (п, 2) = I I -1 I (я = Г = 1,

V п-1 1 1 п-1 )

у” = {0}). Проверим, что системы полиномов {к?’ (х)х”-? ’!:' е М0}, где ’ = 1,., (п -1,2),

я = 0,., т , х = (х2,..., хп) и

II ~Н2'

к? ’ (х) =---------------------------И-н’ (х),

г’ ’ (2,2)' (п -1 + 2?, 2)' ?

(а,Ь)к = а(а + Ь)(а + кЬ - Ь) - обобщенный символ Похгаммера (при соглашении (а,Ь)0 = 1), а система полиномов {Н? (х): ’ = 1,., N?(п -1,2), ? = 0,., т} образует базис в однородных гармо-

т

нических полиномах степени ? от п -1 переменной являются 0 -нормированными относительно

м \\т м \\т—2

Д . Действительно, поскольку Д||х|| Н?(х) = т(т + 2? + п -2)||х|| Н?(х), где Н?(х) - однород-

ный гармонический полином степени ? , то вычисления показывают что

11~1|2-2

АИЦ(х) =—------------------------— х И 5 (х) =------------и------------И] (х) = Ай*_1 (х).

г-] (2,2)г (п _ 1 + 25,2) ^ (2,2)г_і(и _1 + 25, 2)г_і 5 і 1,]

Кроме этого, Ак0 ] (х) = 0. Значит, системы полиномов {к5 ] (х)х1”_5,!: і є N} являются 0-

нормированными относительно оператора Д. Рассмотрим основания этих систем

”-?, ! = х”-? , !н

= х1 н? 1Ц/И ^

к05 ](х)хт 5,! = хт 5,!И5](х) при ] = 1,...,^5(п_ 1,2) и 5 = 0,...,т . Поскольку

0 = АР(х) = АX х’т~5Р, (х) = X хт_5 АРї (х) ^ АРї(х) = 0 ^ Р, (х) = X е,ш}И] (х) -

5=0 5=0 ]

^ Р(х)=х хгт~5р, (х)=х *т_5 X ^ и (х)=х (т _ (х),

=0 =0 ] , ]

то основания систем И0 ] (х)х1”_5’! образуют базис в кег А п Тт. Поэтому по теореме 1 произвольный однородный гармонический полином от п переменных степени т может быть представлен как линейная комбинация полиномов вида (10)

а(т) [(т_5)/2] ||~||2і хт_5 , !

и(х) = X (_1)і(А_А)^(х) = X (_1)і^х2і---------------——1-------------И5(х) =

Й й х1(2,2)і (п _ 1 + 25,2)і ^

[(т_5) / 2] ||хІ 12і т_5_2і,!

= X (_1)і “Л + , 2) И5 (->') = От_5(х)И5(-ї),

і=0 (2 , 2)і (п _ 1 + 25 , 2)і

где обозначено

[а2] . IIЇІІ2і гк_2і’!

Єк (х) = X (_1)і-----------1--------, (14)

к (2,2)і (п _1 + 25,2)і ' '

а И5 (х) - произвольный гармонический полином от п _ 1 переменной.

Итак, для того чтобы из однородного гармонического полинома от п _ 1 переменной И5 (х) получить однородный гармонический полином от п переменных Ит (х) необходимо его умножить на полином Ст_5 (х) из (14). Если взять базисные гармонические полиномы

{И](х): 0 < 5 < т} степени т от п _ 1 переменной, то система полиномов

{Ст_5(х)И5(х): 0 < 5 < т} будет базисом в однородных степени т гармонических полиномах от п переменных. Это соответствует замечанию 1 из [1].

Рассмотрим неоднородное уравнение (2), в котором /(х) - однородный полином степени I.

Теорема 2. Любое полиномиальное степени I + к решение уравнения (2) может быть пред-

ставлено в виде

а(к+1)

и(х) = X (_1)і (ДО) _ [5 (О))^ (х), (15)

і=0

где система полиномов (х): і є N0} - некоторая / -нормированная система полиномов относи-

тельно оператора 15 (О), удовлетворяющая условию ^ (х) є Т\+к(і+1).

Доказательство. Заметим, что если иметь в виду формулу (13) из теоремы 1 при т = к +1, то достаточно доказать представление хотя бы одного частного решения уравнения (2) в виде (15). Действительно, если {м>і (х): і є N} - некоторая 0-нормированная система полиномов, задающая по теореме 1 произвольный полином и0(х) є кег Д(О) п Т\+к по формуле (13), то система

т

т

(мі (х) + ^ (х): і є М0} такая, что (х) + ^ (х) є Т+к(і+1) будет / -нормированной системой поли-

номов относительно оператора І*(П), т.е.

І* (П)(мі (х) + ^ (х)) = м _і( х) + ^і_і( х); I* (П)(мо( х) + 4( х)) = I* (П)^( х) = / и, значит, будет верно представление вида (15)

а(к+1)

Ио(х) + и(х) = X (_1)](ДП)_ І*(П))Ч(х) +

і=0

а( к+і) а(к+1)

+ X (_1)і (ДП) _ І*(О)рі (х) = X (_1)і(ЦВ) _ І* (П))і(Мі(х) + ^ (х)). і=0 і=0

Пусть (^ (х): і є М0} - система полиномов / -нормированная относительно оператора І* (П),

удовлетворяющая условию 1%(х)є Ті+к(і+1). Очевидно, что такая система существует. Тогда для

полинома и(х), определяемого по формуле (15), аналогично (6) будем иметь

а( к+1)

Ц(П)и(х) = (Ц(П) _ І* (П) +1* (П)) X (_1)і (ДП) _ І* (П))^(х) =

і=0

а(к +і) а(к+1)

= X (_1)і (Ц(П) _ І* (П))і+1^і(х) + X (_1)і (Ц(П) _ І* (П))^_1(х)+/(х) =

і=0 і=1

а(к+і) а(к+і )_1

= /(х) + X (_1)і(Ц(П)_і*(п))і+1А(х)_ X (_1)і(Ц(п)_і*(П))і+1^(х) =

і=0 і=0

= / (х) + (_1)а(к+1} ( Ц(П) _ І* (П) )а(к+1}+1г?а(к+і) (х).

Поэтому, если выполнено равенство

(Ц( П) _ I* (П))а(к+1 )+Ч(к+І)(х) = 0, (16)

то формула (15) будет задавать полиномиальное решение уравнения (2). Равенство же (16) легко следует из определения величины а(т), так как для того, чтобы было выполнено равенство

(Ц( П) _ І* (П) )а(т)+Ч(т)( х) = 0,

не имеет значения является ли система {^(х): і є N0} 0-нормированной или нет, а важно лишь включение ^(х) є Тт+ік (см. лемму 1 и теорему 1). Доказательство завершено. □

Приведем более простой способ построения решения неоднородного уравнения (2) с полиномиальной правой частью / (х) , вытекающий из теоремы 2. Пусть полином / (х) представляется в форме / (х) = Xa /аха,!, а полиномы -&а( х) при а є N9 имеют вид

а

а(|а|)

ах) = X (_1)іЦі(П)хв+а

і=0

где в£Л = |ш1п--- ш1п Г0 :пе , Г0 = {ае N9 : аа Ф 0,|а|= &}, аа - коэффициенты оператора

[ п(1) п(га-1) ] 1 -1

Ь(О), 5И - симметрическая группа, а оператор Ь(О) определяется равенством

Ь(О) = X (ааар)Оа.

аФв

Базисность системы полиномов {$а(х): в^а,а& N9} устанавливает следующее утверждение.

Предложение 3. Пусть и(х) - некоторое полиномиальное решение уравнения (2), тогда найдутся такие числа Са, что имеет место равенство

и(х) = X (/а/авК+в(х) + X СА(х). (17)

а

Карачик В.В. Полиномиальные решения дифференциальных уравнений

в частных производных с постоянными коэффициентами II

Доказательство. Пусть /ЗєЛ. Разделим обе части уравнения (2) на коэффициент а^, поскольку а в Ф 0. Очевидно, что перенумерацией переменных можно добиться того, чтобы в = МіпЬк . Согласно определения *0 имеем І* (П) = . Воспользуемся примером 2. По нему

система полиномов (хкв+а,!: к є N0 в ^ а} является 0-нормированной относительно оператора

, т.е. Пвхкв+а,! = х^к_1)в+а-! и Пвха,! = 0, и имеющей основание ха,!. Эти основания составляют базис в кег Ц(П) п Т. Поэтому на основании теоремы 1 система полиномов

{^а(х) :| а|= т,в^а}, находимых по формуле, являющейся частным случаем формулы (10), образует максимальную систему линейно независимых по старшему члену полиномиальных степени т решений однородного (/(х) = 0) уравнения (2). Далее, так как система полиномов

(х(к+1)в+а,!: к є N} является ха,! -нормированной относительно оператора Вв, то по теореме 2

полином '&а+р( х) является решением уравнения

X x) =

а'!

к <\a\<q

(а!

а, значит, уравнения (2) при f (x) = a^x ". Поэтому полином следующего вида Xa(fa/ap)&a+p(x) является частным решением уравнения (2) для заданного f (x). Доказательство завершено. □

Пример 5. Множество Л для двух основных операторов математической физики Dt2 — А и А совпадает с множеством индексов r(L) = {ае NQ : aa Ф о} их ненулевых коэ ффициентов. Если

L(D) = D2 — А, тогда можно положить в = (2,0,...,0) и поэтому L(D) = —А . В этом случае решение (17) при f (x) = 0 может быть преобразовано к известной форме [12]

u( x) = X12к,!АкР( x) + X t2к+1,!Ак2( x),

к=0 к=0

где P(x) и Q(x) - некоторые полиномы от x е Мп.

Литература

1. Карачик, В.В. Полиномиальные решения дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэ ффициентами I / В.В. Карачик // Вестник ЮУрГУ. Серия «Матема-

тика. Механика. Физика». - 2011. - Вып. 4. - № 10(227). - С. 4-17.

2. Zweiling, K. Grundlagen einer Theorie der biharmonishen Polynome / K. Zweiling. - Verlag Technik, Berlin, 1952. - 128 p.

3. Бицадзе, А.В. К теории гармонических функций / А.В. Бицадзе // Труды Тбилисского университета. - 1962. - Вып. 84. - С. 35-37.

4. Miles, E.P. Basic sets of polynomials for the iterated Laplace and wave equations / E.P. Miles,

E. Williams // Duke Math. Journ. - 1959. - V. 26, № 1. - P. 35-40.

5. Watzlawek, W. Warmpolynome-Modell fur besondere Losungssysteme bei linearen partiellen Differentialgleichungen / W. Watzlawek // Berichte Math.-Statist. Sekt. Forschungszentrum Graz. -1983. - V. 211. - P. 1-34.

6. Hile, G.N. Polynomial solutions to Cauchy problems for complex Bessel operators / G.N. Hile, A. Stanoyevitch // Complex Variables. - 2005. - V. 50, № 7-11. - P. 547-574.

7. Bondarenko, B.A. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных / B.A. Bondarenko. - Ташкент: ФАН, 1987. - 127 c.

8. Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27, № 3. - С. 534-535.

9. Карачик, В.В. О решении неоднородного полигармонического уравнения и неоднородного уравнения Гельмгольца / В.В. Карачик, Н.А. Антропова // Дифференциальные уравнения. -2010. - Т. 46, № 3. - С. 384-395.

10. Karachik, V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications / V.V. Karachik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2003. - V. 287, № 2. - P. 577-592.

11. Филатов, А.Н. Обобщенные ряды Ли и их приложения / А.Н. Филатов. - Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1963. - 108 c.

12. Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе // М.: Наука, 1982. -336 c.

Поступила в редакцию 10 декабря 2010 г.

POLYNOMIAL SOLUTIONS TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT COEFFICIENTS II

V.V. Karachik1

A construction method of polynomial solutions to systems of linear partial differential equations with constant coefficients of general form is offered in the article.

Keywords: polynomial solutions, linear partial differential equations.

References

1. Karachik V.V. Polinomial'nye reshenija differencial'nyh uravnenij v chastnyh proiz-vodnyh s postojannymi kojefficientami I (Polynomial solutions to partial differential equations with constant coefficients I). Vestnik JuUrGU. Serija «Matemati^^a. Mehanib.a. Fizika». 2011. Vol. 4, no. 10(227). pp. 417. (in Russ.)

2. Zweiling K. Grundlagen einer Theorie der biharmonishen Polynome. Verlag Technik, Berlin, 1952. 128 p.

3. Bicadze A.V. Trudy Tbilisskogo universiteta. 1962. Vol. 84. pp. 35-37. (in Russ.).

4. Miles E.P., Williams E. Basic sets of polynomials for the iterated Laplace and wave equations D^e Math. Journ. 1959. Vol. 26, no. 1. pp. 35-40.

5. Watzlawek W. Warmpolynome-Modell fur besondere Losungssysteme bei linearen partiellen Differentialgleichungen. Berichte Math.-Statist. Seh. Forschungszentrum Graz. 1983. Vol. 211. pp. 134.

6. Hile G.N., Stanoyevitch A. Polynomial solutions to Cauchy problems for complex Bessel operators. Complex Variables. 2005. Vol. 50, no. 7-11. pp. 547-574.

7. Bondarenko, B.A. Bazisnye sistemy polinomial'nyh i kvazipolinomial'nyh reshenij uravnenij v chastnyh proizvodnyh (The basic system of polynomial and quasipolynomial solutions of partial differential equations). Tashkent: FAN, 1987. 127 p. (in Russ.).

8. Karachik V.V. Dif. uravnenija. 1991. Vol. 27, no. 3. pp. 534-535. (in Russ.).

9. Karachik V.V., Antropova N.A. On the solution of the inhomogeneous polyharmonic equation and the inhomogeneous Helmholtz equation. Differential Equations. 2010. Vol. 46, no. 3. pp. 387-399.

10. Karachik V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2003. Vol. 287, no. 2. pp. 577-592.

11. Filatov A.N. Obobwennye rjady Li i ih prilozhenija (Generalized Lie series and their applications). Tashkent, AN UzSSR. 1963. 108 p. (in Russ.)

12. Bicadze A.V. Uravnenija matematiches^j fiziti (The equations of mathematical physics). Moskow, Nauka, 1982. 336 p. (in Russ.).

1 Karachik Valeriy Valentinovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Differential equations and Dynamical Systems