Об одном обобщении теоремы о среднем для гармонических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.586

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В.В. Карачик1

Исследуется среднее значение на единичной сфере произведения гармонической в шаре функции на однородный полином.

Ключевые слова: гармонические функции,теорема о средней, гармонические полиномы.

1. Введение

Настоящая работа является продолжением исследований автора, изложенных в [1-3]. В [2], была построена полная система однородных гармонических полиномов от п переменных

{С(1/)(х)}, которая ортогональна в Ь2{Э5”), где Э5” - единичная сфера в М”. Оказывается, что эта

система ортогональна ив? (теорема 3). В качестве приложения этих результатов в теореме 5 получена формула для значения выражения вида О^(О)и(х)^х=0, где и(х) - гармоническая в Л' и

непрерывная в Л' функция. В теореме 6 получена формула вычисления интеграла вида ■ где От{х) - однородный полином.

2. Полная система гармонических полиномов

Рассмотрим полиномы вида

Г* (г ) = [у](_1У | Х(»-1) | Хп ,

* (и) 2 (2,2),(п-1 + 2*,2), ’

где обозначено хА-!=хА /к\, х(и_1} =(х1,...,х(и_1)) и (а,Ь)к =а(а + Ь)---(а + кЬ-Ь) - обобщенный символ Похгаммера с соглашением (а,Ь)0 = 1. Пусть N 0 = N и {()} и

[(А—лг)/ 2]

Н (Х(2)У = X (-1)гХ12Ж?,!х2-2г-Ч * = 0,1.

1=0

Теорема 1. [2] При п > 2 и Уг > ■ ■ ■ > Уп , Уп = 0,1 полиномы

б0->( Х( „,)=п в::»м (Х( „-,+1,) н::_1 (Х(2) у,

1=1

где у = (у1,...,уп) , Уе N¡1 образуют базис в однородных степени к, гармонических полиномах.

Теорема 2. [2] Полиномы {Сг(1/) | при различных векторах V е N . удовлетворяющих условию Уг > у2 > ■ ■ ■ > Уп , Уп = 0,1, ортогональны на единичной сфере.

Рассмотрим полиномы С(1,}(х) в пространстве полиномов Т = {Р{х) = '^раха} со скалярным произведением (Р(х),0(х)} =Р(Б)О(х)ъх=0 [1]. Норму полинома Р(х)еТ будем обозна-

/ы х=0

чать | Р \в . Например, х,2 Н-1- х2п \в = А | х |2|г=0 = 2п. Система полиномов (}(У)(х) обладает еще

одним интересным свойством.

Теорема 3. Полиномы С(1/)(х) для различных векторов уе N9, удовлетворяющих условию Уг > ■ ■ ■ > Уп (Уп = 0,1) ортогональны в V.

1 Карачик Валерий Валентинович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа, ЮжноУральский государственный университет.

E-mail: [email protected]___________________________________________________________________________________________

Доказательство. Нам необходимо проверить справедливость следующего утверждения: у + ¡л => = 0. Применим индукцию по размерности п . Рассмотрим случай к, = //, поскольку если цх, то гармонические полиномы (70<)(х) и (¡(и){х) ортогональны, как имеющие

различную степень. Это следует из формулы Гаусса-Остроградского [4]

0 = |х|=1 (нр (Х) ^Нт (Х) - Нт (Х) Нр (Х)) ^х = (т - РУ1н== (Х=Нт (Х) =х,

где Нр{х) и Нт(х) однородные гармонические полиномы степеней рфт соответственно.

Пусть п = 2. Полиномы С^^х) и С^{х) ортогональны поскольку они имеют различную четность по хх: если У2 = 0 тогда С^^х) - четный, а если У2 = 1, то нечетный.

Пусть т> 2. Рассмотрим случай У2<ц2. Определим С -полиномы для N0 как

(¡1 = О и обозначим А = А - Э2 / Эх2 . Нетрудно проверить, что

_Э_

Эх„

где ц_=(ц1-\,ц2,...,цп) и //= =(//_)_ . Поэтому, будем иметь

ОтФУвт(х) = втф^в^_ (Х)0т{х)). (1)

Поскольку при к > т и однородном гармоническом полиноме (х)

АИ, | хрЯДх) |х|2А'-2'"ЯЛх)

— %)( х) = )( x), А %)( х) = -°(ц= )(x),

(2,2)к (п + 25,2)к (2,2)*_я, (и + 25,2)*_я,

то будем иметь

012 (П)°ь( х) Н,2(Х) =

= [у] (-1)' Ар-2' [^2] (-1)] | Х |2] Х„2-2],! Н =

" ¿0 (2,2)'(: -1 + 21/2,2)'.(к -2')! £0 (2,2)у(:-1 + 2^,2). ^ Х =

[к1/2] 1 [(к2 -к1)/2]+' ( 1) ]-' | х |2]-2'х к2 -к1 +2'-2],!

= У ________________1______________ V А-1______Щ______х„_____Н (-£) =

1=0 (2,2)'(:-1 + 2^,2)(к -2')! ]= (2,2)]_г(:-1 + 2^,2)^ '

[(к2-к1)/2] (-1)] | Х |2] хк2-к1-2],!

= С(к1^2) 5 Ц (: - 1+„2А2,2)]Н^2( х) = С(к1^в^(х)Н„2(Х).

[*1 / 2]

где С{к1,У2)= ^ 1/((2,2)'(и-1 + 2у2,2)'(к1-2/)!). Значит из (1) при кх=Ух-У2 и к1=/и1-/и2

7=0

выводим

0(^)(0)0(М(Х) = С(^1 -^^(»^(“Д Х)0(р)( ;с)]. (2)

Так как цх -ц2 -Уг +У2 =У2 -ц2 < 0, то мы можем заключить, что (¡(л/){х) и (¡(и){х) ортогональны. В силу симметричности скалярного произведения это утверждение верно и при У2 > [12 . Рассмотрим последний случай У2 = ц2 . Используя равенство (2) и учитывая, что (7,, = 1 получим {С(х,),С(м)) = С{у1-У2,У2){С(у),С(р)). Так как Ух= и у Ф /и имеем Уф]й. Следовательно, по индукции, полиномы О^^(х) и (¡(и){х) ортогональны в V . Теорема доказана.

Известно [5], что максимальное число линейно независимых однородных степени к гармо-

2к + п-2(к + п-Ъ\

нических полиномов равно пк =----------------- . Перенумеруем полиномы (/, (х) с Ух=к

п-2 ^ п-3 )

так, что получится полная система ортогональных сферических гармоник степени к . Обозначим эту систему |я[г)(х):/ = 1,...,ЛА_} и нормируем так, что | (^.^(х))2с!$х = (Оп .

Теорема 4. Если и(х) - гармоническая в Л' и непрерывная в Л' функция тогда справедливо представление

^ hk

u (х) = ^^¡к')Нк')(. х), (3)

k=0 '=1

где =1 /й^Я^СрМр^р.

Доказательство. Пусть Е(х,^) = (п -2)-1 | р -х \2~п (п > 2 ), Л = х1Э/Эх1Н-ЬхиЭ/Эхи и при

х £ р е верно равенство

X, (х;-р;)-р;(р;-х;) = 1-1 XI2

'=1 |х-Р|„ |х-Р|„ ■

Л (х,р)-ЛрЕ ( х,р) = -£-

Воспользуемся леммой 11 из [7]. При |х|<|р| имеем

^ | Р |-(2к+:-2) ¡к

Е(х,р) = У Р----------------У Нк)(х)Н{')(р).

к=0 2к +: - 2 '=1 к к Ь

Поэтому при | х |<| р |= 1 ядро Пуассона имеет вид

АХЕ ( х,Р) -ЛрЕ ( х,Р) =

1-1 х |2

| х-р|

= ± к-к2+к(2к + „~2)£н«)(х)Н)(Р) = £¿Н®(х)Н«р

к=0 2к + „ 2 '=1 к=0 '=1

(4)

Дифференцирование и предельный переход под знаком суммирования законны, поскольку ряд в (4) сходится равномерно по р е Э5” и по х при | х |< от < 1. Подставляя полученное значение ядра Пуассона в известную формулу решения задачи Дирихле в единичном шаре и используя равномерную сходимость ряда по ре приходим к (3)

1 - 1-1 х |2 1 - ~ ¡к

и (Х) = — ^ уГТр1 (р) ^=— Х£Нк°(р)и (р) ^Рк)(х) =

ш„ | х - р | ш„ к=0 '=1

= Ё X —¡дзН(к°(Р)и (Р) х) = £ ¿¡«Нк'Чх).

к=0 '=1 —„ к=0 '=1

Теорема 5. Если м(х) - гармоническая в 5 и непрерывная в 5” функция, тогда имеет место равенство

{ри°М(р)и (р) = &у°(у)( Р)и( х)|х=0, (5)

где^=|^(10 \12/\С(у) |2.

Доказательство. Воспользуемся формулой (3) из теоремы 4. Так как для каждых / и к найдется вектор V такой, что Уг = к > ■ ■ ■ > Уп (у„ = 0,1) и

0(У)( х)

Нк')( х) = —

°(У) ^2)

то имеем

и(х) = ЁI %( ) ^р.

у1=0 | °(у) )

Применяя к этому равенству оператор (¡(и){1)) (дифференцирование можно внести под интеграл так как ряд сходится равномерно по | х |< а < 1) и полагая затем х = 0 получим

х)|х=0 = X 0м(Р)и(Р)dsр= — [ 0м(Р)и(Р)^5р.

У1=^1 | °(у) ) |Р| ^ 1Р|

Здесь мы воспользовались ортогональностью полиномов С^(х) в V (теорема 3). Отсюда

сразу получаем равенство (5). Теорема доказана.

Для использования теоремы 5 необходима формула для вычисления интегралов вида

^ , ГДЄ От{х) - однородный полином степени т.

Теорема 6. Справедлива формула

О, отє2Н-1

[ . .Qm(x)dsx =

J| x|=1 ,

m!!n--- (n + m - 2)

Доказательство. Воспользуемся леммой 4 из [7].

Дm/2Q (x) . (6)

Qm () Ü)n, m є 2N

Лемма 1. Гармонические полиномы 11т_2к(х) в разложении однородного полинома От(х) по формуле Альманси

имеют вид

Qm (x) = Rm (Х)+ 1 Х |2 Rm-2(x) + "•+ 1 Х f Rm-2l (x)

_ ( = 2m - 4k + n - 2 ^ (-1)s | x |2s Дs+kQm (x)

Rm-2k(x) = 0ч Zj"

(2,2)k s=0 {2,2)s{2m-4k-2s + n-2,2)s+k+l

Из теоремы о среднем для гармонических функций и формулы Альманси следует, что

[ . Qm (Х) dsx = [ . XRm (x) + Rm-2(x) + - + Rm-2l (X)) dsx = — R ^ < ^ •

Jl x I=1 Jl xl=1 \—nR0, 2l = m

При нечетном m интеграл равен нулю так как т — 21>0 и значит i?n¡_2/(0) = 0. При четном т , используя лемму 1 запишем (5 = 0, к = т / 2)

,&.<*>*,-,;-2 (A"^-(r> ГУ?

JW-1 (2,2)ш/2 (и-2,2)ш/2+1 т\\п--(п + т-2)

Теорема доказана.

В [6] формула Альманси обобщена на аналитические функции.

Следствие. Если и(х) гармоническая в X и непрерывная в S функция, то имеет место равенство

1 . _ A(G2 (x) _

- f GV^U*)ds* =-G(v)(D)u(x)| x=0, (7)

l*H () w w * (2(!!(n,2)( () 1 x=0

где G(v) (x) = G(v) (x) /1 G(v) Id .

Доказательство. Нетрудно заметить, что в обозначениях теоремы 5 и с помощью теоремы 6 (т = 2vx) можно записать

2 2 - 2 A(G2 (x)

«v =1^,11 /i g(v, id=g(v) il=(2( )!!<(;>,2)v —. (*)

Подставляя найденное значение константы gy в (5) и деля обе части полученного равенства на | G()/) \D и соп получим (7). Следствие доказано.

Пример. Пусть и(х) - гармоническая в ,Y и непрерывная в S функция, тогда имеют место

равенства

— L , *U(*)ds* = -Ux, (0)’ — L , **}U(*)ds* = , ^ Ux,xj (0)’

— —*=1 h n 1 — —*=1J h n(n + 2) ' j

— f 1*2U(*)dst=—-— Uxx (0) + -U(0).

—n Jl*=1 s n(n + 2) ' ' n

I. Первую формулу нетрудно получить из (5). Если взять V = е1-\-------\-en_i+l, где

е, =(SLl,...,Sni), то получим

Так как

°С)(Х) = °;%2 (Х(„))032-ь (Х(„-!))■_-1 (Х(3))Н:„-1 (Х(2)) =

= 01(Х(„))О10(Х(„-1)) О (Х('))^0«(Х(3))Н00(Х(2)) = Х'.

| х' ^ = [ | 1Х'2 ^х = 1 [ | 1(Х12 + - + Х„2)^х = —, 2 •||х|=1 „ •||х|=1 „

и | х; |д = ¿^..х, = 1, то gl, =| х; /1 х;- |д = <уи /« и значит первая формула верна

—

р р (р) ^р =

’1рН ъ „

II. Далее положим V = 2е1 Н------\-2еп_1+1 +еп_1+2 Н-----•"£„-,■+1 если / > у . Тогда

^ )(х) = ОГ2^ (Х( ЛО** (Х(„-1))—О^*-!-^ , (Х(3))Н1” (Х(2)) =

[р, р (р) ^р=—Ои (х)|х=0 .

■I Р=1 * „ ' '

( V ) ^ - ^ У1 -„Уиу2-V* „-1)' ^у„-2-У„-^и'(3^-11/„-^ (2) ^

= 0(2 (Х(„) )02 (х(„-1))-011( х(' ))01( х('-1))^01( Х( ] +1) )010 (Х( ])) 00 (Х(3)) Н «(х(2)) = хх.

я вычисления интеграла |х;х |£о=[ х2х2 воспользуемся формулой (6). Имеем

•* ^ * Ьс =1 ^

<9Ш (х) = х2х2 , т = 4 и значит Ат/2бт (Х)

1----------А2 (х2 х2 ) =-----1---------------А(2 х2 + 2 х2 ) = —

т!!„ —(„ + т - 2) 4!!(„,2)2 8:(: + 2) „(„ + 2)

Г ^ о 2

Поэтому хГх"<&=--------5—. Так как х,х, |Т, = А А х,х, = 1. то

М=г ' 1 х п{п + 2) 1 ' ' ■'

^ =| х- |12 /1 Х' 1^ = соп /п{п + 2) и значит вторая формула тоже верна

0(,.)(х) = 00(Х(„))0Ц(Хс-,))-Н0(Х(2)) = Х2- ^'„'-ц24.

Отсюда следует, что

0 (Х) = х2 - х12 + - + Х„2-1 = - | х |2 (У } 2 2(„ -1) 2(„ -1) 2(„ -1):

2 П— 1 12

или х; = 2------(7а (х) + — х |", а значит, используя формулу (5) и теорему о среднем запишем

п п

рр (р) ^р = 2 |Р=1°(^ )(р)и (р) ^р +1 |Р=1и (р) ^р =

= 2

в(у)(Р)и (х)|х=0 +—и (0) = ^ (2—0(„ )(Р) +1 А)и (Х)|Х +—(0) =

= gv А> (х)|х=0 +—и (0).

я п

2 М

Вычислим gv . Нетрудно подсчитать, что | С(г) \"0 = С,х,ЛО)С,х,Лх) =---------, а значит по

2п-2

муле (8)(у1=2) запишем

8х,_ 2п-2 д2с,2 А2(та:2-|х|2)2 _ А2(а72х^ -2та:2 | х |2 +1 х |4) _

—„ 8:(:,2)2 ( У ) 16:2(„ -1)(: + 2) 16:2(„ -1)(: + 2)

24„2 -16:(: + 2) + 8:(: + 2) 16:(: -1) 1

16„ („ -1)(„ + 2) 16„ („ -1)(„ + 2) „(„ + 2)

Подставляя вычисленное значение gy в предыдущую формулу и деля на (Оп получим третью формулу при 7 = п . В силу симметрии эта формула будет верна и для любого i = \,...,n .

Литература

1. Карачик, В.В. Полиномиальные решения дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами I / В.В. Карачик // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математи-

ка. Механика. Физика». - 2011. - Вып. 4. -№ 10(227). - С. 27-38.

2. Karachik, V.V. On one set of orthogonal harmonic polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of American Mathematical Society. - 1998. - V. 126, № 12. - P. 3513-3519.

3. Karachik, V.V. On some special polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of American Mathematical Society. - 2004. - V. 132, № 4. - P. 1049-1058.

4. Бицадзе, A.B. Уравнения математической физики / A.B. Бицадзе. - М.: Наука, 1976. -

296 с.

5. Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. - М.: Мир, 1974. - 332 с.

6. Карачик, В.В. Об одном представлении аналитических функций гармоническими / В.В. Карачик // Математические труды. - 2007. - Т. 10, № 2. - С. 142-162.

7. Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений некоторых задач для уравнения Пуассона /В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2011,— Т. 51, №9.-С. 1674-1694.

ON ONE GENERALIZED MEAN THEOREM FOR HARMONIC FUNCTIONS

V.V. Karachik

Mean value on the unit sphere of a product of a harmonic function in the unit ball and a homogeneous polynomial is investigated.

Keywords: harmonic functions, mean theorem, harmonic polynomials.

References

1. Karachik V.V. Polinomial'nye resheniya differencialnykh uravnenij v chastnykh proizvodnykh s postoyannymi koefficientami I [Polynomial solutions to partial differential equations with constant coefficients I]. Vestnik YuUrGU. Seriya «Matematika. Mekhanika. Fizika». 2011. Issue 4. no. 10(227). pp. 27-38. (in Russ.).

2. Karachik V.V. On one set of orthogonal harmonic polynomials. Proceedings of American Mathematical Society. 1998. Vol. 126, no. 12. pp. 3513-3519.

3. Karachik V.V. On some special polynomials. Proceedings of American Mathematical Society, 2004. Vol. 132, no. 4. pp. 1049-1058.

4. Bicadze A.V. Uravneniya matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1976. 296 c.

5. Stejn I., Vejs G. Vvedenie v garmonicheskij analiz na evklidovykh prostranstvakh [Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces]. Moscow: Mir, 1974. 332 p. (in Russ.). [Stein E.M., Weiss G.L. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press, 1971. 297 p.]

6. Karachik V.V. Matematicheskie trudy. 2007. Vol. 10, no. 2. pp. 142-162.

7. Karachik V.V. Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. 2011. Vol. 51, no. 9. pp. 1674-1694. (in Russ.).

Поступила в редакцию 30 января 2013 г.

1 Karachik Valeriy Valentinovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Mathematical Analysis Department, South Ural State University.

E-mail: [email protected]_______________________________________________________________________________________________________________