CC BY
17
Результаты вычислений при Ь = 1, а = 3, £>' = 7.04, £)"= 3.52, у= 0.13, ц = 1 приведены в таблице.
Координаты точек Ц' Мг Мв
(0,0) 0.080 0.240 о 0.240
(1,0) 0.053 0.040 -0.500 0.150
(1,0) 0.053 0.040 -0.500 0.290
(3,0) 0 -0.250 -0.160 -0.030
Анализ полученных результатов показывает: ]) граничные и контактные условия выполняются точно; 2) максимального значения функция прогиба достигает в центре плиты; 3) максимальным изгибающим моментом является момент Мв, достигающий своего максимального значения на контуре спая.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мусхелишвши Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
2. Александров А. Я. Решение осесимметричных задач теории упругости при помощи аналитических функций // Докл. АН СССР. 1959. Т. 129, № 4. С. 754 - 757.
3. Беленький М.Я. Некоторые осесимметричные задачи теории упругости // Прикл. математика и механика. 1960. Г. XXIV, вып. 3. С. 582 - 584.
УДК 539.9
Л, Ю. Коссович, О. Г. Амиров ПОЛЕ РЭЛЕЯ В ЗАДАЧЕ ЛЭМБА ДЛЯ ПЛАСТИНЫ*
В данной статье рассматривается классическая задача теории упругости о распространении поверхностных волн в пластине. С помощью асимптотических методов, разработанных в [1 - 3], выводятся уравнения приближённой задачи, описывающие решение в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея, и производится асимптотическое интегрирование уравнений задачи в точной постановке. Затем решения точной и приближённой задач сравниваются. Выкладки производятся для перерезывающего усилия.
Рассмотрим нестационарное напряжённо-деформированное состояние пластины, зависящее от продольной координаты - оо < х < со, нормальной координаты - И<г<к (И - полутолщина пластины) и времени Г. Предположим, что на её поверхностях г = ±/г действуют сосредоточенные силы.
' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 06-01-00521, 06-08-00836).
Выражение напряжений через потенциальные функции:
азз =
2(1 + у)к2/г Е
52ф
К2
д2ц/ + д2у Л
а2ф
ад
2(1 + у>Ч а§2а<; ас
где а33 — нормальное напряжение, ст,3 - касательное напряжение, Ф - объёмный потенциал Ламе, у - сдвиговой потенциал Ламе. Уравнения движения:
э2„
д-ф + О^Р _ к2 о^ф = д%2
д1\ ' дс2
+ _ Э^ф = 0
ас2 ат2 '
(2)
(I -
И ' 2 д/2(1 -+-V)р' ' ]]( 1 + У)(1-2У)Р' 1 - 2У
к" = -г- = -
2 - 2у
V, р - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала соответственно; С] и с2 - скорости волн расширения и сдвига. Граничные условия на лицевых поверхностях С = ±1:
а33=±Р = ±/б(£2)Я(т2), а13 =0, (3)
где Р - сосредоточенная сила, / - амплитуда нагрузки, Н(т2) - функция Хевисайда, б(^2) - функция Дирака. Начальные условия при т2 = 0 :
Зф _ аф
ат2 дх2
Следуя методу символьного интегрирования А. И. Лурье, обозначим:
ф = ф:
0.
(4)
=—,
Эт = —-. т ат,
(5)
Рассмотрим большие значения времени, когда т2 » 1 (то есть когда фронты волн проходят расстояние, много большее толщины полосы): т = 0(т), Т» 1. Перейдём от операторов д-с ,дх к операторам ду,д*, выражающимся через производные по переменным у, т:
193
Г е
3^=3^, 3^=3^,,
Зт =-ккду + гд*, д2 = к2нд2 -г2кядуд* + г2д*2,
(6) (7)
где , сн - скорость поверхностных волн Рэлея; коэффициент кК
является корнем известного трансцендентного уравнения:
(2 - к\ -К2 к2.
Операторы 3 ,3* определяются выражениями:
3 ^ . 3
оу
ох
(8)
(9)
Подставляя (6) и (7) в (1) - (3) и отбрасывая асимптотически второстепенные слагаемые, получаем уравнения:
(1-к 2к\)
Ы)
3^2 К а.
дС2
/ = 1,2
(10)
при следующих граничных условиях:
= 1 А _ 3_М£| ЗЦ Зт2
7
л з^зс з^
!■ _ ц-
Ц = 1
С = -1
2кКВ Оф1
ЗС ~
Зф2
ЗС
3>| з з^зс зс
з У|/2 _ г2 3
V ^2 3^2 у
= ккВК
др
3^2
3^1 ( Зу2 3^2 ЗЕ,
2 У
1 ^Уэу] Зм/2^
2 ){д£,2 3^2 /
(11)
^ I
4Ь
\-к2 \-к2к2 2-к2
Ф, =е
£>,, ц>2=е
-О+$ф-к2к],а1
фг , Ф-.,
ф) - е и31 Ц>2 ~ е и4<
Ц (/ = 1,4) - постоянные интегрирования, определяемые из условий на лицевых поверхностях. Выражение для касательного напряжения имеет вид
(1 + У)/?2
д ф, д ф2
' к24 1 _ 10.
V 2;
Га2
■> Л Л
9 ф| | Э-ф2
(13)
Задачи (2), (3), (4) и (10), (11) решаем с помощью метода интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Изображения перерезывающего /шишя при 1и шш) п прпОдгаМшшй ииыапштк зада-ш соеттдгаот',
4ы
2.(1 - ) (2 - к1 )(> + 4х2 - 2] '
(14)
5 - параметр преобразования Лапласа, х _ параметр преобразования Фурье.
Обратим изображение (14), учитывая только полюса, соответствующие первому корню уравнения Рэлея - Лэмба. Уравнение Рэлея - Лэмба имеет вид
4 5/7С/. , _ „2 2 ^/гВ . у4-сйр-р"х —-с/га = 0,
(15)
2 2 1 1 2 2 22 о7 2 2
здесь у = х + > а =Г+кУ, [Г=х
Асимптотику первого корня уравнения (15) при х-*00 возьмём в виде
= ки1 - вХе Тогда
( 2Л1 кЬ
и " + аш^Тд + (16)
где
^2 - Х^2 = X Мг - ^2 - ВЪе
-ф-кяХ
+ = XI кКх2 + ^2 - Вх2е
-2/1 ]
На рис. 1, 2 представлено поведение перерезывающего усилия в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея при V = 0.3, к\ = 0.86, т2 = 7 .
1 I / /"*
35 \ \ ¡1 1 05 0 А /
-0.5 -1 \ \! •05 ■1 Г 1 / 1 / 1
15 -15 V
•2 •2 §
Г 5 ' ~10 ' ' ' ' 15' ' '2С "й 6 65 В 4 6.6 6.8 7 £
Рис. 1 Рис. 2
Решение быстро изменяющееся, непрерывное.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Ю. Асимптотическая модель для вычисления дальнего поля волны Рэлея в случае упругой полуплоскости // ДАН. 2004. Т. 395, № 4. С. 482-484.
2. Коссович Л. Ю., Кушеккапиев А. Н. Расчленение нестационарного НДС в задаче Лэмба для бесконечного слоя на составляющие с различными показателями изменяемости /7 Тр. III Всерос. конф. по теории упругости с междунар. участием. Ростов-на-Дону, Азов, 13-16 окт. 2003 г. Ростов н/Д, 2003. С. 232 - 234.
3. Ковалёв В. А., Коссович Л. К)., Таранов О. В. Дальнее поле волны Рэлея для упругой полуполосы при действии торцевой нагрузки // Изв. РАН. Сер. МТТ 2005. № 5". С. 89 - 96.
_______УДК 539.3
н, м. Маслов, О. В. Сорокина
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ СОСТОЯНИЙ ТОНКИХ НЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Рассматривается метод исследования нестационарных динамических состояний тонких неоднородных стержней, возбуждаемых импульсными силами со стороны торцевых сечений. Исходным является уравнение продольных колебаний общего вида
— £(*)$(*) „
ах ох
-р(х)5(х)— =0, Эг
где Е - модуль Юнга, р - плотность материала, - площадь поперечного сечения.
