Изгиб круглой кусочно-однородной составной плиты под действием нагрузки, равномерно распределенной по внутренней круговой плите Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. И. Коннина, М. В. Демина

УДК 539.3

изгиб круглой кусочно-однородной составной

плиты под действием нагрузки, равномерно распределенной по внутренней круговой плите

Рассмотрим круглую плиту, изготовленную из изотропного материала. Будем считать, что она изгибается под действием нормальной нагрузки, равномерно распределенной по кругу меньшего радиуса. При этом край

плиты жестко защемлен. В силу того что плита загружена таким образом, можно считать, что она состоит из двух частей. Внутреннего круга радиуса г -Ъ, загруженного нормальной нагрузкой и внешнего кольца шириной (а-Ь). Причем материалы, из которых изготовлены внутренний круг и внешнее кольцо различны. Тогда все величины, характеризующие состояние кольца, будем обозначать индексом I сверху, а величины, характеризующие состояние круга, — индексом II сверху (рисунок). Так как у нас интенсивность нормальной нагрузки q = const, то мы имеем осесимметричное загружение плиты.

Математическая модель такой задачи включает в себя уравнения [1]:

V2V2W'n (1)

= 0, (2)

граничные условия: при г = а \¥] =\УХ =0.

А контактные условия на контуре сопряжения плит нужно взять в виде [1]

при г = b Wx =WМ\=М

]i.

г '

\Уу =0ИГ; Ы\ = Ы]}. Здесь IV1 (1 = 1,11) - функция прогиба, Ои - жесткость материала, из которого изготовлен внутренний круг; q — интенсивность нормальной нагрузки; Мг - изгибающий момент, действующий на площадке с нормалью г'; Д'г - перерезывающая сила, действующая на той же площадке.

Так как у нас загружение осесимметричное, то уравнения (1), (2) можно проинтегрировать и получить представления для IV1 и IVй [2]:

дияат.

Поскольку пластинка круглая, введем в рассмотрение полярную систему коор-

=А1 +В]г2 +С[\пг + Е1г2\пг, (3)

IV11 = Аи + Виг2 + С" 1пг + £ V 1пг + ■

64£)

Имеем 6 условий и 8 неизвестных коэффициентов, поэтому из физических соображений ясно, что в центре прогиб и моменты не могут быть бесконечно большие =>С" =Еи = 0. Оставшиеся коэффициенты определим из граничных и контактных условий. Получим систему, состоящую из 6 уравнений:

А] + В1а2 + С,!па + £|а21па = 0, Г1

2б' + £'(21па + 1) = 0, а

Аи + 5 V + = Л" + Я1*2 + С' 1п6 + 1пй, 64 Ои

2Вп = +^г + Е\2\пЬ + \),

16 £>" ¿Г

16£>" Г1

= 2В'(1 + V1) - -у(1 - V1) + £'(21п6 + 3 + У'(21ПЙ +1)), Ь

2

где к = —г-, здесь О1 - жесткость материала кругового кольца, £>

£>" - жесткость материала круглой плиты.

Решая эту систему аналитически, получим представления для коэффициентов, с помощью которых можно вычислить функцию прогиба по формулам (3), моменты и перерезывающие силы по формулам (4) в любой точке плиты. Выражения для моментов и перерезывающих сил в случае осесимметричного загружения имеют следующий вид [3]:

М1г=-01(№1 +-УГ''), г

Мъ=-0'(ч1У' + -Г'), г

М1г=-01{\у' +-1Г1

г г~

Л^0=О (/ = 1,11). (4)

Е\ = кдЬ

Результаты вычислений при Ь = 1, а = 3, £>' = 7.04, £)"= 3.52, у= 0.13, ц = 1 приведены в таблице.

Координаты точек Ц' Мг Мв

(0,0) 0.080 0.240 о 0.240

(1,0) 0.053 0.040 -0.500 0.150

(1,0) 0.053 0.040 -0.500 0.290

(3,0) 0 -0.250 -0.160 -0.030

Анализ полученных результатов показывает: ]) граничные и контактные условия выполняются точно; 2) максимального значения функция прогиба достигает в центре плиты; 3) максимальным изгибающим моментом является момент Мв, достигающий своего максимального значения на контуре спая.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мусхелишвши Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

2. Александров А. Я. Решение осесимметричных задач теории упругости при помощи аналитических функций // Докл. АН СССР. 1959. Т. 129, № 4. С. 754 - 757.

3. Беленький М.Я. Некоторые осесимметричные задачи теории упругости // Прикл. математика и механика. 1960. Г. XXIV, вып. 3. С. 582 - 584.

УДК 539.9

Л, Ю. Коссович, О. Г. Амиров ПОЛЕ РЭЛЕЯ В ЗАДАЧЕ ЛЭМБА ДЛЯ ПЛАСТИНЫ*

В данной статье рассматривается классическая задача теории упругости о распространении поверхностных волн в пластине. С помощью асимптотических методов, разработанных в [1 - 3], выводятся уравнения приближённой задачи, описывающие решение в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея, и производится асимптотическое интегрирование уравнений задачи в точной постановке. Затем решения точной и приближённой задач сравниваются. Выкладки производятся для перерезывающего усилия.

Рассмотрим нестационарное напряжённо-деформированное состояние пластины, зависящее от продольной координаты - оо < х < со, нормальной координаты - И<г<к (И - полутолщина пластины) и времени Г. Предположим, что на её поверхностях г = ±/г действуют сосредоточенные силы.

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 06-01-00521, 06-08-00836).