Погрешность приближенного решения первой краевой задачи с аппроксимацией второй производной линейным сплайном Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6(075.8)

В. В. ЛАГУТА (ДИИТ)

ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С АППРОКСИМАЦИЕЙ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ЛИНЕЙНЫМ СПЛАЙНОМ

Визначаеться похибка виршення першо! гранично! задачi для звичайного диференцiального рiвняння другого порядку з нелшшною правою частиною. Друга похвдна функци, що визначаеться, наближаеться лшшним сплайном.

Определяется погрешность решения первой краевой для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с нелинейной правой частью. Вторая производная определяемой функции аппроксимируется линейным сплайном.

The error of the decision of the first boundery problem for the ordinary differential equation of the second order with a nonlinear right part is defined. The second derivative of defined function is approximated by a linear spline.

Краевую задачу можно рассматривать как уравнений - прямые и итерационные. Прямые

некоторое операторное уравнение. Исследова- методы состоят в сведении решаемых уравнений

ние свойств приближенных методов решения к более простым. Это может быть достигнуто

состоит в установлении выполнения условия путем аппроксимации операторов или искомых

uk (t) = u(t), где u(t) - точное решение опера- решений, или и тем и другим сп°с°б°м. Среди k аппроксимационных методов можно выделить

торного уравнения, u (t) - приближенное реше- [6-7]. Итерационные методы основываются на

ние уравнения на к-й итерации. Операторные методы могут быть линейными и нелинейными. Исследования операторных уравнений выполня-

принципе сжатых отображений [8-10]. Рассматривается первая краевая задача

и" = у(5,и,и'), и(0) = а, и(1) = р (1)

ется методами функционального анализа [1-5].

« ^ j и ее приближенное решение в узлах регулярной

По принципу построения различают две основ-

ные группы методов решения операторных

сетки ti = i ■

i = 0, n

n 1

a + (P - a)ih + (i - n)—X[(3 j - 2) j1 + (3 j -1) ff1 ] ■

j=1

7. J n _

-i— X [(3n - 3 j + 2)ff_-1 + (3n - 3 j +1) fp-1 ], i = 1,n -1,

(2)

j =i+1

которое получается с помощью аппроксимации ражении (2) р номер правой части линейным сплайном [11]. В вы- ур-1 = у(ч и ) и' ^,))

u '(t) = Fp (t) = Fh(t) = fp-1 +

fplzfi P1 t; - ti

j P-1

-(t - t-1), t-1 < t < tt, i = 1, n

итерации,

(3)

4-1

- линейный сплайн, аппроксимирующий вто- интегрирования [0,1] приближенное решение рую производную и". Для любой точки отрезка йЦ) определяется по формуле [11]

и (Ч) = а + ф-а)Ч + (Ч -1) — X [(31 - 2)У - + (3] -1)] +

6 1=1 (¿>1)

Ч Ч-п

hD n _

-t— X [(3n - 3 j + 2)fj-1 + (3n - 3 j +1) f ], tt < t < tt+1, i = 0, n -1. (4)

j=i+2 (i< n-1)

Определим погрешность приближенного смотрим разность в точке х, решения рассмотренной краевой задачи. Рас-

1 1

Аи (х,) = \и (х,) - Щ )| = А + (В - А)х + | О($, х,)/($)ё $-А - (В - А)х-| О($, х,) / ($)ё $

о о

Ч 1 Ч 1

|$(1 - х) / ($) ё $ -1 х (1 - $) / ($) ё$ +1$(1 - х) / ($) ё$ +1 х (1 - $) / ($) ё$

х1 о х1

хi 1

|$(1 - х)(/ ($) - / ($))ё$ +1 х (1 - $)( / ($) - / ($))ё$

о х.

хi 1

(1 - х,) |$( / ($) - / ($))ё $ + хг | (1 - $)( / ($) - / ($))ё $

о х,

х) х)

(1 - хг )£ | $(/($) - /($))ё$ + х, X | (1 -$)(/($) - /($))ё$

}= х,_!

1=,+1х.,

(5)

В (5) /($) = /($, и($), и'($)), п = П(х,)- ре- Запишем разность /($) - /($) как погреш-шение в узлах сетки, / ($) - значение функции ность ряда Тейлора, учитывая линейное пред/ от приближенного решения и (х) , О ($, х) - ставление функции /($) в окрестности точки

функция Грина

[$(х -1), о <$< х, [х ($-1), х <$<1.

Подставляя (6) в (5), получим

х, в форме Коши [12]

($- х, )2

/($) - /($) = -где о <8<1.

1!

(1 -9) /" (х, +0($-хг )),(6)

Аи (х,) < тах

(1 - хг )£ | $($-хз )2(1 -0)/"($>$ + х, X | (1 -$)($-хз )2(1 -0) /" ($*)ё $

1 =Ь

]=+1;

<

1к л

1=1 (1 -1)к

о<х<1 1

(1 -х,)X | $($-х;)2ё$ + х, X | (1 -$)($-х;.)2

1=,-+1( 1 -1)к

тах

о<х<1

\/' ($*)|.

(7)

В выражении (7) х,-1 <$* < х,, а Л шаг ли-

7к41 - 17 Л4 = — (28] -17).

3 12 12 V )

1 -1 - ~ 1

нейной интерполяции для второй производной

и"(х). Найдем значения интеграл°в входящих в Определим значение второго интеграла выражение (7), учитывая, что х■ = ]к . Первый

интеграл будет равен

|(1 -$)($-х;-1))$=-7к41 -^к4 +'

12

х1 2

|$($-х^-1) ё$= I $($-]к - к )2 ё$

х- (1 -1)к

Теперь в точке хi разность Аи (хi) составит

,

Аи (х, )< / "(х )|

(1 - ,к )12 Х(281 -17 ) + ,к ¿(- 3 к4 7 +12 к4 + -I

12 у=1 ;=;+1\ 3 12 3

(8)

Подсчитаем значения первого и второго сла- и гаемого, стоящих в квадратных скобках соотношения (8)

(1 -гН)^ ± (28;-17 ) = (1 - гН )) (14/ - 3)

Окончательно запишем выражение для разности Ли ) = (1 - )

гН V |- 7 И4]+ — Н4 + 7 Н3 Р+А 3 12 3

гН (1 - гН)—[-14И (г + 1 + и) + 17Н + 28] .

12

(1 -')Й

Н (14г - 3) - 14Н ^г +1 + и +17Н + 7^ • тах|/"(')| =

|/'С ) =

28

14гН - 3Н - 14гН - 14Н - 14иН + 17Н + —

3

тах

0<'<11

-г (1 - ' )—

А ^ 12

28

14гН - 3Н - 14гН - 14Н - 14иН + 17Н + —

3

• тах

0<' <1

= 'г (1 - 'г ^ ^ 7Ж1 /"('^ •

Учитывая, что точка 'г выбрана произвольно, можно записать погрешность для любой точки '

Н2 I I

Лм (') ='(1 -')-т-• /"(')) .

Рассмотрим погрешность решения для примера приведенного в [11]. Необходимые данные и вычисления приведены в табл. 1.

Оценка погрешности решения

Максимальное отклонение 0,00009;

Оценка погрешности Ли = 0,002796

тах

\/"| = 1,109021;

Таблица 1

х (Ь= 0,090909) Прибл. Точное Модуль Первая Вторая

решение решение погрешности произв. произв.

0,00000000 0,00000 0,00000 0,00000 0,52141 1,108911

0,09090909 0,04283 0,04279 0,00004 0,4206 1,068101

0,18181818 0,07665 0,07659 0,00006 0,3235 1,037741

0,27272727 0,10178 0,10170 0,00008 0,22916 1,016731

0,36363636 0,11842 0,11833 0,00009 0,13673 1,004411

0,45454545 0,12670 0,12661 0,00009 0,04542 1,000341

0,54545455 0,12670 0,12661 0,00009 -0,04552 1,004411

0,63636364 0,11842 0,11833 0,00009 -0,13683 1,016731

0,72727273 0,10178 0,10170 0,00008 -0,22926 1,037741

0,81818182 0,07665 0,07659 0,00006 -0,3236 1,068211

0,90909090 0,04283 0,04279 0,00004 -0,42071 1,109021

1,00000000 0,00000 0,00000 0,00000 -0,52153

Выводы

Наибольшая погрешность достигается в точке ' = 0.5 и составляет

В граничных точках погрешность равна нулю вследствие выполнения граничных условий для точного и приближенного решений.

|и(0,5) - и(0,5) < тах|/"(')| •— Н2. 1 1 0<'<11 1 24

2

2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. - М.: Мир. - 1969. - 447 с.

2. Кантарович Л. В. Приближенные методы высшего нализа. / Л. В. Кантарович, Крылов В. И. -М.:, Л.: Физматгиз. - 1962. - 708 с.

3. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа. / Колмогоров А. Н., Фомин С. В. - М.: Наука. - 1981. - 544 с.

4. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа. / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев - М.: Наука. - 1965. - 520 с.

5. Треногин В. А. Функциональный анализ. - М.: Наука. - 1980. - 495 с.

6. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. - М.: Наука. - 1975. - 304 с.

7. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. - М.: Физматгиз. -1962. - 182 с.

8. Биленко В. И. Приближение полиномами решений одного класса интегральных уравнений

Гаммерштейна. - К.: - 1980. - 23 с. / АН УССР, Ин-т математики. - № 80-17.

9. Дзязык В. К. О применении линейных методов к приближению полиномами решений обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений Гаммерштейна. - Изв. АН СССР. Сер. мат., - 1970. - № 34. - С. 827 - 848.

10. Педас А. Кусочно-линейная аппроксимация решения интегрального уравнения с логарифмической особенностью в ядре. Вычислительные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. - Учен. зап. Тарт. ун-та. -1979. - С. 33- 42.

11. Лагута В. В. Метод итерации решения первой краевой задачи с нелинейной правой частью / Вюник ДНУЗТ. Вип. 18. - Д. 2007.

12. Никольский С.М. Курс математического анализа. - М.: Наука. - 1975. - С. 149.

Надшшла до редколегп 17.09.2007.