Решение нелинейных двумерных интегральных уравнений теории параболических краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

А. Н. Тында, О. В. Тында

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Аннотация. Работа посвящена численному решению двумерных интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма, к которым сводится ряд нелинейных параболических краевых задач. Предложен итерационный метод, основанный на предварительной линеаризации нелинейного интегрального оператора и аппроксимации решения полиномиальными сплайнами. Приведены численные примеры.

Ключевые слова: интегральные уравнения смешанного типа, метод Ньютона-Канторовича, аппроксимация сплайнами, параболические краевые задачи.

1. Постановка задачи

В статье [1] рассматриваются интегральные уравнения смешанного типа, находящие применение, в частности, при описании процессов распространения эпидемий и в теории нелинейных параболических краевых задач [2, 3].

t

x (t, s) = f (t, s) + jjH(t, s, Ti, T2, x (Ti, T2))d T2<iTi, t e [o,T ], s eQc R n, n = 1,2. (1)

Для случая n = 1 в работе [1] рассмотрены методы полудискретизации по пространственной переменной, приводящие к большим системам интегральных уравнений Воль-терра, а также менее затратный альтернативный прямой квадратурный метод. При этом для решения систем нелинейных алгебраических уравнений, полученных в результате дискретизации, применяется итерационный метод Ньютона.

В данной работе предлагается предварительно линеаризировать оператор, а уже для линейных интегральных уравнений применять сплайн-коллокационные методы. Ограничившись случаем n = 1, рассмотрим уравнение

td

Fx = x(t,s)-f(t,s)-jjH(t,s,T1,T2,x(T1,T2))dT2dT1 =0, te[o,T],se[c,d]. (2)

0 c

2. Метод Ньютона-Канторовича

Применим к уравнению (2) модифицированный метод Ньютона-Канторовича [4]:

xm+1 = xm - [F'(xo)]-1 (F(xm)), m = 0,1,..., (3)

где x0(t, s) - начальное приближение, а производная F'(x0) нелинейного оператора F в точке x0 определяется следующим образом:

F'(x0)=lim F (x0 + °H0 -F (x„) = ]im .1

Ю^0 Ю Ю^0 Ю

rox (t, s)-

td

-fj[ H(t, s, T1, T2, x0( T1, T2) + ix( T1, T2)) - H(t, s, T1, T2, x0(T1, T2))]dT2dT1

0 c

139

Вестник Пензенского государственного университета № 3 (11), 2015

где

= x(t s)- fflim H(t,S’Tl’T2’X°(Tl’Tg)+ mX(T1,T2))-H(t,s,Ti;T2,x°(Tl,t2))^ =

’ JJ^.O Ш 21

td

= x(t, s) - JjHx (t, s, Tl, T2, x° (Tl, T2)) x(Ti, T2 )dT2dTi,

O c

Hx (t, s, Tl, T2, x ) = 8H(t- s’T- T2,X >

dx

Таким образом, метод можно записать в виде

F X x°(t Mxm +l(t ) = - F ( xm X Axm +l = xm +l - xm, или в развернутой форме

td

xm+l(t,s) - jjHx(t,s,Tl,T2,x°(Tl,T2))xm+l(Tl,T2)dT2dTl = Фm(t,s),

(4)

(5)

O c

Фm(t,s) = f (t,s) + jj[H(t,s,Tl,T2,xmK,T2)) -

O c

- Hx (t, s, Tl, T2, x° (Tl, T2)) xm (Tl, T2)]d T 2d Tl, m = O, l, ....

Уравнения (5) являются линейными интегральными уравнениями Вольтерра-Фредгольма относительно неизвестной функции xm+l(t, s). При этом ядра уравнений

остаются неизменными на каждой итерации. Решения для (5) на каждой итерации будем искать в виде полиномиального сплайна, коэффициенты которого определяются с помощью сплайн-коллокационного метода, подобного построенному в работах [5, 6], или с помощью метода последовательных приближений. Для аппроксимации интегралов, возникающих в процессе дискретизации, применяются повторные кубатурные формулы типа Гаусса.

3. Численные эксперименты

Проиллюстрируем работу метода на примере решения некоторых модельных задач для различных ядер.

Аппроксимация кратных интегралов. Сначала приведем результаты аппроксимации интегралов кубатурными формулами типа Гаусса по четырем узлам. В качестве модельного интеграла возьмем

jj 21 + s—dsdt = ln3-—+ 2\/2arctan—. (6)

001 + s +1 22 2

В табл. l приведены абсолютные погрешности приближенного вычисления интеграла (6) при различных значениях числа разбиений N по каждой из координат t и s.

Таблица l

N 1 5 10 20

е 4.69e-°6 7.°e-l2 2.49e-l4 3.32e-l6

140

Актуальные вопросы естествознания

Линейное двумерное интегральное уравнение. На каждом шаге итерационного процесса (5) возникает необходимость в решении линейного интегрального уравнения Вольтерра-Фредгольма. Рассмотрим следующее модельное уравнение:

11

x(t, s) - Ц

tSTr

00 x2‘

ts

■- x(x1, т2 )dx2dx1 =(t + 2s)2--[3 arctan t + 4ln(t2 +1) + 3t ], (7)

1 6

точным решением которого является функция x (t,s) = (t + 2s)2, (t,s) e[o,1]2.

При вычислении интегралов использовались кубатурные формулы типа Гаусса-Кристофеля с одинаковым числом узлов r = 4 по каждому измерению.

Ниже используются следующие обозначения: N - число подобластей разбиения по каждой координате, m - число итераций Ньютона-Канторовича; n - число итераций метода последовательных приближений, применяемого на каждой итерации Ньютона-Канторовича; p - порядок аппроксимирующего сплайна xN (t, s);

£ =

xn (t, s) - x*(t, s)

C[o,1]2

Результаты для модельной задачи (7) приведены в табл. 2.

Таблица 2

N n P e

1 1 2 0.092

1 2 2 0.0037

1 5 2 8.62e-06

2 5 2 6.53e-08

2 10 2 2.40e-08

5 5 2 6.6e-08

5 10 2 1.04e-11

10 5 3 6.6e-08

10 10 3 3.55e-14

10 20 4 1.67e-15

20 10 2 7.11e-15

Нелинейное двумерное интегральное уравнение. Рассмотрим теперь нелинейное двумерное интегральное уравнение Вольтерра-Фредгольма:

t1

x(t,s) - Я

00

s(1 -т2)

(1+1 )(т2+1)

1 - е“x( т1,т2)

dx2dx1 =

12s

8(1 +1 )(1 +12)

ln I 1 +

ts

1 +12

(t,s)e [o,1]2,

(8)

точным решением которого является функция x *(t, s) = ln

t2 +1

v t2 + st + 1J

Результаты для модельной задачи (8) при тех же самых обозначениях, что и в предыдущем примере, приведены в табл. 3.

Таблица 3

N m n P e

3 1 5 2 0.128

141

Вестник Пензенского государственного университета № 3 (11), 2015

3 2 5 2 0.041

Окончание табл. 3

N m n P e

3 3 10 2 1.12e-04

5 2 5 2 0.009

5 3 10 2 2.47e-05

5 3 15 3 4.61e-07

10 2 15 3 3.05e-07

10 3 15 3 7.16e-08

20 3 10 3 1.35e-08

20 5 20 4 2.76e-09

Таким образом, предложен новый метод численного решения нелинейных интегральных уравнений смешанного типа. Анализ результатов решения модельных задач показывает эффективность предварительной линеаризации оператора при условии достаточной гладкости входящих в уравнение (2) функций.

Список литературы

1. Brunner, H. Time stepping methods for Volterra-Fredholm integral equations / H. Brunner, E. Messina // Rendiconti di Matematica, Serie VII. - Roma, 2003. - V. 23. - Р. 329-342.

2. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. - М. : Мир, 1987. - 311 с.

3. Pachpatte, B. G. Multidimensional integral equations and inequalities / B. G. Pachpatte. - Paris : Atlantis Press, 2011. - 245 p.

4. Kantorovich, L. V. Functional Analysis / L. V. Kantorovich, G. P. Akilov. - 2nd edition. - Pergamon, 1982. - 589 p.

5. Tynda, A. N. Spline-collocation technique for 2D weakly singular Volterra integral equations / A. N. Tynda // Bulletin of Middle-Volga Math. Society. - 2008. - V. 10, № 2. - Р. 68-78.

6. Tynda, A. N. Numerical methods for 2D weakly singular Volterra integral equations of the second kind / A. N. Tynda // PAMM. - 2008. - V.e 7, Is. 1 - P. 2020009-2020010.

Тында Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики,

Пензенский государственный университет E-mail: tynda@pnzgu.ru

Тында Ольга Вячеславовна

аспирант,

Пензенский государственный университет E-mail: olgat91@yandex.ru

УДК 517.9 Тында, А. Н.

Решение нелинейных двумерных интегральных уравнений теории параболических краевых задач /

А. Н. Тында, О. В. Тында // Вестник Пензенского государственного университета. - 2015. - № 3 (11). - C. 139-142.

Tynda Aleksandr Nikolaevich

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor,

sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

Tynda Ol'ga Vyacheslavovna

postgraduate student,

Penza State University