CC BY
45А.Г. Гильдин, С.Г. Зайдуллина
ПОДГОТОВКА ВЫПУСКНИКОВ ШКОЛ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ КОНКУРСНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ИНФОРМАТИКЕ
Ключевые слова: информатика, обучение информатике, единый государственный экзамен, контрольно-измерительные материалы.
Аннотация: В статье рассматриваются проблемы преподавания сложных тем курса информатики в связи с изменениями контрольно-измерительных экзаменационных материалов; приводятся примеры конкретных задач из курса информатики и раскрываются методические приемы взаимодействия учителя с обучающимися, нацеленные на решение задач повышенной сложности.
С 2009 года основным конкурсным испытанием для абитуриентов стал единый государственный экзамен (ЕГЭ). За это время эволюционировали как процесс организации и проведения экзамена, так и контрольно-измерительные материалы (КИМ) к нему. Курс информатики при его успешном усвоении должен давать возможность выпускникам справляться со всеми, в том числе новыми задачами КИМ ЕГЭ по предмету. Однако на практике не все так однозначно: учителя информатики сталкиваются с серьезными методическими проблемами.
Первая проблема: школьники во время экзамена не готовы к поиску методов решения задач новых типов. Разработчики заданий не просто формулируют новые задачи, а придумывают новые типы задач, к решению которых школьников нужно готовить специально. Так, несколько лет назад, на досрочном этапе ЕГЭ выпускники школ впервые столкнулись с новым типом задачи на определение выигрышной стратегии. Задача была сформулирована следующим образом: «Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 47. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 47 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 4 камней, во второй куче - S камней; 1 < S < 42. 1а) При каких S Петя выигрывает первым ходом? Укажите выигрывающие ходы Пети. Обоснуйте, что найдены все значения S. 1б) Сколько существует таких S, при которых Ваня выигрывает первым ходом? 2. Назовите одно любое значение S, при котором выполняются одновременно два условия: 1) Петя не может выиграть своим первым ходом и 2) Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от игры Вани. Приведите выигрышную стратегию для Пети. 3. Назовите значение S, при котором выполняются одновременно два условия: 1) Ваня имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему выиграть своим первым или вторым ходом. 2) Ваня не имеет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть своим первым ходом. Приведите выигрышную стратегию для Вани в виде дерева. На ребрах укажите имя игрока».
Ни один из сдающих в регионе ЕГЭ не справился с этой задачей на полный балл. Казалось бы, отличия от ранее разобранных задач на данную тему минимальны:
- задачи, в которых требовалось определить, при каких начальных условиях выигрывает тот или иной игрок были с одним параметром: например, речь шла об одной куче камней, а в новом типе задач параметров два;
- ранее в задачах с двумя параметрами, например, в которых речь шла о двух кучах камней, требовалось определить, кто из игроков имеет выигрышную стратегию, а в
пыпгогнчесний журнал Башкортостана м 4(77). toie
педагогический журнпл бпшнортостпнп м 4(77). яо1в э^эЖэЖ&б
новом типе задания требуется определить начальные значения параметров, при которых выигрывает тот или иной игрок.
На наш взгляд, сложность выполнения заданий у учеников связана с тем, что типы задач обычно привязываются учителями к тем или иным темам и алгоритмам решения. Задачи обобщаются, в том числе, и по принципу их решения. Определение начальных значений параметров, при которых выигрышную стратегию будет иметь заданный игрок -это типичная задача динамического программирования. Но в случае одного параметра динамика одномерная и допускает безмашинное решение, а в случае двух параметров -двумерная и для решения требуется компьютер, которого на экзамене нет. Детальный анализ задачи показал, что двумерная динамика в данном случае может и не использоваться, можно искать выигрышную стратегию для каждой исходной позиции, кроме очевидного выигрыша первого игрока первым ходом. Построение нескольких неполных деревьев игры приводит к правильному решению.
Следующая проблема, на наш взгляд, связана с противоречиями между спецификациями КИМ и содержанием экзаменационных материалов. Первый пример такого несоответствия - появление в 2011 году в ЕГЭ задания на определение количества решений логического уравнения, а в 2012-м - на решение системы логических уравнений. В соответствии с таблицей спецификации КИМ, оно предусматривает умение строить и преобразовывать логические выражения. Даже обзорное знакомство с методическими рекомендациями по решению систем логических уравнений [1-3] связывает это задание, в основном, с умением строить деревья, с комбинаторикой, или с динамическим программированием. Умение же преобразовывать логические выражения либо проверяется опосредованно, либо не проверяется вообще. Подготовка к решению систем логических уравнений потребовала внести новые темы в учебную программу.
Второй пример несоответствия - задание № 18. Спецификация КИМ требует проверить усвоение темы «Знание основных понятий и законов математической логики», а предложенная выпускникам задача относится либо к теме «Множества», либо к решению неравенств с параметром. Формально никакого несоответствия нет: в заданиях используются логические операции, но акценты смещены. Таким образом, для подготовки обучающихся к решению задания №18 также потребовалось вводить новые темы в учебную программу.
Как следствие, календарно-тематическое планирование (КТП) курса информатики изменяется каждый год в связи с изменениями в КИМах по информатике. Если сравнивать КТП одного и того же учителя за 2009 и 2017 годы, то создается впечатление, что содержание школьной дисциплины «Информатика и ИКТ» принципиально изменилось, что противоречит законообразующим документам. Обратим внимание, что все это время по информатике, в части требований к минимальному содержанию образования для старшеклассников, действует один и тот же стандарт, определенный еще в 2004 году Приказом МО РФ №1089 от 05.03.04 «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования». Изменения, внесенные в этот документ приказами Министерства образования и науки Российской Федерации № 164 от 3.06.2008, № 320 от 31.08.2009, № 427 от 19.10.2009, № 2643 от 10.11.2011, № 39 от 24.01.2012, № 69 от 31.01.2012, не касаются затрагиваемых в данной статье вопросов.
Вопреки понятию «стандарт» сегодня актуальное содержание образовательных программ по информатике определяют не столько образовательные стандарты, сколько спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ. Поэтому подготовка школьников к конкурсному испытанию требует особо продуманной методики преподавания курса. Мы, исходя из нашего опыта обучения информатике, предлагаем рассмотреть некоторые методические аспекты преподавания информатики в школе.
sSSSsSi профессиональное осрпзоопнис: проелемы. нпунп, прпнтннп
Во-первых, при составлении КТП учитель может отойти от привычной идеи преподавать предмет раздел за разделом. Уроки могут идти в нужном ему порядке. Рассмотрим вышеизложенное на примере решения сложного задания ЕГЭ № 18.
Задание относится к теме «Законы математической логики». На рисунке 1 представлен фрагмент календарно-тематического планирования авторской программы по информатике в 11-м классе. Мы видим, что изучение основ математической логики происходит параллельно с изучением устройства вычислительной техники. Таким образом, темы разделов «Булева алгебра» и «Средства ИКТ и их применение» межпредметно связываются: в сознании обучающихся булева алгебра перестает быть абстрактной математической теорией, а служит основой для проектирования электронных устройств.
Во-вторых, учитель должен стремиться к тому, чтобы обучающимся как можно меньше формул преподносились в готовом виде для заучивания. Возвращаясь к заданию № 18: основные тождества булевой алгебры выводятся, а не предлагаются как данность. В условиях недостаточных фактических знаний на момент вывода тождеств используется следующий метод, раскрывающийся позже построением таблиц истинности: для формул с одной переменной (А) в каждой формуле сначала подставляется значение переменной А равное 1. Значение вычисляется и запоминается. Затем в качестве значения переменной А подставляется 0. Значение вычисляется и запоминается. Если оба раза получили ноль, то записываем, что формула тождественно равна нулю. Если оба раза получилась единица, то констатируем, что формула тождественно равна единице. В случае, когда мы сначала получили единицу, а затем ноль, пишем, что формула равна А.
В-третьих, предлагается алгоритмический стиль изложения математических законов. Например, правила преобразования логических выражений предлагаются в следующих формулировках и сопровождаются примерами и выводами на доске.
- Скобки раскрываются, как в обычной алгебре.
- Выносить за скобки общий множитель следует только в том случае, скобках при этом получается одно из основных тождеств. После вынесения за
3 Центральным нн------г . пространство. Аппаратные и программные прерывания
3 Классификация компьютерной памяти
3 Проверочная работа на компьютере по теме «Устройство DT - блочный уровень Историк ВТ. Поколения»
А Работа над ошибками.
А Элементарные преобразователи информации. Основы алгебры логики Понятие сигнала
А Основные логические элементы и их принципы работы.
А Пывол основных тождеств алгебры логики.
5 Структурные формулы. Построение формул по комбинационным схемам.
5 Построение комбинационных схем по формулам Порядок логических операций.
5 Таблицы истинности и работа с ними.
5 Тождественные преобразования и минимизация схем
6 Разработка схем по таблице истинности. Определение СДНФ.
6 Разработка простейших схем по словесному описанию принципов работы устройства.
6 Проверочная работа по разработке схем.
6 Работа над ошибками
7 Операции алгебры логики: импликация, эквивалентность, XOR, штрих Шефера, |
7 Алгебра высказываний Соответствие высказываний формулам дополнительны* операций алгебры логики
7 Решение задач из алгебры логики.
7 Решение задач из алгебры логики.
8 Решение задач из алгебры высказываний.
8 Практика работы в Logic Works - часть первая.
8 Практика работы в Logic Works - часть вторая
8 Решение логических задач.
9 Проверочная работа по теме «Устройся - чогические основы. Алгебра п**-
Рис. 1.Фрагмент КТП
если в скобки,
педагогический журнпл бпшнортостпнп м 4(77). яо1в э^эЖэЖ&б
выражение внутри скобок упрощается в соответствии с основными тождествами булевой алгебры, после чего скобки раскрываются вновь.
- Если какое либо слагаемое встречается в качестве множителя в других слагаемых, то эти другие слагаемые можно зачеркнуть.
Рис. 2. Правило вычеркивания слагаемых
аЪк + кЬ + кс + Ьк(с + а) = Ьк(а + [ + (с + а)) + кс = Ьк + кс
1
Рис. 3 Доказательство правила вычеркивания слагаемых
- Отрицание над выражением - это есть отрицание над той его операцией, которая строилась бы в таблице истинности в последнюю очередь перед самим отрицанием. Комментируя данное правило, удобно показывать, что формулы де Моргана действуют для произвольного количества слагаемых или множителей.
По сути, все перечисленные правила сводятся к получению дизъюнктивной формы выражения [5], в котором можно будет вычеркнуть некоторые слагаемые. Пример сопровождения и доказательства для предпоследнего правила про вычеркивание слагаемых представлен на рисунках 2 и 3.
Перечисленные правила позволяют во многих случаях добиться требуемой степени упрощения выражения, однако опыт использования иных методов минимизации, таких как карты Карно [6], подтолкнул одного из авторов статьи (А.Г. Гильдина) к формулированию собственных формул, которые в большинстве случаев позволяют выполнять качественную минимизацию выражений, встречающихся в школьном курсе информатики, используя лишь тождественные преобразования.
Рассмотрим три авторские формулы в стиле приведенной выше формулировки -правила про вычеркивание слагаемых (рис. 4).
Ак + Ас + ке= Ак + Ас Доказательство:
Ак + Ас + кс = Ак + с(А + к) = Ак + с(А + Ак) = Ак + сА + с Л' - Ак + Ас Ак + Ас + кс = Ак + с Ак + Ас + кс - к + Ас
Рис. 4. Авторские формулы для упрощения логических выражений
Переменная А выделена как заглавная буква не случайно. Обратите внимание: в каждой из трех формул переменная А встречается в одном слагаемом без отрицания (около множителя к), а в другом слагаемом с отрицанием (около множителя с). Именно в этом случае предлагается поискать в выражении, записанном в виде дизъюнктивной формы, слагаемое, представляющее собой произведение логических переменных к и с. Это произведение можно зачеркнуть.
Умение преобразовывать логические выражения помогает в изучении темы «Множества». Предлагается использовать следующий методический прием. При графическом изображении множеств, на наш взгляд, нет необходимости использовать
96
ёжаам про<р€ссионпльно€ осрпзоопнис: проблемы, нпунп, прпнтинп
различные типы штриховок. Достаточно сначала преобразовать логическое выражение в дизъюнктивную форму, а затем каждое слагаемое штрихуется на рисунке независимо от других. Это возможно, так как в дизъюнктивной форме каждое слагаемое ничего не убирает из штриховки, а лишь может добавить новую область к уже закрашенным. Рассмотрим сказанное на примере решения задачи, представленной на сайте http://kpolyakov.spb.ru.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [15, 33] и Q = [45, 68]. Отрезок А таков, что формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка А?
Преобразуем выражение, переводя его в дизъюнктивную форму.
Изобразим ось х и заштрихуем на ней те значения х, при которых формула уже истинна (рис.5) независимо от слагаемого _,(дг е А)..
Рис. 5. Штриховка областей
Осталось подобрать такое значение переменной А, при котором будет заштрихована вся числовая ось - именно об этом идет речь в задании: формула должна принимать истинное значение при любом х.
Следует попросить учеников привести различные примеры подходящих (пусть не максимальной длины) отрезков А. Например, А = [16, 18]. После этого обучающимся понятен верный ответ к задаче. Наибольшая длина отрезка А: 68-45=23.
Описанным способом решаются почти все задания блока 18. Однако в вариантах последних лет появился новый тип этого задания. Задания с поразрядными логическими операциями в качестве операций в выражениях. Детальное описание принципов решения этих задач вызвало затруднения даже у педагогов. Проанализировав предложенные учителями способы решения, были сформированы условия задач, не вписывающиеся в предложенные шаблоны. Рассмотрим, как можно научить решать такие задания. В качестве примера возьмем следующее задание:
Введём выражение М & К, обозначающее поразрядную конъюнкцию М и К.
Определите набольшее натуральное число А, такое что выражение((х& 30 = 0) V (х&
43 = 0)) — ((х& 19 * 0) — (х& А = 0)) тождественно истинно.
Выражение следует упростить, и, что уже знакомо, привести к дизъюнктивной
форме.
( (х&30= 0) V (х&43 = 0)) — ((х& 19 * 0) — (х&А= 0)) =
= (х&30* 0) л (х&43 * 0) V (х& 19 = 0) V (х&А= 0) Оформим таблицу 1, занося в нее двоичные представления всех чисел, о которых идет речь в задании.
педагогический журнал Башкортостана м 4(77). гогв э^эЖэЖ&б
Таблица 1
Двоичные представления
5 4 3 2 1 0 номера разрядов
32 16 8 4 2 1 веса разрядов
0 1 1 1 1 0 30
1 0 1 0 1 1 43
0 1 0 0 1 1 19
Теперь, опираясь на таблицу, для каждой из скобок напишем, что данное высказывание говорит о числе х:
- (х&30Ф 0) означает, что в числе х в разрядах №№ 1, 2, 3, 4 есть хотя бы одна единица;
- (х&43Ф 0) означает, что в числе х в разрядах №№ 0, 1, 3, 5 есть хотя бы одна единица;
- (х& 19 Ф 0) означает, что в числе х в разрядах №№ 0, 1, 4 расположены все
нули.
В задании требовалось найти наибольшее натуральное А. Как методически преподнести поиск подходящего значения? Учитель может предложить ученикам назвать произвольное большое натуральное число и объяснить, почему оно не подходит (или подходит) в качестве ответа. Например, выберем в качестве значения А число 64. Попробуем доказать, что это значение не подходит в качестве ответа.
Для этого нужно привести пример такого числа х, которое не позволило бы выражению принять значение 1 по первым трем скобкам, «переложило бы всю ответственность» на скобку (х&А=0). И в этой скобке конъюнкция не должна давать ноль. Будем называть такой х контрпримером.
Поставим нули в разряды № 1, 2, 3, 4. Хотя бы в один из разрядов № 0, 1, 4 поставим единицу, то есть в разряд 0. Тогда в контрпримере х получился равным 65.
Действительно, 65&64 Ф 0. Таким образом, выражение истинно не для любого х. И какое бы еще большее значение А мы ни брали, всегда можно поставить нули в разряды № 1, 2, 3, 4; поставить единицу в нулевой разряд и поставить единицу в любые разряды, формирующие выбранное значение А.
Какое же можно подобрать значение А, чтобы конъюнкция с любым из сформированных контрпримеров всегда давала нулевое значение? Для ответа на этот вопрос, в первую очередь, следует обозначить все возможные типы контрпримеров.
Таблица 2
Типы контрпримеров
5 4 3 2 1 0
32 16 8 4 2 1
0 1 1 1 1 0 30
1 0 1 0 1 1 43
0 1 0 0 1 1 19
0 0 0 0 Л тип 1
0 Л 0 0 0 тип 2
Л Л Л изначально
То, что этих типов несколько, отличает данную задачу от более простых на ту же тему. Каждый тип контрпримера должен обеспечивать ложность выражения (х&19 =0). А
вот ложность выражения (х&30Ф 0) л (х&43Ф 0) может быть достигнута в общем случае
ёжаам про<р€ссионпльно€ осрпзоопнис: проблемы, нпунп, прпнтинп
тремя способами: ложным может быть выражение только в первой скобке, только во второй или в обеих скобках одновременно. В таблице 2 во всех трех типах контрпримеров для числа х обозначим верхним уголком разряды № 0, 1, 4, показывая, что хотя бы в одной из этих позиций обязательно должна быть единица. Этим мы обеспечили ложность скобки (х&19=0). Все такие позиции показаны в строке «изначально».
В первом типе контрпримера обеспечим ложность скобки (х & 30* 0). Для этого в разрядах № 1, 2, 3, 4 расставим нули, которые удаляют собой часть верхних галочек. В первом типе контрпримера обеспечим ложность скобки (х & 43 * 0). Для этого в разрядах № 0, 1, 3, 5 расставим нули, которые удаляют собой часть верхних галочек. В третьем типе контрпримера следовало бы поставить нули в разряды № 0, 1, 2, 3, 4, 5, но тогда не получится поставить ни одной единицы и, следовательно, выражение будет истинно по скобке (х & 19 = 0). Получившаяся последовательность не сможет выступать в качестве контрпримера. Свободные клетки строк «тип 1» и «тип 2» могут заполняться нулями и единицами произвольным образом. Рассматривая оба типа контрпримеров, мы видим, что, по какому бы из них мы ни формировали число х в качестве контпримера, разряды № 3 и № 1 всегда будут нулевыми. Следовательно, максимальное число А, для которого выражение х&А всегда будет давать нулевое значение - это 10. Если бы требовалось определить минимальное натуральное значение А, то, в данном случае, это было бы значение 1.
Рассмотренные примеры дают представление о продуманных методических приемах, используемых авторами при подготовке школьников к конкурсным испытаниям. Появление в КИМ новых типов задач диктует необходимость разработки и использования в практике учителя специальных методических приемов, в том числе пересечений различных линий курса информатики в рамках одного урока: одну и ту же задачу целесообразно рассмотреть с различных точек зрения. Четкое понимание взаимосвязей тем курса, а также систематизация компетенций в области школьной информатики оказываются не менее важными, чем предметные знания. Современная формулировка федеральных государственных образовательных стандартов предоставляет возможность актуализации содержательной линии курса за счет изменения учебных программ.
1. Поляков, К.Ю., Ройтберг, М.А. Системы логических уравнений: решение с помощью битовых цепочек / К.Ю. Поляков, М.А. Ройтберг // Информатика. № 12. 2014. С. 4-12.
2. Мирончик, Е.А. Метод отображения / Е.А. Мирончик // Информатика, № 10, 2013, С. 18-26.
3. Поляков, К.Ю. Логические уравнения / К.Ю. Поляков // Информатика. № 14. 2011. С. 30-35.
4. Гильдин, А.Г. Внутрипредметные связи, как средство повышения качества образовательного процесса. / А.Г. Гильдин // Научные исследования: материалы международной научно-практической конференции, Болгария, София, 2012.
5. Галушкина, Ю.И., Марьямов, А.Н. Конспект лекций по дискретной математике. - 2-е изд., испр. - Москва : Айрис-пресс, 2008.
6. Токхейм, Р. Основы цифровой электроники. - Москва : Мир, 1988. С. 88-95.
