Поддержка принятия решений при управлении многономенклатурными запасами в условиях неопределенности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 501-77:519.24:658.7.01

ПОДДЕРЖКА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ УПРАВЛЕНИИ МНОГОНОМЕНКЛАТУРНЫМИ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Истомина Алена Андреевна

Инженер кафедры технологии электрохимических производств, e-mail: alenaist@yandex. ru

Бадеников Виктор Яковлевич Доктор технических наук, профессор кафедры автоматизации технологических процессов,

e-mail: badenikovVY@angtu.ru Истомин Андрей Леонидович Доктор технических наук, профессор кафедры вычислительных машин и комплексов,

e-mail: a.l.istomin@mail.ru Ангарский государственный технический университет, 665830, г. Ангарск, ул. Чайковского, 60

Аннотация. Предложена многоэтапная процедура выработки решений по управлению многономенклатурными запасами в условиях неопределенности. В связи с неопределенностью и отсутствием достоверной информации о характеристиках спроса практическое решение задачи управления запасами опирается на многоэтапную процедуру, суть которой заключается в том, что на первых этапах строятся прогнозные модели спроса на запасы, а затем на основе полученных прогнозных значений спроса решается задача управления запасами, построенная на основе теории массового обслуживания.

Ключевые слова: управление запасами, системы массового обслуживания, оптимизация.

Введение. Создание запасов, их хранение, расход и восполнение характерны для всех видов хозяйственной деятельности - от домашних хозяйств до экономики в целом. Основной задачей управления запасами с которой сталкиваются предприятия, снабженческие и торговые организации является принятие решений относительно размера партий на восполнение запасов и «точки заказа» (критический уровень запасов).

Очевидно, что решение задачи управления запасами возможно лишь с помощью компьютерных автоматизированных систем выработки решений. В последнее время получили большое распространение системы поддержки принятия решений (СППР), помогающие человеку в задачах выбора. В настоящей работе предложены подходы и процедуры управления запасами в сторону потенциальных массовых приложений, поддерживающих принятие решений по управлению запасами в условиях неопределенности.

1. Нахождение оптимальной стратегии управления запасами. Одной из самых распространенных стратегий управления запасами является система с фиксированным размером заказа [2, 6, 8]. В такой системе размер заказа является постоянной величиной, повторный заказ подается при уменьшении наличных запасов до определенного критического уровня.

В подавляющем большинстве известных моделей управления запасами система с

фиксированным размером заказа строится из предположения о детерминированности спроса, а оптимальный размер заказа запасов Q определяется формулой Уилсона [2, 5, 7]:

где £ - спрос на запас на горизонте управления; С - затраты на выполнение заказа; С2 -затраты на хранение единицы запаса на горизонте управления.

Формула Уилсона пригодна для идеального случая, когда спрос на запасы £ заранее известен, уровень запасов уменьшается с постоянной интенсивностью, и как только он достигает нуля, немедленно поступает новая партия запасов размером Q .

В практике управления запасами такие ситуации встречаются крайне редко. Во-первых, регулярно приходится сталкиваться с проблемами задержки времени между заказом партии и моментом его подачи. Кроме того, фактический спрос на запасы часто не совпадает с прогнозируемым, возникает дефицит запаса, либо имеет место переизбыток запасов. Кроме того, формула Уилсона не учитывает потери, связанные с дефицитом запасов.

В работе поставлена и решена задача оптимизации системы управления запасами, построенная на основе теории массового обслуживания, которая учитывает вероятностный характер спроса.

1.1. Модель задачи управления запасами при случайном спросе. Анализ задачи управления запасами показал, что многие ситуации управления товарными запасами можно рассматривать как задачи массового обслуживания - не только в том смысле, что покупатели могут простоять в очереди за товарами, но и в том смысле, что товары, ожидающие покупателей, также образуют очереди [3-5]. Если покупатели отсутствуют, то запасы товаров увеличиваются. Если нет очереди товаров (нет запасов), то имеет место дефицит, покупатели не обслуживаются. Если в качестве требований и заявок в системе массового обслуживания (СМО) считать запасенные товары, а обслуживающие устройства - покупателей товаров, то зная интенсивность прибытия покупателей, можно определить оптимальную интенсивность поступления товаров в условиях тех или иных ограничений.

Пусть спрос на запасы является пуассоновским с интенсивностью ¡л единиц в единицу времени, а длительность промежутка времени от момента подачи заказа до момента поступления партии запасов имеет показательное (экспоненциальное) распределение. При показательном законе и потоке событий с интенсивностью Л среднее время доставки заказа составляет Т = 1/Л.

Пусть при уменьшении уровня запасов до критического уровня Р заказывается количество запаса, равное Q единицам, таким образом, что

(1)

где М - максимальный уровень запаса.

Будем считать, что максимальное количество запаса М известно. Тогда определению подлежит «точка заказа» Р и объем партии Q. Очевидно, что, определив любое из этих значений, второе можно найти из уравнения (1).

Обозначим через Рп вероятность того, что в наличии имеются п единиц запаса.

Применение правила «заказывать Q единиц запаса, когда уровень запасов уменьшится до Р , и заказывать М единиц запаса, когда уровень запасов уменьшается до нуля», означает, что:

1) система массового обслуживания Б переходит из состояния Бп в состояние Sn_\ при потреблении единицы запаса с интенсивностью ¡л;

2) система Л" переходит из состояния (п ^ 0) в состояние 8п+д и из состояния ¿о

в состояние , при пополнении запаса с интенсивностью Я .

В общем виде уравнения для вероятностей состояний системы с пополнением запасов партиями имеют следующий вид

dt dPn dt dP

= -ÀPQ + /JP\ ,

= -ЛРп - fjPn + JuPn+1, для n<P ,

dt

= -fjPn + juPn+1, для P <n<R,

dP

dt

dPM

П -ЛРп-R -fjPn + (jPn+b = ÀPq + ÀPM_R - fjPM .

для R<n<M,

dt

Стационарные решения системы уравнений (2) - (б):

Рп = ро

Рп - Р0

jU + À

Í ^o\P

JU + A

Л KM

/1

Pn - P0

1

/и + Я

, для 0<n<P,

,для P <n<M-P +1, \n-Q-1"

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

jU + À

. M

,дляМ-Р + 1<и<М, (9)

где

P

P+l

Р -• (Ю)

Среднее число запасов, находящихся в системе в стационарном режиме определяется по формуле

n

JU

p+l

(/¿ + A) (// + 02) //

î-

ju + Xх

M

p + l-p-V f-L )

—\ 2

1-

(11)

'M(M + 1) - P(P + 1) 2

JLI + Я

M

Следует обратить внимание на то, что формулы (10) и (11) для расчета вероятности дефицита запасов р и среднего числа запасов п являются приближенными. Это связано с тем, что не удалось найти компактные аналитические выражения для Р0 и п (далее будет

P

показано, что нахождение оптимального решения задачи управления запасами даже при компактных приближенных выражениях приводит к сложным математическим выкладкам).

Сравнение результатов расчетов Р0 и п, полученных по точным и приближенным выражениям, показало, что значения не сильно отличаются друг от друга. Максимальная относительная ошибка для разных М, Р и Q не превышала 15 %.

Обозначим через С издержки выполнения заказа, а через С2 - затраты на хранение единицы запаса. Если спрос на запас на горизонте управления составляет ¡л, то количество заказов в установившемся режиме будет равно ¡л!<2 .

Тогда общие издержки управления запасами, включая потери, связанные с дефицитом запасов составят

И

Р = С^ + С2п + СъР0,

(12)

где С3 - потери, вызванные отсутствием запасов.

Подставим в выражение (12) вместо Рд и п выражения (10) и (11) соответственно, получим

^ = + -^-+ С2-41--Ах

1-

¡л + А

Р + 1-Р

к № ) { И-

1

// + А

И

2

|М(М +1) - Р(Р +1)

г о /л + Л

2

(13)

Нас интересуют критический уровень запаса Р и объем каждой партии Q, минимизирующие Т7 . Поскольку Р и <2 связаны уравнением (1) подставим в (13) М-Р вместо Q :

Г = С1-^— + С2-^--— X

1М-Р (// + А) (/л + (М -Р)Л) /л

к м

р+\-р-— V /'

1-

М

М(М + \)-Р(Р + \) 2

С,

/л

{¡л + Л)р {¡л + (М - Р)Л)

Возьмем производную от Р по Р и приравнивая ее к нулю, получим

(14)

1

2

{М-Р)2 + +

С>

C2\xp+lX

n +

w

-1

ц + À,

\р

ц + X

In

-1

Р-Р^ +1

су+'х2

М(М +1) Р(Р +1)

2

С2|Л

Р + 2 +

+ Х

\P ( In

М(М +1) Р(Р +1)

2

2

-1

+

Р-Р^ +1-1

|j. + X

М(М +1) Р(Р +1)

2

2

ц + Х

V ц .

Р-Р^ +11-1

H + À

-1

~М(М +1) Р(Р +1)

2

2

(15)

= 0.

Решая уравнение (15) можно найти оптимальное значение критического уровня запаса Р, а по уравнению (1) оптимальный размер заказа Q .

1.2. Пример решения задачи оптимизации управления запасами. Пусть спрос на запас составляет 200 единиц в неделю. Максимальный объем запаса не должен превышать 40 единиц. Среднее время доставки заказа составляет 6,7 часов или 0,04 недели. Оформление одного заказа обходится в 2000 рублей, а доход от реализации единицы запаса - 200 рублей. Стоимость хранения единицы запаса в неделю обходится в 50 рублей. Потери в связи с отсутствием запаса в течение недели составляют 10000 рублей.

Требуется определить оптимальную стратегию пополнения запасов при которой прибыль от реализации запасов будет максимальной.

Из уравнения Т = 1/Х найдем интенсивность потока пополнения запаса X :

Х = -

1

0,04

■ = 25 .

2

2

P

P

2

P

2

Далее, для найденного ¡1 = 25 и заданных ц = 200, М = 40, Z = 200, (\ =2000 , С2 = 50 и С3 =10000 из уравнения (15) находим оптимальное значение критического уровня запаса Р* =7,16 .

Округляя решение до ближайшего целого получаем значение 7.

Тогда оптимальная стратегия управления запасами будет заключаться в следующем: каждый раз, когда уровень запаса достигает 7 единиц, следует заказывать 33 единицы запаса.

При данной стратегии вероятность дефицита Р0 будет равна 0,086, средний уровень запаса п составит 20 единиц, а ожидаемая прибыль аптеки от продажи ЛС в неделю будет равна 22600 рублей.

2. Снижение размерности задачи управления запасами. Задача управления многономенклатурными запасами имеет высокую размерность не только в части наименований запасов, но и числа идентифицируемых параметров моделей управления запасами. Так, например, ассортимент даже небольшого универсама включает в себя несколько тысяч наименований товаров. Решение задачи оптимизации управления запасами при случайном спросе на товары для такого универсама приводит к задаче с сотнями тысяч переменных.

Важным инструментом снижения размерности задачи управления запасами выступает так называемый АВС-анализ [7, 9]. Суть АВС-анализа состоит в том, чтобы разбить все множество запасов на несколько групп (как правило, три) так, чтобы в группу А вошло относительно небольшое число наиболее значимых с точки зрения приносимой прибыли или понесенных издержек запасов, в группу В - менее значимые запасы, и, наконец, в группу С -все оставшиеся наименования запасов. Хорошим результатом разбиения на группы принято считать тот, при котором в группе А оказывается не более 10 % наименований запасов с долей в прибыли от продаж или понесенных издержек до 80 %, в группу В включается 15-30 % наименований запасов с долей прибыли или понесенных издержек до 15 %, а в группу С -оставшиеся 65-80 % наименований запасов и их доля в общей прибыли или общих издержках от 5 до 15 %. Отыскание хорошего решения АВС-анализа оказывает решающее значение в достижении эффективности СППР управления запасами.

Для решения задачи АВС-классификации запасов применяются различные методы -от чисто эмпирических до хорошо формализованных (кластеризация, автоматическая классификация и др.) [7]. Наиболее простым в реализации АВС-классификации с участием лица, принимающего решения, является дифференциальный метод [9]. При использовании дифференциального метода границы между группами А, В и С определяются в несколько этапов. На первом этапе рассчитывается годовая сумма расходов (доходов) по всей номенклатуре запасов, на втором этапе рассчитываются средние расходы (доходы) на одно наименование запасов. На третьем этапе осуществляется разделение на группы. В группу А включают запасы, расходы (доходы) на которые в 6 и более раз превышают среднее значение, в группу С - запасы, расходы (доходы) на которые меньше среднего значения в 2 и более раза, остальные позиции входят в группу В.

Приведем в качестве примера таблицу результатов, полученных при разбиении дифференциальным методом лекарственных препаратов, реализуемых муниципальным унитарным предприятием Ангарского городского округа «Аптека № 6» в период с января 2015 по декабрь 2015 гг.

Таблица 1. Результаты АВС-анализа дифференциальным методом

Группа Количество наименований в группе Распределение по группам, % Распределение по доходам от продаж, %

A 123 б,8б 51,45

В 4o2 22,43 25,б4

С 12б7 7o,71 22,91

Всего 1792 1oo 1oo

Из табл.1 видно, что ~7 % или 123 наименования лекарственных средств приносит более половины доходов от продаж. Группа В (22,43 % или 402 наименования) обеспечивает чуть более 25% доходов; группа С (70,71 % или 1792 наименований) обеспечивает почти 23 % дохода.

Очевидно, что выбор соотношений между средними значениями расходов (доходов) по группам запасов подбирается ЛПР с учетом его приоритетов и проводимой предприятием ассортиментной политики.

В связи с высокой размерностью задачи управления запасами, а также в виду того, что основную прибыль или издержки приносят запасы групп А и В, достаточно задачу управления запасами решать лишь для запасов групп А и В. Для запасов группы С не следует применять усложненные процедуры управления.

3. Прогнозирование спроса в задачах управления запасами. Эффективность системы управления запасами в значительной степени зависит от способности дать с приемлемой точностью прогноз спроса на запасы. Исследование показало, что использование только одной модели для прогнозирования спроса на запасы не оправдано. Так, для запасов, спрос на которые за прошлый период не подвергался значительным сезонным колебаниям, можно применить простейшие модели прогнозирования, основанные на методе наименьших квадратов и на экспоненциальном сглаживании [1]. Если же спрос значительно меняется во времени, наблюдаются заметные колебания спроса в зависимости от времени года, то требуется другие модели прогнозирования.

Наиболее широкое применение получили методы прогнозирования с использованием временных рядов [1]. Так, например, модель временного ряда спроса на аскорбиновую кислоту по данным продаж за 2014-2015 гг. в муниципальной аптеке № 6 г. Ангарска приняла вид:

у = 173,55 - 0,5128х - 7,39 cosí—1 - 6,43 sin

f2 лхл

+ 12,3 Icos

r 6 лх^

V

23

V 23 . + 1,34 sin

у

í Ь ж 4

23

V 23 -10,49 cos

+ 61,97 cos

г4лхл

23

+ 35,79sin

/8лхч

V

23

-13,61sin

/8лхч

23

На рис. 1 показаны данные о сбыте и расчетные по модели значения сбыта аскорбиновой кислоты, в том числе прогнозные значения сбыта на следующий календарный год. Средняя относительная ошибка аппроксимации полученной моделью данных продаж аскорбиновой кислоты составила 10,43 %.

Рис. 1. Опытные и расчетные значения сбыта аскорбиновой кислоты (по осям - объемы продаж в ед. и порядковые номера месяцев, начиная с января 2014 г.)

Удовлетворительное совпадение расчетных величин с опытными данными достигнуто при использовании четырех гармоник. Однако во многих случаях может оказаться необходимым применение значительно большего числа гармоник.

Заключение. Предложена математическая модель задачи управления запасами на основе теории массового обслуживания. Модель задачи управления запасами рассчитана на стратегию пополнения запасов партиями, в которых приходится иметь дело с групповыми поставками. Предложена многоэтапная процедура решения задачи управления запасами. На первом этапе классифицируются виды запасов по АВС-анализу, а затем для запасов групп А и В на основе построенных прогнозных моделей решается задача нахождения оптимальной стратегии пополнения запасов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ. 1998. 1022 с.

2. Букан Д., Кенигсберг Э. Научное управление запасами. М.: Наука. 1967. 423 с.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио. 1972. 552 с.

4. Истомина А.А., Бадеников В.Я., Истомин А.Л. Оптимальное управление товарными запасами на основе теории массового обслуживания // Вестн. Ангар. гос. техн. ун-та. 2016. № 10. С.148-152.

5. Истомина А.А., Бадеников В.Я., Истомин А.Л. Задача формирования оптимального ассортимента и товарных запасов в розничной торговле в условиях неопределенности // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. №2. С. 105-116.

6. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Методы и модели управления запасами. М.: Наука, 1991. 188 с.

7. Мандель А.С. Управление многономенклатурными запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Часть 1. Нормативная модель // Проблемы управления. 2011. № 6. С. 47-51.

8. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер. 2001. 384 с.

9. Садриев Д.С, Садриев Р.Д. ABC-анализ и оптимизация товарного ассортимента // Маркетинг. 2008. №1. С. 119-125.

UDK 501-77:519.24:658.7.01

SUPPORT DECISION-MAKING FOR INVENTORY MANAGEMENT

UNDER UNCERTAINTY Alena A. Istomina

Engineer of electric chemical technology department, e-mail: alenaist@yandex.ru

Victor Y. Badenikov Dr., Professor of automation technological processes department, e-mail: badenikovVY@angtu.ru Andrey L. Istomin Dr., Professor of computing machines department, e-mail: a.l.istomin@mail.ru Angarsk State Technical University, 60, Chaikovskogo Str., 665830, Angarsk, Russia

Abstract. The proposed multi-stage procedure for decision-making for inventory management under conditions of uncertainty. Practical solution to the problem of inventory control is based on a multistep procedure, the essence of which is that in the early stages of being built predictive models of demand for reserves, and then on the basis of the models solves the problem of inventory control based on Queuing theory. Keywords: inventory control, queuing systems, optimization.

References

1. Aivazian A.S., Mkhitaryan V.S. Prikladnaya statistika i osnovy ekonometriki [Applied statistics and foundations of econometrics]. Moscow. YUNITI. 1998. 1022 p. (in Russian)

2. Joseph Bukan, Ernest Koenigsberg E. Nauchnoye upravleniye zapasami [Scientific inventory management]. Moscow. Nauka = Science. 1967. 423 p. (in Russian).

3. Ventzel E.S. Issledovaniye operatsiy [Operations Research] Moscow. Soviet radio. 1972. 552 p. (in Russian).

4. Istomina A.A., Badenikov V.Y., Istomin A.L. Optimal'noye upravleniye tovarnymi zapasami na osnove teorii massovogo obsluzhivaniya [Optimal inventory management based on queuing theory] // Vestnik Angar. gos. tekhn. un-ta = Bulletin of the Angarsk St. Tech. Univ. 2016. No. 10. Pp. 148-152. (in Russian).

5. Istomina A.A., Badenikov V.Y., Istomin A.L. Zadacha formirovaniya optimal'nogo assortimenta i tovarnykh zapasov v roznichnoy torgovle v usloviyakh neopredelennosti [Statement of the problem of formation of assortment and inventory in the retail trade under uncertainty] // Vestnik of Astrakhan state technical university. Series: management, computer science and informatics. 2017. No. 2. Pp. 105-116. (in Russian).

6. Lototsky V.A., Mandel' A.S. Metody i modeli upravleniya zapasami [Methods and models of inventory management] Moscow: Nauka = Science. 1991. 188 p. (in Russian).

7. Mandel A.S. Upravleniye mnogonomenklaturnymi zapasami v usloviyakh neopredelennosti i nestatsionarnosti. Chast' 1. Normativnaya model' [The Management of diversified stocks under conditions of uncertainty and nonstationarity. Part 1. Regulatory model] // Problemy upravleniya = Problems of management. 2011. No. 6. Pp. 47-51. (in Russian).

8. Ryzhikov Y.I. Teoriya ocheredey i upravleniye zapasami [The theory of queues and inventory management]. SPb. Peter. 2001. 384 p. (in Russian).

9. Sadriev D.S, Sadriev R.D. ABC - analiz i optimizatsiya tovarnogo assortimenta [ABC-analysis and optimization of the product portfolio] // Marketing. 2008. No. 1. Pp. 119-125. (in Russian).