Управление многономенклатурными запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Ч. I. нормативная модель Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 501-77:519.24:658.7.01

УПРАВЛЕНИЕ МНОГОНОМЕНКЛАТУРНЫМИ

ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И НЕСТАЦИОНАРНОСТИ1 Ч. I. Нормативная модель

A.C. Мандель

Рассмотрена проблема управления многономенклатурными складскими запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Идея решения базируется на том, что в условиях нестационарности и отсутствия достоверной информации о статистических характеристиках спроса практическое решение задачи управления многономенклатурными запасами должно опираться на многоэтапную процедуру, суть которой заключается в том, что на первых этапах выдаются тренды, включающие в себя и сезонные компоненты спроса, а затем на основе выделенных трендов решается детерминированная многономенклатурная задача управления запасами. На последующих этапах исследуется решение проблемы формирования дополнительных заказов на пополнение запасов (страховых запасов) в целях компенсации случайных отклонений спроса от выделенных трендов (рассмотрена в ч. II).

Ключевые слова: управление запасами, условия неопределенности, нестационарность, классификация запасов, прогнозирование, экспертно-статистический подход, метод аналогов.

ВВЕДЕНИЕ

Начиная с 1960-х гг., в научной литературе обозначились, иногда «захлестывая» друг друга, две «волны» публикаций по решению задач управления запасами. Первая — эконометрическая, точнее, классически экономистская «волна» (см. например, многократно переиздававшуюся книгу [1]), основная идея которой сводилась к тому, что при управлении запасами следует различать производственные, нормативные (синонимов не счесть) компоненты запасов, которые подсчитывались в предположении детерминированности процессов снабжения, и различные виды страховых запасов, предназначенных для компенсации «ненормативных» отклонений, связанных с возможными случайными возмущениями (спроса, времени поставок и пр.). Назовем это направление исследований практическим.

Во второй, постепенно ставшей преобладающей волне публикаций — теоретико-управленческой (см., например, книгу [2]) никакого формаль-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-07-00195-а).

ного различия между детерминированными и стохастически ориентированными составляющими запасов не делалось. Вместо этого для выбора оптимальных по критериям типа критерия минимума суммарных средних затрат на период планирования стратегий управления запасами (а стало быть, и размеров запасов) стали напрямую использоваться вероятностные модели. Это направление будем в дальнейшем именовать теоретическим (что вовсе не означает отсутствие примеров внедрения полученных в этом направлении теоретических результатов).

К 1980—1990-м гг. в связи с массовой разработкой систем управления, в том числе и систем управления запасами, способных действовать в условиях неопределенности, когда априори неизвестны статистические характеристики наблюдаемых случайных процессов (например, спроса), а собираемые в процессе эксплуатации системы данные могут быть неполны и содержать ошибки, обозначился подлинный триумф теоретико-управленческого подхода [3].

Однако относительно недавно было показано [4, 5] что этот «триумф» скорее всего, иллюзорен. Дело в том, что базовые предположения, заложенные в классические модели теории управления

запасами — стационарность спроса, наличие «хороших» оценок вероятностных распределений, отсутствие межноменклатурной и временной корреляций и др. — на практике, как правило, не выполняются, а если и выполняются, то весьма приближенно. Это, безусловно, не умаляет значения важных теоретических результатов (от формулы Уилсона до многоуровневых стратегий управления запасами) и нового понимания сути законов управления запасами, которые были сформированы на базе моделей и методов, разработанных в рамках теоретико-управленческого подхода. Эти модели и методы позволили качественно осознать характер оптимальных или близких к оптимальным процессов управления запасами. Однако непосредственная практическая применимость большинства полученных теоретических результатов оставалась под вопросом.

В данной работе в развитие результатов работ [4—6] сделана попытка продвинуть теорию управления запасами в сторону потенциальных массовых приложений благодаря объединению взаимных преимуществ и собственных достоинств теоретико-управленческого и эконометрического подходов.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается задача управления многономенклатурными запасами в условиях возможной нестационарности спроса и в отсутствии достоверной информации о статистических характеристиках спроса на интервале планирования [, Т + ? П Т. В дальнейшем будем считать время дискретным, так что Т и ? являются натуральными числами. Пусть I — число различных товаров, хранящихся на складе, и для каждого из них в базе данных системы управления хранится информация о достаточно длительных наблюдениях за изменением уровня спроса на них, т. е. заданы реализации процессов изменения спроса на различные товары в прошлом {гг(х), Ц т т т t¡', 0 т ^ < t¡' т t, для

некоторых / е 1, I}. В последнем выражении появление границ и t¡' и оговорка «для некоторых

/ е 1, I» связана с предположением о том, что ассортимент хранимых на складе товаров со временем меняется, поэтому длины наблюдаемых отрезков предысторий изменения спроса для разных товаров могут быть различными, а по некоторым видам товаров (например, новых) наблюдения просто отсутствуют. Требуется выбрать моменты и размеры пополнений запасов по всем наименованиям хранящихся на складе товаров так, чтобы минимизировать средние суммарные затраты складской системы в интервале планирования [^ Т + При этом в суммарных затратах учитываются из-

держки содержания запасов, издержки вследствие дефицита товаров и затраты на пополнение запасов. Соответствующие компоненты затрат будут формализованы далее.

2. МНОГОЭТАПНАЯ ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ

Учитывая нестационарность, проявляющуюся, прежде всего, в том, что статистические характеристики со временем «плывут», представляется естественным сначала выделить тренды изменения спроса, в которых была бы учтена предыстория изменения спроса на все виды товаров, и решить на базе этих трендов детерминированную задачу управления многономенклатурными запасами. В этом случае реальный спрос на каждый из товаров заменяется сформированным в результате обработки предыстории трендом. И только на следующих этапах рассматривается вопрос о формировании дополнительных заказов, рассчитанных на то, чтобы компенсировать случайные отклонения от выделенных трендов. Соответствующую задачу мы назовем задачей создания «страховых» запасов и управления ими. Как и для любой многономенклатурной проблемы управления запасами, решение рассматриваемой проблемы начинается с разбиения всего множества товаров на три группы по АВС-схеме.

2.1. Классификация товаров по АБС-методу

Важным инструментом практического решения задач управления многономенклатурными запасами и задач логистики выступает так называемый АВС-анализ. Его суть состоит в том, чтобы разбить все множество видов товаров на несколько групп (как правило, три) так, чтобы в группу А вошло относительно небольшое число наиболее значимых в стоимостном выражении наименований товара, в группу В — среднее число «средних» по цене товаров, а в группу С — все оставшиеся товары. В конечном счете, в группе А оказывается от 5 до 10 % товаров, стоимость которых в суммарном обороте составляет 40—70 % общей суммы средств, вложенных в запасы, в группу В включается 15—30 % товаров общей стоимостью от 15 до 25 % затраченных средств, а в группу С — примерно 65—80 % процентов наименований товаров, причем таких, что в суммарном стоимостном выражении их доля составляет в общей сумме средств от 5 до 15 %. Отыскание хорошего решения задачи АВС-анали-за оказывает большое влияние на эффективность функционирования автоматизированных систем управления снабжением, поскольку позволяет дифференцированно применять различные схемы и алгоритмы сбора и обработки данных и управления запасами товаров, принадлежащих в разным группам, — от наиболее времяемких и дорогосто-

Результаты АВС-анализа

Суммарный доход от всех видов 67 476

товара, тыс. у. е.

Общее число товаров 18111

Группы А В С

Суммарный доход от группы, 27 296 29 844 10 336

тыс. у. е.

Суммарный доход от группы, % 40 44 15

Число объектов в группе 600 3000 14 511

Число объектов в группе, % 3 17 80

ящих для группы А до самых непритязательных и дешевых для группы С.

Для решения задачи АВС-классификации товаров применяются самые разные методы — от чисто эмпирических до хорошо формализованных (кластеризация, автоматическая классификация, метод к-средних и др.). Ограничимся здесь ссылкой на работу [7], в которой сравниваются эффективности различных методов классификации при АВС-анализе, и приведем достаточно неожиданную таблицу результатов, полученных при разбиении по АВС-методу продукции, реализуемой одной из крупных российских компаний2.

2.2. Прогнозирование трендов

В достаточно общем случае временные ряды

{ф),

г/ т т <

о т г\ < г" т г,

для некоторых

I е 1,1} могут быть представлены суммой трех (иногда считается, что четырех) составляющих:

— систематическая составляющая — тренд (демонстрирует основную тенденцию, характер изменения явления во времени);

— относительно плавные колебания в окрестности тренда, которые происходят с большей или меньшей регулярностью (и в частности, эффект сезонности, иногда рассматривающийся как отдельная составляющая);

— случайные колебания (говорят также о несистематических или нерегулярных колебаниях).

Традиционно статистические методы прогнозирования временных рядов в большинстве своем сводятся к разложению последовательности результатов наблюдений на отдельные составляющие, к прогнозированию каждой составляющей и к последующему объединению построенных отдельно прогнозов [8]. В контексте данной статьи для каждого вида товара под трендом понимается сумма двух компонент временного ряда: собственно тренда (пункт 1) и сезонной компоненты (пункт 2).

В том случае, когда для рассматриваемого вида

товара с номером I е 1,1 имеется довольно длин-

ная предыстория {¿¿(т), г/ т т т г", г" — г[ . Т}, для идентификации тренда можно воспользоваться любой из известных статистических процедур [8].

Если достаточно полные данные о прошлых значениях спроса отсутствуют (в том частном случае, когда на рынок выводятся новые товары, предыстории спроса нет вообще), наиболее целесообразным инструментом выявления трендов представляется экспертно-статистический подход и разработанный в его рамках метод аналогов [9, 10].

Суть метода аналогов заключается в том, что к решению проблемы прогнозирования подключаются эксперты и участие экспертов в ее решении базируется на выделении ими аналогов прогнозируемого процесса из числа ранее наблюдавшихся объектов. Предполагается, что по ранее наблюдавшимся процессам имеется достаточно представительная статистическая информация, которая может быть использована наряду с весьма ограниченным статистическим материалом, касающимся непосредственно прогнозируемого процесса.

В результате взаимодействия эксперта с экспер-тно-статистической системой прогнозирования формируется множество Z аналогов рассматриваемого объекта прогнозирования. Для данного множества аналогов в базе данных этой системы прогнозирования содержится информация о «полных», т. е. представленных гораздо более длинными временными рядами реализациях процесса функционирования объектов-аналогов. Эта информация представляет собой набор {гк(г), к е Д г = 0, 1, 2, ..., Лк}, где Лк . Т. Кроме того, заданы также множества значений коэффициентов похожести {/к(г), к е Z} и коэффициентов масштаба {як(г), к е Z}.

Теперь для вычисления прогноза значений временного ряда объекта прогнозирования в моменты времени п, п > Л, можно воспользоваться следующей формулой:

у (г) = 1 I lkskZk(г),

Ь к е Z

где Ь = I 1к.

к е Z

Если окончательное решение о прогнозе выбирается лицом, принимающим решения (ЛПР), на

основании значений прогнозов {ут (г), т = 1, М}, полученных т независимыми экспертами, то окончательный вариант прогноза дается следующим соотношением:

м

I Кдтв'ут( г)

у (г) =

= т = 1

Таблица построена А.С. Коноваловым.

м

Ек (т)

кдов

1

т

где Кдов — коэффициент доверия ЛПР к прогнозам т-го эксперта. Этот коэффициент, в принципе, может со временем изменяться (см., например, работу [9], где выбираемые значения коэффициентов доверия обусловлены предысторией предыдущих прогностических действий каждого из экспертов).

В результате для всех видов товаров на этом этапе формируется набор прогнозов трендов {у 1 (т), г т т т Т + г, V/ е 1,7}.

2.3. Задача управления запасами по трендам

Сформированный в соответствии со схемой п. 2.2 набор трендов {уг- (т), г < т < Т + г, V/ е 1,1} становится исходной информацией для детерминированной задачи управления многономенклатурными запасами в периоде планирования [г, Т+ г]. В дальнейшем для упрощения записи этот период будем обозначать через [0, Т ], выбирая в качестве начала отсчета времени начало периода планирования. Будем также считать, что по всем видам товаров период запаздывания поставки (время от момента подачи заказа до его получения складом) пренебрежимо мало.

Начнем с одномерной задачи. Итак, в периоде планирования задан детерминированный график

изменения спроса на товар {г (г), 0 < г < Т}. Издержки, связанные с поставками (пополнениями запасов), задаются двумя компонентами — фиксированной стоимостью подачи заказа А и стоимость одной единицы поступающего на склад товара с. Пусть х(г) — уровень запасов на складе в момент времени г и

+(t) _ )x(t), если x(t) > 0, x (t) _

x(0) _ x0, суммарные затраты в периоде планирования составят

D(x0; u1, t1' u2, t2' '"' UK, tK)

K

0, если x(t) < 0,

х-(г) = [-X(г), если х(г) < 0, [ 0, если х(г)> 0.

Тогда, если удельные затраты на хранение продукции (стоимость хранения единицы продукции в единицу времени) равны к, а удельные издержки вследствие дефицита (финансовые потери от существования единичного дефицита в течение одной единицы времени) равны й, то суммарные затраты системы управления запасами в периоде планирования при условии, что в моменты времени г^, к = 1, 2, ..., К, такие, что 0 < гх < г2 < ... < гК < Т, были поданы заказы размера м^, к = 1, 2,..., К, а начальный запас (в момент времени г = 0) был равен

_ KA + с £ uk

k = 1

h Jx+(t)dt + d Jx (t)dt, (1)

где траектория изменения уровня запаса x(t) рассчитывается по формуле

t

x(t) _ x0 + £ Uk - fz (t)dt'

k: tk s t 0

В общем виде задача минимизации функционала (1) посредством выбора значений x0; u1, t1; м2, t2; '..; uK, tK решена (в разных вариациях постановки) в работах [11, 12]. В частном случае, когда

спрос постоянен: г (t) _ X _ const, — ответом является знаменитая, известная с 1915 г., формула Уилсона (она же — формула Харриса, формула квадратного корня, есть и несколько других наименований), см., например, книги [1, 11].

Существенное и, прежде всего, методологическое обобщение формулы Уилсона на случай многономенклатурной задачи управления запасами предложено в работе [13]. В развитие этой работы один из ее авторов рассмотрел общий случай функций изменения спроса {(т), 0 m t m T, V/ e 1,1}, воспользовавшись популярной в теории идентификации идеей кусочной аппроксимации [14]. В работе [15], которая публикуется в этом же номере журнала «Проблемы управления», осуществлена кусочно-линейная аппроксимация произвольных функций изменения спроса и доказан ряд теорем, которые позволили свести общую задачу управления многономенклатурными запасами к использованию видоизмененной формулы Уилсона. Сначала осуществляется разбиение множества всех товаров по ABC-методу (см. п. 2.1 настоящей статьи) и для товаров групп A и B решается многономенклатурная задача управления запасами, все параметры которой получают в дополнение индекс номера товара / e 1,1: A/, с/, h/ и d/. В плане оптимизации (в данном случае, минимизации затрат) существенный интерес и возможность заметного выигрыша представляют группы товаров A и B. В работе [15] учитываются также дополнительные технологические ограничения, которые, в частности, формализуют желание управленцев склада обеспечить возможность достаточно ритмичной и бесперебойной деятельности. Отсюда вытекает, что для товаров групп A и B желательно выбрать один и тот же (для каждой из групп в отдельности — свой) интервал времени между соседними во времени поставками — период поставки. Причем важность для склада товаров группы A подчерки-

0

0

а

вается тем, что для всех товаров с номерами / из группы А полагается й. = да (т. е. их дефицит полностью исключается) . Результатом решения задачи этого раздела становятся значения интервалов между соседними во времени поставками ТА и

(i) „( i) 2

(i)

Тв, а также и размеры поставок и1

V/ е А, товаров группы А в моменты времени 0, ТА, 2ТА, ..., (ЛА — 1)ТА, и размеры поставок

, и2, ..., млВ, V/ е В, товаров группы В в моменты времени 0, Тв, 2Тв, ..., (Лв — 1)Тв, где считается, что длина периода планирования Т кратна периоду поставки ТА для группы А с коэффициентом ЛА и периоду поставки Тв для группы В с коэффициентом Лв. В результате задача управления дополнительными поставками в целях компенсации случайных возмущений спроса (управления страховыми запасами) для товаров из групп А и В становится задачей управления запасами с периодическим контролем состояния запасов и дискретным временем п, п = 0, 1, 2, ..., N [2]. В зависимости от группы величина N может принимать значения ЛА и Лв. В силу особой сложности этой задачи ей посвящается часть II настоящей работы, которая, предположительно, будет опубликована в следующем номере журнала «Проблемы управления».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрен общий подход к решению задач управления многономенклатурными запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Предложена многоэтапная процедура решения задачи, суть которой заключается в том, что на первых этапах выделяются тренды, включающие в себя и сезонные компоненты спроса, классифицируются виды товаров по АВС-методу, а затем на основе выделенных трендов решается детерминированная многономенклатурная задача управления запасами. На последующих этапах исследуется проблема формирования дополнительных заказов на пополнение запасов в целях компенсации случайных отклонений спроса от выделенных трендов (ч. II настоящей работы, которая находится в редакционном портфеле журнала «Проблемы управления»).

Проанализированы существующие подходы к классификации хранящихся на складе видов товаров (АВС-метод) с использованием различных средств классификации (кластеризация, автоматическая классификация, метод к-средних).

Напомним, что здесь рассматривается детерминированная задача управления.

Разработаны алгоритмы прогнозирования спроса, основанные на применении средств экспертно-статистической обработки информации и, в частности, на новых модификациях метода аналогов.

Выбраны модели и построены алгоритмы управления запасами по наблюдаемым трендам спроса, опирающиеся на известные и вновь разработанные методы управления запасами с использованием детерминированных математических моделей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фасоляк Н.Д. Управление производственными запасами. — М.: Экономика, 1971. — 272 с.

2. Хедли Д., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами. — М.: Наука, 1969. — 512 с.

3. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. — М.: Наука, 1991. — 190 с.

4. Мандель А.С. О парадигмах решения задач управления в условиях неопределенности // Материалы конференции ТАС — 2009, Москва, 2009 / ИПУ РАН. — М., 2009. — Т. 1. — С. 275—279.

5. Новые модели в задачах управления запасами и производством в условиях нестационарности и стохастичности процессов среды функционирования / А.С. Коновалов, ВА. Лапин, А.С. Мандель, И.И. Барладян // Матер. четвертой между-нар. конф. «Управление развитием крупномасштабных систем MLSD'2010», 4—6 октября 2010 г., Москва, ИПУ РАН. — М., 2010. — Т. 2. — С. 187—189.

6. Mandel A. Models and algorithms of inventory control in case of uncertainty // Preprints of 13th IFAC Symp. on Information Control Problems in Manufacturing (ICS RAS). — Moscow, 2009. — P. 223—228.

7. Коновалов А.С, Барладян И.И., Токмакова А.Б. Сравнительный анализ эффективности различных методов кластеризации в задачах предпроектного обследования автоматизируемых систем управления снабжением и логистики // Теория активных систем. Тр. Междунар. науч.-практ. конф., 17—19 ноября 2009 г., Москва / ИПУ РАН. — М., 2009. — Т. 1 — С. 255—259.

8. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. — М.: Мир, 1974. — 288 с.

9. Беляков А.Г., Мандель А.С. Предсказание временных рядов на основе метода аналогов (элементы теории экспертно-статистических систем). — М.: ИПУ РАН, 2002. — 60 с.

10. Мандель А.С. Метод аналогов в прогнозировании коротких временных рядов: экспертно-статистический подход // Автоматика и телемеханика. — 2004. — № 5. — С. 143—152.

11. Хэнссменн Ф. Применение математических методов в управлении производством и запасами. — М.: Прогресс, 1966. — 276 с.

12. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Методы управления запасами в АСУП. — М.: ИПУ РАН, 1975. — 64 с.

13. Калинин Н.А., Хоботов Е.Н. Модели управления многопродуктовыми запасами при постоянном спросе // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 9. — С. 156—169.

14. Касавин А.Д. Адаптивные алгоритмы кусочной аппроксимации в задаче идентификации // Там же. — 1972. — № 12.

15. Хоботов Е.Н. Применение кусочно-линейной аппроксимации функций расхода для построения методов управления запасами // Проблемы управления. — 2011. — № 6. — С. 38—46.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Дорофеюком.

Мандель Александр Соломонович — д-р техн. наук, зав. лабораторией, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, ® (495) 334-88-41, И [email protected].