CC BY
23
УДК 539.3
В. М. Гурьянов, В. В. Гурьянов
ПЛОСКИЕ УПРУГИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
1. Пусть — внутренняя энергия деформируемой идеально-упругой однородной сплошной среды при нулевом значении энтропии. Не уменьшая общности, можно считать, что IV является полиномом в случае изотропной среды инвариантов (/,, 12, /з), а в случае анизотропной среды компонентов (у,у) тензора конечных деформаций, записанного в декартовой лагранжевой системе координат (х, у, г). Коэффициенты полинома в упомянутых случаях являются упругими константами [1].
Самая существенная разница между изотропной и анизотропной средами заключается в том, что при повороте введенной системы координат упругие константы изотропной среды не изменяют своих значений, а в анизотропной — изменяют. Методика пересчета значений упругих констант при повороте системы координат хорошо известна [1, 2] и поэтому останавливаться на ней не будем.
Заметим еще, что если предварительное напряженное состояние изотропной упругой сплошной среды отличается от состояния равномерного всестороннего растяжения или сжатия, то такая среда приобретает свойства анизотропии [3]. На этом явлении основаны методы фотоупругости [4]. Поэтому изучение особенностей распространения упругих волн в анизотропных средах приобретает дополнительный смысл.
Для плоских волн конечных деформаций смещение (и(г,/)) точек г=х1\+у12+г^ представим в виде разложения по ортам (/*, к= 1, 2, 3) принятой
з
координатной системы, т.е. и(г,Г)= к(х, ¡)1к, / — время. В этом случае
К=1¥(рир2,р = сЫ ас.
Систему уравнений, описывающих явление распространения безударных волн и(х,1) запишем так:
ЧгА(р)рх =0, (1)
Чх-р, = 0.
В этой системе А{р) = {а^} = с? IV / ф,фу — квадратная симметричная матрица третьего порядка, ^ = Л / ^, нижние индексы х, I у векторов р и ц означают дифференцирование по х и Л
Поскольку матрица А симметричная, то все ее собственные значения (Л*, к= 1,2,3) вещественные. Считаем их положительными, чем и обеспечивается гиперболичность системы, т.е. наличие волновых движений. Если первые две компоненты соответствующих собственных векторов
(/*, ¿=1,2,3) отличны от нуля, то волна и(х,1) состоит из одной квазипродольной и двух квазипоперечных волн. В общем случае распространения плоских волн в изотропной среде одна волна обязательно поперечная [5].
Для полного исследования систему (1) необходимо привести к характеристической нормальной форме.
2. Теория простых (Римана) волн, которые являются частным случаем монотипных, достаточно хорошо изучена и описана [6]. Поэтому обратимся к общему случаю аналогично [7].
Рассмотрим сначала продольные волны. Для этого в (1) положим
(2)
В этом случае а\г= а\у= а2\~ аз 1=0, собственный вектор 1\ матрицы А, соответствующий продольной волне (р\ -— объемное расширение) является ортом ¿¡, а собственное значение Х\=аи=у1(р{) должно быть по принятому условию положительным.
Уравнения продольных волн по (1) и (2) принимают вид
Чи-У2(р\)р1Х =0, (3)
Чи-Ри =0.
Уравнения (3) ничем не отличаются по форме от уравнений продольных волн изотропной среды. Коренное отличие заключается в том, что при повороте системы координат (х,у^) и переходе при этом к системе (хуг') коэффициенты полиномов Щр | ,р2,рз) и Н/=Щр1 ',р2 \рт,') ( pi = ди, / дк ) будут различны, что и приведет к различию скоростей у и V'.
В изотропной среде скорость V не зависит от направления распространения плоской волны, что хорошо известно и здесь на это обращено внимание по формальным соображениям.
Собственные значения Л2, Л3 и собственные векторы /2, /з матрицы А при (2) соответствуют поперечным волнам и имеют вид
\ _ а22 + а33 + \(а22 +а3э)2 , „2
Л2,3 ~ I гД +а23>
'2 -
/
"23
0,1,-
V 2 — а33 )
(4)
/
1з =
0 1
"> , > 1
Л,3 - аг2
Эти волны связаны между собой. Однако, если а2з=0, что соответствует виду внутренней энергии И/(р)=а(р1)+Ь(р2)+с(р3), то они становятся монотипными и можно записать общий вид уравнений монотипных волн
Я--У2(р)рх =0, (5)
Ях-Р/=0,
где через р ид обозначены рк и дк для фиксированного значения к. При этом векторы ч=1кЦьР=11Рк (¿=1,2,3) и скаляр у2{рк) определяют эти волны в случае их независимого распространения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 .Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Гостехиз-дат, 1950.
3. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.
5. Гурьянов В.В. Взаимодействие плоских нелинейных сейсмических волн // Изв. АН СССР. Сер. физика Земли. 1990, № 11. С. 57 - 71.
6. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972.
7. Гурьянов В В. Монотипные плоские изоэнтропические волны конечных деформаций//Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1993. Вып. 1.С. 149- 157.
УДК 624.131+5539.215 А. А. Контарев, А. Г. Маркушин, Е. В. Садовничая
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИСТЕЧЕНИЯ СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА
Рассмотрим движение сыпучего тела при разгрузке бункера в форме параллелепипеда с горизонтальным выпускным отверстием в виде щели во всю длину днища бункера, расположенным у одной из его боковых стенок, и воспользуемся, при этом моделью истечения сыпучего тела [1], основанной на теории пластического течения при переменных нагружениях.
Предположим, что длина бункера достаточна для того, чтобы в каждом поперечном сечении, удаленном от торцевых стенок можно было бы считать движение сыпучего тела одинаковым. Это позволяет ограничить рассмотрение движения материала его исследованием только в одном из этих сечений.
Отнесем выделенное сечение бункера к декартовой системе координат согласно рисунку. Для определения плоского напряженно- деформированного состояния материала и его движения при
