Плоские сечения трехмерных цилиндров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.172

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 4

ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЦИЛИНДРОВ

B. В. Макеев

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Верно ли, что через любую внутреннюю точку трехмерного выпуклого тела проходит

его плоское сечение со вписанным правильным шестиугольником, а через центр центрально-

симметричного выпуклого тела проходит плоское сечение со вписанным правильным восьмиугольником? В работе эти утверждения доказаны для цилиндров специального вида. Библиогр.

4 назв.

Ключевые слова: цилиндр, сечение, правильный шестиугольник и восьмиугольник.

Говорим, что многоугольник вписан в выпуклую фигуру, если его вершины лежат на ее границе. Всюду в дальнейшем под выпуклой фигурой (телом) понимаем компактное выпуклое множество с непустой внутренностью. Кажутся правдоподобными следующие недоказанные утверждения. Через любую внутреннюю точку трехмерного выпуклого тела проходит его плоское сечение со вписанным правильным шестиугольником, а через центр центрально-симметричного выпуклого тела проходит плоское сечение со вписанным правильным восьмиугольником. Ниже мы докажем эти утверждения для цилиндров специального вида.

Теорема 1. Пусть С —прямой цилиндр с выпуклой фигурой Г диаметра й в качестве основания. Через любую точку цилиндра, удаленную не менее чем на 2й от оснований, проходит плоское сечение цилиндра со вписанным правильным шестиугольником.

Для доказательства теоремы 1 нам понадобятся следующие утверждения.

Лемма 1. Пусть С — бесконечный прямой цилиндр с выпуклой фигурой Г в качестве основания. Через любую точку цилиндра проходит плоское сечение цилиндра со вписанным правильным шестиугольником.

Доказательство. Фигура Г есть сечение С перпендикулярной образующим цилиндра плоскостью. Согласно [1] в Г вписан аффинный образ правильного шестиугольника. Обозначим через а и Ь длины соответственно большой и малой осей эллипса, вписанного в указанный шестиугольник. Проведем через большую ось эллипса плоское сечение С под углом агссов(Ь/а) к плоскости Г. Спроектируем вдоль образующих цилиндра С вышеописанный аффинно-правильный шестиугольник в построенное сечение. В результате получим вписанный в сечение аффинно-правильный шестиугольник со вписанным кругом, то есть правильный шестиугольник. Сдвигая в направлении образующих цилиндра построенное сечение, мы покроем весь цилиндр

C. Лемма доказана.

Под шириной фигуры в направлении прямой понимаем расстояние между параллельными данной прямой опорными прямыми к фигуре.

Лемма 2. Если в выпуклую фигуру вписан правильный шестиугольник, то отношение ширины фигуры в любых двух направлениях не превосходит 2.

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

624

БО!: 10.21638/11701/зрЪи01.2016.411

Доказательство. Если в выпуклую фигуру вписан правильный шестиугольник, фигура содержится в правильной шестиугольной звезде, ограниченной продолжениями сторон шестиугольника. Максимальная ширина звезды вдвое больше минимальной ширины шестиугольника. Лемма доказана.

Докажем теорему 1. Продолжив неограниченно образующие цилиндра C, получим бесконечный прямой цилиндр Ci с основанием F. Проведем через указанную в теореме точку сечение Ci со вписанным правильным шестиугольником. Докажем от противного, что это сечение не пересекает оснований цилиндра C. Если это не так, ширина сечения в направлении большой оси эллипса больше 2d. В то же время ширина основания F и рассматриваемого сечения равны в перпендикулярных большой оси эллипса направлениях и не превосходят d, что противоречит лемме 2. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть С — прямой цилиндр с выпуклой центрально-симметричной фигурой F диаметра d в качестве основания. Если высота цилиндра не менее dV2, через центр симметрии цилиндра проходит плоское сечение цилиндра со вписанным правильным восьмиугольником.

Доказательство. В любую центрально-симметричную выпуклую фигуру вписан аффинный образ правильного восьмиугольника с центром в центре фигуры [2, 3]. Поэтому совершенно аналогично леммам 1 и 2 доказываются нижеследующие леммы.

Лемма 3. Пусть C — бесконечный прямой цилиндр с центрально-симметричной выпуклой фигурой F в качестве основания. Через любую точку цилиндра проходит плоское сечение цилиндра с центром симметрии на оси симметрии цилиндра со вписанным правильным восьмиугольником.

Лемма 4. Если в центрально-симметричную выпуклую фигуру вписан правильный восьмиугольник, то отношение ширины фигуры в любых двух направлениях не превосходит л/2.

Оставшаяся часть доказательства также аналогична проведенной в теореме 1.

Замечание. Верны аналогичные теоремы о существовании сечений с описанными правильными шестиугольниками и восьмиугольниками, так как в плоском случае известны аналоги использованных выше результатов [1-3] об аффинно-правильных шести- и восьмиугольниках для описанных в [4, с. 23].

Литература

1. Besicovitch A. S. Measure of asymmetry of convex curves //J. London. Math. Soc. 1945. Vol. 23. P. 237-240.

2. Böhme W. Ein Satzüber ebene konvexe Figuren // Math. Phys. Semesterber. 1958. Vol. 6. P. 153156.

3. Grünbaum B. Affine-Regular polygons Inscribed in Plane Convex Sets // Riveon Lematimatika. 1959. Vol. 13. P. 20-24.

4. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М.: Наука, 1971. Статья поступила в редакцию 8 мая 2016 г.

Сведения об авторе

Макеев Владимир Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]

Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3(61). 2016. Вып. 4 625

PLANAR SECTIONS OF 3-DIMENSIONAL CYLINDERS

Vladimir V. Makeev

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]

Is it true, that through every interior point of 3-dimensional convex body comes planar section with inscribed regular hexagon, and through the center of 3-dimensional centrally-symmetric convex body comes planar section with inscribed regular octagon? In paper this is proved for cylinders of special type. Refs 4.

Keywords: cylinder, section, regular hexagon and octagon. References

1. Besicovitch A. S., "Measure of asymmetry of convex curves", J. London. Math. Soc. 23, 237—240 (1945).

2. Bohme W., "Ein Satziiber ebene konvexe Figuren", Math. Phys. Semesterber. 6, 153—156 (1958) [in German].

3. Griinbaum B., "Affine-Regular polygons Inscribed in Plane Convex Sets", Riveon Lematimatika 13, 20-24 (1959).

4. Gryunbaum B., Essay of combinatorial geometry and theory of convex solids (Nauka, Moscow, 1971) [in Russian].

Для цитирования: Макеев В. В. Плоские cечения трехмерных цилиндров // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т.3(61). Вып. 4. С. 624-626. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.411

For citation: Makeev V. V. Planar sections of 3-dimensional cylinders. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 4, pp. 624-626. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.411

626

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 4