Планирование и управление динамическим распределением ресурсов при выполнении комплекса работ Текст научной статьи по специальности «Математика»

------------------------------------------------ © А.М. Валуев, 2008

УДК 65:622.271 А.М. Валуев

ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ РЕСУРСОВ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ КОМПЛЕКСА РАБОТ

Семинар № 14

^"Организационное планирование на горных предприятиях включает в себя ряд задач планирования выполнения комплексов работ, в первую очередь вспомогательных [1, 2]; возможны и модели планирования с объединением в одной задаче основных и вспомогательных работ [3]. В подавляющем большинстве случаев эти модели приведены к форме задач сетевого планирования, не включающей условия распределения ресурсов-мощностей между работами, за исключением задач распределения однородного ресурса между параллельно выполняемыми работами.

Среди известных задач и методов распределения ресурсов при выполнении проекта выделяются методы дискретной оптимизации ([4, 5]) для случая работ, выполняемых без прерываний и интенсификации с заданным темпом использования ресурсов. Для комплексов, состоящих из работ экстенсивного типа (совокупностей малых однотипных операций), которые могут выполняться в непостоянном темпе с привлечением меняющегося количества ресурсов-мощностей, используются эвристические методы, основанные на правилах приоритета работ, а также методы агрегации комплексов работ [6]. Установлено, что получение оптимального решения обеспечивается только в специальных случаях. Кроме того, обоснованы методы локальной оптимизации на базе теории оптимального управления [7]. В

настоящей работе для этого типа задач предлагаются конечные методы получения точного решения.

Будем рассматривать выполнение совокупности работ, связанных отношением предшествования и условиями распределения ресурсов-мощ-ностей, с критерием оптимальности — минимальным временем завершения. Отношение предшествования имеет варианты: строгое и нестрогое предшествование (частичное совмещение работ). Постановка задачи, обобщающая формализацию работы [6], описывается совокупностью п работ, т типов мощностей (Т^-

— множество работ, применяющих ]-й тип мощности). Текущий объем г—й работы обозначается хг, конечный — хТг. Работа характеризуется состоянием выполнения ^е{0;1;2}: 0 — "не начата", 1

— "выполняется"(0<хг<хТг), 2 — "завершена".

Набор строго предшествующих работ Рг характеризуется условием:

^ = 0, если й<2.

(1)

Нестрого предшествующие работы связаны с г—й работой условиями:

б, = 0, если б, = 0, или б, = 1, и

Х1 < ^ттц > Х1 < ^ттц > Х, — Ц,

если б, = б 1 = 1, (2)

Базовая модель определяется следующими соотношениями. Количественная динамика работ определяется

дифференциальными уравнениями, ниже сводящимися к разностным:

ёхг(?)/ё? = иг(?), (3)

где темп работы мг(?) подчинен ограничениям на использование ресурсов-мощностей:

0<мттг<мг(?)<мтахг, если ёг(0 = 1, иначе «г(0 = 0; £ f и, (/) < Ц,,, 7=1,..., т. (4)

/е113/

Условия (4) допускают возможность использования для выполнения работы несколько типов ресурсов-мощностей в определенной пропорции, например, специализированной техники и рабочих, не специализирующихся на применении отдельного вида техники.

Качественная динамика, вытекающая из условия (1), выражается так:

ёг(?) монотонно неубывает; ёг(0) = 1, если Рг = 0, иначе ёг(0) = 0; (5)

б ) (/ + 0) = 2, если

х : (/) = хт/ : б (/ + 0) = 1, если

б,. Ц) = 0, б] (/ + 0) = 2, / е р. (6)

Условие окончания:

4(Г+0)=2, г=1,..., п. (7)

Критерий оптимальности:

7^т1п. (8)

Известно [6], что оптимальное решение задачи (3)—(8) можно найти в предположении, что и() постоянны на этапах постоянства ё(?). Тогда задача (3)— (8) становится конечномерной задачей оптимизации — задачей оптимизации трансформирующегося дискретнонепрерывного процесса, сформулированной в [3] и в более развернутом виде в [8].

Рассмотрим применение к задаче (3)—

(8) метода динамического программирования. Определим множест-ва ё, возможных по условию (1) —

М)={ёе{0,1,2}п | ё>0, если ё -2,]еРг, иначе ёг=0}, и х, соответствующих ё, — Х(ё)={хе(Я+)п | хг=0, если ёг=0, хг=хТг, если ёг=2, иначе 0<хг<хТг }. Функцию Беллмана Щ(х, ё) определим для состояний ёе00, хеХ(ё) в начале этапов и в конце процесса. Имеем Щ(хТ, ёТ)=0, где

хТ=(хТ1 ^ ^ xTn), dT=(2,• • -,2Х

Щ(х, ё)=т1п{Щ(х ' ё, ё) | ё>, ё'еБ0},

Щх, ё, ё )=т1п {Д?+Щ(х+Ах, ё) |

(Д?, Дх)е7(х, ё, ё )}.

где многогранник 7(х, ё, ё) определяется соотношениями

0<мт1пгД?<Дхг<мтахгД?, если ёг=1, иначе Дхг=0; ^ Ъ,ДХ/ < ищШ; (9)

/е1я/

Х, + Дх(. < ХТ!, если б; = 1, х ; + Дх, = Хт1, если б, = 1, и б' = 2. (10)

Мы утверждаем, что функция Бел-лмана является непрерывной кусочнолинейной функцией х, т. е. выражается соотношениями: при /=1,..., п-^(ё)

Щ(х, ё)=Сх01(ё)х+С01,

если Сх1г(ё)х+С1г<0, г=1,., п^ё).

Действительно, минимум

Д?+CX0l(d)(x+Аx)+C0l при ограничениях

(9)-(10), достигается в одной из вершин 7(х, ё, ё ) Координаты каждой потенциальной вершины 7(х, ё, ё) для которой некоторые п+1 неравенств из (9)-(10) обращаются в равенства, постоянны или линейно зависят от х. Условие допустимости потенциальной вершины выражается системой нестрогих линейных неравенств (остальных ограничений (9-10)). Условие достижения минимума в вершине — также система линейных неравенств (целевая функции в данной вершине, выражающаяся линейной формулой, не больше целевой функции в остальных вершинах). Таким образом,

Щ(х, С, С) является кусочно-линейной функцией х. Аналогично предыдущему область минимальности (по С) любой из линейных формул для Щ(х, С, С) может быть определена системой линейных неравенств.

Определение кусочно-линейной

формулы для функции Беллмана на основе приведенных построений алгорит-мично и сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений и проверке линейных неравенств, т. е. выполняется за конечное количество операций. Результат справедлив и для более общих моделей распределения ресурсов.

Построение функции Беллмана описанным способом является достаточно трудоемкой задачей. Значительно более эффективным является решение рассматриваемой задачи распределения ресурсов как задача оптимизации линейного трансформирующегося (событий-но-переключае-мого) процесса. Определим сценарий процесса (дискретную траекторию) как последовательность Р=(сС(1), ..., С(Щ) качественных состояний совокупности работ (в моделях [4, 5] это последовательность, в которой работы начинаются). Управление и(к) постоянно для к-го этапа, состояние х(к) фиксируем в конце этапа. Управление, оптимальное для заданного сценария, является решением задачи динамического линейного программирования (ДЛП):

Г(^)^т1п, (11)

Т(0)=0; Т(к)=Т(к-1)+?(к), к=1,., #;(12) х(0)=0; xг■(k)=xг■(k-1)+Аxг■(k), г'е/1(к), где 11к)={ | Сг(к^}; (13)

0<ит1пг ?(k)<Аxг(k)<umaxг ?(k), ге11(к);

Дх(к)=0, г«71(к); (14)

X ^Дх / (к) < иК]Д/(к),7=1,., т;

/е/р/ п/1 (к)

?(к)>0; (15)

хг(к)=хТг г'е/2(к+1). (16)

Для того чтобы управление, оптимальное для сценария, было оптимально безотносительно к сценарию, необходимо и достаточно выполнение условия [8]: для любого к, для которого ?(к)=0, для любого С '(к), при котором 1\2(Р, к, С(к))={г | С<(к)=1, Сг(к+1)=2}е{/ | С(к-1)=1, Сг(к+1)=2}, 1\г(Р, к, С{к))^0, существует (конструктивно вычисляемый) вектор р(Р, к, С '(к)), так что при любом и '(к), удовлетворяющего ограничениям

0<Ит1Ш< и 'г(к)<итахг, ге/^к); и 'г(к)=0,

шт-;. X № (к) < “К/, (17)

/е/Р/ (к)

справедливо неравенство (р(Р, к, С (к)), и 7(к))>0. (18)

Проверка условий (17)—(18) представляет собой решение задачи линейного программирования, р(Р, к, С (к)) определяется через решение разностных сопряженных уравнений и переопределенных систем линейных уравнений.

Гибридный метод может быть построен как конечный итерационный процесс, чередующий решение задач ДЛП (11)—(16), проверку оптимальности текущего сценария, сводящуюся к вычислению векторов р(Р, к, С (к)), и (к)) и проверке условий (17)—(18), и в случае их нарушения — переход к новому сценарию (при их соблюдении процесс завершается).

Новый сценарий отличается от предыдущего заменой ё(к) на ё (к). При переходе к нему находится максимальное ? {к), при котором Дх '(к)=и (к) (к), а управления на остальных шагах вычисляются по линейным формулам, обеспечивающим при любых малых ? '(к) соблюдение ограничений.

Вычисления векторов р(Р, к, С (к)) и переход к новому сценарию естественно сочетаются с вычислением оптимально-

го решения задачи ДЛП на основе декомпозиционных методов, представляя собой варианты одних и тех же расчетов. Могут быть применены методы, описанные в работах [9-11]. В последней работе решена задача ДЛП, имеющая сходную форму и интерпретацию с задачей (11)—(16), а алгоритм ДЛП сформулирован в общем виде.

Возмущения при выполнении проекта могут быть двух типов — несоответствие фактического объема работы плановому (например, в силу непрогнозируемых неблагоприятных или благоприятных метеоявлений) и временное уменьшение производственных возможностей (аварийность оборудования, болезни и прогулы работников). Для комплекса работ, являющегося в отношении времени его выполнения узким местом в системе производственных процессов, при планировании с учетом возможных возмущений должны предусматриваться резервы тех производственных мощностей, которые не могут быть перераспределены с других комплексов работ. Таким образом, для обеспечения устойчивости производства в целом такой план не должен быть максимально напряженным.

Как и для задач планирования добычных работ, компенсацию возмущений целесообразно выполнять на прогнозирующей модели, по факту регистрации возмущения и с учетом прогноза его прекращения, а не по факту возникшего вследствие возмущений отклонения (за исключением случая, когда резервов производственных мощностей достаточно для компенсации уменьшения производственных возможностей). Результатом возмущения может явиться изменение фактического или прогнозного порядка событий начала и окончания работ; в этом случае нужно определить распределение мощностей для не преду-

смотренных планом состояний процесса, т.е. стандартное решение и0(С'(к), и и(к)) возмущенной системы ограничений (4).

Рассмотрим построение скорректированного управления для модели (3)— (8) на некотором этапе к0, в наибольшей степени компенсирующего возмущения на прогнозной траектории. Далее штрихом помечаем возмущенные значения параметров и скорректированные управление и траекторию. Будем предполагать, что к началу этапа к0точно известны фактические (возмущенные) значения состояния и параметров на текущий этап (и даже, возможно, некоторые возмущения или их прогнозные значения на последующие этапы). Количество этапов и последовательность ё(к) под действием возмущений и их компенсации могут измениться. Заметим, однако, что в силу (5) компоненты вектора ё(к) монотонно не убывают по к, поэтому совпадающие значения ё на плановой и прогнозной траектории следуют в одинаковом порядке. Будем определять прогнозное управление тремя способами в зависимости от ситуации.

1. С /(к)=С(к1), и ^{к)=иКу. В этом

случае и (к)=и(к1).

2. С /(к)=С(к1), и '^(к)фи^. В этом

случае и г(к), г'е/щп/'Кк) пропорционально уменьшаются против иг(к\) (в сумме на величину и ^(к)-и^);

3. С'(к)фС(к\) для всех к1=1,...Ж

Тогда используется стандартное определение и '(к)=и0(С(к), и к)).

В силу условий (6) любой вектор и (к0) и заданные таким образом и (к) однозначно определяют сценарий процесса и Т'(М+1). Определение искомого и (к0) представляет собой задачу минимизации при возмущенных линейных ограничениях (4) нелинейной кусочнонепрерывно дифференцируемой функции, выражающей значение Т+1),

для чего можно использовать метод работы [12] в интерпретации автора [13].

В заключение отметим, что результаты настоящей работы могут применяться не только к базовой модели, но и к модели, содержащей условия нестрогого

1. Ганицкий В.И. Организация производства на карьерах. — М.: Недра. — 1983. — 232 с.

2. Ревазов М.А., Маляров Ю.А. Экономика, организация производства и планирование на открытых горных работах: Учеб. для техникумов. — М.: Недра, 1989. — 391 с.

3. Валуев А.М. К унификации моделей внутригодового планирования открытой угледобычи с учетом организационного фактора // Горный информационно-анали-тический бюллетень. — 2004. — №9. — С. 37-44.

4. Михалевич В.С., Кукса А.И. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах распределения ресурсов. М.: Наука, 1983. — 208 с.

5. Уздемир А.П. Динамические целочисленные задачи оптимизации в экономике.

— М.: Физматлит, 1995. — 288 с.

6. Баркалов С.А., Буркова И.В., Колпачев В.Н., Потапенко А.М. Модели и методы распределения ресурсов в управлении проектами.

— М.: ИПУ РАН, 2004. — 84 с.

7. Зимин И.Н. Алгоритм расчета сетей при переменных интенсивностях выполнения операций // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1973. — №6.

предшествования и учитывающей поступление и потребление материалов и денежных средств, использующей в качестве целевой функции взвешенную сумму времени и затрат.

---------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

8. Valuev A.M. Control problem for event-switched processes // Acta Universitatis Apulensis. 2005. No. 10. P. 7-18.

9. Илютович А.Е. Методы декомпозиции по времени в задачах оптимального управления и их приложения в расчетах динамики сложных систем: Дис...докт. техн. наук. М.: ВНИИСИ, 1990.

10. Кривоножко В.Е., Пропой А.И., Тверской И.В. Метод блочной факторизации для задач динамического линейного программирования: Препринт. М.: ВНИИСИ, 1987. 62 с.

11. Валуев А.М. Об использовании декомпозиционного метода возможных направлений для решения задачи оптимизации парка сельскохозяйственной техники//Сб. трудов/М.: ВНИИСИ (ИСА РАН), 1991. Вып. 13: Модели и методы оптимизации. — С. 25 — 34.

12. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Релаксационный метод решения задач нелинейного программирования. // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. —1977.— Т. 17.— № 4. — С. 890-904.

13. Валуев А.М. Квазиинвариантный синтез для производственных систем карьеров // Горный информационно-аналити-ческий бюллетень. — 2006. — №8 . — С. 248-252. НИ

— Коротко об авторе ------------------------------------------------------------------

Валуев А.М. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ОУГП, Московский государственный горный университет.

Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 14 симпозиума «Неделя горняка-2007». Рецензент д-р техн. наук, проф. Н.И. Федунец.