Планирование автономного производства в холдинге с применением методов адаптивного управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Hb 1(13)2008

А.А. Емельянов, Ю.А. Останина

Планирование автономного производства в холдинге с применением методов адаптивного управления

Возрастающие требования к качеству планирования обусловлены развитием и усложнением производственной структуры предприятий и постоянно возрастающими масштабами производства. Необходимо создание эффективных методик поддержки принятия решений при планировании нового производственного процесса как на заданный плановый период, так и в случае неожиданного изменения рассчитанных плановых значений. Применение методов адаптивного управления практически невозможно без использования специальных компьютерных моделей для анализа эффективности плана с учетом возможностей его оперативных корректировок. В статье приведен пример модели, созданной средствами Actor Pilgrim.

На сегодняшний день некоторые отечественные производственные организации при производстве продукции используют импортные комплектующие или полуфабрикаты. Это обусловлено крайней необходимостью, так как на российском рынке их аналогов не существует. Закупка комплектующих за границей ставит предприятие в сильную зависимость от монополизирующего поставщика и его ценовой политики, поэтому часто руководство стремится на собственном предприятии организовать производство таких комплектующих.

Организация собственного производства комплектующих позволяет решить две задачи.

Первая, основная, — это удовлетворение внутренних потребностей основного производства. В то же время новое производство должно себя окупать, т.е. необходимо определить его критерий эффективности и границу безубыточного выпуска продукции. Для достижения заданного критерия эффективности необходимо одновременно снимать такие проблемные точки производства комплектующих, как лимит трудовых ресурсов, производственных мощностей и ограниченность цеховых площадей. Так называемая расшивка узких мест

производства требует времени и увеличения финансовых расходов, поэтому планирование выпуска представляет собой стратегический управляемый процесс, составляемый на заданный плановый период.

Вторая задача такого производства комплектующих состоит в том, что подвижность экономических процессов между хозяйствующими субъектами на современном рынке задает новые требования к системе планирования. Она должна не только отражать тенденцию развития производства, но и подстраиваться под внешние воздействия и, по возможности, сглаживать их колебания.

Построение гибкого и адекватного производственного плана требует обеспечения комплексности направления развития производства с учетом возможных изменений окружающей среды. Однако в настоящее время используемые на российских предприятиях методы планирования относятся в основном к периоду жестко централизованной экономики. Анализ и решение этой задачи могут быть выполнены с помощью практического использования методик динамического моделирования и адаптивного управления. Особенности планирования нового производственного процесса комплектующих и отсутствие практики приме-

125

Nя 1(13)2008

1 1

к

12

0

1 1=

I

ё

I

I £

I

со <0

и

¡5

3 ! 12

<3

I <0 со

нимости соответствующих методик к нему указывают на актуальность специального исследования1.

Особенности построения производственных планов

Понятие планирования определяется как умение предвидеть цели организации, результаты ее деятельности и ресурсы, необходимые для достижения определенных целей2. На основе системы планов, созданных предприятием, в дальнейшем осуществляются организация запланированных работ, мотивация задействованного для их выполнения персонала, контроль результатов и оценка с точки зрения плановых показателей.

Различают два вида планирования:

• формальное — организованное планирование, основанное на применении экономико-математических методов планирования;

• интуитивное — планирование, основанное на опыте руководства, его практицизма, а также на совокупности индивидуальных качеств, иногда описываемых как инстинкт, находчивость, особое чутье и т. п. и ассоциирующихся с одаренными предпринимателями.

Сейчас российское планирование переживает «интуитивный этап», поскольку успех в бизнесе зависит от таланта предпринимателя, но с появлением стабильных, зарекомендовавших себя экономических организаций возникают предпосылки для расширения пределов внутреннего планирования.

При планировании соблюдаются следующие принципы.

1. Принцип непрерывности. Его смысл

заключен в том, что процесс планирования

на предприятии должен осуществляться постоянно и разработанные планы должны непрерывно приходить на смену друг другу.

2. Принцип гибкости. Взаимосвязан с принципом непрерывности и заключается в придании планам и процессу планирования способности менять свою направленность в связи с возникновением непредвиденных обстоятельств. Для осуществления принципа гибкости планы должны составляться так, чтобы в них можно было вносить изменения, увязывая их с изменяющимися внутренними и внешними условиями, поэтому планы обычно содержат резервы.

3. Принцип точности. Всякий план должен быть составлен с такой степенью точности, т.е. быть конкретизированным и детализированным, в какой позволяют внешние и внутренние условия деятельности предприятия.

Методы составления производственного плана. На отечественных предприятиях в условиях рыночной неопределенности могут применять различные методы составления производственной программы: уровневое прогнозирование, последовательное принятие плановых решений, создание ситуационных планов, линейное программирование, динамическое программирование.

Уровневое прогнозирование представляет процесс предвидения ожидаемого объема продаж и прибыли по трем точкам: максимальный, вероятный, минимальный. Оно помогает увеличить число плановых альтернатив и подготовиться к возможным отрицательным последствиям, представляет плановикам-экономистам реальное значение показателей, что позволяет избежать составления недостаточно обоснованных проектов и способствует разработке системы раннего предупреждения, чтобы предотвратить снижение плановых или фактических показателей деятельности предприятия.

1 Основой статьи послужили результаты исследований, выполненных Ю.А. Останиной при подготовке кандидатской диссертации и А.А. Емельяновым, опубликованные в его монографии [1].

2 См., например, БСЭ.

126

Не 1(13)2008

Ситуационное планирование широко распространенно в американских и японских компаниях. В процессе ситуационного планирования устанавливаются ключевые факторы среды, влияющие на планируемые результаты деятельности предприятия. Такое планирование дает некоторые преимущества как в процессе разработки производственной программы предприятия, так и в особенности при ее осуществлении в нестабильных рыночных условиях. Руководители и исполнители планов получают возможность быстро действовать в неблагоприятной ситуации, противодействие которой было заранее спланировано (например, при изменении спроса на товар вступает в действие ситуационный план сокращения его выпуска).

Метод последовательного принятия плановых решений предполагает, что разработка производственной программы осуществляется в три этапа:

1) составление годового производственного плана для всего предприятия;

2) определение или уточнение на основе производственной программы приоритетных целей на плановый период;

3) распределение годового плана производства по отдельным структурным подразделениям предприятия или исполнителям.

Производственная программа по номенклатуре и объему выпуска должна обеспечить полную загрузку рабочих мест (станков) и персонала. Кроме того, при разработке годовой производственной программы необходимо обеспечить максимальный совокупный доход, высокую финансовую устойчивость и платежеспособность предприятия.

В процессе разработки производственной программы возникает необходимость принятия оптимальных плановых решений. Под оптимальным решением обычно понимается достижение в заданных условиях максимальных результатов или минимальных издержек производства. В том и другом

случае плановикам приходится иметь дело с экономико-математическими задачами. Необходимой предпосылкой нахождения всякого оптимального решения является, во-первых, выбор критерия оптимальности и, во-вторых, установление имеющихся ограничителей ресурсов. Для решения этой задачи обычно применяют метод линейного программирования.

Динамическое программирование представляет собой особый математический аппарат, позволяющий осуществить оптимальное планирование управляемых процессов. Специфика этого метода в том, что для отыскания оптимального управления планируемая операция разделяется на ряд последовательных шагов или этапов. Соответственно и сам процесс планирования становится многошаговым и развивается последовательно, от этапа к этапу, причем каждый раз оптимизируется управление только на одном шаге. Динамическое программирование — это планирование с учетом перспективы, в котором управление на каждом шаге выбирается исходя из интересов операции в целом.

Особенности планирования в холдинге: автономное производство в холдинге налагает дополнительные условия, которые необходимо учитывать как при его планировании, так и в процессе управления: в условиях холдинга, естественно, целесообразность выполнения плана автономным производством может входить в кон-фликтс непредвиденными обстоятельствами, возникающими на предприятиях холдинга, в результате чего могут произойти неожиданные изменения рассчитанных плановых значений. Поэтому многие из приведенных математически обоснованных методов теряют эффективность, т. е. на самом деле могут привести к дополнительным потерям.

Экономико-математический

инструментарий принятия решений

Динамическое моделирование. Критерием эффективности нового производст-

со

I

I

127

Ив 1(13)2008

венного процесса является выигрыш, олицетворяющий собой прибыль, которую получит предприятие, в случае отказа закупать комплектующие за границей и производить их у себя. Достижение критерия эффективности сопряжено с расшивкой проблемных точек, поэтому процесс планирования производства комплектующих можно разбить на определенную последовательность шагов количеством и. Тогда критерий эффективности производственного процесса складывается из суммы этих критериев на отдельных шагах:

Е = 1Е = £ (Ц - у-,) qj

• тех,

(1)

1 1

К

12

0

1 1=

I §

I

I £

I

со <0

и

¡5

3

л 12

о

3 <0 со

,=1

,=1

где у, < Ц, причем у, < Ь + а^,;

Ц — цена полуфабриката или комплектующего, покупаемого заграницей; Е — доход или выигрыш; у, — себестоимость единицы комплектующего, производимого на ,-м шаге; Ь — сумма переменных затрат сырья и материалов, которые необходимы при производстве единицы комплектующего. Эта величина известна и не изменяется;

а — сумма постоянных затрат, состоящая из суммы некоторых величин, которые в свою очередь являются условно-постоянными и могут зависеть от величины объема продукции qj; q¡ — объем выпуска комплектующих на ,-м шаге.

Планирование производства комплектующих представляет собой управляемый динамический процесс, т. е. можно выбирать параметры, влияющие на его ход, и от которого зависит достижение критерия эффективности на каждом шаге и на всем производственном процессе.

Экономико-технологические параметры производственного процесса обычно описываются мастером-технологом в специальной технологической карте. Все коэффициенты рассчитаны при начальном значении выпуска комплектующих qo:

1) вектор-строка необходимого количества рабочих специальности I при выпуске q0:

*0 = (х01, х02 Х0 п );

2) вектор-строка коэффициентов пооперационной загрузки рабочих специальности I за смену:

р = (р1, Р2,... ,Р п);

3) вектор-строка коэффициентов пооперационной загрузки единицы рабочего 1-й специальности:

Р' = (р1, р2,...,р'п), где каждый р1 =р¡/х0|, I = 1,2,...,п;

4) вектор-столбец значения заработной платы единицы рабочего 1-й специальности:

( зИ

5) вектор-строка необходимого количества оборудования вида г при выпуске q0:

А = (а01, аЬ,---, а т);

6) пооперационный коэффициент загрузки оборудования вида г за смену в виде вектора-строки:

Л = (Х1 х2> ••• > Хт );

7) вектор загрузки единицы оборудования вида г:

Л' =(х1 х2,. ••, хт),

где каждый Х'г = Xг/х0г, г = 1,2,...,т;

8) вектор-столбец издержек на содержание оборудования, включающих в себя расходы на амортизацию, электроэнергию и аренду единицы оборудования вида г:

>2

128

8

2

V 8п ,

Не 1(13)2008

При анализе векторов Р' и Л' может оказаться, что некоторые их элементы равны единице. Для вектора Р' это означает, что один или несколько рабочих х0, специальности I заняты в производственном процессе на 100%, а для вектора Л' — одна или несколько единиц оборудования С0г вида г использованы в производственном процессе на 100%.

Рассмотрим увеличение объема выпускаемой продукции с q0 до q. Необходимо устранить возникший лимит в трудовых ресурсах и производственных мощностях.

Введем два вектора:

1) вектор-строка необходимого количества рабочих специальности I при выпуске q:

х = (х1, х2 !■■■! хп);

2) вектор-строка необходимого количества оборудования вида г при выпуске q:

й = с ^2.....ст).

Запишем следующие ограничения, исходя из правила, что пооперационные коэффициенты загрузки не должны превышать единицу:

— р1 < 1 — Х1 <1

—0 X —0 С1

— р2_ < 1 — х 2 <1

—0 Х2 —0 С2

— р1 < 1 и ■ — х 3 <1

—0 Хз —0 Сз

— рп <1 — х т <1

—0 Хп ,—0 Ст

где X, — количество рабочих каждой специальности I при объеме производства q (если q = q0, то значения вектора X совпадают со значениями вектора Х0); сг — количество оборудования каждого вида г при объеме производства q (если q = q0, то значения вектора й совпадают со значениями вектора й0); q — планируемое увеличение объема выпуска;

q0 — объем продукции, при котором составлены и посчитаны все технологические коэффициенты загрузки.

Из этих ограничений можно вывести, какое количество производственных рабочих должно быть занято на производстве при выпуске q:

X = Ц— р,

и какое количество единиц оборудования должно быть использовано при выпуске продукции

сг = ¡т|— х,

0

При увеличении производства продукции с —0 до — растут соответственно количество рабочих х, и количество единиц оборудования Сг. Тогда соответственно увеличиваются и постоянные издержки а на величину заработной платы:

п

НЕ х(э(,

I =1

где коэффициент Н — величина социального налога на заработный фонд предприятия, который на сегодняшний день составляет 35,6%, и на сумму издержек на оборудование:

т

Е Сг^г.

г =1

Обозначим буквой с те постоянные издержки, которые остаются без изменений, к ним относят зарплату вспомогательных производственных рабочих и зарплату административно-управленческого персонала. Запишем уравнение постоянных издержек а:

пт

а = с + НЕ х(в( +Е С^г.

I=1 г =1

Теперь преобразуем уравнение критерия эффективности производственного процесса (1) в более полное:

са

I I

129

Ив 1(13)2008

= (Ц - У

j=1

• max

У = b + [с + £Hx!s! +£drzr I/q

1 i

!

0

1

с t

<3 g

si !

I

U

i со <0 is

U §

I

л

о

li <0 со

(2)

где уI < Ц; qj < qmax, а величина qmax — максимально достижимый уровень объема производства, который возможно производить на арендуемых площадях.

Зная число, виды станков и занимаемую одним станком площадь, можно определить возможность ее аренды в перспективном плане.

Расчет qmax выполняется исходя из следующих условий:

^о а1 qo ¿2 qo йгг,

qm

■- min

X1

X 2

Xm

Всего количество состояний вектора X определяется как

К = ¿2.

, =1

3. Рассчитаем Ф — вектор-столбец критических объемов производства для каждого х,, где каждый элемент определяется соотношением:

фк = int

xqo pi

где в качестве значений подразумеваем по возможности большее количество оборудования вида г на арендуемых площадях.

Увеличение объемов производства возможно только в том случае, если все узкие места, которые характеризуются ресурсами (людскими, оборудованием), устранены. Следовательно, это не непрерывный, а скачкообразный процесс. Тогда в данном случае наилучшим решением системы функциональных уравнений является применение динамического моделирования, алгоритм которого состоит из трех этапов. Этап 1 состоит из шести шагов.

1. Заданы начальные условия. Пусть известны Хо, Р, qo, qmax.

2. Рассчитаем два вектора:

Хтах = (xmax1, xmax2, ■ ■ ■, xmax п)-вектор количества рабочих при объеме производства

qmax;

в = (21, д2, ■ ■■, дП),

где д, = (х^, - х0,) +1 — счетчик итераций, или количество переходных состояний элемента х.

На данном этапе индекс к в этом соотношении является функцией от элементов вектора G и находится в пределах к = 1,2,..., K (это будет показано ниже). Соответственно

Xi = x oi + 1, X| < x max i , i = 1,2,..., П.

А затем рассчитаем соответствующую этому вектору матрицу F, которая содержит количество рабочих определенной специальности, соответствующих критическому объему производства, т. е.

Ф

q2 ^ x01 xo1 + 1 000 000

qg 1 qg 1+1 qg ,+2 , F = Xкон1 0 0 0 0 x02 x02 + 1 • . 0 . 0 . 0 . 0

qg 1+g 2 0 Xкон2 . 0

qk qk+1 0 0 0 0 0 0 • x0 n ■ x0 n + 1

qo 0 V 0 • Xконn

где fkJ = xi; к = 1, 2, ..., K; i = 1, 2, x i = X oi + v v = 1,2,..., g,.

., n;

Все остальные элементы строки к матрицы Р равны нулю.

4. Вычеркиваем строки вектора Ф и соответственно матрицы Р, в которых фк > qmax, поскольку этого не может быть. Обозначим через е количество вычеркнутых строк.

5. Сортируем вектор Ф и матрицу Р по возрастанию элементов фк. Если значения нескольких элементов фк совпадают, то вы-

130

i =1

r=1

черкиваем эти строки из вектора Ф и матрицы F, при этом суммируя соответствующие строки этой матрицы.

6. Заполнение строк матрицы F. Если элементы строки матрицы fkJ = 0, то присваиваем им значения х;, где х, = х0, в начале первой строки матрицы F. Но если fki ф 0, то X; = X; +1. Выполняем заполнение элементов каждой строки матрицы F до тех пор, пока все значения не будут отличны от нуля. Отметим, что если первая строка матрицы совпадает с вектором X0, то ее последняя строка совпадает с вектором Xmax.

Этап 2 также состоит из шести шагов.

п

He 1(13)2008

Г q л d n ... n >

Я2 dm +1 n ... n

... n ... n

qv 1 °кон1 n ... n

qv 1+1 n dn2 ... n

qv 1+2 n dn2 +1 ... n

, F = n ... ... n

qv 1+v 2 n °кон2 ... n

qk n n ... d0n

qk+1 n n ... d0n +1

lqv у n n V — °конп J

где Wkr = dr

dr = dnr -

k = 1,2,..., V; r = 1,2, x; x =1,2,..., v.

.., m;

I

is <

sa

ca

I

I

1. Заданы начальные условия. Пусть известны Д, Л, qn и qmax.

2. Рассчитаем два вектора:

Dmax = (dmax1, dmax2, ■■■, dmax m) — вектор KO-

личества единиц оборудования при объеме производства qmax;

N = (vb v 2,..., v m) — вектор количества состояний, в котором каждый элемент vr = (dmaxr - dnr) +1 — это количество переходных состояний элемента dr Общее количество состояний вектора Д равно:

m

V =£vr.

r=1

3. Рассчитаем П — вектор критических объемов производства для каждого dr, элементы которого определяются соотношением:

ю k

= int

drQc X r

На данном этапе индекс k в этом соотношении является функцией от элементов вектора N и находится в пределах k = 1,2,..., K (это будет показано ниже). Соответственно

dr = dn + 1, dr <dmaxr, i = 1,2,...,n.

А затем рассчитаем соответствующую этому вектору матрицу W, которая содержит количество единиц оборудования определенного вида, соответствующих критическому объему производства:

Все остальные элементы wkr строки к матрицы W равны нулю.

4. Вычеркиваем строки вектора ^ и соответственно матрицы W, в которых значение юк > qmax, о — количество вычеркнутых строк.

5. Сортируем вектор ^ и матрицу W по возрастанию элементов юк. Если значения нескольких элементов юк совпадают, то вычеркиваем эти строки из вектора ^ и матрицы W, при этом суммируя соответствующие строки этой матрицы. Первая строка матрицы Р совпадает с вектором Д, а ее последняя строка совпадает с вектором йтах.

6. Заполнение строк матрицы W. Если элементы строки матрицы wkr = 0, то присваиваем им значения dr, где dr = б0г в начале первой строки матрицы W.

Если wkr ф 0, то = +1. Выполняем заполнение элементов каждой строки матрицы W до тех пор, пока все значения не будут отличны от нуля.

Этап 3 заключается в расчете вектора фонда заработной платы © и вектора суммарных затрат на эксплуатируемое оборудование П.

Элементы вектора © определяются как:

е к = н^в;,

; =1

где индекс к — число элементов вектора Ф

и строк матрицы F после вычеркивания

131

Ив 1(13)2008

1 1

к

12

0

1 1=

I

ё

I

I £

I

и

I

со <0

и

¡5

3 ! 12

<3

3 <0 со

е строк, причем порядок индексирования меняется: к = 1,2,..., К - е.

Вектор суммарных затрат на эксплуатируемое оборудование П, содержит элементы:

т

п к = 2 >

г=1

где индекс к — число элементов вектора П и строк матрицы W после вычеркивания о строк, порядок индексирования также меняется: к = 1,2,..., V- о.

Объединим теперь векторы критических объемов производства Ф и П, а также затратные векторы © и П:

T = Ф V П и U = © V П .

Объединение векторов происходит таким образом, что если какие-либо элементы векторов Ф и П совпадают, то в итоговый вектор T идет только одно значение, а строки векторов © и П складываются, в противном случае — добавляются по возрастанию элементов в итоговые векторы критических объемов производства T и соответствующий ему вектор затрат ^ увеличивая каждый его последующий элемент на величину добавленной суммарной издержки.

По окончании последнего этапа сформированы вектор критических объемов T и соответствующий ему вектор затрат U с расшивкой узких мест. Для окончательного решения исходной системы функциональных уравнений и нахождения критерия эффективности Е применим динамическое моделирование. Принцип, заложенный в его основу, сводится к нахождению из всех возможных управлений условно оптимального, при котором достигается максимально возможное значение выигрыша. Полученное решение после применения динамического программирования представляет собой базовый вариант плановой задачи и служит основой для последующей разработки и уточнения альтернативных производственных программ.

132

Применение адаптивного управления

На основе простых экономических закономерностей введем в рассмотрение два основных тренда, которые прослеживаются в производственной деятельности предприятия: тренд роста и тренд спада производства.

Эти тренды представляют собой логистические кривые, которые одновременно являются первыми слагаемыми некоего временного ряда. Параметры логистических кривых определяются через экономические характеристики производства. Такими основными параметрами являются асимптоты, между которыми находятся логистические кривые, а также предельные интенсивности спада и роста производства.

Тренд роста производства связан с расширением существующих производственных возможностей производства — введение дополнительной смены (рис. 1).

т

Яп

<7л-1

" бтах(')

-►

.... 4

месяцы

Рис. 1. График темпа роста производства Тренд роста q1(t) имеет следующий вид:

q^(t) = qn-1 + (qn - qn-1 )(1 - е-ь1

- ь ,м_а( t) + В( t)

Ц - ь

где Ь1 — интенсивность наращивания производства;

а^) — функция изменения постоянных затрат производства;

Не 1(13)2008

В(Г) — функция изменения выигрыша; Ц — цена производимого предприятием комплектующего у зарубежного поставщика;

Ь — стоимость сырья и материалов, затраченных на единицу производимой продукции.

Значение «старого» производства при неизменных постоянных затратах а планового года определяется соотношением:

ап _1 + Вп-1

qn-1 = —Л—и— ■

Ц _ Ь

Объем «нового» производства при введении дополнительной смены и изменении постоянных затрат а рассчитывается по формуле:

ап + Вп Ц _ Ь '

qn

Для определения неизвестной заранее интенсивности Ь1 возьмем производную q1(t) справа от точки Г = 0. Получим:

г )

бГ

1

ба( Г) + бВ( Г)

бГ

бГ

Г^0+ Ц _ Ь

= ЬХ qn _ qn-1). Сделаем соответствующие вычисления:

an _ an-1 + Вп _ ВП-1

Го

Го

1

Ц - Ь

= Ь Ц-Ь ^п - an-1 + ВП - ВП-1] .

Получим отсюда, что неизвестная интенсивность Ь1 определяется соотношением:

Ь1 =

нала. Тогда работающий производственный персонал будет вынужден затратить какое-то время на обучение новых работников. В связи с этим они не смогут произвести необходимое количество плановой продукции, и для производства будет характерен спад в какой-то промежуток времени (рис. 2).

т

Яп-1

Чп

втм

8 и

месяцы

Рис. 2. График темпа спада производства

q2( г) = qn -(qn - qn-1) е-

где Го — время, которое необходимо затратить на перестройку производства на новые параметры.

Тренд спада связан не только с неожиданными простоями производства, но и с затратами, которые может нести предприятие в связи с наймом обслуживающего персо-

dqг( Г)

бГ

1

ба( Г) + бВ( Г)

Ь2 = 1

133

со

I

I

Тренд спада q2(Г) выражается следующей формулой:

а( Г) + В( Г) Ц - Ь '

где Ь2 — интенсивность спада, или сокращения, производства; qn-1 — значение «старого» производства при неизменных постоянных затратах а планового года;

qn — объем производства при привлечении дополнительной рабочей силы и, как следствие, — изменение постоянных затрат а.

Для определения Ь2 возьмем производную q2(Г) справа от точки Г = 0 и получим:

Г^0+ Ц - Ь I бГ бГ

= Ь2( qn - qn-1).

Подставив в эту формулу соответствующие значения, получим, что Ь2 = Ь1:

о

о

Ив 1(13)2008

Для оценки на устойчивость применим методы теории адаптивного управления, которые учитывают дискретный характер получения и преобразования экономической информации. Рассмотрим дискретную систему в виде «черного ящика» (рис. 3). Выходные результаты системы — это скорректированное количество выпускаемой продукции опытного производства q(t). В качестве входной функции ДО используется график динамики выпуска продукции qn.

f(t) «Черный ящик» Q(t)

т R(z) 0(z)

1 1

К

12

0

1

с t

0

1

Si

R( z) =

F (z)

где F(z) — г-преобразование входной функции ДО;

Q(z) — преобразование выходной функции q(t);

q(t) = q1 (t) + qг (t) = q0 - - qn-^ )е-ь21 + + q0 + (qn - q0)(1 - е-Ь11), вид которой показан на рис. 4.

Рис. 4. Вид выходной функции q(t) процесса выпуска продукции

z - di

Тогда справедливо следующее:

F (z) = qn = const

Q(z) = (qn + q0)—^ - (qo - qn-i )—^— (qn - qo)

z-1 z - d2

dk = e~bkт, k = 1, 2

где т — период дискретности.

Перейдем теперь к анализу устойчивости и преобразуем передаточную функцию к следующему виду:

R( z) =

P( z)

Рис. 3. Дискретная система в виде «черного ящика» и ее передаточная функция И(г)

Передаточная функция системы — это функция комплексной переменной г, и она равна:

Q( г)

где M(z) и P(z) — полиномы. Тогда получим:

P(z)=

(qn + qo)(z - d 2 )(z - di)-(qo - qn -i)(z-1)(z - dr qn L- (qn - qo)(z - 1)(z - d2) M (z)=(z-1)(z - di)(z - d 2)

Введем в рассмотрение окружность единичного радиуса на комплексной плоскости: z = cosф + jэ1пф. Обозначим через n степень полинома M(z) (n = 3).

После этого применим критерий Михайлова, который заключается в следующем.

1. Для устойчивых дискретных систем достаточно, чтобы годограф знаменателя M(z) передаточной функции системы Ф(z) при однократном изменении z на комплексной плоскости по окружности единичного радиуса от точки с координатами Re = 1 и Jm = o против часовой стрелки после оборота (o <ф< 2л) охватывал начало координат комплексной плоскости n раз.

2. Если система неустойчива, то число корней вне единичного круга (порядок неустойчивости) равно разности между степенью полинома и числом оборотов вокруг начала координат.

3. В общем виде полином M(z) имеет следующий вид:

134

z

Не 1(13)2008

М( z) = z3 + Az2 + Bz + C,

где A = -d! - d2 -1;

B = d1 + d 2 + d1 d 2;

C = -d1 d 2.

Очевидно, что M(z) имеет три корня. Теперь сделаем в этом полиноме подстановку z = cosф + jэ1пф и сгруппируем слагаемые полинома для того, чтобы выделить действительную и мнимую части:

M(ф) = МВещ (ф) + jM мним (ф),

и получим:

Мвещ (ф) = cos3ф - 3 cos ф sin2ф +

+ A(cos2ф - siп2ф) + B cos ф + C;

Ммним(ф) = 3 cos2ф sin ф - sin3ф + + A(2 cos ф sin ф) + B sin ф.

Годограф получается на компьютере с помощью специальной созданной авторами WINAPI-программы, реализующей эти расчеты. Таким образом, представленный численный метод оценки устойчивости может быть использован на практике.

Итак, на основании рассмотренного подхода авторами создана методика, предлагающая рациональный путь достижения максимального выигрыша на долгосрочный плановый период и адаптивного управления планом в случае неожиданных изменений плановых показателей выпуска.

Пример практической реализации методики управления планом

Один из видов производимой холдингом продукции — это специальные установки по очистке воды. В качестве комплектующих изделий в этих установках используются кварцевые лампы. Их можно либо закупать за рубежом (это не очень выгодно), либо производить на одном из заводов холдинга (это обходится значительно дешевле). Рассмотрим использование полученной системы уравнений для управления производственным планом выпуска кварцевых ламп на этом заводе.

Используя исходные данные плановых подразделений всего холдинга и завода, с помощью выражений (1), (2) и приведенных выше выкладок получаем:

Е = £ Е, =¿(3200 - У, )qj ^ тах

/=1 ,=1

у, = 1061 + (2 677 080 + и,)/qj ' у, < 3200 '

q¡ < 6000 qj —целые,, = 1,11 при этом , = г.

В данном случае в качестве q¡ берутся элементы вектора критических объемов производства ^ а в качестве и, подставляются элементы вектора затрат ^ Соответствующие матрицы T и U приведены ниже:

f2000^ f 922 368^

2298 1 003 728

3000 1 117 632

3361 1 198 992

3773 1 312 896

4000 (шт.), U = 1 709 508

4597 1 790 868

5000 1 904 772

5042 1 986132

5714 2 100 036

ч6000J ^2 563 596J

(руб.

sa

са

I

I

причем , = 1, 2, ..., 11 — количество проблемных точек нового производства кварцевых ламп.

Решение данной системы уравнений изображено на рис. 5.

Весь производственный процесс разбит на шаги, экономическая сущность разбиения которых сводится к следующему: для того, чтобы увеличить выпуск кварцевых ламп, необходимо увеличить вначале количество рабочих и закупить новое производственное оборудование. И невозможен в данном случае обратный процесс: вначале рост выпуска кварцевых ламп, а только потом увеличение затрат на производство. Вот почему график расширения производства

135

Ив 1(13)2008

представляет собой динамический процесс в виде ступенек. Цифры, стоящие внизу пересечений линий клетки, означают выигрыш при данном значении объема выпуска и соответствующими ему условно-постоянными затратами. Значение себестоимости у в заштрихованной области больше 3200, следовательно, эту область вычеркнем из рассмотрения.

Решение сводится к нахождению максимума выигрыша Е^ одновременно по гори-

зонтали и вертикали. Оптимальный путь отмечен стрелками. Он означает, что максимальное значение выигрыша достигается при полном использовании всех имеющихся производственных мощностей и трудовых ресурсов. Этот оптимальный путь динамического расширения выпуска часто является стратегией предприятия и основой годового плана. Он утверждается руководством предприятия, поэтому изменение этой величины происходит крайне редко.

1 i

К

12

0

1

с i

0

1

I £

¡

í со <0 в

U

¡5 8 I ¡2

<3

I <0 со

I

Выпуск, шт.

6000

5714

5042

5000

4597

4000

3773

3361

3000

2298

2000

А 7 593 324

----Т-

7 445130 6 981 570

А 6121 626 6007722 5544 162

А 6113148 6 031 788 5 917884 5 454324

А 5 365 035 5 251 131 5169 771 5 055 867 4 592 307

М 169412 4 088052 3 974148 3 892788 3 778884 3 315324

А 4 080 471 3 683 859 3 602 499 3 483 595 3 407 235 3 293 331 2 829 771

А 3313107 3199203 2802591 2721 231 2607327 2525967 2412063 1 948503

А 2 622 888 2 54 098 2 427 024 2 030 412 1 949 052 1 835148 1 753 788 1 639 884 1 176 324

А 1 234614 1 120710 1 039350 925446 528834 447 474 333570 252210 138306 -325254

678 552 597192 483 288 401 928 288 024 -108 588 -189 948 -303 852 -385 212 -499116 -962 676

922 368 1 117 632 1 312 896 1 790 868 1 986132 2 563 596

1 003 728 1 198 992 1 709 508 1 904 772 2 100 036 Затраты

руб.

Рис. 5. Динамическое расширение производства

136

На 1(13)2008

Годовой выпуск кварцевых ламп утвержден и равен производству 2000 кварцевых ламп в год. В данном случае максимальный выпуск в среднем в месяц равен 200 лампам (в среднем 10 готовых ламп в день), а минимальный составляет только 132 кварцевых лампы в месяц (в среднем 6 готовых ламп в день, Втах = 146 082 руб.).

Проанализируем возможные изменения производственного плана, которые могут произойти в течение планового года.

1. Руководство предприятия в апреле заключает несколько выгодных договоров с июня по август. В связи с этим резко возрастает потребность в кварцевых лампах (в июне — 300 ламп, в июле — 400, а в августе — 340). Наиболее рациональный путь исполнения — введение второй смены, что увеличит выпуск производства в два раза (400 готовых ламп в месяц при 20 рабочих днях). Но в реальных условиях увеличение не произойдет сразу, как только в этом возникла потребность, так как необходимо время, которое уйдет на поиск и обучение дополнительной рабочей силы.

В действительности производство кварцевых ламп вырастет только в следующем месяце. Определено, что 8 дней июня будет потрачено на обучение принятых сезонных рабочих другими рабочими, тогда производство упадет до безвыигрышного — 6 кварцевых ламп в день, но потом (после включения в производственный процесс обученных рабочих) оно вырастет.

2. Итоговая функция выпуска q(t) в июне представляет собой сумму трендов спада и роста:

q( 0 = 6 - (6-10)е"2,631 + 6 + (20 - 6)(1 - е-t).

За июнь рабочие смогут произвести 289 ламп вместо 300, нехватку 11 ламп восполнят со склада.

3. Покупатель не в состоянии заплатить за контракт, срок исполнения которого — сентябрь. Тогда запланированное ранее количество выпуска сокращается с 200 ламп до 50. Очевидно, что в сентябре придет-

ся сокращать издержки и увольнять сезон- §

ных рабочих. Но руководство должно уво- ;§

лить только то количество, которое могло <§

бы в октябре, ноябре и декабре произво- <

дить минимальное количество кварцевых ®

со

ламп. §

Но также прослеживается падение про- |

з

изводства еще и в августе, тогда производственный процесс — это сумма трендов < спада двух месяцев: ^

q( 0 = 132 - (132 - 400) е"0251 + +132 - (132 - 340) е"2,861.

Каждый из рассмотренных вариантов внешнего воздействия и связанные с ними корректировки производственного плана можно исследовать на устойчивость с помощью годографа. На рис. 6 изображен годограф, показывающий, что процесс практически устойчив (три витка, 1 вариант). Его вид означает то обстоятельство, что третий — самый маленький виток — проходит на грани вертикальной оси.

Анализ устойчивости экономической системы [X]

га

Рис. 6. Графическая интерпретация устойчивости выпуска

Имитационное моделирование исполнения производственного плана

Для принятия решений в планировании выпуска продукции и практической проверки предлагаемых методов планирования разработана имитационная модель, позволяющая проводить исследования процесса

137

Ив 1(13)2008

1 i

к

12

0

1

с i

0

1

I £

¡

í со <0 fa

u

¡5 8 I ¡2

<3

IÍ <0 CO

I

Произ- Пере-водство броска ламп на склад

Отпуск со

склада

Поставка потребителям

Субсчет потребителей в холдинге

Рис.7. Имитационная модель реализации плана производства

корректировки производственного плана. Для ее построения использована современная методика акторного моделирования и пакет Actor Pilgrim. Схема модели представлена на рис. 7. Она содержит 11 узлов.

В составе модели можно выделить три части, несущие основную имитирующую нагрузку. Им соответствуют следующие моделируемые подпроцессы:

• собственное производство ламп (узлы 8 и 9);

• закупка ламп за рубежом (узлы 10 и 11);

• оперативное планирование выпуска установок для очистки воды (узлы 1-7); с учетом того обстоятельства, что выпускать продукцию необходимо, она пользуется повышенным спросом, и поэтому могут использоваться оба источника получения ламп; а также с оценкой эффективности работы завода.

Условная прибыль и упущенная выгода завода учитываются в специальных переменных А и В, играющих роль субсчетов в бухгалтерском учете всего производства холдинга.

С помощью этой модели был проведен ряд экспериментов3. С помощью методов математической статистики проанализированы экспериментальные значения выигрыша Е, которые получит предприятие при годовом плановом выпуске 2000 кварцевых ламп.

Результаты анализа:

• количество наблюдений п =100;

• математическое ожидание Е = = 874 917,78;

• среднеквадратическое отклонение ст = 166 845,87.

Полученная выборка распределена по нормальному закону распределения, сле-

Полученные показатели хорошо согласуются с результатами расчетов по приведенной методике.

138

Hb 1(13)2008

довательно, доверительный интервал для величины E оценивается согласно статистике:

P (Хср - ^ тп-г< ц < Хср+Гу тп-г )=7'

где у — доверительная вероятность (надежность);

Гу — значение функции распределения Стьюдента (Г-распределение), соответствующее п -1 степеням свободы и надежности у;

ц = Мхср — несмещенная оценка математического ожидания, которой является среднее арифметическое хср.

При доверительной вероятности у = 0,9 доверительный интервал равен:

Р = (872 804,93 < ц < 877 039,63) = 0,9.

Значит, при данной доверительной вероятности у = 0,9 доверительный интервал узок и отношение нижней и верхней границ интервала составляет 0,5%.

В заключение перечислим основные результаты выполненной научно-исследовательской разработки, кратко описанной выше, имеющие практическое значение.

1. Установлены особенности задачи планирования нового производственного процесса внутри предприятия, позволяющие разработать интегрированную систему планирования и управления выпуском, в которой одновременно анализируются и создаются программы развития производственных мощностей и выпуска продукции с максимальным выигрышем.

2. Предложен алгоритм расшивки узких мест опытного производства. Этот алгоритм учитывает связанную с входными параметрами многоступенчатость процесса выпуска продукции и производственные возможности опытного производства с учетом лимитирующих мощностей и человеческих ресурсов.

3. Составлена динамическая схема расширения опытного производства. Предло-

женная модель позволяет проанализиро- g

вать различные варианты развития произ- ü

водства с целью выбора наиболее рацио- <§

нального из них. Предложен способ опре- <

деления рационального пути достижения ®

I— °°

максимального выигрыша E. §

4. Рассмотрены основные варианты ¡а

¡в

внешнего воздействия и корректировка производственного плана по месяцам пла- < нового года с помощью адаптивных мето- ^ дов. Определен порядок расчета устойчивости производственного процесса с помощью критерия Михайлова и проведен его анализ с использованием годографа.

5. Продемонстрированы возможности созданного авторами соответствующего программного обеспечения:

• имитационная модель для проверки разработанной методики;

• программное приложение для анализа качества адаптивного управления.

Список литературы

1. Емельянов А.А. Имитационное моделирование вуправлении рисками: монография. СПб.: ИНЖЭКОН, 2000.

2. Анфилатов В.С., Емельянов А.А, Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении / под ред. А.А. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2007.

3. Емельянов А.А, Власова Е.А., Дума Р. В. Имитационное моделирование экономических процессов. М.: Финансы и статистика, 2006.

4. Останина Ю.А. Особенности планирования нового производственного процесса на предприятии / В кн.: Математические и инструментальные методы анализа экономических процессов. Сборник научных трудов. М.: Макс Пресс, 2003.

5. Останина Ю.А. Модель анализа устойчивости адаптивного управления производственным планом / В кн.: Математические и инструментальные методы анализа экономических процессов. Сборник научных трудов. М.: Макс Пресс, 2003.

6. Теория систем и системный анализ в управлении организациями / под ред. В. Н. Волковой и А.А. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2006.

139