CC BY
9
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 1.
УДК 517
DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-69-88
Первый класс Аппельрота псевдоевклидовой системы
Ковалевской1
В. А. Кибкало
Кибкало Владислав Александрович — кандидат физико-математических наук, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики (г. Москва). e-mail: [email protected]
Для интегрируемого псевдоевклидова аналога волчка Ковалевской изучены свойства системы при нулевом уровне дополнительного первого интеграла Ковалевской. Класс движений классического волчка при том же условии называют также первым классом Аппельрота или классом Делоне. Описан класс гомеоморфности каждого слоя, классы послойной гомеоморфности слоения в окрестности бифуркационного слоя (аналог 2-атома Фоменко) и на всем двумерном пересечении уровня К = 0 и симплектического листа скобки Пуассона. Показано наличие некомпактных одномерных слоев Лиувилля, некритических перестроек компактных и некомпактных слоев в данной интегрируемой системе. Также изучен вопрос невырожденности (по Ботту) всех точек уровня К = 0 и доказано, что критическое множество псевдоевклидова аналога совпадает с таковым для классического волчка.
Ключевые слова: гамильтонова система, интегрируемость, динамика твердого тела, слоение Лиувилля, псевдоевклидово пространство, бифуркационная диаграмма, особенность, топологические инвариант.
Библиография: 37 названий. Для цитирования:
В. А. Кибкало. Первый класс Аппельрота псевдоевклидовой системы Ковалевской // Чебы-шевский сборник, 2023, т. 24, вып. 1, с. 69-88.
First Appelrot class of pseudo-Euclidean Kovalevskaya system
V. A. Kibkalo
Kibkalo Vladislav Alexandrovich — candidate of physical and mathematical sciences, Lomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics (Moscow).
e-mail: [email protected]
1 Исследование выполнено за счет гранта РФФИ (проект 20-31-90114).
Аннотация
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 1.
UDC 517
DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-69-88
Abstract
In paper, properties of an integrable pseudo-Euclidean analogue of the Kovalevskaya top are studied for the zero level of the additional first Kovalevskaya integral. The class of motions of a classical top under the same condition is also called the first Appelrot class or the Delaunay class. We describe the homeomorphism class of each fiber, the fiberwise homeomorphism classes of the foliation in a neighborhood of each bifurcation fiber (i.e. analogues of Fomenko 2-atoms) and on the two-dimensional intersection of the level К = 0 and each nondegenerate symplectic leaf of the Poisson bracket. It is proved that non-compact one-dimensional Liouville fibers, non-critical bifurcations of compact and non-compact fibers appear in this integrable system. The non-degeneracy problem (in the Bott sense) for all points of the К = 0 level is also studied, and it is proved that the critical sets of the of classical Kovalevskaya top and its pseudo-Euclidean analogue coincides.
Keywords: Hamiltonian system, integrability, rigid body dynamics, Liouville foliation, pseudo-Euclidean space, bifurcation diagram, singularity, topological invariant.
Bibliography: 37 titles. For citation:
V. A. Kibkalo, 2023, "First Appelrot class of pseudo-Euclidean Kovalevskaya system" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 1, pp. 69-88.
1. Введение
Системы динамики и математической физики в пространствах, метрика которого отлична от евклидовой, активно исследовались как классиками, так и в недавних работах исследователей. В сборнике [1] приведен цикл работ, иллюстрирующих различные направления исследований.
В недавней работе А.В. Борисова и И.С. Мамаева [2] было рассмотрено преобразование на C6(Ji, J2, J:í,X\,X2, Ж3), линейное над C, позволяющее сопоставить многим классическим вещественным интегрируемым системам динамики новые системы, также интегрируемые и вещественные. При этом меняются знаки некоторых структурных констант скобки Ли-Пуассона, и алгебра Ли е(3) группы движений евклидова R3 переходит в алгебру Ли е(2,1) группы движений пространства Д3 с псевдоевклидовым скалярным произведением. Напомним, что системы классической механики могут задаваться уравнениями Эйлера на двойственном пространстве к алгебре Ли е(3) для гладкой функции Н.
В настоящей работе изучается аналог волчка Ковалевской, заданный уравнениями Эйлера на алгебре Ли е(2,1). Функция Hps = Н псевдоевклидова аналога получена из гамильтониана Ковалевской Но под действием преобразования из [2]. При этом сохраняется как интегрируемость такой вещественной системы, так и формула для дополнительного интеграла К, открытого ранее С.В. Ковалевской для классического волчка [3]. Разделение переменных, аналогичное Кёттеру, для новой задачи в случае алгебры Ли е(2,1) было построено С.В. Соколовым [4].
Г. Г. Аппельрот [5] исследовал особые режимы движения классического волчка Ковалевской, соответствующие наличию кратных корней v полинома Ф, участвующего в разделении переменных системы. Полином Ф является произведением двух линейных сомножителей и одного кубического полинома, чьи коэффициенты зависят от значений a, b, h, к первых интегралов системы. К первому классу был отнесен случай равенства двух линейных сомножителей, когда дополнительный интеграл К равен нулю. Отметим, что в работе Н.Б.Делоне [6] была приведена геометрическая интерпретация такого движения.
Анализ фазовой топологии такого волчка, во многом мотивированный пионерской работой С.Смейла [7], был проведен М.П.Харламовым, см. [8]. Было показано, что образ множества точек, где градиенты первых интегралов зависимы, действительно содержится в гиперповерхностях пространства значений этих функций, на которых многочлен разделения переменных имеет кратные корни. Кроме того, также были явно описаны классы гомеоморфности слоев слоения Лиувилля системы.
Общий топологический подход к исследованию конечномерных интегрируемых по Ли-увиллю гамильтоновых систем был развит в работах А.Т.Фоменко и его научной школы, см. [9, 10, 11] и монографию А.В.Болсинова и А.Т.Фоменко [12]. Предположим, что уровень энергии ^ = : Н = Ъ является компактным и неособым, т.е. не содержит положений равновесия гамильтонова векторного поля функции Н, а все критические точки отображения момента в нем невырождены по Ботту (что обобщает понятие морсовости критической точки функции). Для изученных ранее систем почти все уровни энергии Н удовлетворяют этим условиям [12].
Такие системы с двумя степенями свободы, ограниченные на неособые уровни энергии Q3, классифицируются с точностью до послойной гомеоморфности в терминах инварианта, Фоменко Цишанга, называемого также молекулой. Этот инвариант является графом — одномерной базой слоения Лиувилля на данном Q3. Его ребра соответствует семействам регулярных слоев, а вершины — их бифуркациям. В силу компактности и гладкости первых интегралов, прообраз бифуркационного значения интеграла содержит критические точки (по предположению, невырожденные). Класс послойной гомеоморфности малой инвариантной окрестности связного слоя (содержащего критические точки) называют атомом или 3-атомом. Каждой вершине графа-инварианта сопоставляется 3-атом, а всем ребрам и некоторым связным подграфам приписываются числовые метки (задаваемые склейкой 3-атомов по их граничным торам).
Данная теория была применена к различным системам механики [13, 14, 15, 16, 17], задачам математической физики [18, 19, 20] и аналогам известных интегрируемых систем в случае алгебр Ли зо(4) и во(3,1) [21, 22], в числе которых — аналоги классического волчка Ковалевской на пучке алгебр Ли во(3,1) — е(3) — во(4), открытые И.В.Комаровым в [23] и изученные с топологической точки зрения в работах [24, 25, 26, 27].
Отметим, что построенная классификация существенно использует компактность слоев слоения Лиувилля, неособого уровня энергии целиком и полноту потоков гамильтоновых полей первых интегралов. Тогда каждая бифуркация слоев имеет особый слой с критическими точками. Это позволяет эффективно находить и описывать бифуркации систем из приложений.
Расширение этой классификации на некоторый подкласс систем с некомпактными слоями слоения Лиувилля и их некритические бифуркации, а также неполные потоки, весьма интересен. Весьма подробный обзор известных результатов и изученных примеров таких систем был недавно сделан А.Т.Фоменко и Д.А.Федосеевым [28]. Отдельно отметим работу Е.А.Кудрявцевой [29] об аналоге теоремы Лиувилля для системы с неполными потоками с особенностями определенных типов. Некомпактные слои возникали в работе Д.В.Новикова [22, 30] при изучении системы Соколова на алгебрах во(3,1) и е(3). В недавних работах С.С.Николаенко [31] и [32] была построена классификация особенностей систем с одной и двумя степенями свободы соответственно, удовлетворяющих определенным условиям. Фактически, на указанные классы систем и особенностей (имеющих некомпактные слои и включающее некритические бифуркации) было построено обобщение классификации теоремы Фоменко 2-атомов и 3-атомов Фоменко. Ранее в работе [33] им же была изучена топология и динамика "некомпактного" аналога известного интегрируемого случая Горячева. В.В.Ведюшкиной и А.Т.Фоменко удалось промоделировать некоторые некомпактные аналоги атомов Фоменко интегрируемыми топологическими биллиардами на неограниченных столах [34]. Интересные
эффекты, связанные с некомпактностью, также возникли при рассмотрении биллиарда на эллиптическом столе с метрикой Минковского и упругим потенциалом [35].
Одним из примеров таких систем является псевдоевклидов аналог волчка Ковалевской. Ранее автором был доказан [36] критерий компактности совместного уровня четырех первых интегралов этой системы при условии, что интеграл площадей не равен нулю. Иными словами, система содержит перестройки компактных слоев в некомпактные.
В настоящей работе описано слоение Лиувилля этой системы на множестве К = 0. А именно, для каждой пары (а, Ь) = (0, 0) значений геометрического интеграла и интеграла площадей, задающих неособый симплектический лист М4 ь, указана база (одномерный граф) слоения функции Н на множестве точек К = 0 в М^ ь, классы гомеоморфности слоев в прообразе его вершин и точек его ребер. В системе обнаружены некомпактные слои и перестройки компактного слоя в некомпактный, причем без дополнительного падения ранга отображения момента (с одного до нуля). Для всех точек (ранг отображения момента при условии К = 0 равен либо 1, либо 0) указанных поверхностей исследован вопрос невырожденности.
1.1. Псевдоевклидов аналог волчка Ковалевской и его свойства
Скобки Пуассона и алгебры Ли. Рассмотрим семейство Р скобок Ли-Пуассона с параметром к е М на пространстве М6( Д, .2, .3, х\, х2, х3):
{Д, . } — , {Ji,хj } — £íjk хk, {хí,хj } — K'^ijkJk .
При к < 0, к = 0, к > 0 эти скобки соответствуют алгебрам Ли 8о(3,1) — е(3) — во(4). Система уравнений Эйлера
. = }, хг = [хг,Н}
задает динамическую систему на двойственном пространстве к соответствующей алгебре Ли. Для каждой гладкой функции Н правые части этих уравнений образуют гамильтоново векторное поле — косой градиент sgrad Н.
Обозначим через д скалярное произведение д = diag(1,1, а) для а е М\{0} на пространстве Мэ и рассмотрим вещественно-линейный изоморфизм Ф пространства С6:
~ в в ~ = , х~7 = ^х^ „для ] = 1, 2, .3 = .3, хэ = хэ.
В новых координатах .]\,..., х-3 линейные скобки Пуассона {■, ■} из пучка Р имеют те же структурные константы, что и в исходных координатах .]\,... ,хэ, исключая домножаемые на а константы для {.1\, .2}, {.1,х2}, {х2, .1} при всех к е М и {х1,х2} при к = 0:
{ .1, .2} = а.э = а.э = а{.1, .2}.
Далее считаем, что скобка {■, -}а для произвольного а = 0 задана на том же пространстве М6, что и исходная скобка {■, ■} = {■, -}ь Функции Казимира Д и /2 скобки {■, зависят от а к
Д = х1 +х2 + ах2 + к(д2 + + а.|) = а, (1)
Д = х1.1 + х2.2 + ах3.13 = Ь. (2)
При к = 0, а = 1 они совпадают с геометрическим интегралом и интегралом площадей из
к=0
а = —1 (2, 1) а
а е М
Совместный уровень = {ре М6|Д(р) = а, Д(р) = Ь} является четырехмерным сим-плектическим листом скобки Пуассона {■, ■} при а > 0 и любом Ь е М если а = 1. Если
же а = —1, то гладкими четырехмерными поверхностями будут все поверхности уровня (будем называть их неособыми М4 ь) за исключением vровня Mq0, содержащего все точки вида
(Ji,J2,Js, 0,0,0) ' * '
Следующие семейства гамильтонианов На и интегралов Кк находятся в инволюции {На, Кк}а = 0 при всех значениях к, а:
На = 1 (Jl + J2 + 2aJ'i2) + Clxu (3)
Кк = 1 (Jl2 — J22 — 2clXl + кс2)2 + 1 (2Ji Jl — 2CiX2)2 . (4)
При к = 0 получим интеграл С.В.Ковалевской К = Ко, а при а = 0 — гамильтонианы классического волчка Ковалевской Hi и его псевдоевклидова аналога Hps:
Hps = 1 Jl2 + 2 Ji — + CiXi. (5)
В случае к = 0 растяжение координат позволяет привести системv на поверхности к системе на поверхности ^ ~ для подходящего b ^ 0 с условием послойной гомеоморфности слоений Лиувилля. В евклидовом случае это влекло а = 1 для всех неособых М^ ь, а в псевдоевклидовом влечет наличие ровно трех существенно различных случаев: а = —1,а = 1 и а = 0, b = 1. Можно считать, что ci = 1, или что ci > 0.
Критическое множество псевдоевклидова аналога волчка Ковалевской.
Утверждение 1. При произвольном к е R критическое множество системы Ковалевской {■, ■}, Hi, К и ее псевдоевклидова, а,налога {■, -}а,На, К совпадают в R6(Ji,J2,^,xi,x2, ); причем с сохранением ранга критических точек.
Доказательство. Напомним, что отличие между скобками Пуассона {■, -}а и {■, ■} состоит в умножении на а структурных констант для {Ji, J2}, {Ji,X2}, {J2,^i} и {Ж1,Ж2}.
1. Для всех F е С^(R6), в том числе для интеграла X, имеем {J3,F}а = {^,F} и {x$,F}а = {x$,F}. Поскольку На = Hi + f(J3), то {^,На}а = {^,Hi}, и то же самое верно для жз.
2. Из переменных Ji, J2, Ж1, Ж2 разберем случай Ji, другие аналогичны.
, 9К г дК дК г
{Ji,K }а = {Ji^b— + {Ji,J3 — + ••• = a .{Ji,J2}— + 0 + ... = a {Ji,K}.
0J2 OJ;i 0J2
дН дН дН дН
{Ji,На}а = {Ji,J2}a + {Ji,J3—^ = a{Ji,J2}- —1 + {JbJ3}■ а—1 = a {Ji,ffi}.
0J2 OJ;i 0J2 0J3
В последнем равенстве коэффициент а в одном из слагаемых возникает как структурная константа скобки {■, а в другом — как коэффициент при J2 в полиноме На. Утверждение доказано. □
Отсюда для псевдоевклидова аналога системы Ковалевской (при всех к е R) верно представление критического множества в виде объединения шести семейств критических точек, полученное в работе [24] И.К. Козловым для семейства систем Ковалевской на пучке алгебр Ли so(3,1) — е(3) — so(4). Одно из этих семейств в точности совпадает с множеством точек, где при к = 0 верно Кк = К = 0:
Ji — J22 J1J2
xi = —-, Ж2 =-. (6)
2ci ci
Множество точек ранга ноль при к £ М представимо как объединение трех множеств:
( д+к с? JlJз^
1. ( 1?,12, 0, к с?, 0, 0) 2. (1?, 0, 0,х?, 0, 0) 3. 7?, 0,1з,-Ц-?, 0,- . (7)
у 2с? с? у
В случае к = 0 все положения равновесия системы на неособых принадлежат второй и третьей серии: в точках первой серии заведомо /? =0, /2 = 0, т.е. они лежат на особом уровне Мд 0. В точках третьей серии К = 0, а в точках второй серии это верно лишь для ее пересечения с третьей: х? = 12/2с?.
Гамильтоновы поля sgradст и sgrad функций На, Н? и К для скобок {■, - }а и {■, ■} связаны так:
sgrad0.На = X ■ sgradН1, sgrad0.К = X ■ sgradК, X = diag(<т, а, 1,а, а, 1).
Отсюда несложно исследовать невырожденность этих точек, следуя [24], где это было сделано для семейства Ковалевской на пучке во(3,1) — е(3) — во(4). Для каждого из шести семейств точек ранга 1 аннулирующая комбинация ^lSgradaНa + ^2SgradaК = 0 задана теми же коэффициентами как в [24]. Пара ненулевых собственных значений Л линеаризации этой комбинации дает ответ о боттовости (невырожденности) особенности и ее типе.
к = 0 К = 0
= 0, ^2 = 1; Л± = ±2га(—7з(72 + 122) + 2с?7?хз).
а = — 1
Утверждение 2. На неособых орбитах М^ь псевдоевклидова, волчка Ковалевской произ-
К = 0
ко если а ■ Н = б2. Все невырожденные точки имеют эллиптический тип, являясь точками нестрогого минимума функции К в симплектическом листе М^ь или на, изоэнергетической поверхности
Доказательство. Если Л± = 0, то из их принадлежности мнимой оси имеем эллиптический тип соответствующей критической точки. Для функции К в М4Ь все они являются точками минимума (нестрогого, вообще говоря). Если же Л± = 0, то либо = 12 = 0, либо
= 2с ?1?хз 73 = 12+11
1. В первом случае из (6) имеем Н = — 1|,Ь = — хз1з,а = —хз. Отсюда аН = б2, причем а < 0, если орбита М^ь неособая (в случае а = 0 имеем 6 = 0).
2. Во втором случае, подставив формулы для х?,х2,1з, получим На = Ь2:
4с21? (¿2 + 122 2с?х2 \ 2с?!?
2 2 4°1!1 , Т !! + !2 2°1хз
Н = 12 — 1з = а ■ , т2 ,—, 0 = 11'
)
( 12 + 12 )2' Д 2 С? 12 + 12У 12 + 12
Тем самым, каждая тройка 1?, 12, х3, для которой аН = б2 и каждое из уравнений имеет
а = 0
Н = 2/ а, = 0 а = 0 = Н = 0
Ма,ь является особым. □
В точках ранга ноль, принадлежащих семейству 3 из (7), ненулевые собственные значения линеаризации гамильтонова векторного поля sgradст На равны
Л± = ±г
л/2 /-
2а 13, Л± = — ^а(12 — 2а1|)
Одна пара является мнимой, а тип другой зависит от а, З1 и при а = 1 ее тип может, вообще говоря, быть как вещественным, так и мнимым (знак З2 — 27| может меняться). В случае а = —1 имеем 72 — 2а32 ^ 0. Случаи 72 = 232 ми З3 = 0 соответствуют вырождениям, а иначе все четыре собственных значения будут мнимыми. Иными словами, все невырожденные точки ранга 0 псевдоевклидова аналога волчка Ковалевской имеют тип центр-центр.
Утверждение 3. В системе псевдоевклидова волчка Ковалевской в ограничении на двумерную поверхность К = 0 в симплектическом листе М^ ь для = а, /2 = Ь имеется в точности
• две невырожденные точки максимум,а, функции Н (имеющих тип центр-центр во всем М4ь)при а > 0, |6| > у/2с\а3/4 и одна вырожденная, точка 31 = sgn Ъ^2с1а1/4,х1 =
= 3\/2с1,х2 = хз = 32 = З3 = 0 при |6| = л/2с\а3/4.
• две невырожденные точки максим,ум,а, функции Н (тип центр-центр в при а = 0,Ь = 0. '
• четыре невырожденные точки максимума функции Н (тип центр-центр в при а < 0,Ъ = 0 и четыре вырожденные точки максим,ум,а, функции Н при 6 = 0 (им, соответствуют вырожденные точки ранга 0 в
Доказательство. 1. Вырождения точек ранга 0 соответствуют двум случаям: Зз = 0 или а = Ь = 0. В первом случае а = 74/4с1, Ь = 3\/2с 1, Ъ = 72. Иными словами, при 31 =0 имеем а> 0,Ь = ±^2с7а3/4 = 0, Ъ = Ь2/а = 2с1^а > 0.
Пусть Ь = -— ( 72+<г272) = 0 тогда при а = —1 имеем либо 31 = 0, а = 0 либо 31 = ±\[233. " 2 с 1 _
Тогда 4 а с2 = — 3^,Ъ = З2 = л/—а с2 > 0, т.е. каждо му а < 0 при 6 = 0 соответствует четыре
вырожденные точки 73 = (—а)1/4, 71 = ±\/2/з-
2. Количество точек ранга 0 определим, выразив З2 = 7|/4 — а с2/З^ из /1 = а, поскольку
случай З1 = 0 разобран выше. Подставим в уравнения /2 = Ь,Н = Ъ:
73 ас 1 37? а с2
1--+ ~Т, Ъ = —— + 2 .
4 с 1 З1 4
6 = ^ + Ъ = (8)
Эти соотношения при а > 0 задают бифуркационную кривую классического волчка Ковалевской Ь(Ь), Ъ(Ъ) на плоскости ОЬЪ, соответствующей т.н. карусельному движению волчка — нулям к = 0 параметрической бифуркационной кривой (9) на плоскости значений отображения момента (Н, К) = (Ъ, к):
г ^ ^2 , ^ 2 Ь2С2 Ь44
= + ^ к(х) = ас2 — + ^. (9)
При а > 0 расположение кривой Ь(Ь), Ъ(£) на плоскости ОЬк относительно других кривых устроено так же, как в классическом волчке Ковалевской. Кроме того несложно проверить, что при а ■ Ъ > Ь2 система уравнений /1 = а, /2 = Ь, Н = Ъ не имеет решений среди точек ранга О, в которых К = 0. Иными словами, при а > 0,Ь = у/2с1а3/4 имеем одну вырожденную точку ранга 0, при больших Ь имеем две точки (для каждого из знаков 7з), а при |6| < у/2С1а3/4 — ни одной.
3. Если а = 0, то Ь32/2 с1 = х3 = 3133/^.Поскольку 31 = 0 в силу Ь = 0, то 31 = 6 ■ 233. Отсюда получаем Ъ = 3 31 и С16 = 25З3. Иными словами, для выбранного 5 = ±1 значение Зз
определено однозначно. Получили две критические точки ранга 0, обе имеющие тип центр-центр.
4. Если а < 0 и Ь = 0 (считаем, что Ъ > 0), то выразим 12 через 1? из /2 = Ь и подставим в /? = а :
12 = 1?2/2 — Ьс?/1?, Р (1?) = 1?4 — 46 с?1? + 4ас2 = 0.
Последнее уравнение задает многочлен четвертой степени с одним вещественным экстремумом 1^хЬ = с\/зЬ1/з > 0 и отрицательным значением 4ас2 в точке 1\ = 0, ветви которого направлены вверх. Он имеет в точности два корня, притом разных знаков. Решение 1—(1—) для отрицательного корня 1— заведомо существует. Это дает нам две точки ранга ноль с данными 1- < 0, ±1— = 0 и х? = (1-)2/2с? > 0,хз = 1?—1— /с?, 12 = х2 = 0. Значения /?, /2,Н в них совпадают.
Для положительного корня 1+ требуется проверить, что правая часть неотрицательна. При 1\ > 0 она имеет единственный корень 1\ = 21/'3Ъ 1/зс|/3: производная строго положительна, а предел при 1\ ^ +0 есть —те. Подставив его во второе уравнение, получим 24/зЬ4/зс?/3 — 4 ■ 21/зЬ4/зс?/3 + 4ас2 < 0 Поскольку при 1? > 61/зс?/3 правая часть второго уравнения строго возрастает, и в точке 21/з&1/зс?/3 (корне первого уравнения) она отрицательна, то в корне 1+ > 0 правая часть первого положительна при всех Ь > 0. Это дает нам еще одну пару точек ранга 0 с координатами 1+ > 0, ±1+ = 0, х? = (1+)2/2с? > 0, хз = 1+1+/с?, 12 = х2 = 0 и одинаковыми значениями /? = а, /2 = Ь,Н = Н.Утверждение доказано. □
2. Слоение Лиувилля на нулевом уровне интеграла Ковалевской
К = 0
( 2, Н) = ( , Н)
( , Н)
двумерных стратов назовем регулярными, а остальные — бифуркационными. Объединение последних называют бифуркационной диаграммой Х , ^ отображения (/2,Н). Отметим, что система обладает и компактными, и некомпактными слоями. Также, помимо особенностей с критическими точками, найдены некритические бифуркации. В прообразе их бифуркационного значения отсутствуют критические точки.
Проверка невырожденности критических точек также позволяет определить типы локальных и полулокальных невырожденных особенностей с данным особым значением с точки зрения всего М4 и неособого уровня энергии (3 = Н. Все они являются эллиптическими, и потому устройство окрестности слоя полностью определяется типом особых точек: это минимальные 3-атомы А (произведение окружности и 2-атома А — расслоенной окрестности точки минимума в диске И2) и особенности центр-центр (произведения двух 2-атомов А).
Утверждение 4. Бифуркационная диаграмма, а отображения (/2,Н) псевдоевкли-
К = 0
/? = а при а = 0 содержится в объединении трех кривых: оси Н = 0 пара,бол,ы, Н = Ь2/а и параметрической кривой ) = ¿з/4 с ? + ас ?/£, Н(£) = 3 ¿2/4 + а с?/В случае а = 0, Ь = 0 это прямая Н = 0 и кривая Н(Ь) = 3(6с?/2)2/з.
Дуги этих кривых, входящие в бифуркационную диаграмму а, изображены на рис.1 сплошными линиями. Не вошедшие в нее дуги отмечены курсивными линиями (штрихопунк-тирные линии прокомментированы ниже). Бифуркационная диаграмма является 1-остовом следующей стратификации плоскости ОЪН.
( , Н) ( 2, Н)
площадей и гамильтониана Н при разных знаках /? = а (т.е. в случае а < 0,Ь £ М; в случае а > 0,Ъ £ М и в случае а = 0, Ь = 0^ изображена на рис.1 сплошными линиями:
• страты состоят, из точек с одинаковым устройством слоения, Лиувилля в прообразе
окрестмост,и данной точки, для каждого из них на рис. 1 указан класс гомеоморфности
М4
стью),
а = 0 = 0 = 0, Н = 0)
Ь = 0, Н = с? л/—а при а < 0, точек Ь = 0,Н = 0 иЪ = ±^2с?аз/4, Н = Ь2/а.
• 1-остов является объединением, дуг кривых из утверждения перечисленных в таблице 1 и обозначенных е^п а, а также симметричных им при Ъ ^ —Ъ,
? = а, 2 = , К = 0 А
мальной или максимальной окружностью этой 2-поверхности, кольцом I? хБ1 с одной внутренней окружностью, из которой выкололи точку.
страт ео е0 е2 е3 еэ е4
уровень 451 2рь 2рь 2М и 2 51 2М 251
кривая Ь = 0 ь(г),Н(г) ь(г),Н(г) Н = 0,Ь< Ь(г0): Н(*0) = 0 Н = 0,Ь> Ь(¿0): Н( 0) = 0 Н = Ь2/а
страт Р0 е1 Р0 е2 Р+ е0 е1 е2 е3
уровень 2рг 2рг 2 51 2рг 51 2М
кривая Н = 3 • 2о2/3с?/362/3 Н = Н0 Ь = 0 ь(г),Н(г) Н = Ь2/а Н = 0
Таблица 1: Одномерные страты бифуркационнх диаграмм на плоскости ОЬН для неособых М^, т.е. (а, Ь) = (0, 0). Верхний индекс е^па отвечает знаку Д = а. Указан класс гомеоморфности прообраза любой точки 1-страта и кривая на плоскости ОЬН, содержащая этот страт.
Рис. 1: Бифуркационные диаграммы псевдоевклидова волчка Ковалевской при к = 0: плоскость ОЬН при а < 0 или а > 0, полуплоскости ОЬН с Ь == 0 при а = 0. Для каждого страта (двумерные, ограниченные сплошными линиями), а также одномерных и нульмерных указан класс гомеоморфности совместного уровня четырех интегралов. Обведены окружностями уровни, состоящие из вырожденных точек ранга 0 (совпадает со слоем) или ранга 1 (слои, гомеоморфные М или 51).
Рис. 2: Слоение функции Н на уровне К = 0 в в зависимости от Ь и а, исключая
а = 0, = 0
2.1. Слоения в случае а = 0
1. Пусть а = 0, тогда хз = 5(12 + )/2сх, где 5 = ±1. В вычислениях примем 5 = 1: ответ для другого знака 5 получается изменением знака у Д.
Подставим формулу для хз при 5 = 1 в уравнение Д(12 + 1|)/2с 1 = Ь + хз1з:
2 С1&
1з = Д -
+
Функция 1з(Д, 12) определена на плоскости ОД 1*2 без нуля — случай 11 = 12 = 0 мы не рассматриваем, т.к. тогда а = Ь = 0, и множество М4Ь не является гладкой поверхностью. Выразим Н через 11,12:
„ = 46С1 (13 + 1112 - С16) Н = (12 +12)2 '
Из критерия компактности [36] следует (он применим, поскольку Ь = 0), что все уровни Н = к кроме к = 0 будут компактны и ограничены. Критические точки такого слоения легко находятся: это точка 11 = 34ЬС1, 12 = 0 Она является невырожденным максимумом Н и соответствует точке центр-центр. Остальные компактные слои гомеоморфны окружностям. 2. Уровень к = 0 задается условием 0 = 12 — 12:
— ^)
_ 2 сф
0 = Г11 — 12 + 12
Правая часть получаемого уравнения 12 = С1Ь/Д — 12 при 11 < 0 не имеет корней, а при 11 > 0 строго монотонна, причем ее предел Нш^^+о 12 = Без ограничения общности Ъ > 0, и
11 > 0
оси ОД и имеющей асимптоту О12- Производная правой части отрицательна, т.е. Д = 0 при единственном значении Д. Полученная кривая разбивает плоскость 01112 без двух точек (нуля и точки максимума) на два кольца, каждое из которых расслоено на окружности.
На рис. 3 приведем при Ь = 1 вид графика 1з (11,12) и слоение функции Н на плоскости ОД 12 без нуля для случая а = 0.
2.2. Случай а < 0
1. При а < 0,к = 0 координата хз = 5^/—ас\ + (Д + 122)2 отлична от нуля и отделена от него по модулю величиной 5л/—а, где 5 есть знак хз. Тогда из уравнения Д = Ь получим формулу для 1з(11,12), определенную на всем М2(Д, Д), и подставим ее в уравнение Н = к:
— 4Ь 2с2 — 4а с р2 + 4с 16 Д(Д2 + 122)
Н
( 12 + 122)2 — 4а с\
Данная функция ограничена при фиксированных С1,а < 0,6 = 0 (что легко видеть в полярных координатах 11 = гео8^,12 = Г8т^). Она также не зависит от 5, т.к. 52 = 1. Изучим уровни этой функции на плоскости 11,1 2 — проекция связной компоненты Ш на 11 , 12
2. Согласно критерию компактности, доказанному автором ранее в [36] в случае 6 = 0, все слои при а € М, к = 0,6 = 0, к = 0 являются компактными или пустыми. Тем самым, при 6 = 0 (далее считаем, что Ь > 0) достаточно найти критическое множество функции Н(Д, 12),
Н = 0 = 0
Н
11 , 12
(2а с 111 — 6(Д2 + 122))(4ас2 — 46С1Д + Д4 — 124) = 0,
32(2асхЛ - Ъ(31 + 32))(2Ьс1 - Л+ 3\)) = 0.
Множество критических точек задается объединением трех множеств (1),(2),(3):
(1): 2ас1 Зх - Ъ(32 + З2) =0,
(2): 32 = 0 и 31 есть корень многочлена Р(31) = З4 — Л + 4ас1,
(3): 2&С1 - (¿2 + ) = 0, 4ас2 - 4ЪсхЗх + - 724 = 0
Первое множество (1) является окружностью с центром в точке (ас1 /Ь, 0) и радиус ом |а|с1 /Ъ. В ее точках матрица в?Н имеет собственные значения 0 и (-2Ь2)/(-Ь2 + аЗ\). Поскольку а < 0, то данное значение положительно: имеем нестрогий минимум функции Н. В точках этой окружности функция Н равна Ъ2/а.
Второе множество (2) состоит из двух точек (7+, 0) и (3—, 0). Это следует из наличия ровно одного минимума 31 = (Ьс1 )1/3 у пропзводной 473 - 4Ьс1 данного многочлена. При этом Р(0) = 4ас1 < 0, а Р(Ь1/3с1/3) = -3Ь4/3с4/3 + 4ас2 < 0. Отсюда один корень 3+ > Ь1/3с1/3, а другой 3— < 0. С учет ом Р () = 0, матрп ца в? умноженная на куб знаменателя Н, становится диагональной. Знаки ее двух элементов совпадают со знаками (4ас1 - 3Ь31 )(2ас1 - Ь31 )2 и (2ас1 - Ь31 )3. Корни этих много членов 31 = 4ас1 /3Ь и 31 = 2ас1 /Ь отрицательны, многочлен Р в них больше нуля, т.е. они лежат левее отрицательного корня 31— многочлена Р. Следовательно, для всех Ь > 0 это точки невырожденных максимумов.
Третье множество (3) пусто: выразим из первого уравнения 3% (имеем 31 = 0, т.к. Ь = 0) и подставим во второе. Получим уравнение с\(а - 4Ь2/З2) = 0, левая часть которого строго отрицательна.
3. Точки (31,32), в которых Н = 0, задаются уравнением 32 = Ъс1 /31+ас13\_/Ь- З^. Обозначим ) = Ьс1 + ас132/Ь- З3. Многочлен ^ имеет минимум и максимум при 31 = 2ас1 /3Ь < 0 и 31 = 0 соответственно. При Ь = Ь = ^/2с1 (-а/3)3'4 точка минимума является корнем, при Ь > Ь в ней Q(31) > 0, а при 0 < Ь < Ь в ней Q(31) < 0. Поскольку многочлен Q получен умножением правой части уравнения на 3^ то при 0 < Ь < Ь имеем отрезок точек 31 < 0, таких что в них ^ 0. Пр и Ь > Ь в полуплоскости 31 ^ 0 нет точек уро вня Н = 0, а пр и Ь = Ь
12 = 0 11 > 0 Н = 0
из точек кривой 12(11), симметричной относительно 12 = 0 и имеющей асимптоту 11 = 0.
к=0
слои функции Н на множестве К = 0 в для а < 0 и различных 6 = 0. Результат изображен на рисунке 2.
4. Случай а < 0,Ъ = 0 существенно проще. Поскольку хз = 0, то 1з = (11х1 + 12х2)/хз. Подставив выражения для х1, х^, получим что при фиксированном вдпхз = 5 функция 1з(11,12) определена на всей плоскости.
2 4 а ср2
На множестве К = 0 имеем Н = 1Л 12 = -~-;—~-г^-т. Числитель и знаменатель не
1 з 4ас\ — ( 12 + 122)2
Н
11 , 12 11 = 0 Н = 0
пары точек (±\/2с1 (—а )1/4, 0) 12 = 0 4 а с? + 14 —124 = 0. Две
эти точки являются невырожденными максимумами (в них матрица (2Н равна (Над(—2, — 1)), а точки 11 =0 — нестрогими минимумами: матрица (2Н в них диагональна, один из диагональных элементов равен нулю, а другой равен 8ас2/(4ас2 — 12), т.е. положителен из а < 0. Полученное слоение на множестве К = 0 орбиты М4о также изобразим на рис. 2.
2.3. Случай а > 0
1. Будем считать, что Ь ^ 0 в силу наличия у системы симметрии. Подставим выражения х1 х 11 , 1 1 = а, Н = к х = хз + а, 1 = 1з2 + а
12 = к + 12 =: 1, | 1 +—2) =а + хз =: х.
V 2 С1 )
2=
12 + 12
(б + х313 )2 = 12
112
х2132 + 26(6 + х31з) — б2 = х2132 + кх\ + а12 + ак.
Подставим вместо Ь + х^1г ^го выражение через корни из 1 и х: 5у/1у/х. Здесь ^ — знак 11; определяемый исходным уравнением /2 = 6 (поскольку 12 + 12 неотрицателен, и а > 0, то знак перед его знак опустим). Перенеся — б2 направо и возведя в квадрат, получим квадрику х, 1
а212 + 2(ак — 2 Ь2)1х + к2 х2 + 2а( Ъ21 — ак)1 + 2к( Ъ2к — ак2)х + (Ъ2 — ак)2 = 0.
Инварианты квадрики (след Ьг и определитель йеЪ квадратичной части, определитель расширенной матрицы ИвЬ) равны
гг = а2 + к2 > 0, (Ы = 4Ъ2(ак — б2) ,ОеЪ = —4Ь6(ак — б2)2.
= 0 ак = 2
íг > 0, йеЬ = ИеЬ = 0, т.е. имеем пару совпадающих прямых. Иначе имеем гиперболу при к < Ъ2/а (тогда < 0 и ИеЪ = 0) или эллипс при к > Ъ2/а (тогда > 0,№ > 0 и ИеЪ < 0). 2. Опишем возможное расположение полученной квадрики.
1 = 0, 1 = к, х = 0, х = а
являются двойным,и (точками касания, если квадрика, невырождена) и имеют координаты:
1 = 0, к х = — 2 + ак, 1 = к, к х = 2, 1 = 2/ а, х = 0, 1 = к — 2/ а, х = а.
= а, 2 = , Н = к, К = 0 квадрику. Сформулируем три условия на точку квадрики, при нарушении которых система заведомо не имеет вещественных решений:
• 12 ^ 0 : 1 ^ 0 при к ^ 0 и 1 ^ к при к > 0,
• ( 12 + 122)2/4с2 ^ 0 : х ^а,
• ( 12 + 122)/2С1 ^ 12/2С1 : /х ^ к/2с 1, т.е. х ^ 12/4с[.
Первые два условия задают прямые, параллельные осям 01, Ох, а третье — параболу с вершиной в нуле. Назовем их граничным,и, кривыми. На рис. 4 изобразим эти кривые и квадрику 0 1 х , к
ны все три условия. Назовем это множество и его пересечение с квадрикой допустимыми множеством и дугой, как и каждую точку допустимой дуги квадрики.
Тем самым, квадрика-эллипс (к > Ь2/а, рис. 4Ь) и пара прямых (Ь = 0, к > 0 или к = Ъ2/а,Ъ> л/2с7аз/4, рис. 4g) не содержат допустимых точек. Гипербола не содержит таких
к( ) < к < 2/ а = ( ) ( ), к( )
случае к = Ь2/а,Ь = л/2с1аз/4 такая точка одна: х = а, 1 = к.
4. В прообразе допустимой точки квадрики, лежащей на граничной кривой, хотя бы одна из четырех координат 11,12,1з, хз равна нулю. В случае параболы имеем 12 =х2 = 0, х1 = 12/2с1. На прямой х = а > 0 имеем хз = 0. На прямой 1 = 0 при к < 0 имеем 11 = 0, |1з| = \f\h\ > 0. На прямой 1 = к при к > 0 имеем 1з = 0, |111 = л/к > 0.
0 1, 0 х 1 = к > 0
ным, если они принадлежат допустимому множеству, или выколоты, если не принадлежат. В полуплоскости Ь ^ 0 возникает две дополнительные кривые, при которых точка касания квадрики и одной из граничных кривых пересекает и еще одну граничную кривую. Это прямая Ь = у/2с1аз/4 при к < Ъ2/а (касается прямой х = а и пересекает параболу) и кривая к = (2С16)2/з при Ь > л/2С1аз/4 (касание прямой 1 = к и пересекает параболу). На рис. 1 они изображены штриховкой и делят двумерные страты на части (для точек которых квадрики
к > 0
5. Тем самым, в допустимых точках, не лежащих на граничных кривых, все четыре переменные отличны от нуля. Это гарантирует сохранение их знаков вдоль кривой 7 (в) = (к(в), Ь(,в),1 (в),х(в)), где 1, х не выходят на границу допустимой области, а к(в), Ь(,в)
а
вых знаков (в 1, в2, вз, ¿з) координат 11,12,1з, хз дает решение системы Д = а, /2 = Ь, Н = к в прообразе некоторой допустимой точки квадрики, то и в прообразе остальных допустимых то-
,к
что четверки ( 1, +, вз, £з и «1, —, з, ¿з) являются решениями одновременно.
Явно проверим, какие тройки знаков «1, з, ¿з дают решения в прообразе пробных точек с "удобными" координатами для трех дуг, на которые допустимая дуга квадрики с рис. 4а)
х > ( ак — 2)/к
допустимой дуги в случае с рис. 4£). Обозначим их цифрами 1-4 и выберем пробные точки: случай а = 1,6 = 1,к = 1/2 для рис. 4а) и точки с координатой 1 = 3/4,1 = 5/4, случай а = 1, = 1, к = —1 : 1 = 1/2 х( 1)
Как оказалось, решениям для этих случаев соответствуют следующие эволюции знаков для двумерных стратов и дуги е+
на которой h = 0:
рис. la :
рис. la pnc.l/ рис-l/
l : (+, +, +) 2 : (+, -, +), 3 : (+ --);
(+,-, -) 2 (-, -, +) 2 (-, +, -) 2
(+, +, -), 3 (+, -, +), 3 (+, +, -), 3
(+ + +); (+ --); (+ + +)•
При к = 0 допустимая дуга заканчивается двумя точками, в которых 32 = 0, при к = 0 такая точка ровно одна. На кривых Ь = ^/2с\0?/4 и к = (2Ьс\)2/3 в одной из точек касания становятся нулевыми сразу два знака: и либо х3. Это не приводит к бифуркации прообраза соответствующей точки квадрики. Если Ь > 0,к = 0, то допустимая дуга неограничена. Это влечет гомеоморфность уровня не двум окружностям 2Б1, но двум интервалам 2М.
6. В особом случае Ь = 0, к = 0 имеем = 33 = 0 для всей допустимой дуги (луча 3 = 0, х ^ а), а в вершине дополнительно Х3 = 0. Для ,Т2 верно 32 = л/Щ~+~а > 0, т.е. уровень гомеоморфен 2М (отметим, что все эти точки являются вырожденными точками ранга 1,в
к=0
В случае Ь = 0, к < 0 имеем компактную допустимую дугу — отрезок, соединяющий точку (0, а) и точку граничной параболы. В прообразе точки 3 = 0, х = а имеем 3\ = Х3 = 0, а знак З3 постоянен на всей связной компоненте прообраза (3 = к<0
прообраз, гомеоморфный 25*1, т.е. данные такие значения отображения (/2,Н) не являются бифуркационными на множестве К = 0.
В случае к = Ь2/а, 0 < Ь < у/2с\а3/4 аналогично получим, что прообраз связен и гомеоморфен 51: в прообразе точки 3 = к,х = а имеем ,]3 = х3 = 0 а знак 3\ однозначно определен из знака Ь. Они состоят из вырожденных точек ранга 1. В пределе к ^ +0 вырожденная окружность перестраивается в два интервала путем разрыва в двух точках (при Ь ^ 0 имеем то же самое).
3. Заключение
Полученные результаты позволяют описать топологию слоения Лиувилля псевдоевклидовой системы Ковалевской в окрестности точек уровня к = 0, являющихся невырожденными точками ранга 1 и составляющими вместе слой слоения. Для изучения слоения системы при ненулевых к может быть полезно как отдельное изучение особенностей данной системы, так и адаптация метода булевых функций, развитого М.П.Харламовым [37], к псевдоевклидову случаю, когда уровень геометрического интеграла /1 = а есть обобщенный гиперболоид.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Борисов A.B., Мамаев И. С. Классическая динамика в неевклидовых пространствах — Москва, Ижевск: РХД, 2004.
2. Borisov А. V., Mamaev I. S. Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces // Rus. J. of Math. Phys. 2016. Vol. 23, № 4. P. 431-454. "
3. Kowalewski S. Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta Mathematica. 1889. Vol. 12, P. 177-232.
4. Соколов C.B. Интегрируемый случай Ковалевской в неевклидовом пространстве: разделение переменных // Труды МАИ. 2018. Т. 100, С. 1-13.
Рис. 4: Квадрика (красная линия) и граничные кривые при разных Ь, к в случае а > 0, черные точки — их точки касания. Закрашенная область и сплошная линия — допустимые множество плоскости 01х и дуга квадрики (пунктирная линия — дополнение до последней). Значение Ьо = у/2С1аз/4, кривая Ь(€) > 0, Н(€) — нижняя ветвь кривой (8). Для случаев а, { указаны наборы знаков 51, 5 з, ^переменных 11,1з,хз, дающие решения исходной задачи /1 = а, к = Ь,Н = К.
5. Аппельрот Г. Г. Не вполне симметричные гироскопы // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. — М., 1940.
6. Делоне Н.Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов движения твердого тела около неподвижной точки, данных C.B. Ковалевской // Матем. сб. 1892. Т. 16, № 2. С. 346-351.
7. Smale S. Topology and Mechanics: 1 // Invent. Math. 1970. Vol. 10, № 4. P. 305-331.
8. Харламов M. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела, Ленинград: Изд-во Ленинградского Университета 1988.
9. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых га-мильтоповых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1986. Т. 50, № 6. С. 1276-1307.
10. Фоменко А. Т., Цишапг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоповых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем."1990. Т. 54, № 3. С. 546-575.
11. Болсипов A.B., Матвеев C.B., Фоменко А. Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоповых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // УМН. 1990. Т. 45, № 2. С. 49-77.
12. Болсипов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоповы системы. Геометрия, топология, классификация. — Ижевск: РХД, т. 1, 2. 1999.
13. Oshemkov A. A. Fomenko invariants for the main integrable cases of rigid body motion equations, A MS. Vol. 4. P. 67-146. (1991)
14. Bolsinov А. Т., Richter P., Fomenko A. T. The method of loop molecules and the topology of the Kovalevskava top // Sb. Math. 2000. Vol. 191, № 2. P. 151-188.
15. Morozov P. V. The Liouville classification of integrable systems of the Clebsch case // Sb. Math. 2002. Vol. 193, № 10. P. 1507-1533.
16. Morozov P. V. Topology of Liouville foliations in the Steklov and the Sokolov integrable cases of Kirchhoff's equations // Sb. Math. 2004. Vol. 195, № 3. P. 369-412.
17. Logacheva N. S. Classification of nondegenerate equilibria and degenerate 1-dimensional orbits of the Kovalevskava-Yehia integrable system // Sb. Math. 2012. Vol. 203, № 1. P. 28-59.
18. Maslov V. P., Shafarevich A. I. Fomenko invariants in the asymptotic theory of the Navier-Stokes equations // J. Math. Sci. 2017. Vol. 225, № 4. 666-680.
19. Ramodanov S.M., Sokolov S.V. Dynamics of a Circular Cylinder and Two Point Vortices in a Perfect Fluid // Regul. Chaotic Dvn. 2021. Vol. 26, № 6. P. 675-691.
20. Palshin G. P. On noncompact bifurcation in one generalized model of vortex dynamics // Theor. Math. Phvs. 2022. Vol. 212, № 1. P. 972-983. https://doi.org/10.1134/S0040577922070078
21. Haghighatdoost G., Oshemkov A. A. The topology of Liouville foliation for the Sokolov integrable case on the Lie algebra so(4) // Sb. Math. 2009. Vol. 200, № 6. 899-921.
22. Новиков Д. В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(3,l) // Матем. сб. 2014. Т. 205, № 8. 41-66.
23. Komarov I. V. Kowalewski basis for the hydrogen atom // Theoret. and Math. Phvs. 1981. Vol. 47, № 1. P. 320-324. https://doi.org/10.1007/BF01017022
24. Kozlov I. K. The topology of the Liouville foliation for the Kovalevskava integrable case on the Lie algebra so(4) // Sb. Math. 2014. Vol. 205, № 4. P. 532-572.
25. Kibkalo V. A. Topological analysis of the Liouville foliation for the Kovalevskava integrable case on the Lie algebra so(4) // Lobachevskii J. Math. 2018. Vol. 39, № 9. P. 1396-1399.
26. Kibkalo V. A. Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskava integrable case on the Lie algebra so(4) // Sb. Math. 2019. Vol. 210, № 5. P. 625-662.
27. Kibkalo V. A.: Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskava integrable case on the Lie algebra so(3, 1) // Topol. and Appl. 2020, Vol. 275, № 107028. https://doi.org/ /10.1016/j.topol.2019.107028
28. Fedoseev D. A., Fomenko A. T. Noncompact Bifurcations of Integrable Dynamic Systems //J. Math. Sc. 2020. Vol. 248. P. 810-827.
29. Кудрявцева E. А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками // ДАН. 2012. Т. 445, № 4. С. 383-385.
30. Новиков Д. В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли е(3) // Матем. сб. 2011. Т. 202, № 5. С. 127-160.
31. Николаенко С. С. Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерных некомпактных многообразиях // Матем. сб. 2020. Т. 211, № 8. С. 68-101.
32. Николаенко С. С. Топологическая классификация некомпактных 3-атомов с действием окружности // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 5. С. 185-197.
33. Nikolaenko S.S. Topological classification of the Gorvachev integrable systems in the rigid body dynamics: non-compact case // Lobachevskii J. Math., 2017. Vol. 38. C. 1050-1060.
34. Ведюшкина (Фокичева) В. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81, № 4. С. 20-67.
35. Ведюшкина В. В., Скворцов А. И. Топология интегрируемого бильярда в эллипсе на плоскости Минковского с гуковским потенциалом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2022. № 1. С. 8-19.
36. Kibkalo V. A. Noncompactness property of fibers and singularities of non-Euclidean Kovalevskava system on pencil of Lie algebras // Moscow Univ. Math. Bull., 2020. Vol. 75, № 6. P. 263-267. *
37. Харламов M. P. Топологический анализ и булевы функции: I. Методы и приложения к классическим системам // Нелинейная динамика, 2010. Т. 6, № 4. С. 769-805.
REFERENCES
1. Borisov, A.V. к Mamaev, I.S. 2004, Classical dynamics in non-Euclidean spaces — Moscow, Izhevsk: R.Ch.D. (in Russian)
2. Borisov, A.V. к Mamaev, I.S. 2016, "Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces", Rus. J. of Math. Phys., vol. 23, no. 4, pp. 431-454.
3. Kowalewski, S. 1889, "Sur le probléme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe", Acta Mathematica, vol. 12, pp. 177-232.
4. Sokolov, S.V. 2018, "The integrable case of Kovalevskava in a non-Euclidean spase: separation of variables", Trydi MAI., vol. 100, pp. 1-13.
5. Appelrot, G.G. 1940, "Ne vpolne simmetrichnve tyazhelve giroskopv", Dvizhenie tverdogo tela vokrug nepodvizhnoi tochki, — Izd-vo AN SSSR, M. I... pp. 61-157.
6. Delaunav, N.B. 1892, "Zur Frage von der geometrischen Deutung der Integrale von S. Kowalevski bei der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkte", Sb. Math., vol. 16, no. 2, pp. 346-351.
7. Smale, S. 1970, "Topology and Mechanics: 1", Invent. Math., vol. 10, no. 4, pp. 305-331.
8. Kharlamov, M.P. 1988, Topological analysis of integrable problems of rigid body dynamics, LSU Publ., Leningrad, 200 pp.
9. Fomenko, A.T. 1987, "The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions to integrabilitv", Math. USSR-Izv., vol. 29, no. 3, pp. 629-658.
10. Fomenko, А. Т. к Zieschang, H. 1991, "A topological invariant and a criterion for the equivalence of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom", Math. USSR-Izv., vol. 36, no. 3, pp. 567-596.
11. Bolsinov, A. V., Matveev, S.V. к Fomenko, A.T. 1990, "Topological classification of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom. List of systems of small complexity", Russian Math. Surveys, vol. 45, no. 2, pp. 59-94.
12. Bolsinov, A.V. к Fomenko, А. Т. 2004, Integrable Hamiltonian systems: geometry, topology, classification, Chapman к Hall /CRC, Boca Raton, London, N.Y., Washington.
13. Oshemkov, A. A. 1991, "Fomenko invariants for the main integrable cases of rigid body motion equations", A MS. vol. 4. pp. 67-146.
14. Bolsinov, А. Т., Richter, P. к Fomenko, A.T. 2000, "The method of loop molecules and the topology of the Kovalevskava top", Sb. Math., vol. 191, no. 2, pp. 151-188.
15. Morozov, P. V. 2002, "The Liouville classification of integrable systems of the Clebsch case", Sb. Math., vol. 193, no. 10, pp. 1507-1533.
16. Morozov, P. V. 2004, "Topology of Liouville foliations in the Steklov and the Sokolov integrable cases of Kirchhoff's equations", Sb. Math., vol. 195, no. 3, pp. 369-412.
17. Logacheva, N. S. 2012, "Classification of nondegenerate equilibria and degenerate 1-dimensional orbits of the Kovalevskava-Yehia integrable system", Sb. Math., vol. 203, no. 1, pp. 28-59.
18. Maslov V. P. к Shafarevich, A.I. 2017, "Fomenko invariants in the asymptotic theory of the Navier-Stokes equations", J. Math. Set., vol. 225, no. 4, pp. 666-680.
19. Ramodanov S.M. к Sokolov, S.V. 2021, "Dynamics of a Circular Cylinder and Two Point Vortices in a Perfect Fluid", Regul. Chaotic Dyn., vol. 26, no. 6, pp. 675-691.
20. Palshin, G. P. 2022, "On noncompact bifurcation in one generalized model of vortex dynamics", Theor. Math. Phys., vol. 212, no. 1, pp. 972-983. https://doi.org/10.1134/S0040577922070078
21. Haghighatdoost, G. к Oshemkov, A. A. 2009, "The topology of Liouville foliation for the Sokolov integrable case on the Lie algebra so(4)", Sb. Math., vol. 200, no. 6, pp. 899-921
22. Novikov, D. V. 2014, "Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(3,l)", Sb. Math., vol. 205, no. 8, pp. 1107-1132.
23. Kozlov, I. K. 2014, "The topology of the Liouville foliation for the Kovalevskava integrable case on the Lie algebra so(4)", Sbornik: Mathematics, vol. 205, no. 4, pp. 532-572.
24. Kibkalo, V. A. 2018, "Topological analysis of the Liouville foliation for the Kovalevskava integrable case on the Lie algebra so(4)", Lobachevskii J. Math., vol. 39, no. 9, pp. 1396-1399.
25. Kibkalo, V. A. 2019, "Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskava integrable case on the Lie algebra so(4)", Sb. Math., vol. 210, no. 5, pp. 625-662.
26. Kibkalo, V. A. 2020, "Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskava integrable case on the Lie algebra so(3, 1)", Topol. and Appl, vol. 275, no. 107028.
27. Komarov, I. V. 1981, "Kowalewski basis for the hydrogen atom", Theoret. and Math. Phys., vol. 47, no. 1, pp. 320-324. https://doi.org/10.1007/BF01017022
28. Fedoseev, D.A. к Fomenko, A.T. 2020, "Noncompact Bifurcations of Integrable Dynamic Systems", J. Math. Sc., vol. 248, pp. 810-827.
29. Kudrvavtseva, E. A. 2012, "An analogue of the Liouville theorem for integrable Hamiltonian systems with incomplete flows", Doklady Mathematics, vol. 86, no. 1, pp. 527-529.
30. Novikov, D.V. 2011, "Topological features of the Sokolov integrable case on the Lie algebra e(3)", Sb. Math., vol. 202, no. 5, pp. 749-781.
31. Nikolaenko, S.S. 2020, "Topological classification of Hamiltonian systems on two-dimensional noncompact manifolds", Sb. Math., vol. 211, no. 8, pp. 1127-1158.
32. Nikolaenko, S. S. 2021, "Topological classification of non-compact 3-atoms with a circle action", Chebyshevskii Sb., vol. 22, no. 5, pp. 185-197.
33. Nikolaenko, S.S. 2017, "Topological classification of the Gorvachev integrable systems in the rigid body dynamics: non-compact case", Lobachevskii J. Math., vol. 38, pp. 1050-1060.
34. Vedvushkina (Fokicheva), V. V. к Fomenko, A.T. 2017, "Integrable topological billiards and equivalent dynamical systems", Izv. Math., vol. 81, no. 4, pp. 688-733.
35. Vedvushkina, V. V. к Skvortsov, A. I. 2022, "Topology of integrable billiard in an ellipse on the Minkowski plane with the Hooke potential", Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., vol. 77, no. 1, pp. 8-19.
36. Kibkalo, V. A. 2020, "Noncompactness property of fibers and singularities of non-Euclidean Kovalevskava system on pencil of Lie algebras", Moscow Univ. Math. Bull., vol. 75, no. 6, pp. 263-267.
37. Kharlamov, M. P. 2010, "Topological analysis and Boolean functions. I. Methods and application to classical systems", Nelin. Dinam., vol. 6, no. 4. pp. 769-805.
Получено: 30.01.23 Принято в печать: 24.04.2023
