CC BY
4УДК 517.938.5
СВОЙСТВО НЕКОМПАКТНОСТИ СЛОЕВ И ОСОБЕННОСТЕЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ СИСТЕМЫ КОВАЛЕВСКОЙ НА ПУЧКЕ АЛГЕБР ЛИ
В. А. Кибкало 1
Показано, что слоения Лиувилля семейства неевклидовых аналогов интегрируемой системы Ковалевской на пучке алгебр Ли имеют как компактные, так и некомпактные слои. Также существует перестройка их компактного совместного уровня в некомпактный, имеющая некомпактный особый слой. В частности, это верно для e(2,1)-аналога системы Ковалевской. В случае ненулевой постоянной площадей доказан критерий наличия некомпактной компоненты поверхности уровня первых интегралов и функций Казимира.
Ключевые слова: гамильтонова система, интегрируемость, твердое тело, алгебра Ли, слоение Лиувилля, компактность.
It is shown that Liouville foliations of the family on non-Euclidean analogs of Kovalevskaya integrable system on a pencil of Lie algebras have both compact and noncompact fibers. A bifurcation of their compact common level surface into a noncompact one exists and has a noncompact singular fiber. In particular, this is true for the non-Euclidean e(2,1)-analogue of the Kovalevskaya case of rigid body dynamics. For the case of nonzero area integral, we prove an effective criterion of existence of a noncompact component of the common level surface of first integrals and Casimir functions.
Key words: Hamiltonian system, integrability, rigid body, Lie algebra, Liouville foliation, compactness.
Обсуждаются аналоги известной интегрируемой системы Ковалевской и ее обобщения И. В. Комаровым (см. [1]) на пучок so(3,1)-e(3)-so(4) алгебр Ли с параметром к £ К. Их скобки Ли-Пуассона на R6(Ji ,J2,J3 ,X1,Х2,Х3) имеют вид (eijk есть знак перестановки (ijk) —> (123))
{Ji ,Jj} — eijk Jk , {Ji ,Xj} — eijk {Xi,Xj} — eijk KJk ■ (1)
Для этих систем были найдены [2-4] бифуркационные диаграммы и перестройки-атомы торов Лиувилля, а в [5-8] вычислены тонкие топологические инварианты Фоменко-Цишанга [9, 10].
В работе А. В. Борисова и И. С. Мамаева [11] описан аналог задачи Ковалевской (и других случаев интегрируемости: Эйлера, Лагранжа, Горячева-Чаплыгина, Гесса) динамики твердого тела в пространстве постоянной отрицательной кривизны (плоскости Лобачевского). Комплексное преобразование J j — i ■ Jj / kjX j — i ■ Xj / k, j — 1, 2, 3, переводит семейство систем Ковалевской (1) на пучке so(3,1)-e(3)-so(4) в новое семейство. Алгебре Ли e(3) (т.е. случаю к — 0) соответствует алгебра Ли e(2,1). Остальные алгебры Ли заданы структурными константами их скобок Пуассона.
к—0
построено С. В. Соколовым в [12].
Функции Казимира (геометрический интеграл fi и интеграл площадей /2), гамильтонпан H и первый интеграл F нового семейства систем Ковалевской в координатах Ji ,...,хз имеют вид
/1 — x1 + x2 - k2x\ + кх\ + кх2 - кk2x\ — a, (2)
/2 — X1J1 + X2J2 - k2X3J3 — b, (3)
Я = i (,J¡ + Jf - 2k2J¡) - blX 1 = h, (4)
F = -a(J¡- Jl + 2blxl + Kbi)2+ -A{2JlJ2 + 2blx2f = f. (5)
1 Кибкало Владислав Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ;
мл. науч. сотр. Московского центра фундаментальной и прикладной математики, e-mail: slava.kibkaloQgmail.com.
Kibkalo Vladislav Alexandrovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and
Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications; Junior Researcher, Moscow Center for Fundamental and
Applied Mathematics.
Топология фазового пространства, расслоенного на совместные уровни интегралов (2)-(5), и поведение траекторий таких систем могут быть устроены весьма необычно. Так, для неевклидова случая Эйлера (свободного движения тела по некоторому пространству отрицательной кривизны) свойство траектории быть ограниченной (на 2-торе) или неограниченной определяется знаком Jf + J — 2k2 J3 = J, J)g относительно квадрата вектора J 2-формы diag (1,1, —k2).
Интересно проверить, содержат ли системы Ковалевской на новом пучке некомпактные слои и их бифуркации. Системы с такими слоениями активно изучаются, в работе [13] приведен широкий список таких особенностей, обнаруженных в интегрируемых системах механики и геометрии. В [14] были классифицированы слоения Лиувилля бильярдных систем с неограниченными столами. Их особенности топологически эквивалентны некомпактным боттовским атомам-бифуркациям интегрируемых гамильтоновых систем. В работе [15] предложена классификация некомпактных особенностей в достаточно широкой общности.
Другой класс таких особенностей включает перестройку компактного слоя в некомпактный без падения ранга отображения момента [13]. В настоящей работе показано, что некомпактные слои системы Ковалевской возникают похожим образом (теорема 3). Отметим, что изучать такие особенности вычислительным путем весьма непросто.
Также в настоящей работе доказана связь между некомпактностью совместного уровня первых интегралов (слоя или несвязного объединения слоев) и падением степени некоторого полинома с переменными коэффициентами (которые непрерывны и ограничены). Каждая точка слоя соответствует корню этого полинома, а неограниченность корня при малом изменении коэффициентов (по теореме Виета) возможна лишь при обращении в нуль старшего коэффициента многочлена. Вопросы полноты потоков и функциональной незавимости первых интегралов мы не рассматриваем.
1. Параметризация совместного уровня Ta,b,h,f = {y G R6 I /i = a, f2 = b,H = h,F = f}. Компактность множества Ta,b,h,f равносильна его ограниченности: оно замкнуто как заданное системой полиномиальных уравнений. Используя вид функций H и fi, выразим функции J2 и x2 через переменные Ji,J2,x1,x2.
Замена координат £i = J2 — Jf+2bixi + кЬ1 и £2 = 2Ji J2 + 2biX2 биективна и линейна по парам переменных xi,x2 и Здесь £2 + = 4F := /2, т.е. используется специальный вид интеграла
F. Теперь перейдем к полярным координатам /, a, r, в с особенностями при r = 0 или / = 0:
= / cos a, £2 = / sin a, Ji = r cos в, J2 = r sin в-
Рассмотрим A = [0, 2п] x [0, 2п] и множество V = A(a, в) x R+ (r)/ ~ с эквивалентностью (0,в, r) ~ (2п,в, r), (a, 0, r) ~ (a, 2n,r), (a^i, 0) ~ (а,в2, 0) для Vа.ввъ G [0, 2п].
Множество точек x G V : r(x) > 0 есть произведение 2-тора на открытый луч. Примем / = 0.
Перепишем /i,/2,H в новых координатж. Из выражения для (4) получаем J — k2J2 = h + (£i — кb2)/2 и подставляем правую часть соотношения в формулу (2). функции J2 и x2 от (a^,r) принимают вид
k2J¡(a, в, r) = —h + (bix)/2 — 1/2/ cos a + r2(cos в)2, (6)
4bik2x2(a, в, r) = r4 + 2(кb\ — /cos(a — 2fj))r2 + (—4abi + /2 + 4xbih — K2b\). (7)
Возведя в квадрат уравнение —b + xi Ji + x2J2 = k2 x22 J3 площадей, получим полином P (r)
r
8biP(r) = g4(a, в)И + g3(a, в)r3 + g2(a, в)r2 + gi(a, в)r + go(a, в) = 0. (8)
Коэффициенты gj(a, в) ограничены на A и непрерывно зависят от a, в, значений интегралов a, b, h, / на слое, параметра пучка к и констант bi, k:
g4 = 2h — к bi + / cos(a — 4в), g3 = 8bib cos в,
g2 = 4ab2 — 4/h cos(a — 2в) + 2(2ab2 — /2 — 2к b2h + K2b4) cos 2в, gi = b■ 8bi(—/ cos(a — в) + кb2 cos в), go = 8b2b2 + (2h — Kb2 + / cos a)(—4ab2 + /2 + 4Kb2h — K2b4).
Пусть S С V есть поверхность корней P(r). При / = 0 определена проекция п : Ta,b,h,f —^ S.
Лемма 1. Прообраз п-1(х) точки х Е Б пуст тогда и только тогда, когда -13(х) < 0 или х\(х) < 0 (формулы (6), (7)). Прообраз точки х состоит из одной точки, если х3(х) = ■13(х) = 0. Прообраз каждой из остальных точек состоит из двух точек, причем если х3(х) • ,13(х) = 0; то он является одной из следующих пар точек:
, либо , •
Доказательство. Пусть rf = 0. Тогда точки R6(x, J) из прообраза точки x Е S заведомо лежат в множестве F = f. Возведение в квадрат уравнения k2x3J3 = —b + xiJi + X2J2 добавляет новые решения, в точках которых знак X3J3 и знак правой части отличаются (так, при X3 J3 = 0 переход равносилен). Равенства (6), (7) позволяют явно выразить J|(x),x2(x) соответственно, т.е. выбор знаков дает ровно 4 варианта при x3 J3 = 0. Поскольку переход неравносилен, то потребуется выбрать одну из пар точек с одинаковым знаком x3,J3. □
2. Достаточное условие компактности связного слоя на уровне Ta,b,h,f Лемма 2. Какая-либо из шест,и координат, x1,...,J3 не ограничена на поверхности уровня Ta ь h k первых интегралов тогда и только тогда, когда на ее образе в S не ограничена функция r2 '= J2 + J22.
Доказательство. Переменные xi, x2 и квадраты x3 , J2 выражаются как полип омы от J1J2, от £i,£2 (ограниченных то модулю значением f на 2-слое) и от некоторых постоянных системы. □ Аналогично множество r = 0 всегда компактно в Ta,ь,h, f: подставим Ji = J2 = 0 в fi , f2 , H, F. Как известно, корни многочлена со старшим коэффициентом 1 непрерывно зависят от его коэффициентов. Если последние непрерывны на компакте, то все корни всех таких полиномов ограничены в совокупности. Тем самым лишь обращение в нуль где-то на A старшего коэффициента #4(а, ß) может дать неограниченную поверхность S и, возможно, неограниченный уровень Ta, ь,h,k-
Теорема 1 (достаточное условие компактности связной компоненты уровня интегралов). Пусть для, H = h,F = f, к выполнено (2h — к^)2 > 4f. Тогда, для, неевклидовой системы Ковалевской со значением параметра к пучка скобок Пуассона и любых значений функций Казимира fi = a, f2 = b
Ta ь h f
Доказательство. Старший коэффициент P(r) в (8) равен g4(a, ß) = 2h — кb2 + f cos(a — 4ß). В случае f = 0 он отделен от нуля на торе A в том и только в том случае, когда уравнение cos 7 = (2h — ^^/f не имеет корней 7 = а — 4ß. В случае f = 0 этот коэффициент постоянен на уровне Ta ь h f
P g4
эффициентами, ограниченными по модулю M > 0 на всем торе A. Тогда все корни многочленов P(r)\a, в (т.е. тройки (a,ß,r) Е S) ограничены по модулю, например, выражением |r| < 4 • M4.
При любом f Е R из условия (2h — кЬ2)2 > 4f следует ограниченность конечнозначной функции r(a, ß) на торе A или r(ß)\f=о на Si(ß), т.е. имеет место компактность связных компонент уровня Ta ь h f □
Ta ь h f
далее f > 0 и условие (2h — кЬ2)2 > 4f = f2 не выполнено. Найдем нули функции #4 на торе A.
Лемма 3. В случае f > 0 нули старшего коэффициента g4 многочлена, P на торе A лежат на, кривой а = 4ß при 2h — кЬ\ = —f, на, кривой а = 4ß + ж при 2h — кЬ^2 = f или на па,ре кривых а = 4ß ± ф при \2h — кЬ2\ > f , где ф = arrcos ((кЬ2 — 2h)/f) Е (0,ж).
Примем b > 0 (случай b < 0 аналогичен). Тогда, за исключением конечного числа точек, для
P
т.е. нечетна и ровно на единицу меньше максимальной. Исключенные точки имеют координату ß = ж/2, 3ж/2.
Теорема 2 (критерий наличия некомпактной связной компоненты у поверхности уровня). Пусть b = 0 и — f ^ кЬ2 — 2h ^ f, где F = f = f2/4. Тогда, совместная поверхность уровня Ta ь h f (a, b, h, f 2/4)
g4
коэффициентами gj) многочл ен P имеет тереходя к пределу r —> ж ил и r —> —ж в выра-
жении 8biPr-3, получим #4r — #3 = 0. Тем самым уравнение P(r) = 0 имеет ровно один "большой"
r g4 b g4 • g3 < 0
Sr
2. Рассмотрим на кривой нулей дуги, на которых дз = 8bi \bcos в\ > и их е-широкие трубчатые проколотые окрестности Li (т.е. n дугам соответствует 2n односторонних тонких полосок).
Вдоль выбранной кривой нулей знак cos в меняется, а знак д4 постоянен на каждой полосе, на которые тор разбивается кривыми нулей. Тогда в одной из связных компонент Li знак корня r всегда положителен, а модуль ограничен снизу возрастающей к бесконечности функцией от е.
Тем самым некоторая связная компонента уровня Ta,b,h,f содержит такой двумерный диск, что
все его точки удалены от нуля пространства R6(J,xX) не менее чем на любое выбранное "большое" расстояние. □
Следствие. Если связный слой уровня \2h — кb2\ = f некомпактен, то вблизи него имеются компактные слои уровней \2h — кЬ2\ = (1 + s)f, где е > 0. При е —> +0 максимум расстояний от точек уровня до нуля пространства R6 растет (из-за наличия перемен знака, у cos в при выбранном малом по модулю д4).
Теорема 3. Совместный уровень первых интегралов Ta, h,f, для которого \2h — xb\\ = f > 0, является бифуркационным в Q'h = {f1 = a, f2 = b,H = h} и некомпактным. В его окрестности происходит, перестройка компактного совместного уровня в некомпактный уровень.
Для определения типа гомеоморфности слоя и количества слоев будет полезно применить подход [3] к нахождению критического множества и изучить особенности рассматриваемой системы при cos в = 0. В случае b = 0 близкую задачу следует решить для биквадратного уравнения g4r4 + д2 r2 + до = 0.
Численное построение (в системе Wolfram Mathematica 12) поверхности S над квадратом A и проекции Ti)i)h)4 на нее для h Е {1-8,2,2.5} и k = bi = 1, к = 0 позволяет проиллюстрировать описанный в теореме 3 эффект.
Автор приносит благодарность научному руководителю А. Т. Фоменко за внимание к работе.
Автор является стипендиатом Фонда развития теоретической физики и математики "БАЗИС", проект № 18-2-6-51-1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Комаров И.В. Базис Ковалевской для атома водорода // Теор. и матем. физ. 1981. 47, № 1. 67-72.
2. Харламов М.П. Бифуркации совместных уровней первых интегралов в случае Ковалевской // Прикл. матем. и механ. 1983. 47, № 6. 922-930.
3. Козлов И.К. Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) // Матем. сб. 2014. 205, № 4. 79-120.
4. Kharlamov М.Р., Ryabov Р.Е., Savushlin A.Yu. Topological atlas of the Kowalevski-Sokolov top // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. 21, N 1. 24-65.
5. Болсинов А.В., Рихтер П., Фоменко А. Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. 191, № 2. 3-42.
6. Kibkalo V. Topological analysis of the Liouville foliation for the Kovalevskaya integrable case on the Lie algebra so(4) // Lobachevskii J. Math. 2018. 39, N 9. 1396-1399.
7. Кибкало В.А. Топологическая классификация слоений Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) // Матем. сб. 2019. 210, № 5. 3-40.
8. Kibkalo V. Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskaya integrable case on the Lie algebra so(3, 1) // Topol. and its Appl. 2020. 275. 107028.
9. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых га-мильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. РАН. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
10. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1,2. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999.
11. Borisov A.V., Mamaev I.S. Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces // Rus. J. Math. Phys. 2016. 23, N 4. 431-454.
12. Соколов С.В. Интегрируемый случай Ковалевской в неевклидовом пространстве: разделение переменных // Тр. МАИ. 2018. 100. 1-13.
13. Федосеев Д.А., Фоменко А. Т. Некомпактные особенности интегрируемых динамических систем // Фунд. и прикл. матем. 2016. 21, № 6. 217-243.
14. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. 81, № 4. 20-67.
15. Николаенко С. С. Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерных некомпактных многообразиях // Матем. сб. 2020. 211, № 2. 123-150.
Поступила в редакцию 27.02.2020
