CC BY
3
Прикладная математика & Физика, 2023, том 55, № 3. С. 197-206. Applied Mathematics & Physics, 2023, Volume 55, No 3. P. 197-206.
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 517.55+517.96 DOI 10.52575/2687-0959-2023-55-3-197-206
MSC 39A06, 32A10, 39A10, 39A14 Оригинальное исследование
Первые асимптотики решений вырождающихся дифференциальных
уравнений второго порядка
1 Архипов В. П. , 2 Глушак А. В.
1 Орловский государственный университет им. И. С. Тургенева, Россия, 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95 [email protected]
2 Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 308015, Белгород, ул. Победы, 85 [email protected]
Аннотация. Для обыкновенных линейных вырождающихся дифференциальных уравнений второго порядка предложен метод построения асимптотических представлений решений, позволяющий построить точные асимптотики решений в окрестности точки вырождения. Приводится пример получения степенной асимптотики. Ключевые слова: вырождающиеся дифференциальные уравнения, точка вырождения, асимптотические представления, степенная асимптотика
Для цитирования: Архипов В. П., Глушак А. В. 2023. Первые асимптотики решений вырождающихся дифференциальных уравнений второго порядка. Прикладная математика & Физика, 55(3): 197-206. D0I 10.52575/2687-0959-2023-55-3-197-206
Original Research
First Asymptotics of Solutions of Degenerate Differential Equations of the Second
Order
1 Viktor P. Arkhipov , 2 Alexander V. Glushak
1 Oryel State University named after I. S. Turgenev, 95 Komsomolskaya st., Orel, 302026, Russia [email protected] 2 Belgorod National Research University, 85 Pobedy st., Belgorod, 308015, Russia [email protected]
Abstract. For ordinary linear degenerate differential equations of the second order, a method for constructing asymptotic representations of solutions is proposed, which allows construct exact asymptotics of solutions in a neighborhood of the degeneracy point. An example is given obtaining a power asymptotics.
Keywords: Degenerate Differential Equations, Degeneracy Point, Asymptotic Representations, Power Asymptotics
For citation: Arkhipov V. P., Glushak A. V. 2023. First Asymptotics of Solutions of Degenerate Differential Equations of the Second Order. Applied Mathematics & Physics, 55(3): 197-206. (in Russian) DOI 10.52575/2687-0959-2023-55-3-197-206
1. Введение. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, при сохранении знака коэффициента при старшей производной, подробно изучены в классических курсах дифференциальных уравнений. Однако изучение поведения решений вблизи точки вырождения указанного коэффициента требует определенных усилий (см. [3, 4, 1]). В настоящей работе нас интересует возможность построения точных асимптотик решений в окрестности точки вырождения при f ^ 0+.
Рассмотрим вырождающееся при t = 0 дифференциальное уравнение
(а (0и '(£))' + Ъ (£ )и '(0 + С (£ )и (£) = f (£) (1)
с действительными на отрезке [0,1] коэффициентами и такими, что Ъ(0) Ф 0, а(0) = 0, а^) > 0 при t € (0,1], а также при некоторых предположениях о гладкости коэффициентов, позволяющих проводить необходимые преобразования.
В работах [1, 2] построены разложения решений уравнения (1) по асимптотическим рядам специально выбранных функций. Приведем во введении некоторые из этих результатов, которые понадобятся для наших дальнейших исследований.
Пусть с1(^ — произвольная достаточно гладкая функция и такая, что с1(^ Ф 0 при f € (0,1]. Для любых точек t0, f € (0,1] определим две функции о^(ь), к = 1, 2 по формуле
(t, к) =
1
4W)
exp
/ to /
\ t
b(T) - (-1)kd(T)
2a ( t)
а также функции
h (t) =
4 d( t)
In. \
(d^Jt)\2_ (a(t)d'(t) \' d2( t) - b2( t) + 4a( t)c(t) - 2 а( t)b'(t)
(a( f)U(öJ - 2i + Ф) ,
(2)
(3)
s(t) = I h( t) dt, w(t, t0) = I —j^t dt.
/
/
( )
(4)
о г
При /(^ = 0 линейно независимые решения однородного уравнения (1) могут быть представлены в виде Ш(0 = Ф(001 щ(0 = Т(002(0. Функция Ф( ^ — решение задачи
где К1 — интегральный оператор
Ф( t) = 1 +KMt), Ф (0) = 1,
10
Кц<р(t) = J (t, т)<р(т) dr
(5)
с ядром ^ (t, т) = к(т) при 0 < т < £ < к и к1 (t, т) = к(т) ехр ( м(т, к) - w(t, к)) при t < т < к, функции к(^, м(I, к) введены в (3), (4).
Аналогично, функция Т ( ^ — решение задачи
где К2 — интегральный оператор
t) = 1 + К2Т (t), Т (0) = 1,
I
К2-ф(t) = J k2(t, r)f (r)dr
(6)
с ядром к2(^ т) = -к(т) (1 - ехр ( м(^ - w(т, ^))) при 0 < т < ^
В дальнейшем будем полагать Ъ(ь) = Ь = сот£ Ф 0, а(ь) = а0(ь), т > 2, а0 (0 > 0, что означает случай сильного вырождения уравнения (1).
Пусть с1(0 = л/Ъ2 - 4а(ь)с(0. Выберем точку ^ > 0 так, чтобы для t € [0, выполнялись неравенства с1(0 > 0. Такой выбор функции с1(0 и точки t0 позволяет при f ^ 0 записать асимптотические представления
а(t) = tmO(1), h(t) = t2m-20(1), d(t) = \b\(1 + tmO(1)), s(t) = h{r)dr = t2m-10(1)
I
(7)
что в дальнейшем позволит использовать (7) при нахождении асимптотик решений.
2. Асимптотические свойства интегральных операторов К1 и К2. Будем предполагать в дальнейшем, что функции а(^ и /(^ имеют именно степенную асимптотику конечного порядка в точке f = 0. Лемма 1. Пусть а(0,/(0, с1(0 € С2[0, для некоторого ^ € (0,1], а(0) = а'(0) = 0 и на (0, ( ) > 0,/(ь) Ф 0, кроме того, d(ь) > 0 на [0, . Тогда справедливы представления
ю ( й \
ехР(-/^(ТУ К №)(1 + ''С)°(1)))• (8)
\ f /
ff«) exP--I Ш < Ш Ы°Т-](1 +40 \ f
1
Доказательство. Дважды интегрируя по частям, получим представление
to t f \ tö / t \
Iя ®exp -IW)dT
a( to)f( t o)
d( to)
exp
\ {
I to
(-1
\ t
.= a(t)f(t) ^ |g( j-)f(ay
d( t) a( t)
d^ d( t) + J \ d( $ j
\ ..... to I
exp
-I
\ f
d( t) ( )
di;-
= a(t)f(t) ^ |a( %)f(fly
( ) ( )
exp
-J
\ Z
t \ d( t)
d t
( )
d% + o( tm) =
a( t)f( t) a( t)f( t) d( t) d( t)
lo !
( ) ( )
( )
/ a
exp
/
d( t)
( )
d% + o( tm),
где
Л о = (^)'.
Рассмотрим далее отношение
(10)
/ (a( %)f(%)/d(£))' exp (- f d(t)/a(t)d^ f (a( %)f(Шd(Ю)' exp | /d(t)/a(t)dT
f( t) a( t) a'( t)/d( t)
f(t)a(t)a'(t)/d(t) exp
( )/ ( )
и, поскольку функции а(^ и /(^ имеют именно степенную асимптотику конечного порядка в точке I = 0, то применяя правило Лопиталя к этому отношению, получим
-
lim
{a(t)a'(t)f(t)/d(t)j - a'(t)f(t)
= со ns t = О (1).
(11)
Таким образом, в силу доказанного равенства (11)
exp
- ( )/ ( )
f( t) a( t) a'( Q
dt=—KtT~0 (1),
что вместе с (10) устанавливает асимптотическое представление (8).
Докажем теперь представление (9). Как и при доказательстве (8), дважды интегрируя по частям, получим
У'«5 exp-/ Ш ' т"{==!
0 \ £ / 0
a(Z)f(fl d(fl d(Z) a( %)
exp
-i
\
d( t)
( )
dg =
t t a(t)f(t) f a(& (a(®f(fl)' _ f d(j)
d(t) J d(^ d(& j a(& exp J a(t) T
o\
d £ =
t t = a(t)f(t) ф) (a(t)f(t))' f (a(J) (a(%)f(fl)')' _ f dij±
d(t) d(Ol d(t) I J U( !)\ d(Ю exp J a(t) T
o\
dl
Поскольку
Кш
f f(exp - ! d(t)/a(t)dT
o_W_,
f( t) a( t) a'( t)/d( t)
= lim
f f(exp - ! d(t)/a(t)dT
o
f(t)a(t)a'(t)/d(t) exp
- ( )/ ( )
o
f( t) exp
= lim -;-;-
— У d( т)/a( t) dr
to , , ' to
f( t) exp — Jd( т)/ a( т) dr + \a( t)f( t)/d( 0) exp — fd( т)/ a( т) dr
== lim _m_' = 1,
' ^o+f( t) + ( a( t)f( t)/d( t)j
то
t t \ If( й eXP —i Ш *Г
\ f /
a( t) / a( t)f( t) V
d*= m\f(t) — ~ddГ (1+0(1)
и из (12) вытекает представление (9). Лемма доказана. Введем следующие обозначения:
I io г
К10(р(t) = J h(т)(р(т) dr, K11(p(t) = J h(т)(р(т) exp (w(т, to) — w(t, to)) dт, s(t) = J h(т) dr,
где функции к(ь), ч(I, к) определены в (3), (4). Интегрируя по частям, будем иметь
t t К10р(t) = J h(r)p(т) dr = s(t)p(t) — J s(r)p'(t) dr,
o o
а, применяя лемму 1 при p(t) е С2 [o, io], получим
to '
К11Р(t) = J h(т)р(т) exp (w(г, to) — w(t, to)) dт= (h(t)p(t) + h(t)p(f)j (1 + a'(t)0(1))J . (13)
t
Поэтому для K1p(t) справедливо асимптотическое представление
К1Р (t) = Kop (t) + Кцр (t) =
t
= s(t)p(t) — f s(t)p'(t) dr+ ^ (h(t)p(t) + h(t)p(0) (1 + a'(t)0(1))) . (14)
o
Продифференцировав (5) и применив (13), получим асимптотическое представление для производной
to
(К1 p( t))' = —— exp(—w(t, to)) h( t)p( t) exp (w(r, to)) dr = ——^p(t) = ( ) ( )
t
= h(f)p(f) + (Цh(t)p(0) (1 + a'(t)0(1)) = h(t)p(t) (1 + o(1)). (15)
Аналогично применяя лемму 1 при f(t) е С2 [o, to], получим t
fof(t) = — j h(т) (1 — exp (w(t, to) — w(t, to))) f (т) dr = ^of (t) + К21Ф(t) =
o
t
= — s(t) f (t) + ^ At) f (T) dr+ Ц (h( t)f (t) — h(t) f (0) (1 + 0(1))) . (16)
o
Дифференцируя (6) и применяя лемму 1, с учетом асимптотических представлений (7), будем иметь
t
(К2 f ( t))' = к2(t, t) f ( t) — f h( t) exp ( w(t, to) — w(т, t0))f (r) dr =
( )
o
d(f) f и ^ f d(® А,
= -W)j h(r)exp J
/ t \ ,
f (т) dT = -h (t)f (t) + Щ h (t)f (o) (1 + 0(1)) =
\ Г /
= -h (t) f (t)(1 +o(1)). (17)
3. Первые асимптотики функций Ф( t) и Т(t). Результаты предыдущего пункта применим для исследования асимптотики функций Ф( t) и Т( t). Отметим, что требования гладкости, накладываемые на рассматриваемые функции, обусловлены методом и не являются точными.
Лемма 2. Пусть а(t), с(t) е С4 [0, t0], a(t) = tmа0(t), т > 2, а0(t) > 0 при t е [0, t0], b(t) = b = const и d(t) = yjb2 - 4a(t)c(t) > 0. Тогда определяемые равенствами (5), (6) функции Ф( t) и Т(t) допускают при t ^ 0+ асимптотические представления
а( t) (г , (а( t) г SiW , 2t
Ф(0 = 1 + s(f) + ditj у (f) + ЩТ) h(I + s2( t)0(1), (18)
( ) ( ) 2
Т( f) =1 -s( f)+W)h( 0-шh(011+s2( f) 0(1), (19)
где функции к(^, ^ определены в (3), (4).
Доказательство. Продифференцировав (5) и используя (15), получим
ф'( 0 = (КМ = к(0Ф( 0 + (Цк( 0Ф(о) (1 + а'(0 о(1)) = к(0Ф( 0(1 + 0(1)).
Учитывая равенства (5), (14), (20), будем иметь
(20)
t
Ф( t) = 1 + K&(t) = 1 + s(tMt) - j s(rW(T) dr+ (к(№t) + h(ОФ(о) ) (1 + a'(t)0(1)) =
= 1 + s( 0Ф( t)-1 s2 ( 0Ф( t)(1+o(1)) + Ц h (0Ф( t) + поскольку
0
a(t№t) (a(t)h( t)\' t)\2
-т-(-юг +h (°Ф( 0 ш
(1+ ( ) 0(1)),
J s(т)Ф'( т) dr = J s(r)h( г)Ф( r)(1 + o(1)) dr = 1 s2( ^Ф(t)(1 + o(1)).
00
При малых t > 0 Ф'( t) = h(0Ф(t)(1 + o(1)), поэтому справедливо соотношение
Ф( ,) = 1 + s( ОФ( ,) + h( ,)Ф( о + (^)' + s2( .ж 00(U
( ) ( ) 2
разрешая которое относительно Ф( 0, окончательно получим 1 + $( 0 + \ к(0 + к(0 ) ) + ь (О О(1),
что и доказывает асимптотическое представление (18). Аналогично для Т( 0 из (6), (16), (17) выводим
¥ ' ( о = (Кг Т (Ы' = -к ( 0(1 + о(1)),
Т( 0 = 1 +КгТ(0 = 1 -в^)Т(0 - ^ Ат)к(т)Т(т)(1 + о(1)) dт+
0
+(к ( ')Т ( 0- (^ к ( о Т( о)') (1+»(1)),
( ) ( ) г
Т (f=1 -s(t)+W) lh (t)-W)h (0JJ+s2 (f)0 (1).
Тем самым и асимптотическое представление (19) также установлено. Лемма доказана. 4. Первые асимптотики решений однородного уравнения. Поведение решений однородного уравнения
(а( t) и' (t))' + Ъ( t) и' (t) + с( t) и (t) = 0 (21)
вблизи точки вырождения t = 0 определяется в основном функциями v1(t, t0), v2(t, to), заданными равенствами (2) (подробнее см. [1]), которые представляются конкретными функциями и их асимптотики могут быть получены стандартными методами или же с помощью известных пакетов математических вычислений, например, Wolfram Mathematica. Асимптотические представления указанных во введении решений
Ml (t) = Ф(0 V1 (t, to ), U2 (t) = Y (t) V2 (t, to) (22)
однородного уравнения (21) устанавливаются в следующей теореме, в которой требования к гладкости коэффициентов завышены для упрощения формулировки.
Теорема 1. Пусть в уравнении (21) а(t), с(t) е Стс[0, f0], a(t) = tmа0(t), т > 2, а0(t) > 0 при t е [0, f0], b(t) = b = соnst и d(t) = yjb2 - 4a(t)c(t) > 0. Тогда существуют линейно независимые решения u1 (t) ии2(t) этого уравнения, допускающие при t ^ 0+ следующие асимптотические разложения
Ml(t) = V1 (t, t0) (l + s(t) + ID (h(t) + Щh(f)j ) + s2( t)О(1)) , (23)
a(t) h i a(t) t 2/
И2( t) = Ü2(t, to) - s(t) + \h(t) - ^h(t)j j + s2(t)О(1)j , (24)
где функции h(t), s(t) определены в (3), (4). При этом для всех п > 0 иЬ < 0
lim щ(t) = üi(0, to) Ф 0, lim и(2") (t) = 0, (25)
а для п > 0 иЬ > 0
lim иЛп) (t) = lim и2(t) = v2(0, t0) Ф 0. (26)
Доказательство. Применяя лемму 2 к представлениям (22) получаем асимптотические разложения (23), (24).
Свойства функций v1 (t, t0), ü2 (t, t0) подробно описаны в статье [1]), в которой установлено, что при
Ъ < 0 и п > 0 lim v1 (t, t0) = v1 (0, t0) > 0, lim u(9п\t, t0) = 0, а при Ъ > 0 lim o|п\t, t0) = lim v2(t, t0) = t^0+ t^0+ t^0+ t^0+
v2(0, t0) Ф 0, откуда и следует (25), (26). Теорема доказана.
5. Первые асимптотики решений неоднородного уравнения. Для неоднородного дифференциального уравнения (1) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью в работах [1, 2] установлено существование дважды непрерывно дифференцируемого решения u*(t) этого уравнения, которое может быть выражено через определяемые равенствами (5), (6) функции Ф( t), t) следующим образом:
и,( t) = А (tWt)+B (t)T(t), (27)
где
b + d( т)
Л (0 = —Г exp —
o уЩЖТ) J ^М
В(0 = — Г exp (/ b-—^dr
( ) J Ää F J 2 a ( т)
dl
V /
При этом для b < 0 limt^0+ u„(t) = 0, а для b > 0 limt^0+ u„(t) = u„(0) Ф 0.
Полученные в (18), (19) асимптотики функций Ф( t), Т( t) позволяют сформулировать следующую теорему.
Теорема 2. Пусть относительно коэффициентов уравнения (1) выполнены условия теоремы 1. Тогда приЬ < 0 для любой функции f(t) е Стс[0, t0] существует решение u*(t) е Стс[0, f0] этого неоднородного уравнения, которое в окрестности нуля является бесконечно малым и может быть записано в виде
„)=А„ (¡) (1)+(^)'+
+В0 (,) (1 -s(,) + °A!rn) - ^ (°А!Ж)' + , {по (1, (28)
где
( )
AM /* Л гп + еШй а( Z) (а( Z)h (8\'\ Г с( 7
Л°(f) = ^ I1—— жиJexp J
o V /
1( )
/( й # = 0(1),
лЩМТ)
f (1 , , a(Z)h(Ю , a(Z) (a(flhЩ)'
Bo(0 = -J I1
)
)exp / \
1 ( ) ( )
f( {) dj лщщ
= o(1),
dl (о = г (I ц+d( о).
Если Ь > 0, то бесконечно малое в окрестности нуля решение й„( 0 € С ™ [0, неоднородного уравнения (1) может быть записано в виде
/,\ , L ^ a(t)h( t)) a(t) (a(t)h( t))'
Mh ^ , a(t)h( t)) a(t) (a(t)h( t))\ 2илп(,л
+Bo (t) 11 -s(t)+-dUT~ г^гат +s(f)0 (1)'
(29)
где
( ( ) ) r^ /"(im . a(Z)h(Z) a(Z) (a(®h(?))') Г dx
Ao(0 = -J I1 + -ю NhrJJexp J -
\
1 ( ) ( )
( )
Vd( t) d( $
= o(1),
^ a(®h(e , a(fl (a(I;)h(fl \\ Г c(г
(t) = -J I1+ w l"^) Jexp J *
\
( ) At)
( )
Vd( t) d( $
= o(1),
Доказательство. Прежде всего отметим, что функции А0 (0, А0 В0 (ь), В0 (0 выражаются через заданные функции и их асимптотика может быть получена, возможно и с использованием леммы 1, стандартными методами. В соответствии с условием теоремы и формулами (28), (29) точность указанных асимптотик должна быть порядка О™-2. Условия гладкости могут быть снижены и определяются лишь методом построения асимптотик и их точностью.
Как уже отмечалось ранее, решение неоднородного уравнения (1) может быть записано в виде (27). При Ъ < 0 преобразуем А(0 и В(0, используя полученные в лемме 2 асимптотики (18), (19). Будем иметь
A( ) = -
у ( т ю
exp
Ъ - d(t)
f
\
2 ( )
d % =
K-1 + + Ш )-s2 «О (1)) »p/
\
( ) d1 ( t)
Vd ( t)d( e
= Ao (t)+ s2 (t)o(1),
В(t) = - \ exp
J yß(t)W)
to o(
1 + s( 0 +
o
xp
a(£)h(® , a(® (a(¡;)h(¡;)\ : л
b - d(t) 2a ( t)
d £ =
( ) ( ) ( )
+ s2 ( $ О (1)
)
)exp i \
1( ) ( )
f( {) dj Vd ( t) d( £
= Bo (t)+ s2 (t)0 (1),
(30)
(31)
Подставляя представления (30), (31) в равенство (27), и вновь используя (18), (19), получим требуемую асимптотику (28).
При Ъ > 0 введем для рассмотрения другое решение й„(ь) неоднородного уравнения (1) так, чтобы й„(0) = 0. Выберем его в виде
й„( 0 = и„(г)-С (иг (г), (32)
где
С (t) = -
Д|Ж|)
-Щ)
exp
o
( ) d1 ( t)
/
-I
\
d?
o
Поскольку
В (t) ¥ (t) = —¥ (t)
o
exp
J Ъ — d(т)dr
2 ( )
d% =
Ж )ФЩ
= 02(t, to)¥( t)
= — 02(t, to)¥( t) J
o
exp
J c(t)dr
\ o
\ o
o
1( ) f( & Ф( &
d i =
Г f(№(& f c(j)dT Г f(Z)Ф( Z) Г c(г
J W exp J ~ШТexp J Тг
\ o
( ) Лт)
= 02(t, to)¥( t) ( С(to) — С(t)) = U2(t) (С(to) — С(t)),
то из последнего равенства и следует й„(^ = - С(к)и2(О = А(^Ф(О - С(О, й.„(0) = 0. Определяемое равенством (32) решение й„(^ запишем в виде
й„( 0 = А (0Ф(0 + В„^)¥ (1),
(33)
где В„(1) = -о2(I, Ь0)С(0, и аналогично предыдущему случаю преобразуем В„(ь), используя (18), (19). Будем иметь
/ к \ I ¡4 \
B,(t) =
1
лЩ
exp
/с(т) dr Г
У
\i / o
№)ф( а -Щ)
exp
f ±
J dr
\
( ) Jj)
d Z =
/(1 + Ü (^ )+' («0 (1)) exp (/
( ) ¿1 ( t)
л/d (t) d( Z)
= B*,o (t)+ s2 (t)o(1).
(34)
Подставляя (30), (34) в (33) и вновь применяя (18), (19), устанавливаем утверждение теоремы при Ъ > 0. Теорема доказана.
6. Пример построения степенной асимптотики. Покажем на примере возможность получения степенной асимптотики. Пусть в уравнении (1)
а(t) = tm, т > 2, Ъ = сonst Ф 0, с = const, к = 1, f(t)eCте[0,1], (35)
и, таким образом, получим уравнение
(tmu'(t))' + bu'(t) + си (t) = f(t). (36)
Учитывая конкретный вид (35) коэффициентов уравнения (36), произведем необходимые для получения асимптотик вычисления. Имеем
h( ) =
1
4 d( t)
а( 2 — 2/а( f) d'( f)
( )
( )
1
d5 ( t)
I t2m — 2 f3 m — 2 \
( C2m —2 Г + Сз m— 2Г ) ■.
(37)
где
V4 с f2
1 - И2'.
Воспользовавшись известной формулой
(-1) lp(p- 1)...(p-i + 1)
(1—х)р = 1
-х l + 0 (хп+1)
справедливой при 1x1 < 1, определим также
1 4 m 5 4 2 m
1 + -ТТ tm + — \— f2m +
4 2 з2 2
5■9 /4с\
тт t
з
з m
ЛЩ
5 9 1з 4
45 • 6 \Ъ
тт fm+0
43 ■ 6 \b2
(4 )5
_ I (-5 m b2'
f\
1
1
+
4
1
1 1 + dntm 2т^ , 2с 1 1 + ¿51 tm , , 10с
КГ) = - |Г" +f2m0(1), "11 = ^, = -^- +f2m0(1), = ют. (39)
Подставив (39) в (37), будем иметь
h(f) = Ш (1 + ¿51 tm) (C2m-2t2m-2 + C3m-2t3m-2) + t4m-20(1) =
I b|5
= h1 t2m-2 + h2 t3 m-2 + t4m-20 (1), (40)
где
и, кроме того,
= т(2т - 1)с = т(4 - 3т)Ъ2с2 + 10с
h1 = \ь\3 , h2 = \b\7
0 = [ к (т)dт = л Г2™-1 + Вг I3 ™-1 + Г4™-2 О (1), л = , 5г = . (41)
J 2 т - 13 т - 1
0
Используя вычисленные асимптотики (38)-(41) в полученных ранее разложениях (18), (19) и (23), (24), получим
ф( о = 1+л е™-1 + ^ е ™-2+*2 е ™-1 +(3 т ,-22)к1 ^™-3 + г™-2 о (1), IЦ IЬ12
Т(о = 1 - ле™-1 + ^е™-2 - 52е™-1 +(3 т -22)к1 г™-3 + о ™-2 о(1),
IЦ IЬ12
Щ(о = 01 (г, и)ф(г) =
= ^ (и м 11+81 е™-1 + ^ е ™-2+52 е ™-1 +(3 т - 2)к1 о ™-3 + г4™-2 о (1)), (42)
\ I Ц I Ъ\2 I
2( ) = 2( , 0)Т( ) =
„ t-2m-1 , h1 t3m-2 „ t3m-1 . (3 т 2)h1 Am-3 , Jm-2r,/i\l ^oi
= 01 (f, f0) (1 - s11 + ]f\t - s2f +-\b\2-f +f 0 (1)1 . (43)
Как уже отмечалось при доказательстве теоремы 1, при Ъ < 0 все производные в нуле функции о2(t, к) обращаются в нуль, поэтому нахождение степенной асимптотики имеет смысл лишь для 1( ), и если
"1 (и к) = £ 1 (,, 0) * О(1),
]=0 ] ■
то из (42) выводим
,, 11,- t-2m-1 . h1 Лm-2 . „ *3m-1 . (3 т 2)h1 f4m-3
U1 (t) = 1 + s!f + —t + s2t + -—2-1
\ \ \ \2
4 m-3 „ (j).
lm-3v1])(0, t0) . 4 , 2 1 \ 0) tJ+ t4m-20(1).
= 0 ,
При Ъ > 0 функция о1 (t, к) неограниченна в нуле, поэтому нахождение степенной асимптотики имеет смысл лишь для и2Ю, и если
4™-3и2)(0, ь) . 4 2
02(Ь к) = £ 2 ( ■ , 0) ^™~2О(1),
то из (43) следует
м J!
t2m-1 . h1 t3m-2 „ ..3m-1 . (3 т 2)h1 f4m-3
U2 (t) = | 1 - s1t2m-1 + щ t3m-2 - s2t3m-1 + [b[2
4m-3v2j)(0, to);
X
£ f.+ ^ m-2 0 (1) .
M J!
Для построения степенной асимптотики решений при Ъ < 0 ий*^) при Ъ > 0 неоднородного уравнения (36) также можно в (28) и (29) воспользоваться формулами (37)-(41) и разложением
4m-3 f(j) (0) f( t) = 2 1} +f4m-20 (1),
4m-3 c(j)(
выполнить необходимые преобразования и результат проинтегрировать.
X
x
X
Список литературы
1. Архипов В. П. 2011. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с вырождающимся коэффициентом при старшей производной. Дифференциальные уравнения, 47(10): 1383-1393.
2. Архипов В. П., Глушак А. В. 2016. Вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка. Асимптотические представления решений. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика, № 20(241), 44: 5-22.
3. Глушко В. П. 1972. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения, Воронеж. 193.
4. Розов Н. Х., Сушко В. Г., Чудова Д. И. 1998. Дифференциальные уравнения с вырождающимся коэффициентом при старшей производной. Фундаментальная и прикладная математика, 4(3): 1063-1095.
References
1. Arkhipov V. P. 2011. Linear second-order differential equations with degenerating coefficient of the second derivative. Differential Equations, 47(10): 1383-1393. (in Russian)
2. Arhipov V. P., Glushak A. V. 2016. Degenerate differential equations of the second order. Asymptotic representations of solutions. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathem. Physics, № 20(241), 44: 5-22. (in Russian)
3. Glushko V. P. 1972. Linear Degenerating Differential Equations, Voronezh. 193. (in Russian)
4. Rosov N. Kh., Sushko V. G., Chudova D. I. 1998. Differential equations with a degenerate coefficient multiplying the highest derivative. Fundamental and applied mathematics, 4(3): 1063-1095. (in Russian)
Конфликт интересов: о потенциальном конфликте интересов не сообщалось.
Conflict of interest: no potential conflict of interest related to this article was reported.
Поступила в редакцию 08.05.2023 Received May 8, 2023
Поступила после рецензирования 20.06.2023 Revised June 20, 2023
Принята к публикации 24.06.2023 Accepted June 24, 2023
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Архипов Виктор Петрович - кандидат физико-математических наук, доцент, Орловский государственный университет им. И. С. Тургенева, г. Орел, Россия
Глушак Александр Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Россия
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS Viktor P. Arkhipov - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assosiate Professor, Огуе1 State University named after I. S. Turgenev, Огуе1, Russia
Alexander V. Glushak - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of Applied Mathematics and Computer Modeling, Belgorod National Research University, Belgorod, Russia
