Первая краевая задача для уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова с дробной по времени производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 2 (2019). С. 72-82.

УДК 517.95

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА АЛЛЕРА^ЛЫКОВА С ДРОБНОЙ ПО ВРЕМЕНИ ПРОИЗВОДНОЙ

С.Х. ГЕККИЕВА, М.А. КЕРЕФОВ

Аннотация. Вопросы тепловлагопереноса в почвах являются фундаментальными при решении многих задач гидрологии, агрофизики, строительной физики и других областей науки. Исследователи при этом концентрируют свое внимание на возможности отражения в характере исходных уравнений специфических особенностей изучаемых массивов, их структуры, физических свойств, протекающих в них процессов и т.д. В связи с этим возникает качественно новый класс дифференциальных уравнений состояния и переноса с дробной производной, являющихся основой большинства математических моделей, описывающих широкий класс физических и химических процессов в средах с фрактальной структурой и памятью.

В работе исследована первая краевая задача для уравнения влагопереноса Алле-ра-Лыкова с дробной по времени производной Римана-Лиувилля. Рассматриваемое уравнение является обобщением уравнения Аллера-Лыкова, посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности, которая объясняет наличие потоков против потенциала влажности.

Существование решения первой краевой задачи доказано методом Фурье. С помощью метода энергетических неравенств для решения задачи получена априорная оценка в терминах дробной производной Римана-Лиувилля, из которой следует единственность решения.

Ключевые слова: уравнение влагопереноса Адлера-Лыкова, дробная производная Римана-Лиувилля, метод Фурье, априорная оценка.

Mathematics Subject Classification: 35Е99

Движение влаги в почве можно описать квазилинейным уравнением [1, е. 136]

где т(х, ¿) - влажность почвы в долях единицы на глубине х в момент времени ¿, И (и) -коэффициент диффузии. Это уравнение получено на основе анализа механизма диффузии в пористом массиве, когда учитывается возникновение потоков влаги под действием градиента капиллярного давления. Однако достаточно убедительные и многократные опыты демонстрируют иногда обратный знак потока от слоев с малым к слоям с большим влаго-содержапием. Правильное объяснение движения влаги в прямом и обратном направлении возможно на основе модифицированного уравнения Аллера [1, с. 158]:

S.Kh. Gekkieva, М.А. Kerefov, Dirichlet boundary value problem for Aller-Lykov moisture

transfer equation with time fractional derivative.

©Керефов M.A., Геккиева С.Х. 2019. Поступила 20 февраля 2018 г.

1. Введение

(1)

где дополнительный член A призван объяснить факт движения влаги против градиента влажности, A - варьируемый коэффициент Аллера,

Уравнение Аллера (1) предполагает бесконечную скорость распространения возмущения в почве, уравнение А. В, Лыкова

■w А д2w д / . ^dw\

aw +Aldw = m{D(w) dww) <2>

учитывает конечную его скорость, В (2) вводится дополнительное слагаемое Ai роль которого становится заметной в процессах, предполагающих быстрые колебания влажности на границах исследуемого образца почвы. А, В, Лыков полагает, что Ai = Сх2, где С = const, зависит от коэффициента диффузии, а также пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости [2, с, 197],

Так как коллоидное капиллярно-пористое тело поликапиллярной структуры является примером фрактальной среды или допускает такую интерпретацию, A.M. Нахушевым на основе уравнения (2) в [2, с, 197], было представлено «качественно новое уравнение влагопереноса»

Do> = dX{D(w)дХХ) -AiD"+iw' (3)

где Dq4 - оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля [2, с, 9], 0 < а < 1.

Уравнение (3) при а =1 совпадает с уравнением влагопереноса Лыкова (2),

При таком подходе в случае уравнения Аллера (1) мы получаем так называемое, модифицированное уравнение влагопереноса с дробной производной, рассмотренное в работах [3, 4].

Для описания процессов испарения и инфильтрации В,Я, Кулик [5] предлагает привлекать гибридное уравнение, совмещая два известных подхода Аллера и Лыкова, Такого рода уравнения рассмотрены в работах [6, 7]. В данной работе исследовано уравнение вида

A^V + D„> = I (Dw % + AD?ltddw) -

где A, Ai = const > 0 0 < а < 1, в случае D(u) = 1, которое является обобщением уравнения Аллера-Лыкова в классической постановке.

Исследование будем проводить методом Фурье и методом априорных оценок. Ранее методом Фурье краевые задачи для уравнений с дробной производной исследовались в работах С.Х, Геккиевой [8], О,P. Agrawal [9], В,А, Нахушевой [10, с, 60], О.Х, Ма-саевой [11] и других авторов, в том числе методом априорных оценок в работах [12], [13],

2. Постановка задачи

В области Q = {(х, t) : 0 < х < 1, t > 0} рассмотрим уравнение

AiD0°thiu + D°tu = ихх + AD°tuxx, 0 <х< 1, t > 0. (4)

Регулярным решением уравнения (4) в области Q назовем функцию и = и(х, t) из класса D0-lu(x, t), DO\и(х, t) g С (Q); DO^u^, t), ихх(х, t), D^Ux^, t) g С (Q), которая удовлетворяет уравнению (4) во всех точках (х, t) g Q.

Сформулируем первую краевую задачу для уравнения (4),

u( х, ) Q

ряющее краевым условиям

u(0, ) = u(1, ) = 0, > 0,

u начальным условиям

lim Df u(x, t) = r(x), lim Dfu(x, t) = v(x), (6)

где r(x), u(x) - заданные функции.

3. Решение задачи для однородного уравнения Адлера-Лыков а

с дробной по времени производной Для решения задачи 1 применим метод разделения переменных.

Для начала найдем класс нетривиальных решений уравнения (4), удовлетворяющих однородным граничным условиям (5), предетавимых в виде

u(x, t) = p(x)y(t). (7)

Подставляя предполагаемую форму решения (7) в уравнение (4), получаем следующие уравнения для определения функций p(x), y(t):

р" + Хр = 0, p(0) = 0, p(1) = 0, (8)

AD+ly + (1 + AX) D0ty + Xy = 0

или

Df±1y + aDfy + by = 0, (9)

где a = 1±^x, b = -j^, X = const.

Как известно, решение спектральной задачи (8) имеет вид

<Pk(x) = sin(nkx), X = Xk = (жк)2, к =1, 2, ... . (10)

Прежде, чем выписывать решение уравнения (9), отметим, что обыкновенные дифференциальные уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами исследовались достаточно интенсивно. Для них найдены явные представления решений начальных и краевых задач в терминах обобщенных функций Миттаг-Леффлера и функций Райта, Подробное изложение этих результатов и библиографию по теме можно найти в работах [14, 15]. Для нашей работы, чтобы избежать технически непростого аппарата теории специальных функций, возникающих при решении этих уравнений, позволим себе решить уравнение (9), редуцируя его к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода со степенным ядром и решить его методом последовательных приближений.

Пусть у к (¿) - решение уравнения (9), соответствующее собственному значению Xk- Подействовав на уравнение (9) оператором дробного интегрирования порядка а + 1 [16, с, 15], получим:

Ук СО + у к (т)

Ьк

ак +

Г(а + 1)(t - т)-

dr = f(t), (11)

где ак = , bk = ^, f(t) = rf+i) (ик + актк) + Г—тк, Df 1 ук (i)|t=0 = тк,

ta-1

м , ик = Ai , J (ь) = Г(а±1) ( 1 ) 1 Г(а) D0t Ук W |t=o

Do,tyk = ик-

Применим к (11) теорию интегральных уравнений Вольтерра, Вводя обозначение

Ki(t, г)

, Ък (t - т)с

ак +

Г(а + 1)

Н(t - т), (12)

где Н(z) = j1 ^ 0, - функция Хевисайда,

t

и определяя далее последовательность ядер {Кп(1, т)}^ посредством рекуррентных соотношений

Кп+1{г, т) = кп (г,и) к (и, т)сиъ

(13)

методом индукции докажем, что

'п+1

Кп+1(1, т) =

п + 1 \ п+1-3 1.3 (I т)П+3а ак к

Цп+О

Г(п + 1 + в а)

Н(I - т),

(14)

где

п + 1

(п+1)!

$ / з!(п+1-з)!"

Действительно, для п = 0 (14) следует из (12), Предположим, что (14) верпа для любого п

Кг (I, т)

I \ , (I - т)1+за-1 к к Г(1 + 8а)

н(г - т), 1<п.

(15)

Подставляя (15) в (13), после элементарных преобразований получаем, что (14) верна и для любого I = п + 1. Это доказывает справедливость (14) для любых п. Итак, для резольвенты уравнения (11) имеем формулу

те

п(г ,т,\) = ^(-1)пкп+1(г, т) =

п=0

те п+1 /

£ (-!)" £(

п=о с—о V

п + 1

п+1-зьз

(г - т)п+за к Г(п + 1 + в а)

Н( - ).

_п=0 3=0

Таким образом, интегральное уравнение (11) имеет единственное решение, представимое в виде:

Ук(1) = 1(1) - К(1 ,т,\)№(1т

(Ук + акгк)

Г(а + 1)

те п+1 / I 1 \

+а (-1Г1 £(п+1)

п=0 ч=0 V /

+Тк

4-а—1

Г(а)

п=0 «=0

те п+1

п + П дпк+1-3Ь81Лп+за+а+1 в I Г(п + 5 а + а + 2)

+

те "+1 / I 1 \

+ £ (-1Г1 Е(п + М

п=0 «=0 ^ '

дП+1-з^з£П+за+а

п + 1

в ) Г(п + 5 а + а + 1)

Итак, решения уравнения (9), соответствующие собственным значениям имеют вид

те п

Ук СО = (Ук + атк)^2^(-1)

п=0 «=0

О

^п-3^3 £п+3 а+а

в ) Г(п + 5 а + а + 1)

+

те и / \

+п £ £ (-1)'(п,)

п=0 з=0 ^ '

п\ апк-3Ь3кГ+3(х+а-1

$ у Г(п + 5 а + а)

Возвращаясь к задаче (4)—(6), заключаем, что функции

ик (х, г) = (х)ук (^ =

(те п / ч

(Ук + актк) е ££ (-1)4 п

п=0 «=0 ^ '

а%-3Ъ3кГ+за в ) Г(п + в а + а + 1)

+

г

г

а

п

+ nt-1 £¿ (-1)" ( ") rf'+b\) M^x

' ' \ s I l(n + sa + a)

"=0 s=0 v / ^ 1 V

^ у Г(п + в а + а)

являются частными решениями уравнения (4), удовлетворяющими граничным условиям (5), что проверяется непосредственной подстановкой.

Обратимся теперь к решению задачи (4)-(6) в общем случае. Составим ряд

U(X, t) = Ук (t)fk (ж)

те /

ч

к=1 \

к=1

(Л + акТк) Г ¿ i: ^ ) +

^— —' V s ivn + sa + a + 1)

"=0 s=0 V / ^ 1 '

+ ^ Г(„ Ла + а) Вт(*кх)- (И)

"=0 3=0 у 7 ^ ' У

Функция м(ж, ¿) удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда (16), Требуя выполнения начальных условий (6), получаем:

Й Dvt 1u(x, f) = Ji Y1 Ук (t) Рк (x) = (x) Ji Dvt 1 Ук W

к=1 к=1

те те

= (x) Тк = ^2, Тк sin (nkx) = т(х),

к=1 к=1

те

ti D0>tU(x, Ъ) = ^2<Рк (x) Jim D0t:Ук (t) = к=1

тете

= (x) Vк = ^ ук sin (nkx) = u(x).

те

(x) ик = ^^ ик Sin (T Kx) = f(x) к=1 к=1

Таким образом, в силу (10) получаем: разложимость начальных функций в следующие ряды Фурье по синусам

тете

т (x) = ^^ тк sin (тkx) , и (x) = ик sin (тkx), (17)

к=1 к=1 является необходимым условием разрешимости задачи 1 в классе функций, предетавимых в виде ряда (16),

Представления (17) имеют место тогда и только тогда, когда

т(0) = т(1), и(0) = и(1), 1 1 тк = 2 j r(x) sin(T kx)dx, ик = 2 j u(x) sin(T kx)dx. o o

( x)

производные до третьего порядка и удовлетворяет условиям т(0) = т(1) = т"(0) = т"(1) = 0, a v(x) имеет непрерывные производные до второго порядка и v(0) = и(1) = 0, то пред-

U( x, )

которые могут быть вычислены дифференцированием почленно в правой части (16), Для обоснования метода Фурье нам понадобится лемма [18, с, 136] об асимптотических

те к

свойствах функции типа Миттаг-Леффлера Ep(z;^) = +к -1) •

к=0 р '

Лемма 1 .Пусть р > ^ > № ~ вещественная постоянная и а1 - фиксированное число из интервала, ^, тт Тогда справедливы, следующие оценки:

1. Если |а^< а1 и |г| > 0, то

М2

лл. п х оJ__'

1Ер(г-^)1<М1 (1 + 1г1)р(1->1) еЕехР +

1 + | |

2. Если а1 < | аащ <ж и |г| > 0, то

1ЕР(г;»)1 <

Мо

1 + | |

где М1 и М2 - постоянные, не зависящие от г.

Продолжим обоснование метода Фурье,

Покажем, что ряд (16) и ряды производных П^^и, ихх, В0^гихх, которые получа-

ются из него, будут равномерно сходиться.

Для доказательства равномерной сходимости ряда (16) получим следующее соотношение, при этом также будем использовать известные оценки коэффициентов Фурье [17, с, 647] и свойства гамма-функции:

к | <

(^ + актк) ?

те п /к

£ £(-1)" п

п = 0 е-0 V /

апк-3Ь3кЬп+за

+

Тк£

< аа | ик | +сЪаак | тк |

+аа-11 тк | < ас

п=0 в=0 те п / ч

1 £ £ (-1)" (п)

п=0 а=0 V /

^ ) Г(п + 5 а + а + 1)

+

апк-3Ъ3кГ+за

п=0 3=0 те

п=0 оо

^ у Г(п + в а + а)

п \ {а-%Гу =0 ) Г(п + а + 1)

<

+

п=0 оо

«=0

п

а- 1 ькгс

в ) Г (п + а + 1)

+

п=0

в=0

п

а-1 Ма

в ) Г (п + а)

<

к2

X(-)

(1 + а-1 Ък1аУ

к2

п=0 те

Г (п + а + 1) (1 + а-1 ЪкГ)п

п=0 оо

X](-ак1 )Г

Г (п + а + 1) ; (1 + а~к 1 ЪкГ)

+

+

п=0

Г (п + а)

= Г

к2

£

п=0

[- (ак1 + ЬкГ+1)]г

Г (п + а + 1)

Мб

+ Г-1М + к2

[- (ак1 + Ькг+1)]Г

п=0

а

Г (п + а)

ГМ \Е1 [- + ЬкГ+1) ;а + 11 +

+*а~1 ММ7\Е1 [- Ы + ЬкГ+1) .

Здесь мы воспользовались свойством Гамма-функции:

1

<

Г (п + 8а + р) Г(п + р) '

Г1

п

где ^ > 0, с - зависит от а и ^ и не зависит от s и п. Рассмотрим ряд

£ (r[- Ы +ЬкГ+1);« +1 + ta-1 [- К* +ЬкГ+1); а]) • (18) к=1 ^ '

Используя вторую оценку из леммы 1, получим

. . M6M2tа M7M2tа-1

|ик i < ,оГ1 , , , , , 1П +

к2 [1 + М + 1] к2 [1 + Ы + Ь^+Ц]'

откуда следует равномерная сходимость ряда (18),

Из сходимости мажорантного ряда, имеющего порядок р, следует и равномерная сходимость ряда (18), а значит и ряда (16) при Ь0 > 0, где ¿0 - любое число. Равномерная сходимость рядов

те те

Б^и^х, I) - ^^^к, 0(и(х, I) - ^^^к, к=1 к=1 те —2 те

uxx(х, $ - -X;, D(^tиxx{х, ^

к=1 к=1 доказывается аналогично, и отсюда следует возможность почленного дифференцирования ряда (17) и применения обобщенного принципа суперпозиции, т.е. функция и(х, ¿), определяемая рядом (17), удовлетворяет уравнению (4), Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть г Е С3[0,1], и Е С2[0,1] и выполнены условия согласования, т(0) = г(1) = т"(0) = т"(1) = 0 ^(0) = у(1) = 0, тогда, функция, определяемая рядом (16):

и(х,г) = у:\(»к+акгк)о;>;(

+ ^ а + а + 1)

те / те п / ч

£ (П + акгк) ta £ £( П)

к=1 \ п=0 s=0 ^ 7

^ ( п \ (-l)n ank-sbsktn+sa\ \ S ) Г (п + sа + а)

п=0 s=0 v 7 ^ ' /

где

+Tktа-1 Г (а)УУ П (-1/ 4 °kl , ) sm(Trkx), к w 7 ' 7 ' s J Г (п + sа + а) 1 {

i i тк = 2 J т (x) sin (кkx) dx, vk = 2 J v (x) sin (nkx) dx, 00

1 + А(кк )2 (кк )2 ак =-A—-, Ьк = 0 < а < 1,

представляет регулярное решение задачи 1.

4. Единственность решения задачи для неоднородного уравнения Аллера-Лыкова с дробной по времени производной

Задача 2. В области Q рассмотрим, краевую задачу для, неоднородного уравнения

AiDat+ 1и + Datu = ихх + ADatuxx + f(x, t), 0 < x < 1, 0 < t<T, (19)

с краевыми условиям,u, (5) и начальными условиям,и (6).

Обозначим QT = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 <t <T} .

Предполагая существование регулярного решения уравнения (19) в области QT, сформулируем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть /(х, Ь) е С {(т); "(х) Е С[0,1], т(х) Е С2[0,1] всюду на ( и вы-(0) = (1) = 0

априорпая оценка

\\DZM\l + Пих\^ + \\В&и\\1ъ < М1® {\\Д\22^ + Iт"(х)\\0 + Iи(х)\\2) , (20) где \Н|0 = ¡01и2(х, t)dх, \\и||^ = /0 \\и(х, т)\\0<1т.

( х, )

ьа-1

и(х, Ь) = у(х, Ь) + -—^-т(х) Г( а)

( х, ) и( х, )

Гщт(х). С учетом П^1 Ьа-1 = 0 П^Ь™-1 = 0 [16, с, 15], имеем

АП^ь + П^У - Ухх - АП^Ухх =

/ 82 82 \ / 1а-1 \ Пх о - (АП+ + Ъ - -2 - м) (шг(х))

га-1

!(х,Ъ ) + г" (х). Г( а)

( х,

АП^у + О0> - Ъхх - АП^ухх = Г(х, г), 0 < х < 1, 0 < кт, (21)

е начальными условиями

/ 1 \ ^(х^) = ИтО^ Чи(х,г) - ^щФ) ) =

Г(а)

т(х) - ^^ШО"-1 Г-1 = 0, 1 ; Г(а) ^0 0 '

(22)

/ 1а-1 \ т(т)

ИтБ^у(х, г) = \imD0tA и(х, г) - —— г(х) = и(х) - 1т Б" Г-1 = и(х) ^0 01 ^0 01 \ Г(а) ] Г(а) ^0 01

и граничными условиями

у(0,г) = у(1,г) = 0, 0 <г<т, (23)

где Г(х, г) = г) + Щ-тт"(х).

,

Г(а)

Получим априорную оценку в терминах дробной производной Римана-Лиувилля, для чего умножим уравнение (21) екалярно на Б^у:

А1 О+Ч, Щр) + №, П^у) - (УХХ, Щр) - А (О*ухх, Щр) = (Г, П&и), (24) 1

где (и, у) = / иvdх, (и, и) = \\и||0, 00

Преобразуем слагаемые тождества (24) с учетом (22), (23):

А (Ба+1у У) =м{_1_— [ у(х,т)(1т_1_- [ у(х,т)(1Т ¿х =

А1(П° у,Пму )=А^ Г(1 -а) 812] (г - Т)а Г(1 -а) 81] (I - т)а бх

0 0 0

1

Ф/ | № = в2

0

(Б^У ) = ПУ\\2

0

(Ухх ,0°У) =

1 ь

1 Г . . - Г у(х, т)(1т

Ьхх(х, Ь)— I —-—ах =

Г(1 - а)

-и (г - т)(

Г(1 - а)

Ух(х, г)- [ ф,т)(т

- ( - )(

1 ь

- „х(х, о - [ Ъх}^ах

0 0

- ( - )( 0

В силу (23)

- [ у(х,т)(т

тогда

(ухх,0(у) = -

- ( - )( 0

1 ь

1 ^ (х г)- [ ух(х,т)(тах

х V ") ) О ' / • 4 •

Г(1 - а)

- ( - )( 0

Аналогично получим

1 ь ь

а оъьх,,^) = л - [ - [ ф!^ах

А

Г(1 -а)-ъ] (г - т)а Г(1 -а)-г] (г - т)(

00

1

1 - х х( х, ) а - ( х, ) а

г2(1 - а) У т] (г - т)а -г] (г - т)а

0 0 0

х

А

1 - х ( х, ) а - ( х, ) а

г2(1 -а) | дъ] (г - т)а дъ] (г - т)(

1

_А [ — [ Ух(х, Т)(Т / Ух(х, Т)(ТИ

А]т У (г - ту (г - тГах

0 0 0

А

1 - х ( х, ) а

г(1 -а)-г] (г - т)(

00

(х = -А р0>х||2 .

Для оценки правой части воспользуемся неравенством Коши-Буняковекого и е-неравенетвом [20, с, 100], которое справедливо для любого числа е > 0:

( ) < 1 ц^ ц;+в ио> ц;.

С учетом полученных неравенств из (24) получим

А1 - 2 2 1

а1 - 1№-ио + №-ио + ^

1 ь

[ьх(х,ь)- [ т)((гах+

о

-ь] (г - т)(

1

+ А ИБОУхГо <77^И2 + е №||о

V*, < _ " ^

4е 0

ь ь 1

А № ио + /№(х, т) и; ¿г

о о о

о

0 2

. . [ Ух (х, Т1)(г1

¿Г I Ух(х, ^ - у {т - Т1)0 о

а х+

1

1

1

0

о

1

о

2

vx(x, т) \ \ IdT < 1 ||F| \ltQt + £ i WD& (x, т)\\20dr + ^ \ № (x, 0)110 .

0 0 Усилим последнее неравенство, учитывая неотрицательность интеграла, стоящего в левой части этого неравенства [2, с, 43], в результате получим

А! i№ 110 + 2А \Оух\На + 2е! \№< -1 ii/Ша + А! iiи(х)\Ц , где \ \ ОО^ \\ = /0 \\О^ь(х, Ь) \\0(Ит, е1 = 1 — е. Откуда следует оценка

i i О0>\ \ 0 + 11 \\ + \\О«У\\ < М(I) (||Г\\ ^ + Мх)\\0)

или, возвращаясь к и (х, I), получим (20), Теорема доказана.

Замечание 1. Из (20)следует единственность решения задачи (20), (5), (6).

Действительно, пусть и - решение однородной задачи, т.е. f = т = V = 0, тогда из (20) имеем

i i вд| 2 + i ^и^а + I\D0MI = 0.

Применяя обобщенную формулу Ньютона - Лейбница [16, с, 15]:

£о— 1

D-t0D0Aх, г) = и(х, г) — -—\imD0—lи(х, г),

1(а) ^0

в частности, получим

£0—1 ^о—1

и(х, $ = 7TГ^limDо-1и(х, г) = Т^т(х) = 0в((Т. Учитывая произвольность Т, получаем что и(х, Ь) = 0 во всех точках (х, Ь) Е

t

t

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука. 1976. 352 с.

2. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит. 2003. 272 с.

3. Керефов М.А. Об одной краевой задаче для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. Т. 4, № 1. 1999. С. 12-14.

4. Керефов М.А., Геккиева С.Х. Краевые задачи для, модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной в многомерной области // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. Вып. 41, № 23 (220). 2015. С. 17-23.'

5. Кулик В.Я. Исследование движения почвенной влаги с точки зрения, инвариантности относительно непрерывных групп преобразований // В сб. «Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-воздух». Л.: Наука. 1972.

6. Лафишева М.М., Керефов М.А., Дышекова Р.В. Разностные схемы для, уравнения влагопереноса Алл,ера,-Лыкова, с нелокальным условием // Владикавказский математический журнал. Т. 19, вып. 1. 2017. С. 50-58.

7. Геккиева С.Х. Первая краевая задач, для, уравнения влагопереноса Аллера,-Лыкова, с дробной по времени производной // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Устойчивое развитие: проблемы, концепции, модели». Нальчик. 2017. С. 99-102.

8. Геккиева С.Х. Краевая задач, для, обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 1994. Т. 1, № 1. С. 17-18.

9. O.P. Agrawal Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Nonlinear Dynamics. 2002. Vol. 29. P. 145-155.

10. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука. 2006. 173 с.

11. O.Kh. Masaeva, Uniqueness of solutions to Dirichlet problème for generalized Lavrent'ev - Bitsadze équations with a fractional derivative // Electron. J. Differential Eq. 2017. Vol. 2017. P. 1-8.

12. Шогенов B.X., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Докл. НАН Украины. № 12. 1997. С. 47-54.

13. Керефов М.А. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2000. 75 с.

14. A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo Theory and applications of fractional differential équations. North-Holland Math. Stud., 204, Elsevier, Amsterdam, 2006.

15. Псху А.В. Начальная задача для, линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка, // Матем. сб. Т. 202, № 4. 2011. С. 111-122.

16. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука. 2005. 199 с.

17. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2, СПб.: БХВ-Петербург. 2008. 848 с.

18. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления, функций в комплексной области. М.: Наука. 1966. 672 с.

19. Керефов М.А., Геккиева С.Х. Первая краевая задача, для, неоднородного нелокального волнового уравнения // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. № 4. 2016. С. 76-86. *

20. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 616 с.

Сакинат Хасановна Геккиева,

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул. Шортанова, 89 А, 360000, г. Нальчик, Россия E-mail: gekkieva_s@mail.ru

Марат Асланбиевич Керефов,

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, ул. Чернышевского, 173, 360004, г. Нальчик, Россия E-mail: kerefov@mail.ru