Периодические режимы в системах автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией второго рода Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 681.511.4

С. В. Лучко, С. Ю. Балуев, М. А. Ватутин, В. А. Рогачев

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ВТОРОГО РОДА

Исследованы периодические режимы в системах с широтно-импульсной модуляцией второго рода. Приведена математическая модель дискретной системы автоматического управления в виде системы разностных уравнений. Получены условия существования периодического режима. Рассмотрен пример для системы второго порядка и приведены результаты моделирования. Рассматривается применение периодического режима для вибрационного сглаживания нели-нейностей, способствующее уменьшению погрешностей в автоматических системах.

Ключевые слова: периодические режимы, широтно-импульсная модуляция второго рода, дискретная система автоматического управления.

Широтно-импульсная модуляция второго рода (ТТТИМ-2) широко применяется на практике (в системах управления электрическими двигателями, системах стабилизации напряжения). Вместе с тем в ряде устройств и систем (акселерометрах, датчиках угловых скоростей) она часто используется и для организации высокочастотных периодических режимов с целью вибрационного сглаживания сопутствующих нелинейностей: зон нечувствительности, трения, люфтов и др.

Периодические режимы в системах с ТТТИМ-2 имеют много общего с режимами в системах с ШИМ-1, которые были рассмотрены в работе [1]. Их период колебаний T0 жестко связан с периодом дискретности T: T0 = 2NT, где N — относительный полупериод (N = 1, 2, ...). Поэтому и все возможные значения частоты колебаний известны заранее:

Вместе с тем процессы в системах с ТТТИМ-2 имеют ряд принципиальных отличий.

Рассмотрим системы с обратной связью, структурно состоящие из линейной непрерывной части с передаточной функцией Щ(р) и широтно-импульсного модулятора. Модель непрерывной линейной части представим в виде уравнений состояния [2]

где у = у(/) — сигнал на выходе линейной части, и = и ) — сигнал на выходе модулятора,

(1)

x = Ax + bu, y = c x ,

(2)

A — матрица состояния, X, x, b — векторы управляемой величины и управляющего воздей-

ствия. На вход модулятора, в отличие от систем с ШИМ-1, поступает аналоговый сигнал ошибки е(г) = g (г) - у(г), где g (г) — задающее воздействие. Сигнал и(г) на выходе модулятора

и (г) =

Г И е(1) при ¡Т < г < (/ + уг- )Т, 1о при (' + у, )Т < г < (' + 1)Т,

(3)

где е(г) = е(/Т), И — амплитуда импульсов, I = 0, 1, 2, 3,... Скважность импульсов е(г) = е('Т) определяется в результате сравнения аналогового сигнала е(г) с периодическим опорным моп (г) . Импульсы запускаются в моменты г = ¡Т по командам от таймера и сбрасываются в

моменты совпадения аналогового и опорного сигналов.

Математическую модель непрерывной части системы вместе с модулятором представим разностными уравнениями со смещенным аргументом [2]:

х(' + в) = А* (в)х(¡) + ИЪ* (в)б1§пе('), у(' + в) = сТх (' + в),

где

А (в) = е

АвТ

Ъ *(В) =

вТ

I

о

вТ

| еАаЪ ёа, если y¡ < в < 1,

(В"Уг )Т

еАсаЪёа, если 0 <в<у¡,

(4)

(5)

(6)

в, а — параметры, которые можно изменять от 0 до 1. В этом случае на интервале ¡Т < г < (' + 1)Т в качестве е(г) можно рассматривать е(' + в) :

_Т_

е(' + в) = g(' + в) - у(' + в) = g(' + в) - с х(' + в) .

(7)

Опорный сигнал моп(г) обычно имеет пилообразную форму. На интервале ¡Т < г < (' + 1)Т его можно представить в виде моп = вв, где в — постоянный коэффициент, определяющий крутизну сигнала моп(г). Если в = 1, то моп = р. Поскольку импульсы п(г) формируются в моменты г = ¡Т, а значение е(') в эти моменты может быть отрицательным, то в общем случае

= Рвб1§п е(/).

(8)

Скважность импульсов определяется в моменты совпадения основного и опорного сигналов, т.е. в моменты г = (/ + у¡ )Т. В уравнениях (7) и (8) им соответствует в = у*. Приравняв правые части этих выражений, получим

g(¡ + Ъ) - с х(¡ + У¡) = Р У^ е(0.

(9)

Скважность у; является решением уравнения (9). Если положительное решение отсутствует, то y¡ = 1. Уравнение (9), как правило, является нелинейным. Поэтому его решение можно найти лишь методом последовательных приближений, что усложняет исследование процессов в системах с ШИМ-2.

Практический интерес представляют высокочастотные периодические режимы с относительным полупериодом N=1. Они могут быть симметричными (рис. 1, а) и несимметричными (рис. 1, б).

б)

0 !

1—I—!—►

-И

Н уТ*

[_2Т_

уТ \4

п

! 2Т

Рис. 1

Симметричные режимы в статических системах возникают, если задающее воздействие g(*) = 0. Поэтому установившиеся значения скважности импульсов одинаковы: уг = у. При этом в отличие от ШИМ-1 всегда выполняется условие у<1. Ошибка системы в(*) в моменты времени * = гТ последовательно принимает значения во > 0 и е = -в0 . Матрицы А* (в) и

Ь * (в) для моментов, когда 8 = 1, согласно (5) и (6), определяются выражениями

_ Т _

(10)

а = вАТ, ь;*= { вастЬао.

(1-у)Т

Решив первое из уравнений (4), получим

г-1

(11)

х (г) = (А У х(0)+и £ (-1Г (А Г1-у ь1 .

у=0

Если корни полинома знаменателя передаточной функции Щр) имеют отрицательные вещественные значения, то первое слагаемое в правой части выражения (11) с течением времени стремится к нулю. В соответствии с работой [1] определим установившееся значение вектора состояния

" " * (12)

Х0 = - И (Е + А*) 1 Ь*,

ординату последовательности на выходе системы и ординату ошибки

У0 = сТХ0 =-ИсТ (Е + А*) 1 Ь*

в0 =-У0 = ИсТ (Е + А) 1 К,

(13)

(14)

где Е — единичная матрица.

Для определения значения вектора состояния Х(у) и ошибки системы е(у) в моменты * = (г + у )Т положим в выражениях (5) и (6) в = у:

у Т

А* = вАТ, Ь/=| вАа Ьёа.

(15)

Учитывая, что в установившемся симметричном режиме ошибка системы в моменты * = гТ последовательно принимает значения е0 и -в1, а вектор состояния — значения Х0 и

И

- х0, из уравнения (4) получим

тогда ошибка системы

х (у) = -hA¡ (Е + Л) 1 Ь + '(Е-Л ) Ьу* ,

е(у) = 'сТ А (Е + Л* )-1 Ъ*- (Е - Л )Ьу*

(16)

(17)

Согласно (9), установившееся значение скважности импульсов у определяется из уравнения

е(у) = ру. (18)

Несимметричный режим (рис. 1, б) может возникать в статических системах, если g(^) ^ 0. Пусть g(^) = go > 0, тогда после окончания переходного процесса е(/) последовательно принимает значения е0 и -е1. Поэтому вектор состояния х (/) будет иметь значения Хо и Х1, а скважность импульсов — значения Уо и У1. Очевидно, что ео > е1, а у о > У1. В результате из уравнения (4) получим

хо ='( е - а*2)-1( !*ъ;о - ъ;1),

Х = '(Е- Л*2)-1^ - АЪ).

Из того же уравнения найдем

х (0, У о ) = Ху о = А;о хо + 'Ъуо,

>

х(1, У1) = Ху1 = Ац Х1 - 'Ъу;1. Таким образом, из выражения (9) образуются два уравнения с двумя неизвестными:

gо - сТху о = PУо, gо -=РУ1.

(19)

(2о)

(21)

Когда корни ру полинома знаменателя передаточной функции Щр) — простые вещественные отрицательные, т.е. ру = -1/Ту (Ту — постоянная времени характеристического уравнения), ее можно представить в виде

щ (р) = 2

я

С=1 Ту р +1

Это означает, что матричное уравнение (4) можно заменить системой из п независимых

—; —; - Т / Т

уравнений первого порядка, в которых Л = , Ъ = Яу (1 - ) , = е у , Я — параметр

разложения Щ(р) на элементарные дроби [2]. Тогда для симметричного режима вместо (12), (17) и (18) получим:

—Т—_ и^Г о ¿V ^ - ¿V

с Хг

= - я

У=1

1 +

е(у) = Я¿V ^ ,ё -Я(1 -¿V) = Ру,

У=1

1 +

(22) (23)

где

е Т

Т

-—(1-у)

и ёV = е

Т

—у

Т

Для несимметричного режима выражения (19) и (2о) принимают следующий вид:

^ ¿V (4-у0 - ^) - (¿¡г1 - ^)

п

С X,

0 = л Е Я

У=1 п

1 - ¿V

^ _ ^ „ (¿V-'0 - ¿V ) - ¿V (¿V-'1 - ¿V )

С XI

= Л Е Я

-Г- _

С ху 0 =

V=1 п

1 - ¿V

ЛЕ ^¿Т0 ¿V (¿у ^ ¿V ) ^ ¿V )

—Т — _

С ху1 =

V=1 п

1 - ¿V

Я (1 -0,

ЛЕ Я¿V1 ^ ^) ) - RV (1 - ¿г1).

1 - ¿V

V=1 ^ ^

Значения скважности импульсов у0 и у1 определяются из уравнений (21). В качестве примера рассмотрим систему с передаточной функцией

к

(24)

Ж (р) =

(Т р + 1)(Т р +1)'

(25)

где Т1 = 0,2 с; Т2 = 0,02 с, период дискретности Т = 0,05 с. Представим выражение (25) в виде суммы простых дробей:

Ж (р) =

Я

Т р+1 Г2р +1

Я =

кТ1

Т - Г2

1,111 к.

Я2 =-

кТ2 Т - Т2

-0,111 к.

Для определения параметров симметричного периодического режима составим уравнение (23), где ¿1 « 0,7788; ¿2 « 0,0821.

Очевидно, что решение этого уравнения существует, если для заданного значения у, находящегося в диапазоне 0 < у < 1, сумма слагаемых левой части больше нуля. Определив эту сумму, можно найти требуемые значения кЛ и р.

Можно убедиться, что в данном случае сумма больше нуля для любых значений у, находящихся в диапазоне 0 < у < 0,8 , если у > 0,8, то сумма становится отрицательной, т.е. таких решений не существует.

Положим, например, у = 0,28, тогда из (23) получим 0,011 кЛ = 0,28р. Это означает, что периодический режим с такой скважностью импульсов существует при любых значениях кЛ и в, удовлетворяющих условию в ~ 0,0375кЛ. Так, если кЛ = 40, то в ~ 1,5; если кЛ = 20, то в ~ 0,75. Если положить у = 0,4, то периодический режим существует при выполнении условия 0,0054 кЛ = 0,4в. От значения кЛ зависит амплитуда колебаний сигнала ошибки

_Т_

в0 =-с х0 . Если, например, у = 0,26, то, согласно (22), ~ 0,0246 кЛ. Если кЛ = 40, то е0 « 0,998.

На рис. 2, а показан результат моделирования процесса при значении входного воздействия g = 0 (^ — время, 1 — значение е, 2 — значение иоп). Результат совпадает с расчетными значениями.

Для исследования несимметричного режима положим кЛ = 40, в = 1,5 и go = 1,4 . Тогда из уравнений (21) с учетом выражения (24) путем последовательных приближений получим: у0 - 0,3, У1 - 0,24. Амплитудные значения ошибки

еп =

Т

- с х0

е = gn - с х

-1,23, -0,83.

Постоянная составляющая ошибки е'(А) = 0,5(е0 + ~ 0,2, амплитуда колебаний В = 0,5(ео -е^) « 1,03 практически соответствует той, что и в симметричном режиме.

Результаты моделирования, подтверждающие правильность теоретических расчетов, при g Ф 0 представлены на рис. 2, б.

а)

е,

иоп

-1

-2

1! / /

V ( у

1 / 1

0 ,1 \0 0 4

\ \ V

\

б)

е,

и от

А с

-1

-2

/2 1

0, 1 V 0 ,2 0, 3

А, с

Рис. 2

Таким образом, широтно-импульсный модулятор способствует возникновению в системе высокочастотных периодических колебаний. Такие колебания приводят к минимизацмии сопутствующих нелинейностей. В работе [3] показано, как такое сглаживание происходит за счет автоколебаний. Покажем, что такой же эффект достигается за счет периодических режимов.

Рассмотрим две одинаковые по структуре системы с ШИМ-2, передаточные функции которых соответствуют динамике движения чувствительного элемента датчика угловых скоростей (см. (25)). Параметры первой к = 0,1; Т1 = 0,009 с; Т2 = 0,008 с. При таких значениях система устойчива, статическая ошибка ест определяется формулой

есТ = g|(1 + к) . (26)

При входном воздействии g = 0,2 град/с значение ошибки ест = 0,182 град/с. Пример моделирования одной из самых распространенных нелинейностей — зоны нечувствительности — приведен на рис. 3 (РГ—ротор гироскопа, ПГ — подвес гироскопа, НЗ — нелинейное звено, ДУ— датчик угла, УП — усилитель-преобразователь, ДМ — датчик момента).

НЗ

Рис. 3

Статическая ошибка зависит от величины зоны нечувствительности и определяется формулой

g кя

е = —2— + -

1 + к 1 + к' где я — значение зоны нечувствительности.

(27)

1

1

0

0

При переводе системы в периодический режим с заданными параметрами ШИМ-2: Т = 0,005 с; к = 300; в = 1 зависимость ошибки системы от зоны нечувствительности можно определить путем моделирования.

На рис. 4 показаны результаты моделирования ДУС, где кривая 1 соответствует статической ошибке системы, а 2 — ошибке системы в периодическом режиме (§■ = 0,2 град/с, к = 0,1). Полностью ошибка в периодическом режиме не устраняется, но существенно (в 10—30 раз) уменьшается вблизи значений по входу 0,1 град/с. ест, град/с

0,18

0,16 У

0,04

0,02

1

-

2

0 0,02 0,04 0,06 0,08 5, град/с

Рис. 4

На основании результатов моделирования можно заключить, что параметры периодического режима в системах автоматического управления вполне определяемы и находятся в границах, которые можно найти из уравнений (23) и (24). Значение скважности у для ШИМ-2 для режима N=1 всегда меньше единицы. В пределах определенных границ задается рабочий режим работы системы автоматического управления в периодическом режиме. В этом режиме система приобретает свойства временного модулятора и имеет место вибрационная линеаризация сопутствующих нелинейностей — зон нечувствительностей, трения, люфта и др. Перевод системы в периодический режим приводит к уменьшению погрешностей системы в 10—30 раз по сравнению с исходными значениями.

список литературы

1. Лучко С. В., Ватутин М. А., Трофимов И. А. Периодические режимы в автоматических системах с широтно-импульсной модуляцией // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 6. С. 67—73.

2. Лучко С. В. Расчет дискретных систем автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. М.: МО СССР, 1984. 112 с.

3. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 2003. Т. 1. С. 702—712.

Сергей Викторович Лучко Сергей Юрьевич Балуев Михаил Алексеевич Ватутин Виктор Алексеевич Рогачев

Рекомендована кафедрой автоматики и электроники

Сведения об авторах Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра автоматики и электроники, Санкт-Петербург

Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра автоматики и электроники, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected] Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра автоматики и электроники, Санкт-Петербург

Государственный университет телекоммуникаций им. М. А. Бонч-Бруевича, кафедра информационных управляющих систем, Санкт-Петербург

Поступила в редакцию 06.08.07 г.