CC BY
12
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 1.
УДК 511.6 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-1-273-296
Периодические элементы v7 в эллиптических полях с полем констант нулевой характеристики
В. П. Платонов, М. М. Петрунин, Ю. Н. Штейников
Платонов Владимир Петрович — академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований РАН»; Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (г. Москва). e-mail: platonov@mA-ras.ru
Петрунин Максим Максимович — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований РАН» (г. Москва). e-mail: petrunin@niisi.ras.ru
Штейников Юрий Николаевич — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований РАН» (г. Москва). e-mail: yuriisht@gmail.com
Аннотация
Исследование проблемы периодичности функциональных непрерывных дробей элементов эллиптических и гиперэллиптических полей было начато около 200 лет назад в классических работах Н. Абеля и П. Л. Чебышева. В 2014 году В. П. Платоновым был предложен общий концептуальный метод, базирующийся на глубокой связи трех классических проблем: проблема существования и построения фундаментальных ¿"-единиц в гиперэллиптических полях, проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и проблема периодичности непрерывных дробей элементов в гиперэллиптических полях. В 2015-2019 годах в работах В. П. Платонова с соавторами был достигнут большой прогресс в исследовании проблемы периодичности элементов в гиперэллиптических полях, в особенности в эффективной классификации таких периодических элементов. Так, например, в указанных работах В. П. Платонова с соавторами были найдены все эллиптические поля Q(x)(y/f) такие, что л/7 разлагается в периодическую непрерывную дробь в Q((x)), а также были получены дальнейшие продвижения в обобщении указанного результата, как на другие числовые поля констант, так и на гиперэллиптические кривые рода 2 и выше. В настоящей статье мы приводим полное доказательство анонсированного нами в 2019 году результата о конечности числа эллиптических полей k(x)(y/J) над произвольным числовым полем к с периодическим разложением л/7, для которых соответствующая эллиптическая кривая содержит fc-точку четного порядка не превосходящего 18 или fc-точку нечетного порядка не превосходящего 11 Для произвольного поля к являющегося квадратичным расширением Q найдены все такие эллиптические поля, а для поля к = Q было получено новое доказательство конечности числа периодических л/7, не использующее параметризацию эллиптических кривых и точек конечного порядка на них.
Ключевые слова: эллиптическое поле, гиперэллиптическое поле, периодичность, непрерывные дроби, длина периода, фундаментальные единицы, ¿-единицы, результант, базис Грёбнера, квадратичная иррациональность
Библиография: 22 названия.
Для цитирования:
В. П. Платонов, М. М. Петрунин, Ю. Н. Штейников. Периодические элементы л/f в эллиптических полях с полем констант нулевой характеристики // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 1, с. 273-296.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 1.
UDC 511.6 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-1-273-296
Periodic elements v7 in elliptic fields with a field of constants of zero characteristic
V. P. Platonov, M. M. Petrunin, Yu. N. Shteinikov
Platonov Vladimir Petrovich — Akademician, Chief researcher, Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences (Moscow). e-mail: platonov@mA-ras.ru
Petrunin Maxim Maximovich — phd, scientific researcher, Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences (Moscow). e-mail: petrunin@niisi.ras.ru
Shteinikov Yurii Nikolaevich — phd, scientific researcher, Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences (Moscow). e-mail: yuriisht@gmail.com
Abstract
A study of the periodicity problem of functional continued fractions of elements of elliptic and hyperelliptic fields was begun about 200 years ago in the classical papers of N. Abel and P. L. Chebyshev. In 2014 V. P. Platonov proposed a general conceptual method based on the deep connection between three classical problems: the problem of the existence and construction of fundamental ¿"-units in hyperelliptic fields, the torsion problem in Jacobians of hyperelliptic curves, and the periodicity problem of continued fractions of elements of hyperelliptic fields. In 2015-2019, in the papers of V. P. Platonov et al. was made great progress in studying the problem of periodicity of elements in hyperelliptic fields, especially in the effective classification of such periodic elements. In the papers of V. P. Platonov et al, all elliptic fields Q(x)(\/if) were found such that a/7 decomposes into a periodic continued fraction in Q((x)), and also futher progress was obtained in generalizing the indicated result, as to other fields of constants, and to hyperelliptic curves of genus 2 and higher. In this article, we provide a complete proof of the result announced by us in 2019 about the finiteness of the number of elliptic fields k(x)(\JJ) over an arbitrary number field k with periodic decomposition of a/7, for which the corresponding elliptic curve contains a fc-point of even order not exceeding 18 or a fc-point of odd order not exceeding 11. For an arbitrary field k being quadratic extension of Q all such elliptic fields are found, and for the field k = Q we obtained new proof about of the finiteness of the number of periodic a/7, not using the parameterization of elliptic curves and points of finite order on them.
Keywords: elliptical field, hyperelliptic field, periodicity, continued fractions, period length, fundamental units, ¿-units, resultant, Grobner basis, quadratic irrationality
Bibliography: 22 titles. For citation:
V. P. Platonov, M. M. Petrunin, Yu. N. Shteinikov, 2020, "Periodic elements a/7 in elliptic fields with a field of constants of zero characteristic" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp. 273-296.
1. Введение
Пусть к — поле характеристики 0, и f £ к[х] — многочлен свободный от квадратов. В работах [1, 2, 3, 4, 5] были получены основополагающие результаты, связанные с проблемой периодичности разложения элементов поля k(x)(y/f) в непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов к((1/х)). В частности, было показано, что с точки зрения изучения вопросов, связанных с периодичностью элементов поля L = k(x)(y/f) ключевым является элемент y/f. Этот элемент периодичен в к((1/х)) в случае, когда поле L содержит периодические элементы. Однако в случае непрерывных дробей в поле формальных степенных рядов к((х)) даже наличие в поле L периодических элементов не гарантирует периодичность разложения элемента yfj в функциональную непрерывную дробь. Более того, периодичность y/f — сравнительно редкое явление.
В работах [6, 7, 8, 18] было доказано, что квазипериодический y/f £ к((х)) с необходимостью является периодическим, и были построены первые примеры периодических y/f. А в работах [9, 10] с точностью до естественного отношения эквивалентности была доказана конечность числа таких нетривиальных (то есть, не попадающих в серию сх3 + 1 с £ Q) многочленов f степени deg f = 3 с рациональными коэффициентами, а также был поставлен вопрос в более общем случае: для каких свободных от квадратов многочленов f £ Q[x] непрерывная дробь y/f £ Q((x)) является периодической.
В работе [11] для гиперэллиптических полей, содержащих фундаментальные 5-единицы малых степеней, с помощью метода, основанного на решении норменного уравнения, были получены рекуррентные соотношения на коэффициенты решения норменного уравнения для полей, обладающих 5-единицами малых степеней. С помощью этих соотношений были найдены новые примеры периодических элементов y/f для f £ 0>[ж].
3
ментальные 5-единицы нечётной степени начиная с 9, соотношения на коэффициенты кардинально усложняются, и указанный метод становится неприменим. В работе [12] был предложен новый эффективный метод для решения норменного уравнения, основанный на применении базисов Грёбнера. В работе [12] было доказано, что для любого поля к характеристики 0 с точностью до естественной эквивалентности существует лишь конечное число бесквадратных многочленов над к нечетной степени, отличной от 11, таких, что элемент y/f периодичен, а соответствующее гиперэллиптическое поле k(x)(y/f) содержит 5-единицу степени 11. Кроме того, было доказано, что в случае к = Q многочленов с указанными свойствами нечётной степени отличной от 9 и 11, не существует.
Остаётся открытым естественный вопрос о периодичности y/f для эллиптических полей, рассматриваемых над числовым полем. Полного решения нет даже для deg f = 3 и квадратичных расширений поля Q. В работе [13] было сделано продвижение в этом направлении, и было дано описание кубических многочленов f (х) с коэффициентами в квадратичных числовых полях Q(\/5) и Q(\/—15) для которых разложение в непрерывную дробь иррациональности f (х) над этими полями периодично. Вышеупомянутые квадратичные числовые поля обладают новым кручением, а значит и фундаментальными 5-единицами степеней, не встречающихся в эллиптических полях с полем констант Q.
В работе [19] нами был предложен новый метод доказательства конечности таких многочленов, основанный на комбинации последовательного вычисления результантов, применения базисов Грёбнера и нетривиальных вычислениях в системах компьютерной алгебры MAGMA [20] и Sage [21]. Применение более слабого условия конечности позволяет доказать, что существует не более конечного числа неизоморфных эллиптических полей k(x)(y/f), deg f = 3, содержащих точку четного порядка не превосходящего 18 или точку нечетного порядка 5, 7,11, таких, что элемент y/f периодичен. Более того, для поля к — квадратичного расширения Q — удаётся получить полную классификацию многочленов с указанными
свойствами. А для случая к = Qв качестве следствия было получено новое доказательство конечности числа периодических д//, не использующее параметризацию эллиптических кривых и точек конечного порядка на них. Теорема для случая квадратичного поля в качестве поля констант в сочетании с известными к настоящему моменту результатами, связанными с описанием кручения в эллиптических кривых над квадратичными полями, даёт основания предполагать, что количество нетривиальных неэквивалентных многочленов / с коэффициентами из квадратичных расширений ^ ^ разложением л// — конечно. В настоящей
статье приводится полное доказательство анонсированных в [19] результатов.
Напомним некоторые факты, которые потребуется нам в дальнейшем. Для неприводимого над к многочлен а к определим дискретное нормирование ^элемента п оля к(х) равенством = т' гДе взаимно простые многочлены р, д не делятся на к. Бесконечное нормирование в свою очередь, определим равенством = deg д — degр.
Далее считаем, что deg к = 1, и без ограничения общности положим к = х. Пусть нормирование ^х тол я к(х) имеет два продол жения и на пол е Ь = к(х)(^/]). Если deg / = 2д + 1 для д £ N т0 бесконечное нормирование поля к(х) имеет единственное продолжение на Ь, обозначим его также и положим 5 = Группа обратимых элементов коль-
ца 5-целых элементов поля Ь называется группой 5-единиц. Если существует хотя бы одна нетривиальная 5-единица (то есть отличная от константы поля к), то в описанном нами случае группа 5-единиц является прямым произведением к \ {0} и бесконечной циклической группы. Образующие этой циклической группы называются фундаментальными б'-единицами. Степенью 5-единицы Х\ + £ где А1,А2 £ к(х), называется показатель т в норменном выражении X2 — А2/ = Ькт, Ь £ к \ {0}, т £ Z. Для эллиптического поля существование фундаментальной 5-единицы степени т равносильно существованию й-точки порядка т соответствующей эллиптической кривой. Вложив поле Ь в поле формальных степенных рядов к((х)) можно разложить элемент поля Ь в функциональную непрерывную дробь. Необходимым условием для того, чтобы в поле Ь существовали элементы, разлагающиеся в периодическую непрерывную дробь в к((х)) (периодические элементы), является наличие нетривиальной 5-единицы в поле Ь. Более подробные сведения о нормированиях, функциональных непрерывных дробях и б'-единицах содержатся в работах [14, 18].
2. Формулировка основных результатов
Поскольку периодичность разложения в непрерывную дробь \fjix) равносильна периодичности \/а2/(Ъх) для произвольпых а, Ь £ к \ {0}, мы будем рассматривать многочлены с точностью до указанной эквивалентности. Сформулируем основные результаты.
Теорема 1. Пусть к — произвольное поле нулевой хара,кт,ерист,ики. Тогда существует универсальная константа С, не зависящая от, поля к, такая, что существует не более С попарно неэквивалентных над к многочленов f, deg f = 3, для которых выполнены следующие условия:
1. \[] — периодичен в к((х));
2. поле Ь = к(х)(^/]) содержит фундаментальную в-единицу четной степени не превосходящей 18 или нечётной степени 5, 7, 9 или 11 для Б = {и^,
Нетривиальным многочленом / будем называть многочлен неэквивалентный многочлену сх3 + 1, где с £ к \ {0}.
Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 поле к — расширение Q степени не более 2 и к = Q(V2T); то многочлен / может быть равен только одному из следующих представителей:
/=16 - 2 ж2+ж+т,
„ Т2 з 5 2 / = — х3 — - х2 + х + Т, 8 4
Т20 3 25 2
f =--— х3 + — х2 + ж + Т.
84
Б случае когда к = 0>(\/2Т); множество таких многочленов / исчерпывается тремя указанными выше и дополнительно многочленом
/ = 32 (9 ^2Т — 4т)ж3 — 4 (э ^2Т — та)ж2 + ж + т.
Других нетривиальных многочленов с указанными свойствами с точности до вышеуказанного отношения эквивалентности многочленов / и инволюции поля 0>(\/2Т) меняющей знак у не существует.
Отметим, что нетривиальный пример кубического многочлена / € 0>(\/2Т)[ж] \ 0>[ж] с периодическим разложением д// € 0>(\/2Т)((ж)) был впервые получен в [13].
В качестве следствия из теоремы 2 мы получаем альтернативное доказательство конечности числа различных нетривиальных эллиптических полей Ь с периодичным уТ Для случая поля констант к = 0>, доказанного в [9, 10] с использованием параметризации эллиптических кривых и точек конечного порядка на них.
Следствие 1. Множество нетривиальных неэквивалентных свободных от, квадратов многочленов f € 0>[ж], deg f = Э, имеющих периодическое разложение \[] в непрерывную дробь, исчерпывается тремя нетривиальными многочленами:
/ = Т6ж3 — Т ж2 + ж + т,
„ Т2 3 5 2
/ = — х3 — - х2 + х + Т, 84 Т20 3 25 2
f =--— ж3 + — х2 + х + Т,
84
и серией многочленов сх3 + Т, где с € Q \ {0}.
Доказательство. В [18] показано, что если эллиптическое поле над полем констант к содержит периодические элементы, то оно содержит фундаментальную б'-единицу, а также было показано, что степень фундаментальной 5-единицы равна порядку некоторой к-точки кручения. Таким образом, из результата Б. Мазура [22] следует, что степень фундаментальной ^"-единицы в произвольном эллиптическом поле с полем рациональных чисел в качестве поля констант не превосходит Т2, и не может быть равна ТТ. Откуда многочлен / € 0>[ж] степени Э такой, что элемент у7 разлагается в периодическую непрерывную дробь, всегда удовлетворяет условиям теоремы 2, за исключением случая, когда поле Ь = 0>(ж)(\/7) содержит фундаментальную 5-единицу степени 3. Поэтому искомое множество нетривиальных многочленов, для которых степень соответствуюей фундаментальной 5-единицы не равна 3, есть множество из трех многочленов, указанное в теореме 2. В случае же когда степень 5-единицы равна трем, множество искомых многочленов исчерпывается тривиальной серией сх3 + Т (см. например [18, 10]). Следствие доказано. □
3. Периодический корень
В работах [6], [18] был доказан критерий периодичности элемента вида -X?, а также доказаны факты, полезные в настоящей статье. Приведём здесь критерий в необходимой нам общности.
Теорема 3. Пусть deg f = 2д + 1. Элемент \[] периодичен тогда и только тогда, когда существует решение У^ £ к[х~1], У = 0 уравнения У2 — 22 2{+2 = Ь, для которого Z = Z'х~я, Z' £ к[х~1]. Более того, если это условие выполнено для некоторого решения, то оно выполнено для всех таких решений.
Из теоремы следует, что достаточно рассматривать только фундаментальное решение указанного уравнения, т.е. решение с максимальным значением их(У) < 0. Такое решение соответствует фундаментальной 5-единице чётной степени или квадрату фундаментальной Б-единицы нечётной степени поля к(х)(^/$) (см. [18]). Переформулируем утверждение теоремы 3 на языке многочленов из к[х] (см. также [10]).
Теорема 4. Пусть многочлен $ свободен от квадратов, а deg f = 2д + 1. Элемент л/] квазипериодичен тогда и только тогда, когда некоторого т £ N существует решение Ц-1, ¿1, <12 £ к[х], Ъ £ к \ {0} f = й1й2; уравнения
у! й1 — = Ьхт, (1)
и решение для, наименьшего такого т удовлетворяет условиям
1. deg ^ = ,
2. deg< — (2д + 1).
Доказательство. По теореме 3 элемент периодичен тогда и только тогда, когда пара У, И, где И = И'х~9 и У, И' £ к[х~1\, является фундаментальным решением уравнения У2 — 22х2д+2 = Ь'. Пусть ух(У) = —т, тогда
А? — А2 { = Ъ'х2т, (2)
где А1 = хтУ, А2 = ж™-^5^1^'. В силу нечётности степени / получаем deg А1 = т, deg А2 ^ т — (2д +1), а Ь' = Ь2 для некоторого Ь £ к \ {0}. Кроме того ясно, что Х1, Х2 взаимно просты как многочлены.
Воспользуемся формулой разности квадратов:
(А1 — Ьхт)(Х1 + Ьхт) = А2/.
Обе скобки в левой части взаимно просты, иначе х | А1, откуда х | А2, что противоречит взаимной простоте АьА2.
В этом случае, получаем
Х1 — Ьхт = ^¡21й1, Х1 + Ъхт = ц2<12,
Ц-1Ц-2 = А2. (3)
22
Откуда 2А1 = + ц.2й2, и
2Ъхт = —
В силу того, что / свободен от квадратов, мы можем утверждать, что с точностью до умножения на константу такое разложение на ^1,^2 и ^1,^2 единственное.
Так как степени и ^2 имеют разную чётность, выполнено или deg(^2dl) = т или deg(^2d2) = т. Без ограничения общности будем считать, что deg(^2d2) = ш (в противном случае, заменим Ь на — Ь, и поменяем местами индексы в обозначениях Т и 2). Откуда в силу (3) и неравенства deg Л2 ^ т — (2д + Т) получаем deg ц,1 ^ т+а2е§& — ^ + т).
Обратно, если находится такое решение, то по формулам выше легко получить решение, удовлетворяющее условию критерия периодичности л//. □
Замечание 1. Если в результате процедуры из доказательства теоремы 3 мы получим, deg й1 = 0 т0 т обязано быть нечётным числом, в противном случае мы получим, решение уравнения (2) с показателем т < 2т чего не может быть в силу условия минимальности.
3.1. Результант
Рассмотрим многочлены / = ^ 1 а,1Хп-г,д = ^.¡^ ЬгХт-\ где ао,Ьо = 0. Пусть Хг — корни многочлена /, а уг — корни многочлена д. Напомним, что величина
Я(/,9)= « ^(хг — у3)
называется результантом пары /,д. Следующая лемма хорошо известна, мы приводим ее без дополнительных пояснений.
Лемма 1. 1. Результант многочленов ¡ид равен определителю матрицы Сильвестра.
2. К(/, д) является однородным, многочленом степени т по переменным сц и степе ни п по переменным Ъ^ с коэффициента ми из Z.
3. К(/,д) = 0 только в том случае, когда, ¡ид имеют общий корень в алгебраическом замыкании.
Результант, как общеизвестно, позволяет также сводить решение системы алгебраических уравнений к нахождению корней многочленов. В более общей форме, он позволяет исключать переменные из системы алгебраических уравнений. В самом деле, пусть полиномиальная система
/1(Ж1 ,...,ХП) = 0,...,/п(х1,...,хп) = 0;
где ¡1 € 0>[жь ..., хп] имеет решение при каком-то хп. Тогда представляя каждый ¡^ как полином от хп над кольцом 0>[ж1,..., хп-1 ] вычисляя п — Т результант пар /1, ¡^ мы получаем новую полиномиальную систему с п — Т уравнением и п — Т переменной вида
дг(Х1, . . .,Хп-1) = 0,дг(Х1, . . .,Хп-1) € 0>[Ж1, . . .,Хп-1].
В наших вычислениях и алгоритмах мы несколько модифицируем эту схему. А именно, на каждом шаге предварительно вычисляются попарные наибольшие общие делители многочленов /г: gcd( fi, ¡^). Если множество корней первоначальной системы не обнуляет многочлен gcd(fi, fj), то процедура сокращения на многочлен gcd(¡i, ¡j) корректна. Последовательное применение вышеприведённой процедуры позволяет получить в рассматриваемых нами случаях либо константный многочлен, либо многочлен, зависящий только от одной переменной. С помощью переупорядочивания многочленов на каждом шаге, мы можем добиться того, чтобы на последнем шаге был многочлен от заданной переменной. Построение системы из п таких многочленов, полученных для каждой из переменных исходной системы, позволяет найти все корни исходной системы. Для краткости будем называть эту итеративную процедуру ^-преобразованием системы или просто Д-процедурой.
4. Нетривиальные решения
Пусть t £ к[х], s = degt, t = t0 + t\x + t2x2 + ■ ■ ■ + tsXs £ к[х]. Обозначим через lc(t) = ts, через plc(t) = ts-i, а терез fc(t) = to коэффициент при нулевой степени х.
Определение 1. Пусть заданы, g,m £ N Будем называть набор (ц1, ^2,d1,d2,b), где b £ к\{0}, ц.1, ц,2, d1, d2 £ к[х], d1 = 0; d2 = 0 fc(^1) = 0 deg d1 +deg d2 = 2g+1; а произведение f = d1d2 свободно от квадратов, решением обобщённого норменного уравнения над к, если выполнено соотношение (1).
Мы будем писать нетривиальное решение норменного уравнения, если d1 = 1; в этом случае мм будем писать ,f,b) вместо 1,d2,b). Мы будем писа,т,ь просто
нетривиальное решение, если из контекста ясно, ч,т,о речь идёт о нетривиальном решении норменного или обобщённого норменного уравнения.
Пусть задано нетривиальное решение обобщённого норменного уравнения. Определим коэффициенты ai, bj, hk, fk из следующих равенств:
V1 = ^2 aix%'; V2 = ^ biXi; (h = ^ hxi; (h = ^ fiXi.
Определение 2. Назовем, системой обобщенного норменного уравнения систему уравнений относительно неизвестных щ, bj, hk, fk к которой сводится обобщенное норменное уравнение (1).
Замечание 2. Если (р,1, ^2,d1,d2,b) — нетривиальное решение норменного уравнения, h ho
Тогда, f0h0 = а2 и h- = а'2, для некоторых а, а' £ k \ {0} в частности, f0 = а2, если d1 = 1.
Определение 3. Будем называть допустимыми преобразованиями нетривиального решения обобщённого норменного уравнения над полем к, если оно переводит набор О = (^1,^2,Л1,й2,Ъ) в один, из следующих наборов:
• Г1,7(О) = (^(^х), Ц,2(^х), й^х), (12(Г)Х),Г)тЬ).
• Г2,7 (О) =
• Гз,7 (О) = (7^1,^2,^1,72 d2,72b),
• Г4,7 (О) = (^1,^2,7^1,7^2,7^);
для, некоторого 7 £ к \ {0} или преобразования, полученные путём последовательного применения вышеперечисленных преобразований.
В дальнейшем нам потребуются ещё несколько допустимых преобразований:
• Г5,7 (О) = Г2 1 О Гз,7 (О) = ,й1, 72 <к,Ь),
'7 7
• Гб,7 (О) = Г4 О Гз,7 (О) = (7^1 ,^2, 712 й1,й2,Ъ),
• Г7,7(О) = Г4,72 О Г5,7(О) = ^2,72Ь),
• Гз,7(О) = Г4,7 О Г5,7(О) = (Ц.1, 1 d2,^b),
Нетрудно видеть, что допустимые преобразования, применённые к нетривиальному решению для д, т, снова дают нетривиальное решение для д, т и тем самым, в силу обратимости они задают отношение эквивалентности на нетривиальных решениях, что с учётом соотношения / = некоторым образом обобщает отношение эквивалентности из §2 и работы [12]. Заметим, что допустимые преобразования меняют коэффициенты многочленов ^1, ^2, ¿1, ¿2 и константу Ь.
Пусть т € N — наименьшее такое число, что существует нетривиальное решение обобщённого норменного уравнения над к, тогда для этого нетривиального решения выполнено deg (12 > 0- Действительно, из доказательства теоремы 4 следует, что выполнено одно из двух: или т — нечётное число, или deg (11 > 0 и deg (12 > 0. Если т — нечётное число, то deg ^2 обязано быть нечётным числом, и, следовательно, deg ^2 > 0.
Лемма 2. Пусть т € N — наименьшее такое число, что существует нетривиальное решение обобщённого норменного уравнения над к, тогда для данного т
• существует нетривиальное решение над к с к0 = /0 = 1 = 1с(^1) и /1 = 0 или /1 = 1.
• существует нетривиальное решение над к с к0 = /0 = 1 = 1с(^2) и /1 = 0 или /1 = 1.
Доказательство. Пусть О = ц.2,д,1,д,2 ,Ь) — нетривиальное решение. У решения О1 = Г8,/0(О) коэффициент /0(О1) = 1.
Поскольку младший коэффициент нового ^1(01) — полный квадрат в к, для
(ТГ 71 1 71 А
Ц-1, -1^-2, о ¿1, -(12,^4Ь
72 722 71 72° /
выполнено к0(О2) = /0(О2) = 1, где 72 = д/}с(б,1)^1 = д//с(^1)/с(^2).
Положим 73 = 1 если /1 = 0 и иначе. Тогда для
(71 71 1 717Т \
^1(73^), -^2(73®), "о й1(чзх),—й2(Чзх), -2~ Ь
72 75 71 7° )
/1(Пз) = ^и /1(03) = 1.
Наконец, положив 74 = 1с(^1(^3х)) = получаем, что
О4 = Г2 1 (О3) = Г2 1 о Г 1,^3 о Г7 о Гэ,71 (О) =
, 74 ,74 ' , 72 '
(1 71 71 1 717я™ А
—^1(73^),-№(13х),^2 ¿1(ъ%),—Л2(ъ%), -^гг М ,
74 7274 75 71 7г74 )
удовлетворяет условию леммы. Второй случай рассматривается аналогично. Лемма доказана. □
Аналогично предыдущей лемме выводится следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть т € N — наименьшее такое число, что существует нетривиальное решение О обобщённого норменного ура,в нения над к, тогда для данного т существует решение с набором из 4 коэффициентов, указанных ниже, равных 1 при условии, что в О указанные
0О помощью допустимых преобразований над к. Возможны следующие наборы из 4 коэффициентов.
1. аг,а1,Ь3,!гк;
2. а,г,аг,Ъэ, ¡к;
3. Ьг,Ьг,аз,кк;
4. Ьг,Ь,аз,}к; 5- ,ак; 6. кг,кг,Ьу,ак;
Доказательство. Доказательство этой леммы проводится по аналогии с доказательством леммы 2 и рассуждениям из работы [12]. □
5. Доказательство основных результатов
Доказательство. По Теореме 4 для того, чтобы л// был периодичен необходимо и достаточно найти решение уравнения (1) для наименьшего т, удовлетворяющего условиям теоремы 1 и теоремы 2. Из доказательства теоремы 4 нетрудно видеть, что если степень фундаментальной 5-единицы — чётная, то он а равна 2т, а deg (1г > 0 для г = 1, 2. При этом, если степень 5-единицы нечётная, то без ограничения общности deg й1 = 0.
Таким образом, по теореме 4 необходимо и достаточно исследовать конечность числа решений уравнения (1). Что эквивалентно исследованию системы алгебраических уравнений на коэффициенты ^1, ^2, ¿1, й2, построенных по (1), для следующих значений deg (11 ш т:
Отметим, что конечность числа решений для т, = 11, deg й1 = 0 была получена в [12] с использованием базисов Грёбнера, а случаи т, ^ 3, т.е. случай нечетной степени фундаментальной 5-единицы ^ 3 или четной ^ 6, не могут давать нужных нам решений за исключением тривиального случая т, = 3, deg й1 = 0, описанного, например, в [18].
Пусть ё,2 = /о + /1х + /2Х2 + ¡зх\ где ¡2, /з быть может, принимают нулевые значения. Ясно, что /о = 0, поскольку многочлен / должен иметь ненулевое свободное слагаемое. Далее отмечаем, что ко = 0, так как в противном случае согласно соотношению (1) мы легко приходим к тому, что степень соответствующей 5-единицы строго меньше 2т.
Аналогичным образом мы показываем, что в уравнении (2) для каждого из случаев deg \2 = т — (2д + 1) или что тоже самое 1с(Х2) = 0. Предположим обратное, 1с(\2) = 0. Тогда согласно Лемме 2 пункту 1, существует решение системы норменного уравнения с к0 = /о = 1с(^1) = = 1 или же к0 = /о = 1с(^1) = 1 и Д = 0 над полем /г. Однако, базис Гребнера этих систем сводится к ненулевой константе, что эквивалентно отсутствию решений. Итак, это означает, что 1с(^2) = 0.
Можно показать, что не существует решений системы в случае, когда /1 = 0, что позволяет нам положить /1 = 0. Действительно, в противном случае, согласно Лемме 3 существует решение над полем к с /1 =0 системы норменого уравнения с инициализированной четверкой из пункта 3) леммы при
Однако же базис Грёбнера этой системы почти для каждой пары (deg й1, т) из перечня (4) при условии (5) состоит из единицы, что равносильно отсутствию решений. Поэтому, в каждом из этих случаев /1 = 0. Случаи, где указанное рассуждение избыточно, или базис Грёбнера отличен от единицы, отмечены и разобраны отдельно.
deg й1 = 0,т = 5, 7,9,11; deg й1 = 1,т = 4,6,8; deg й1 = 2,т = 5, 7,9.
(4)
Ьо = 1с(№) = ао = ко = 1.
(5)
Для каждой из исследуемых систем обобщённого норменного уравнения соответствующих парам из перечня (4) применим Д-процедуру, описанную в параграфе §3.1 так, чтобы процедура последовательного исключения переменных для каждой из систем приводила к многочлену не более чем одной переменной в качестве результанта последней пары многочленов. С помощью вычислений в системах компьютерной алгебры SageMath и Magma можно показать, что для каждой из систем всякой переменной этой системы можно сопоставить многочлен от этой переменный, полученный применением вышеуказанной Д-процедуры. Это позволяет сделать вывод о конечности числа решений изначальной системы, а, как следствие, о конечности различных неэквивалентных многочленов f с периодическим разложением y/J для полей, содержащих фундаментальную 5-единицу соответствующей степени.
Поле L содержит фундаментальную единицу степени 5
В этом случае (deg di, deg d2, degdegm) = (0,3,1,1, 5). Согласно схеме предложенной выше мы делаем вывод, что ho = 0, bo = 0, fo = 0. Отсюда и из вида обобщенного норменного уравнения следует что и ao = 0. Далее, из сравнения степеней левой и правой частей (1) и теоремы 4 также видим, что lc(p2) = Ь\ = 0. Как отмечалось выше, решений с fi = 0 не существует, откуда без ограничения общности полагаем /i = 0.
Поэтому подставляя согласно Лемме 3 значения /i = 1, fo = 1, bi = 1 получаем систему из 4 уравнений с 4 неизвестными.
После исключения й0 из первого уравнения, заменяя й1 на —1/2&0 — 1) а также избавляясь от &0 из второго уравнения получим систему из трех уравнений с 3 неизвестными.
Нетрудно видеть, что в данном случае система легко решается, а именно для любого поля к у системы (11) существует единственное интересующее нас решение, а именно: fз = 3/16, f2 = —1/2 Ь = 1 а0 = —4/3, f1 = 1, d0 = 4/3, d1 = 1, а1 = —5/3. Отметим, что указанное решение было впервые найдено в работе [11].
Поле Ь содержит фундаментальную единицу степ ени 7
В этом случае (deg d1, deg d2, deg , deg ц,2, т) = (0,3,2,2, 7). Пусть как и раньше
—2aoa1 + &o + 2bo = 0
< blf2 — ai + 2bo + 1 = 0 &2/з + 2bof2 + 1 = 0 ^o/з + /2 = 0
(6)
bof2 — 1/46o + 1 = 0 ЪУз + 2bof2 + 1 = 0
2bof3 + /2 = 0
di = 1,d,2 = Í3X3 + ¡2X2 + fix + /o2,
= a2x2 + aix + ao,^2 = b2x2 + bix + bo.
Откуда исходная система обобщенного норменного уравнения выглядит следующим образом
'ЪЦ20 — Оо = 0 2Ь0Ь1/2 + Ь2оЬ — 2а0а1 = 0 Ь2/о + 2Ь0Ь212 + 2ЬоЬ1/1 + Ь2!2 — а2 — 2^ = 0 < 26162/02 + Ь2Ь + 2Ь0Ь2Ь + 26061/2 + ЬЦз — 2а1й2 = 0 б2/02 + 2Ъ1Ъ2Ь + ЬЦ2 + 2^62/2 + 2Ь0Ь1/з — а2 = 0 ^2/1 + 2&162/2 + Ь1/з + 2Ь0Ь2/з = 0 Як + 2Ь1 Ь2/з = 0.
Отдельно обосновываем, что не существует решений с /1 =0.
Действительно, в противном случае, согласно Лемме 3 существует решение над полем к с /1 = 0 системы норменого уравнения с инициализированной четверкой из пункта 3) леммы при
Ь0 = 1с(у,2) = «о = ко = 1. (7)
Однако же базис Грёбнера этой системы состоит из единицы, что равносильно отсутствию решений. Поэтому /1 = 0. Далее применим Лемму 2 пункт , и положим /о = /1 = Ь2 = 1. Далее, мы можем выразить переменные ао,а,1 через остальные. Подставив в систему их выражения ао = —Ьо, а1 = —1/2^о — 61,а2 = — 1/26о/2 + 1/8Ьо — 1/2Ь1 — 1, получаем систему из 4 уравнений 4
' — 1/2^/2 + Ь^2 + &о/з + 1/8&о — 1/4Ь1 + 1 = 0 — 1/4ЬУ2 + 1/86Ц 2 — 1/2&0&1/2 + Ъ2 ¡2+ < +2ЪоЪ1 ¡з — 1/6462 + 1/8&0&1 — 1/462 + Ьо/2 + 1/4Ь0 + 61 =0 Ь1/з + 261/2 + 2Ьо/з + 1 = 0 ЪЬ/з + /2 = 0.
Из последнего уравнения видно, что переменную /2 можно исключить из системы. Ее значение определяется однозначно из набора остальных переменных. Вычисляя последовательные результанты по Д-процедуре из §3.1 для каждой из переменных Ьо,Ь1,/з мы получаем такое следствие:
(360 — 64)69(22562 — 81 660 + 256)2 = 0
(3&1 + 4)2(3&1 — 4)зб1(45б1 — 20461 + 80) = 0 (8)
(8/з — 3)2(16/з — 3)з/| (256/2 + 1968/з — 45) = 0
При вычислениях результанта по процедуре из параграфа 3.1, приводящих к многочленам от переменной /2 и /з, мы получаем в процессе Д-процедуры один нетривиальный общий множитель равный Сокращение на него в обоих случаях корректно, так как в силу deg 6,2 = 3 мы заключаем, что fз = 0.
При вычислении результанта, приводящему к многочлену от переменной Ьо, мы получаем в процессе два нетривиальных общих множителя равные /2, 4Ьо^ — Ьо^- Сокращение второй множитель корректно, так как базис Гребнера исходной системы дополненной этим уравнением дает помимо прочего многочлен Ьо- Он не может быть равен нулю в нашем случае для нашей задачи.
При вычислении результанта, приводящему к многочленам от переменной Ь1 мы не получаем в процессе нетривиальных общих множителей отличных от константы, в этом случае сокращений не возникает.
Нетрудно видеть, что система (8) имеет не более одного с точностью до инволюции поля констант интересующего нас решения над каким-либо полем к, являющимся квадратичным расширением Причём единственное решение с 60 = 0 точностью до инволюции поля оЩу^), меняющей знак у \/2Т, она имеет тогда и только тогда, когда 01(^/21) С к, а. именно
27^21 — 123 —3^21 + 13 6^21 + 34 24^21 + 136 /з =-32-, /2 =-4-, 61 =-15-, 60 =-75-•
Указанное решение позволяет построить многочлен / € оЩу^Н®] с периодическим разложением л/7 € 'Щу^Ж®)):
„ 27^21 — 123 3 3у/2Г — 13 2 _ / = —--х3----х2 + ж + 1.
32 4
В заключение отметим, что в силу (8) каждая из исследуемых переменных &0,&1,/2,/з может принимать не более чем конечное число значений для любого поля к. Для каждой переменной это число не превосходит степени соответствующего многочлена в системе (8).
Поле Ь содержит фундаментальную единицу степени 9
В этом случае (deg ¿1, deg й2, degdegц.2,т) = (0,3,3, 3, 9). Без ограничения общности положим Л-0 = 1. Тогда система обобщенного иорменного уравнения состоит из 10 уравнений 13
0
Ь2о /02 — а0 = 0 2 60&1/0 + 60/1 — 2 адаи Ъ2 /о2 + 2 6062/0 + 2 6061/1 + ЪЦ2 — а2 — 2 ад = 0
2 6162/02 + 2 &0бз/02 + Ъ\Ь + 2 60^2/1 + 2 6061/2 + 62/з — 2 ад — 2 ад = 0
62/02 + 2 6163/02 + 2 6162/1 + 2 6063/1 + б2/2 + 2 6062/2 + 2 6061/3 — а2 — 2 ад = 0
2 6263/02 + 62/1 + 2 6163/1 + 2 6162/2 + 2 6063/2 + 62/з + 2 6062/з — 2 ад = 0
62/02 + 2 6263/1 + 62/2 + 2 6163/2 + 2 6162/3 + 2 6063/3 — а2 = 0
63 /1 + 2 62 63/2 + 62 /з + 2 6163/3 = 0
63 /2 + 2 62 63/3 = 0
63 /з + с = 0
Воспользуемся Леммой 3, подставим в систему норменного уравнения 63 = 1, /0 = 1, /1 = 1,
99
—а0 + 60 = 0
—2 а0й1 + 60 + 2 6061 = 0 62 /2 — а2 — 2 ад + 2 6061 + Ъ\ + 2 6062 = 0 2 6061/2 + б0/з — 2 ад — 2 ад + Ъ\ + 2 6062 + 2 6162 + 2 60 = 0 62/2 + 2 6062/2 + 2 6061/3 — а2 — 2 ад + 2 6162 + &2 + 2 60 + 2 61 =0 2 6162/2 + 62/з + 2 6062/3 — 2 ад + 62 + 2 60/2 + 2 61 + 2 62 = 0 62 /2 + 2 6162/3 — а2 + 2 61/2 + 2 60/3 + 2 62 + 1 = 0 62 /з + 2 62/2 + 2 61/3 + 1 = 0 [2 62/3 + /2 = 0
Отметим, что в случае fi = 0 базис Грёбнера дает нулевую размерность данной системы. Решение построенное по этому базису дает многочлен 2х3 + 1, принадлежащий тривиальной серии, в нашем случае он интереса не представляет, поскольку соответствует степени 5-единицы равной трем.
Мы можем упростить систему, выразив явно переменные и подставив в систему их выражения: ао = -bo, ai = -1 bo - h, а2 = - 2 bof2 + g bo -1 bi - b2, a3 = 1 (bo - 2 bi)f2 -1 bof3 -16 bo+ +1 b1 - 2 b2 - 1, В силу того, что bo = 0 сократим множитель bo в уравнении
-614 (16bof2 - 24 bof2 + 32 h¡2 - 64b2Î2 + 32 bofa - 64 hf3 + 5 bo - 8 h + 16 b2 - 64)bo = 0. После преобразования получается система из 5 уравнений от переменных b2, /з,Ь1, f2,bo'
'-4 bof2 + I bof2 - 1 b1Î2 + b2f2 - 1 bof3 + hf3 - 64 bo + 1 b1 - 4 b2 + 1=0 1 bof2 -1 bohf! - 2 b2of2fs -1 bof2 + 2 bohf2 - 2 b2h + ьм +1 ь20f3 -1 bohf3+ +b2J3 + bob2f3 + 64 b2 - 32 bob1 + I b2 - 4 ЬгЬ2 + bof2 + 1 bo + h =0
- Te b2of2 + 4 bohf2 - 4 b2j2 +1 b2f2f3 - 2 bob1f2fs -1 ьo f2 +1 blf2-
-1 bob1Î2 + I b2j2 + 4 bob2f2 - 2 b1b2Î2 + - 1 ЬЦз + 1 - 2 bob2fs + 2 b1b2 h --216 b0 + 64 bob1 - à % - 1 bob2 + I b1b2 - 4 b2 + 1 boh + b1 f2 + bof3 - 1 bo + 4 b1 + b2 = 0
Ь2/з + 2 b2Î2 + 2 b1f3 + 1 = 0 ^2 b2f3 + f2 = 0
При вычисленнии R-процедуры для переменной b2 было проведено сокращение на общий множитель bo ■ b72 ■ (-48&2 - 112b2 + bo - 64)2.
При вычисленнии R-процедуры для переменной /з было проведено сокращение на следующие общие множители: f2, f6 ■ (4f2bo + 8f3 - 3)2.
При вычисленнии R-процедуры для переменной Ь1 было проведено сокращение на следующие общие множители: f2 ■ (4f2 - 1), f2, bo-
При вычисленнии R-процедуры для переменной f2 было проведено сокращение на следующие общие множители: f2 ■ (4f2 - 1), f2, bo ■ (4f2 - 1)4.
При вычисленнии R-процедуры для переменной bo было проведено сокращение на следующие общие множители: f2 ■ (4 f2 -1), f2,bo ■ (4 f2 -1)4. В каждом из этих случаев, базис Гребнера системы дополненный каждым из этих общих множителей, сводится к ненулевой константе. Тем самым мы обосновываем корректность сокращения на общий множитель и поэтому вышеуказанные сокращения корректны. Вычисляя последовательные результанты по Д-процедуре из §3.1 для каждой из переменных b2, /з,Ь1, f2,bo, мы получаем в качестве следствия систему из 5 уравнений и 5 неизвестных. В силу большой рациональной высоты коэффициентов, мы приводим данные многочлены в сокращенном виде, указывая лишь переменную и степень неприводимых сомножителей. Как и ранее мы обозначаем через Рх,к некоторый неприводимый над Q многочлен от переменной х степени к.
' (3b2 - 4)62(4562 - 20 462 + 80)РЬъзРь2,55 = 0 (16/з - 3)/з(256/2 + 1968/з - 45)Р/з,зР/з,4б = 0
(61 - 32)(3б1 - 64)61(22561 - 81661 + 256)^,з^Рь!,^,11^,14^,15*
*Pb1,66Pb1,9oPb1,92 Pb-1,112 = 0 (4/2 - 3) ¡2 (2/2 + 1)(4/2 - 1)(4/2 - 26/2 - 5)*
*Ph,3Ph,11Ph,14Ph,15Ph ,37ph,48ph,54ph,69 = 0 (6o - 64)boPb0,3РЬо,11РЬо,14РЬо,15РЬо,37РЬо,48РЬо,54РЬо,69 = 0
Из полученной системы мы извлекаем отсутствие нетривиальных решений над произвольным полем к у которого степень расширения над 0> не более 2. Этот случай мы тоже разобрали. В заключение отметим, что в силу (9) каждая из исследуемых переменных /2, б®, /з5 ¿2, может принимать не более чем конечное число значений для любого поля к,
Поле Ь содержит фундаментальную 5-единицу степени 11
В этом случае (deg ¿1, deg й2, deg deg ^2,т) = (0,3,4,4,11). Как отмечалось выше этот случай был разобран в [12] с использованием базисов Грёбнера. При вычислении базиса Грёб-нера соответствующей системы, нетрудно видеть, что для поля к, являющегося конечным расширением поля ^ не более 2, интересующих нас решений не существует.
Поле Ь содержит фундаментальную 5-единицу степ ени 8
В данном случае (deg ¿1, deg й2, degц,1, deg^2,т) = (1,2, 0,1, 4). Согласно схеме, предложенной в начале доказательства, убеждаемся, что Л,0 = 0, а0 = 0, Ъ0 = 0, /0 = 0. Из сравнения степеней левой и правой частей (1) и теоремы 4 также видим, что 1с(^2) = 61 = 0. Как отмечалось выше, решений с /1 = 0 не существует.
Поэтому подставляя согласно Лемме 3 значения /1 = 1, /0 = 1, 61 = 1 получаем систему из 4 уравнений с 4 неизвестными.
-а0 + Ь0 = 0 —a0hi + Ь0 + 2Ь0 ==
b\h + 2&о + 1 = 0 260/2 + 1 = 0
(10)
После исключения й0 из первого уравнения получим систему из трех уравнений с 3 неизвестными.
0
-6ohi + Ьо + 2 = 0
62/2 + 26о + 1 = 0
260/2 + 1 = 0
После упрощения мы получаем такую систему.
/2(4/2 - 3) = 0 hi + 2 = 0 6о(36о + 2) = 0
Нетрудно видеть, что в данном случае система легко решается, а именно для любого поля к у системы (10) существует единственное интересующее нас решение, а именно: /2 = 3/4, ао = 2/3, Ьо = -2/3, hi = —2. Отметим, что указанное решение было впервые найдено в работе [11].
Поле Ь содержит фундаментальную 5-единицу степ ени 10
В этом случае (deg ¿1, deg й2, degdegц.2,т) = (2,1,0, 2, 5). Без ограничения общности положим Л-0 = 1. Тогда система обобщенного норменного уравнения состоит из 6 уравнений и
(11)
= 1,Л = 1
9 неизвестных.
^о/о2 — ао = 0 2 ЪоЪ1 /о2 + Ь2о/1 — a2hi = 0 б2/о2 + 2 Ьо &2 /о + 2 feofeifi — a0h2 = 0 2 bib2 /о2 + b2Ji + 2 b0b2fi = 0 &2/о2 + 2 Wi =0 ^2/i + с = 0
Воспользуемся Леммой 2, подставим в систему норменного уравнения 62 = 1, и получим следующую систему из 5 уравнений и 5 неизвестных:
' — а2° + Ь2° = 0 —a2°hi + b2° + 2 fe0fei = 0 —a2°h2 + 2 fe0fei + b2° +2 fe0 = 0 fei + 2 b0 + 2 fei =0 2 fei + 1 = 0
Мы можем упростить систему, выразив явно переменные и подставив в систему их выражение ао = — feo- В силу того, что feo = 0 сократим множитель feo в уравнении —(feohi — feo — 2 fei) feo = 0 После преобразования получается система из 4 уравнений от переменных h2, hi,fei, feo'
' —feohi + feo + 2 fei =0 —fe2°h2 + 2 feofei + fe2 + 2 fe0 = 0 fe2i + 2 fe + 2 fei = 0 ^2 fei + 1 = 0
Нетрудно видеть, что в данном случае система легко решается, а именно для любого поля к у системы (11) существует единственное решение: h2 = 40/9, /о = 1 ао = —3/8, fi = 1, fei = —1/2 feo = 3/8, hi = —5/3, fe2 = 1. Отметим, что указанное решение было впервые найдено в работе [11].
Поле L содержит фундаментальную единицу степени 12
В этом случае (deg ¿1, deg й2, degdeg^2,т) = (1,2,1,2,6). Согласно схеме, предложенной в начале доказательства, убеждаемся, что Л,0 = 0, ао = 0, Ьо = 0, /о = 0. Из сравнения степеней левой и правой частей (1) и теоремы 4 также видим, что 1с(^2) = Ь2 = 0. Как отмечалось выше, решений с /1 = 0 не существует, откуда без ограничения общности полагаем ¡1 = 0.
Подставляя согласно Лемме 3 значения fi = 1, fо уравнений с 6 неизвестными.
= 1 , fe2 = 1
—ао + fe0 = 0
—a2hi — 20^ + fe2 + 2fe0fe1 = 0 fe§/2 — 2аоа! hi — а2 + 2feofel + fe2 + 2feo = 0 2feo fei/2 — a2hi + fei + 2feo + 2fei = 0 fe2/2 + 2feo/2 + 2fei + 1=0
2fei /2 + 1 = 0.
Заметим, что можно избавиться от переменных ао и Ь1 из первого и пятого уравнения. Исключая их после упрощения мы получаем систему из 4 неизвестных.
3/4Ьок2 + Ьо/2 — 1/2Ьок1 — Ьф1 — 1/4Ьо + Ь +2 = 0
— 1/4Ь2ок1 + 1/2Ь2к2 + ЬоЬ1к2 + 2ЬоЬ^2 — 1/4ЪУи — ЬоЪхкх — Ы[к1 + Ъ2г + 2Ьо + 2&1 = 0 Ъ2 ¡2 + 2Ьо/2 + 2Ь1 + 1 = 0 2Ъ^2 + 1 = 0.
(13)
Вычисляя последовательные результанты по Д-процедуре для каждой из текущих переменных Ьо, Ь1, ¡2, к1 мы получаем такое следствие:
' (3Ь1 + 2)Ь1 (561 + 6Ь2 + 12&1 + 8) = 0
к1(к1 + 2)(к1 — 1)(кз + 6к2 + 6к1 + 2) = 0
(25&з + 156Ь1 + 240Ьо — 32) = 0
(4/2 — 3)/2 (64/2з — 48/| + 12/2 — 5) = 0.
(14)
Д
этим многочленам, происходит сокращение на нетривиальные общий множитель /2 или его степени. Сокращение в каждом из случаев корректно, так как /2 = 0. Это обосновывает корД
переменных Ьо, Ьь к^ /2 может принимать не более чем конечное число значений для любого поля к, а для случая поля квадратичного поля к или поля к = 0> нетрудно видеть, что система (14) не имеет решений.
Поле Ь содержит фундаментальную единицу степени 14
В этом случае (deg ¿1, deg 62, deg^1, degц.2,т) = (2,1,1,3, 7). Согласно схеме, предложенной в начале доказательства, убеждаемся, что ко = 0, ао = 0, Ъо = 0, /о = 0. Из сравнения степеней левой и правой частей (1) и теоремы 4 также видим, что 1с(^2) = Ь2 = 0. В силу того, что deg <12 = 1, заключаем, что Л = 0.
Поэтому подставляя согласно Лемме 2 значения ко = /1 = 1,/о = 1,^2 = 1 получаем систему из 7 уравнений с 7 неизвестными.
'—ао + Ьо = 0
—^2к1 — 2аоа1 + Ь2 + 2ЬоЬ1 = 0
—2аоа1 к1 — ао,к2 — а2 + 2ЬоЬ1 + Ь2 + 2ЬоЬ2 = 0
—а21к1 — 2аоа1к2 + Ь2г + 2ЪоЪ2 + 2Ъ1Ъ2 + 2Ьо = 0
—а2к2 + 2Ь1Ь2 + Ь2 + 2Ьо + 2ЬХ = 0
Ь2 + 2Ь1 +2Ь2 = 0
2Ь2 + 1 = 0
(15)
Заменяя ао на Ьо и заменяя а^ на 1/2Ьок1 — 1/2Ьо — Ь1 и после упрощения мы получаем систему от 5 неизвестных.
3/4&0Л-1 - 1/2^1 - 61^1 - 60^2 - 1/460 + Ь1 +2Ь2 = 0 -1/46^3 + 1/260^1 + Ъ0Ъф\ + 60^1^2-
-1/4^1 - 6061^1 - Ъ\к1 - ^2 - 260^1^2 + Ь2 + 26062 + 26162 + 260 = 0 -1/462^2 + 1/260^1^2 + 6061^2 - 1/462н2 - ^061^2 - 61^2 + 26162 + ^2 + 260 + 2^1 =0 62 + 261 + 262 = 0 262 + 1 = 0.
(16)
Переменные 62,61 явно вычисляются. Вычисляя последовательные результанты по К-процедуре для каждой из текущих переменных мы получаем такое следствие:
(17)
(Л-2 - 40)^2(9^2 - 40)(2025Л| - 39816Л| + 210112^2 - 75264) (1866240000^9 - 55205712000^| + 606471399225^7 - 3130271733456^2+ +8727283377792^2 - 18049927509504^4 + 34435309195264^--34230846619648^2 - 178494898176^2 + 1040449536000) = 0 (Ы - 1)(3Л,1 + 5)(45^1 + 273^2 + 791^1 + 427) = 0 (1382463 - 9209662 - 7416&0 - 405) = 0
При вычислениях результанта в ходе ^-преобразования системы на шагах, приводящих к этим многочленам, происходит сокращение на многочлены, которые не обнуляются на множестве решений системы, что обосновывает корректность сокращения в ходе Д-процедуры. Для случая квадратичного поля к или случая к = 0> нетрудно видеть, что последняя система не имеет нетривиальных решений.
Поле Ь содержит фундаментальную 5-единицу степени 16
В этом случае (deg ¿1, deg й2, deg , deg ц,2, т) = (1,2,2,3,8)
Ясно, что Л,0 = 0, а0 = 0, Ъ0 = 0, /0 = 0, иначе сокращая на ж в (1) заключаем, что степень
16
теоремы 4 нетрудно видеть, что 1с(р2) = 63 = 0. Как отмечалось выше, в условиях теоремы 1 и тем более теоремы 2 не существует решений системы с /1 = 0, откуда без ограничения общности полагаем /1 = 0.
Воспользуемся Леммой 2, подставим в систему норменного уравнения /1 = 1, /0 = 1, 63 = 1, Л-0 = 1 и получим следующие уравнения:
(18)
-а0 + 60 = 0
-а2^1 - 2а0а1 + 62 + 26061 = 0 62/2 - 2а0й1^1 - а2 - 2а,0а,2 + 26061 + Ь\ + 26062 = 0 26061 /2 - а2^1 - 20002Ы - 2аю2 + Ь\ + 26062 + 26162 + 260 = 0 62/2 + 26062/2 - 2й1Й2^1 - а2 + 26162 + 62 + 260 + 261 = 0 26162/2 - а2^1 + 62 + 260/2 + 261 +262 = 0 62/2 + 261/2 + 262 + 1 = 0 ^62/2 + 1 = 0.
Из этой системы мы можем исключить переменные 00,01,02- Замены у нас получаются следующими: а0 = -60,а1 = 1/260Ы1 -1/260 - 61,а2 = -3/860Л_1 -1/260/2 + 1/4(60 + 261 )Ы1 + 1/860-
(19)
-1/2Ъ\ — После простого упрощения системы мы получаем эквивалентную систему от переменных bo,b\,b2,hi, f2-
' — I bohl — 1 bof2hi + | b0h\ + 4 hhj —
—2 bof2 + bif2 + 8 boh 1 — 2 b\h 1 — b2hi + i bo — i h + b2 + 2 = 0
i b2ohf + i b2j2h 1 — 7 blh\ — 8 bohhi — 4 b2of2 — 4 b2f2hi — 2 bohf2hi +
+32 b2hi + 7 b0bih2 + 4 bjh2i + 4 ^ь^ +1 b2f2 — i b0hf2 + b2j2 + №/2+
+bohi — 1 bobihi — 2 bjhi — 2 b0b2hi — b^hi — 64 b20 + ^ b0bi — 4 bj+ +i bob2 + bib2 + 2 bo + 2 bi = 0
—64 b2ohi — 3 b20f2hi + i6 b2hf + | bobihi — 4 b2f2hi + 4 b2f2hi + i bobif2h2 + i b2o h\— —I bobihi — i b2hi — 4 b0b2hi + 8 b2f2hi —
—i bohf2hi — bob2f2hi — ± blh\ + 8 bohh2 + i ВД + i fe^hi + feife^ + 2 b^ — —i bohi + 8 bobihi — i bfhi + i bob2hi — bMi — b2^hi + b22 + 2 bof2 + 2 fei +2 b2 = 0 b22h + 2 61/2 + 2 b2 + 1 = 0
^2 b2f2 + 1 = 0
Применим ^-преобразование системы. В каждом из случаев получается ненулевой многочлен от каждой из переменных, что завершает доказательств нашей теоремы. Выпишем уравнения, которые получились v нас в результате ^-преобразования системы, причём вместо каждого многочлена мы выпишем лишь его радикал. Полученная система является следствием над Q исходной системы. Обозначим через Рх,к — некоторый многочлен от переменной х степени к.
boPboß Pbo,55Pbo,W7 = 0
(hi +2)hi(hi — 1)Phl,2 PhuAfiPh^oPhuA! = 0
(4/2 — 3)(4/2 — 1) f2Ph,2Ph,3Ph,6 = 0 (20)
(b2 + 2)(3fe2 + 2)b2Pb2,2Pb2,3pb2,6 = 0 {bi(bi — 4)Pbi,2Pbi,3Pbi,6 Pbi,2oPbi,48 = 0 В силу ограничений объёма, мы не имеем возможности привести полный вид всех многочленов, входящих в систему (20). Приведём для примера несколько многочленов: Pb0,6 = 35162859375 b60 + 964070910000 bo + 6924423153600 bo — 5147602126848 bo —
— 48716872445952 b2o + 63203662036992 bo + 674064760832;
Pf2t6 = 76877824 f% —162641920 fl +102620928 f4 — 33014016 f3+8659440 f2 — 502200 f2+212625; Pb26 = 212625 bl + 251100 Щ, + 2164860 bj + 4126752 b3 + 6413808 b2 + 5082560 b2 + 1201216; Pbi,2o = 82556482563200 bf — 182292029964288 b\9 +
+ 3700176823118016b\8 — 41672730322305792b}7 + 220048281041334912b\6 —
— 274861679147380224b\1 — 2622240588850487424b\4 + 13231629527936646384b\3 —
— 17982425793551807808b\2 — 35374972142113715184b\i +
+ 167662143348451723824b\o — 267859272743637980872b\ + 220469209547236109547b8 —
— 85941395765711763492b7 — 150095028152499744bl +
+ 11146097842624151552+ 1592601206869000192b\ + 44728120934137856b3 —
— 1174039007592448 b2 + 32358283608064 bi — 549755813888.
При вычислениях результанта в ходе ^-преобразования системы на шагах, приводящих к этим многочленам, происходит сокращение на нетривиальные общие множители: ¡2,b2, bo или произведения их степеней. Сокращение в каждом из случаев корректно, так как bo = 0 или базис Гребнера исходной системы, дополненный каждым из уравнений: Ь2 = 0 и /2 = 0, сводится к ненулевой константе. Это обосновывает корректность сокращения в ходе Д-процедуры.
Также возникает сокращение на множитель Ь2. Вычисляя Базис Гребнера исходной системы дополненный каждым из этих уравнений, мы находим явно все решения. Эти решения не удовлетворяют условию 60 = 0 и, следовательно, нам не подходят.
В заключение отметим, что в силу (20) каждая из исследуемых переменных 60Л-1, /2 может принимать не более чем конечное число значений для любого поля к, а для случая квадратичного поля к нетрудно видеть, что система (20) не имеет решений.
Поле Ь содержит фундаментальную 5-единицу степени 18
В данном случае (deg , deg й2, deg ц,1, deg ^2,т) = (2,1,2,4, 9). Без ограничения общности положим Л-0 = 1. Тогда система обобщенного норменного уравнения состоит из 10 уравнений 13
'fe§/<? — ^ = 0
2 feofei/o2 + feo fi — öohi — 2 aoai = 0
fe2/02 + 2 fe0fe2 /0 + 2 feofeifi — 2 a0aihi — a°h2 — ai — 2 a0a2 = 0 2 feife2/o + 2 feofes/o + fe2/i + 2 feofe2/i — aihi — 2 aoa2 hi — 2 аоаф2 — 2 aia2 = 0 ^ fe2/o + 2 feifei/0 + 2 fetÄ/o2 + 2 feife2/i + 2 feofes/i — 2 aia2hi — aih2 — 2 — a2 = 0
' 2 fe2fes/o2 + 2 feife4/02 + fe2/i + 2 feifesД + 2 feofeifi — a2hi — 2 а^2 = 0 fei/o2 + 2 fe2fei /02 + 2 fe2 fes А + 2 feifei fi — a2h2 = 0
2 feifei f2 + fei fi + 2 fe2feiA = 0 fe2f2 + 2 feifei fi = 0 felfi + с = 0
Поскольку deg (12 = 1, то отсюда следует, что /1 = 0. Поэтому можем воспользоваться Леммой 3, подставим в систему норменного уравнения 64 = 1, /0 = 1,А = 1) и получим следующую систему из 9 уравнений и 9 неизвестных:
'— ao + feo = 0
—a^hi — 2 aoai + fei + 2 feofei = 0
—2 aoai hi — a^h2 — ai — 2 ao a2 + 2 feofei + fei + 2 feofe2 = 0 —a2hi — 2 aoa2hi — 2 aoaih2 — 2 aia2 + fei + 2 feofe2 + 2 feife2 + 2 feofes = 0 —2 aia2 hi — a2h2 — 2 aoa2h2 — a2 + 2 fe\fe2 + fe2 + 2 feofes + 2 fe\fes + 2 feo = 0 —a2hi — 2 aia2h2 + fe22 + 2 feifes + 2 fe2fes + 2 feo + 2 fei =0 —a2h2 + 2 fe2fes + fe2 + 2 fei +2 fe2 = 0
fei + 2 fe2 + 2 fes = 0 2 fei + 1 = 0
Мы можем упростить систему, выразив явно переменные и подставив в систему их выражения: ao = —feo, ai = i feohi —i feo—fei, a2 = — § feoh2 + j (feo + 2 fei)hi + 2 feoh2 + 8 feo — 8 fei—fe2, В силу того, что feo = 0 сократим множитель feo в уравнении — 8 (5 feohi — 3 feohi — 6 feihi — 12 feohih2 —
—feohi +4 feihi +8 fe2hi +4 feoh2 + 8 feih2 — feo + 2 fei — 8 fe2 — 16 fei) feo = 0.
После преобразования получается система из 6 уравнений от переменных h2,feo,hi,fei,fe2,fe\:
' — 5 feohi + i feohi + 4 feih2 + 2 feohih2 + 8 feohi — 2 feihi — fe2hi —
— 2 feoh2 — feih2 + i feo — i fei + fe2 + 2 fei = 0
65 feohi — ^ fe2hi - 7 feofeihi — § feohih2 + ü fe1h2 + 8 feofeih2 + 4 feihi +1 feofe2hi+ +4 feohih2 + 2 feofeihih2 + i fe2h2 + ^ fe^i — 8 feofeihi — 2 feihi — 2 feofe2hi — feife2hi — 8 fe^ —
— 2 feofeih2 — fe2h2 — feofe2h2 — g4 feo + 8 feofei — i fe2 + i feofe2 + feife2 + 2 feo fei + 2 feifei + 2 feo = 0
— 64 feohi + i6 feohi + i feofeihi + i fe1/㧧h2 + §1 feohi - 8 feofeihi —
—i feihi — i feofe2hi — 8 feoh2h2 — 7 feofeih2h2 — i feohih2 — ^ feohi +1 feofeihi + 2 ад+
+i feofe2h2 + feife2hi + 2 feofeihih2 + fe2hih2 + 2 feofe2hih2 + 2 fe2oh22 + feofeih2 —
— 64 feohi + 8 feo feihi —
— 4 fe2hi + i feofe2hi — feife2hi — fe2hi + 8 feo)h2 — i feofeih2 — fe2h2 — feofe2h2 — 2 feife2h2 + fe2 + +2 feifei + 2 fe2fei + 2 feo + 2 fei = 0
— 64 feohih2 + i6 fe1h1h2 + i feofeihih2 + i feoh2h2+
+^ fe1h1h2 — 5 feofeihih2 — 4 fe2h2h2 — 4 feofe2h2h2 — i feohih2 — 2 feofeihih2 — i feoh2 —
—16 feohih2 + i feofeihih2 + 2 fe2hih2 + 2 feofe2hih2 + feife2hih2 — 8 feoh2 + 2 feofeih2 + feofe2h2 —
— 64 fe^ + 8 feofeih2 — 4 fe2h2 + i feofe2h2 — feife2h2 — fe2h2 + 2 fe2fei + fe2 + 2 fei +2 fe2 = 0 fei + 2 fe2 + 2 fei = 0 2 fei + 1 = 0
(21)
Вычисление базиса Гребнера данной системы показывает нулевую размерность данной системы, что равносильно конечности числа решений в переменных hi, fei, fe2, h2, feo, fei. Более
feo = 0
базиса Грёбнера показывает отсутствие нетривиальных решений над полем Q и над произвольным квадратичным расширением поля Q. Доказательство теорем завершено.
6. Заключение
В работах [15, 16, 17] доказана ограниченность кручения в эллиптических кривых над квадратичными полями и дано описание возможных групп кручения. Из результатов работ, в частности следует, что в эллиптических полях над квадратичными полями реализуются все степени фундаментальных 5-единиц до 18 включительно за исключением 17 и только они. С учётом теоремы 2, чтобы завершить доказательство конечности числа нетривиальных неэквивалентных периодических у/У над квадратичными полями в качестве поля констант, остаётся доказать конечность с точностью до отношения эквивалентности таких полей, обладающих фундаментальной 5-единицей степени 13 и 15. Последнее, наряду с результатами компьютерных вычислений позволяет выдвинуть следующую гипотезу.
Гипотеза. Пусть к ^ квадратичное расширение поля 0>. Тогда, существует универсальная константа С, не зависящая от, поля к, такая, что существует не более С попарно неэквивалентных над к нетривиальных многочленов /; deg / = 3, для, которых у/] периодичен
в й((ж)). □
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abel N. H. Ueber die integration der differential-formel pdx/y/R wenn г und p ganze functionen sind. Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, Vol. 1, P. 185-221, 1826.
2. Tchebicheff P. Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynome du troisième ou du quatrième degré' // Journal des math, pures et appl. 1857. Vol. 2. P. 168-192.
3. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // Успехи математических наук. 2014. Т. 69:1, № 415. С. 3-38.
4. Schmidt W. M. On continued fractions and Diophantine approximation in power series fields // Acta arithmetica. 2000. Vol. 95, № 2. P. 139-166.
5. Adams W. W., Razar M. J. Multiples of points on elliptic curves and continued fractions //Proceedings of the London Mathematical Society. - 1980. - Vol. 41 - P. 481-498.
6. Платонов В. П., Петрунин M. M. S-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей // ДАН. 2016. Т. 470, № 3. С. 260-265.
7. Платонов В. П., Петрунин M. М. S-единицы и периодичность в квадратичных функциональных полях // УМН. 2016. Т. 71, № 5. С. 181-182.
8. Петрунин M. М. S-единицы и периодичность квадратного корня в гиперэллиптических полях. 2017. // Доклады Академии наук. 2018.
Т. 474, № 2. С. 155-158.
9. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в эллиптических полях // Доклады Академии наук. 2017. Т. 475, № 2. С. 133-136.
10. Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Математический сборник. 2018. Т. 4, № 209. С. 54-94.
11. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Доклады Академии наук. 2017. Т. 474, № 5. С. 540-544.
12. Платонов В. П., Жгун В. С., Петрунин М. \!.. Штейников Ю.Н. О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением yff // Доклады Академии наук. 2018. Т. 483, № 6. С. 603-608.
13. Платонов В. П., Жгун В. С., Федоров Г.В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях над квадратичным полем констант. // Доклады Академии наук. 2018. Т. 482, № 2. С. 137-141.
14. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Математический сборник. 2009. Т. 200, № 11. С. 15-44.
15. Kenku M. A., Momose F. Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields // Nagova Mathematical Journal. 1988. Vol. 109. P. 125-149.
16. Kamiennv Sheldon. Torsion points on elliptic curves and q-coeflicients of modular forms // Inventiones mathematicae. 1992. Vol. 109, № 1. P. 221-229.
17. Kamiennv S., Najman F. Torsion groups of elliptic curves over quadratic fields // Acta Arithmetica. 2012. Vol. 3, № 152. P. 291-305.
18. Платонов В. П., Петрунин M.M. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Труды МИЛИ. 2018, Т. 302, С. 354-376.
19. Платонов В. П., Петрунин М. \!.. Штейников Ю. Н. О конечности числа эллиптических полей с заданными степенями S-единиц и периодическим разложением д// // Докл. РАН. 2019, Т. 488, №3, С. 237-242.
20. Wieb Bosma, John Cannon, and Catherine Plavoust, The Magma algebra system. I. The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.
21. SageMath, the Sage Mathematics Software System (Version 9.0), The Sage Developers, 2020, https://www.sagemath.org.
22. Mazur B. Rational isogenies of prime degree // Inventiones Mathematicae. 1978. № 2 (44). P. 129-162.
REFERENCES
1. Abel N. H. 1826, "Ueber die integration der differential-formel wenn г und p ganze functionen sind", Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, vol. 1, pp. 185-221.
2. Tchebicheff P. 1857, "Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polvnome du troisième ou du quatrième degré", Journal des math, pures et appl., vol. 2. pp. 168-192.
3. Platonov V. P. 2014, "Number-theoretic properties of hvperelliptic fields and the torsion problem in Jacobians of hvperelliptic curves over the rational number field", Russian Math. Surveys, vol. 69, no. 1. pp. 1-34.
4. Schmidt W. M. 2000, "On continued fractions and Diophantine approximation in power series fields", Acta arithmetica, vol. 95, no. 2. pp. 139-166.
5. Adams, W.W., Razar, M.J., 1980. "Multiples of Points on Elliptic Curves and Continued Fractions", Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 41, pp. 481-498.
6. Platonov V. P., Petrunin M. M. 2016 "S-units in hvperelliptic fields and periodicity of continued fractions", Dokl. Math., vol. 94, no. 2. pp. 532-537.
7. Platonov V. P., Petrunin M. M. 2016. S-Units and periodicity in quadratic function fields Russian Math. Surveys, vol. 71, no. 5. стр. 973-975.
8. Petrunin M. M. 2017 "S-units and periodicity of square root in hvperelliptic fields", Dokl.Math., vol. 95, no. 3. pp. 222-225.
9. Platonov V. P., Fedorov G. V. 2017. "On the periodicity of continued fractions in elliptic fields", Dokl. Math., vol 96, no. 1. pp. 332-335.
10. Platonov V.P., Fedorov G.V. 2018, "On the problem of periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Sb.Math., vol. 209, no. 4, pp. 519-559.
11. Platonov V. P., Fedorov G. V. 2017, "On the periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Dokl. Math., vol. 95, no. 3. pp. 254-258.
12. Platonov V. P., Zhgoon V. S., Petrunin M. M., Shteinikov Yu. N. 2018, "On the finiteness of hvperelliptic fields with special properties and periodic expansion of y/f\ Dokl. Math., vol 98, pp. 603-608.
13. Platonov V.P., Zhgoon V.S., Fedorov G.V. 2018, "Continued rational fractions in hvperelliptic fields and the Mumford representation", Dokl. Math., vol. 482, no. 2. pp. 137-141.
14. Benvash-Krivets V.V., Platonov V.P. 2009, "Groups of S-units in hvperelliptic fields and continued fractions", Sb.Math., vol. 200, no.11, pp.1587-1615.
15. Kenku M. A., Momose F. 1988, "Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields", Nagoya Mathematical Journal, vol. 109. pp. 125-149.
16. Kamiennv S. 1992, "Torsion points on elliptic curves and q-coeflicients of modular forms", Inventiones mathematicae, vol. 109, no. 1. pp. 221-229.
17. Kamiennv S., Najman F. 2012, "Torsion groups of elliptic curves over quadratic fields", Acta Arithmetica, vol. 3, no. 152. pp. 291-305.
18. Platonov V. P., Petrunin M.M. 2018, "Groups of S-units and the problem of periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields" Proc. Steklov Inst, math., vol. 302, pp. 336-357.
19. Platonov V. P., Petrunin M. M., Shteinikov Yu. N. 2019, "On the finiteness of the number of elliptic fields with given degrees of S-units and periodic expansion of \f]r>, Dokl. Math., vol. 100, no. 2, pp. 1-5.
20. Wieb Bosma, John Cannon, and Catherine Plavoust, The Magma algebra system. I. The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.
21. SageMath, the Sage Mathematics Software System (Version 9.0), The Sage Developers, 2020, https://www.sagemath.org.
22. Mazur B. 1978, "Rational isogenies of prime degree (with appendix by Goldfeld D.)", Inventiones mathematicae, vol. 44, no. 2, pp. 129-162.
Получено 27.01.2018 г.
Принято в печать 20.03.2020 г.
