Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 1.

УДК 511.6 DOI 10.22405/2226-8383-2018-20-1-248-260

Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей

В. П. Платонов, Г. В. Федоров

Платонов Владимир Петрович — Федеральное государственное учреждение «Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук» (ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН); Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН), г. Москва. e-mail: platonov&niisi. ras. ru

Федоров Глеб Владимирович — кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное учреждение «Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук» (ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН); Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (МГУ имени М. В. Ломоносова), г. Москва.

e-mail: fedorov@mech. math, msu.su

Аннотация

Периодичность и квазипериодичность функциональных непрерывных дробей в гиперэллиптическом поле L = Q(x)(V7) имеет более сложную природу, чем периодичность числовых непрерывных дробей элементов квадратичных полей. Известно, что периодичность непрерывной дроби элемента \/7/hs+1, построенной по нормированию, связанному с многочленом h первой степени, эквивалентна наличию нетривиальных ¿-единиц в поле L рода д и эквивалентна наличию нетривиального кручения в группе классов дивизоров. В данной статье найден точный промежуток значений s g Z таких, что элементы %/7/hs имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, где f g Q[x] — свободный от квадратов многочлен четной степени. Для многочленов f нечетной степени проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида %/7/hs рассмотрена в статье [5], причем там доказано, что длина квазипериода не превосходит степени фундаментальной ¿-единицы поля L. Проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида \/~f /hs для многочленов f четной степени является более сложной. Это подчеркивается найденным нами примером многочлена f степени 4, для которого соответствующие непрерывные дроби имеют аномально большую длину периода. Ранее в статье [5] также были найдены примеры непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля L с длиной квазипериода значительно превосходившей степень фундаментальной ¿-единицы поля L.

Ключевые слова: непрерывные дроби, фундаментальные единицы, ¿"-единицы, кручение в якобианах, гиперэллиптические поля, дивизоры, группа классов дивизоров.

Библиография: 16 - названий. Для цитирования:

В. П. Платонов, Г. В. Федоров Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1, с. 248-260.

1 Публикация выполнена в рамках государственного задания ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН (выполнение фундаментальных научных исследований ГИ 14) по теме № 0065-2019-0011 "Исследование групповых алгебраических многообразий и их связей с алгеброй, геометрией и теорией чисел" (№АААА-А19-119011590095-7).

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 1.

UDC 511.6 DOI 10.22405/2226-8383-2018-20-1-248-260

The criterion of periodicity of continued fractions of key elements

in hyperelliptic fields 2

V. P. Platonov, G. V. Fedorov

Platonov Vladimir Petrovich — Federal State Institution «Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences» (SRISA); Steklov Mathematical Institute (MIAN), Moscow. e-mail: platonov&niisi. ras. ru

Fedorov Gleb Vladimirovich — candidate of physical and mathematical sciences, Federal State Institution «Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences» (SRISA); Moscow State University (MSU), Moscow. e-mail: fedorov@mech. math, msu.su

Abstract

The periodicity and quasi-periodicity of functional continued fractions in the hyperelliptic field L = Q(^)^v/7) has a more complex nature, than the periodicity of the numerical continued fractions of the elements of a quadratic fields. It is known that the periodicity of a continued fraction of the element yrf/h9+\ constructed % valuation associated with a polynomial h of first degree, is equivalent to the existence of nontrivial 5-units in a field L of the genus g and is equivalent to the existence nontrivial torsion in a group of classes of divisors. This article has found an exact interval of values of s g Z such that the elements \/J/hs have a periodic decomposition into a continued fraction, where f g Q[x] is a squarefree polynomial of even degree. For polynomials f of odd degree, the problem of periodicity of continued fractions of elements of the form \/J/hs are discussed in the article [5], and it is proved that the length of the quasi-period does not exceed degree of the fundamental 5-unit of L. The problem of periodicity of continued fractions of elements of the form \/J/hs for polynomials f of even degree is more complicated. This is underlined by the example we found of a polynomial f of degree 4, for which the corresponding continued fractions have an abnormally large period length. Earlier in the article [5] we found examples of continued fractions of elements of the hyperelliptic field L with a quasi-period length significantly exceeding the degree of the fundamental 5-unit of L.

Keywords: continued fractions, fundamental units, 5-units, torsion in the Jacobians, hyperelliptic fields, divisors, divisor class group.

Bibliography: 16 - titles. For citation:

V. P. Platonov, G. V. Fedorov, 2019, "The criterion of periodicity of continued fractions of key elements in hyperelliptic fields" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 248-260.

2The publication was performed within the framework of the state assignment of SRISA (14 GP implementation of fundamental research) on the subject № 0065-2019-0011 (№AAAA-A19-119011590095-7).

1. Введение

Пусть Р (X) £ К [X] — свободный от квадратов многочлен над полем К характеристики отличной от 2. В классическом случае рассматривается гиперэллиптическое поле С = К(X)(л/Р), где у многочлена Р степени 2д + 2, д ^ 1, старший коэффициент является полным квадратом в мультипликативной группе К * толя К. Критерий периодичности непрерывной дроби л/Р, построенной в поле К((X-1)), был известен еще Абелю [1] и Че-бышеву [2], современные результаты наиболее полно изложены в [3]. В частности, из этих результатов следует, что в поле С элемент у/Р и его разложение в непрерывную дробь играет ключевую роль в вопросах связанных с поиском фундаментальных единиц и рациональных точек кручения в якобиане гиперэллиптической кривой, заданной уравнением У2 = Р(X).

В отличие от числовых непрерывных дробей, в функциональном случае непрерывная дробь

К*

непрерывной дроби элемента л/Р справедливо утверждение: если длина квазипериода конечна, то длина периода либо равна длине квазипериода, либо равна удвоенной длине квазипериода.

специального вида Р = (В + \/Р)/А £ С, гДе А, В £ К[X], А | Р — В2, согласно которой Ь ^ т — р + 1, где т — порядок класса дивизора (те- — те+) в группе классов дивизоров Д°(Ь), р — порядок полюса элемента Р в те+.

С

риодическую непрерывную дробь с длиной квазипериода существенно больше, чем порядок класса дивизора (те- — те+) в группе классов дивизоров Д°(Ь). Частные примеры непрерывных дробей, построенных по конечному нормированию, для которых длина квазипериода существенно больше степени соответствующего дивизора кручения, были приведены в статье [5] (см. примеры 1-4).

Пусть а является корнем многочлена

Н(X) = Л2X2 + 2А^ + Ао, гдеАо,АьА2 £К[ж], (Ао, Аь Л2) £К*. (1)

Величину й = А'2 — А2Ао будем называть сокращенным дискриминантом многочлена (1) или просто дискриминантом. Положим / — свободная от квадратов часть многочлена й, т. е. й = ш2^ /,ш £ К [ж] и а £ Ь = К (х)(^/).

Пусть Н £ К [х], deg Н = 1, и нормирование % шля К (х) имеет два продолжения п— и на поле Ь = К(х)(\//). Поле Ь может быть вложено в поле формальных степенных рядов К((Н)) двумя способами. Мы фиксируем одно из вложений, соответствующее нормированию V-. То-

Ь К((Н))

[5], [6]). Положим вн = {V-, Пусть а = [а0; а1,...] — разложение а в непрерывную дробь, соответствующее нормированию V-. Положим г = max(degА0, deg А1, degЛ2).

В теореме 1 статьи [5] доказан общий критерий квазипериодичности непрерывных дробей

К((Н)) Ь

следующие условия эквивалентны:

а К((Н))

2. в поле Ь существует нетривиальная б^-единица вида и = Н-т(ш1 + ш^л/й), где вн = {V-, у+}, Ш1,Ш2 £ К[Н], ук (Ш2) = 0 degшl — degШ2 ^ г;

3. уравнение

ш2 — йш2 = ЬН2т (2)

имеет решение ш1,ш2 £ К [Н] такое, ч то (ш2) = 0 degш1 —degш2 ^ г, Ь £ К *, degш1 = т.

В статьях [5]-[15] отмечалось, что элементы вида у///Ъ3 для различных 8 € Ъ играют особую роль для поиска фундаментальных б^-единиц и изучения их свойств в гиперэллиптическом поле Ь = К(Ъ)(\//). В статье [11] доказано, что каждая квазипериодическая непрерывная дробь элемента вида т///Ъ3, в € Ъ, является периодической, а в статье [13] показано, что из периодичности непрерывной дроби элемента у///Ъ3 следует периодичность непрерывной дроби л/7/Ък-\ где к = deg/.

В теореме 2 статьи [5] для некоторого фиксированного в € Ъ найдены достаточные условия одновременной квазипериодичности непрерывных дробей элементов а, а ■ Ъ € Ь \ К(ж). Для гиперэллиптических полей Ь = К (ж)(\//), построенных с помощью свободных от квадратов многочленов / € К [ж] нечетной степени 2д + 1 найденные достаточные условия также являются необходимыми. В случае deg / = 2д + 2 указанные теореме 2 статьи [5] достаточные условия не являются необходимыми, что подтверждается примерами 1-3 [5]. Одним из наглядных эффектов случая, когда для элементов а и а ■ Ъ достаточные условия не являются необходимыми, является значительное отличие длин квазипериодов и периодов непрерывных дробей элементов а и а■ ЪЛ Так, в примере 4 статьи [5] найден свободный от квадратов многочлен $ € 0>[Ъ] степени 6, для которого длина периода непрерывной дроби элемента а = \П /Ъъ3 равна 2, а длина периода непрерывной дроби элемента а ■ Ъ3 = равна 18 при том, что поле Ь = 0>(Ъ)(л/]) обладает фундаментальной б^-единицей степени 4, где Бь = [у-,у+}.

Целью данной статьи является уточнение теоремы 2 статьи [5]. А именно, в теореме 2 данной статьи мы находим необходимые условия одновременной квазипериодичности непрерывных дробей элементов а, а ■ Ъ € Ь \ 0>(ж) для гиперэллиптических полей Ь = 0>(ж)(\/7), deg / = 2д + 2. Также мы приводим интересный пример эллиптичекого поля Q(X)(^Р), deg Р = 4, для котогоро длина квазипериода непрерывной дроби элемента равна 3, длина квазипериода непрерывной дроби элемента /X равна 20, длина квазипериода непрерывной дроби элемента /X2 равна 19, а длина периода — 38. Элементы /X ж /X2 имеют аномально большую длину квазипериода по сравнению с порядком т = 4 класса дивизора (те- — ) в группе классов дивизоров А°(Ь).

Символом 1с (К) обозначим старший коэффициент для многочлена Д, а символ ом tc (К) — свободный член многочлена К.

2. Вспомогательные утверждения

Следующая лемма была доказана в [5].

Лемма 1. Пусть Q,F € К[X], многочлен, неприводим, в К[X], г^ (Р) > 0; и поле С = К (X )(у/Ё) обладает фундаментальной единицей Ф1 где Ф1, Ф2 € К[X]. То-

гда для любой нетривиальной единицы поля С, где 01, 02 € К[X], справедливы

соотношения г^ (01) = г^ (Ф1) = 0 и г^ (02) = г^ (Ф2).

Идея доказательства заключается в том, что без ограничения общности можно считать, что для некоторых п € N и с € К * справедливы тождества

П1 + ^2^ = С(Ф1 +Ф2^^)га = (3)

Остается заметить, что из условия (Р) > 0 следует (Ф1) = 0.

Следующая теорема уточняет теорему 2 [5] для многочленов / четной степени.

Теорема 1. Пусть непрерывная дробь элемента, а € Ь = К(Ъ)(л/7) квазипериодическая, тогда справедливы следующие утверждения:

1. если 8 £ Z удовлетворяет неравенствам

deg А2 — deg ш1 + deg ш2 ^ 8 ^ deg ш1 — deg ш2 — deg А0, (4)

то непрерывные дроби элементов а ■ Н и а ■ Н квазипериодические;

2. если степень многочлена й нечетная и 8 не удовлетворяет неравенствам (4); то непрерывные дроби элементов а ■ Н и а ■ Н не квазипериодические;

3. если степень многочлена й четная и в поле Ь фундаментальная вн-единица,

ин = (Ц1 — ^2\Л)/Нт

такая, что deg ц1 — deg ц2 — д — 1 = 0 то для в не удовлетворяющим неравенствам (4) непрерывные дроби элементов а ■ Н и а ■ Н не квазипериодические.

Доказательство. Пункты 1. и 2. были доказаны в теореме 2 [5].

Докажем пункт 3. Обозначим X = 1/Н, Ф1^) = ц1/Нт, Ф2(Х) = ц2/Нт-9~\ Р = //Н2а+2, и для некоторого п £ N положим + 0,2у/Р = (Ф1 + Ф2\/Р)\ , Ф1, Ф2 £ К[X]. Из доказательства теоремы 2 [5] следует, что Ух (Ф2) = |degц1 — degц2 — д — 1|, то есть в нашем случае Ух (Ф2) > 0 Имеем Ух (Ф1) = Ух ( Р) = 0 следовательно, из (3) получаем Ух (П1) = О, Ух (^2) = Ух (Ф2)• Дальнейшее доказательство аналогично доказательству пункта 2. теоремы

2 [5]. □

В теореме 1 не разобраны случаи, когда

degЛ2 — degш1 +degш2 = 0 или degш1 — degш2 — degЛ0 = 0.

Оказывается, что эти случаи являются наиболее интересными, и имеют свои особенности. Для их рассмотрения над полем К = мы изучим рациональные корни двух последовательностей биномиальных многочленов.

Для п £ N определим две последовательности многочленов Тп^п £ Z[X] следующим образом

^)= Е , ^)= Е . ^

Тогда deg Тп = deg Qn = [^р] и справедливо тождество

Т^ 2)+XQn(X2) = (X + 1)" (6)

Выпишем первые несколько многочленов Тп, Qn £

Т1 (х) = 1, Ql(ж) = 1, Т2(х)=х + 1, Q2(х) = 2, Тз(х) = 3х + 1, Qз(х) = х + 3, Т4(х)=х2 + 6х + 1, Q4(х) = 4(х + 1), Т5(х) = 5х2 + 10х + 1, Q5(х) = х2 + 10х + 5, ...

Лемма 2. Многочлены Тп и Qn взаимно просты, (Тп, Qn) £ Z.

Доказательство. Заметим, что для любого г £ С справедливы тождества

(1 + ^ )п = Тп(г) + ^ Qn(z), п = 1, 2,..., (7)

и, следовательно, для и = у/г £ С имеем

(1+и)га = Тп(и2)+и^п(и2), п = 1,2,.... (8)

Если предположить, что щ Е С является общим корнем многочленов Тп(и2) и Qn(u2), то из (8) заключаем, что и0 = —1, но

Тп((-1)2) = Е (2") > 0. Q»((—1)2) = £ (2,+ 1) > 0.

□

Лемма 3. Если число п простое, то многочлены, Тп^п € 0>[ж] неприводим,ы, над 0>.

Доказательство. Пусть п = р — простое, тогда р | (р для 1 ^ ^ ^ р — 1. Следовательно, по признаку Эйзенштейна многочлены Тр, ^р € ^[ж] нвприводимы НЕД П

Лемма 4. Для п,т € N и а € ^ что Тп(а) = 0; справедливы тождехтва

Тпт(а) = (Тп(а))т ■ Тт(Ь), Япт(а) = {Тп(а))т~1 ■ Яп(а) ■ (¿т(Ъ), (9)

где b = a{Qn(o>)/Тп(а))2. В частности, из условия, что многочлен Тпт(х) ■ Qnm(x) имеет, рациональный корень следует,, что Тп(х) ■ Qn(x) или Тт(х) ■ Qm(x) имеет рациональный корень.

Доказательство. Пусть п,т Е Nn z е С такое, что Тп(г) = 0, тогда из (7) имеем (1 + Д)тп = (ВД + ДQn(z))m = Xn(z)m (1 + VU)m =

= (Тп(г))т (Тт(и) + VUQm(u)) = = {Тп(х))т ■ Тт(и) + Д {Тп(х))т- lQn(z)Qm(u), (10)

где и = г^п(г)/Тп(г))2. □

Лемма 5. Для п Е N такого, что п ф 0 (mod 22) и пф 0 (mod 3), многочлены Тп(х) и Qn(x) рациональных корней не имеют.

Доказательство. Будем рассуждать по индукции по количеству простых делителей числа п с учетом их кратностей. База индукции для простых п справедлива. Рассмотрим п = р ■ т, р _ простое, р = 2, Р = 3. Так как Тр(х) и Qp(x) неприводимы и degТр ^ 2, deg Qp ^ 2, то по (9) получаем, что множество рациональных корней многочлена Трп(х) ■ Q^m^) совпадает с

множеством рациональных корней многочлена Тп(х) ^п(х), которое пусто по индукционному □

Лемма 6. Для а Е Q и п Е N т,аких, что Тп(а) = 0 имеем Тпт(а) = 0 и Qnm(a) = 0; если т Е N нечетно, и Тпт(а) = 0 и Qnm(a) = 0 если т Е N четно; если а Е Q и п Е N т,акие, что Qn^) = 0, то Qnm(а) = 0 и Тпт(а) = 0 для любого т Е N.

□

Предложение 1. Рациональные корни многочленов Тп^п, п Е n, описаны, в таблице 1.

□

Таблица 1: Рациональные корни многочленов Tn,Qn

n (mod 12) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

рац. корни Tn -1 -1/3 -1 -1/3 -1

рац. корни Qn ~ 1 / 3. ~ 1. -3 -3 -1 -1/3;-3 -1 -3

3. Основные результаты

Следующая теорема уточняет теорему 1 для элементов вида Н-Ял/].

Теорема 2. Пусть f £ Щх] ^ свободный от, квадратов многочлен, deg / = 2д + 2 и Н £ Щ[х] — линейный многочлен. Пусть ин = Н-т(ц1 + Ц2у/Г) ~ фундаментальная вн-единица в поле Ь = Щ(х)(\/7)- Положим, для п £ N

< = h-nm^\n) + vVWf), rn = deg Vi - deg^ -g- 1

1. Если r\ = 0, то элементы вида h-syff имеют периодическое разложение в непрерывную дробь тогда и только тогда, когда g + 1 — r( ^s^ g + 1 + r(.

2. Если Г\ = 0, то элементы вида h-syff имеют периодическое разложение в непрерывную дробь тогда и только тогда, когда g + 1 — — r3 ^s^ g + 1 + + г3.

Доказательство. Пункт 1 следует из теоремы 1. Рассмотрим пункт 2, когда Г\ = 0. Обозначим

X = 1/h, Ф((Х) = ц,i/hm, ) = ^/hm-a-1, Da(X) = f/h2a+2,

тогда в (3) можно считать с = 1,

Qi(X) = Q(1ra)(X) = v^h-nm, fi2(X) = П^(Х) = ^ hg+1-nm.

Положим Z = Ф2Do/Фl, тогда

+ Q2 VD = Ф?(Тга( Z) + Qra(Z) 4Z).

Отметим, что при n ^ 2 возможно rn > 0 тогда и только тогда, когда tc(Q() = 0 или tc(Q2) = 0, так как tc(Q() = tc(Q2) = 0 невозможно из-за условия — ^D0 £ Q*. Так как по условию Г( = 0, то vx (Ф1) = vx (Ф2) = vx ( Do) = 0, и может быть корректно вычислен предел Zo = limx^o Z £ Q. Пусть многочлены Тп и Qn определены как в (5). Тогда в силу (3) возможно tc(Q() = 0, если и только если Tn(Zo) = 0, и, аналогично, tc(^2) = 0, если и только если Qn(Zo) = 0. Из предложения 1, дающего полное описание всех рациональных корней многочленов Тп и Qn, в частности следует, что если гп = 0 при n ^ 3, то гп = 0 при n ^ 4. Дальше нам остается проверить, сколько младших коэффициентов многочленов и Q2

Zo

Тп, Qn, описанных в предложении 1. Пусть

Ф((Х) = Фl>o + ФМХ (mod X2), Ф2(Х) = Ф2)o + Ф2,(Х (mod X2), Do(X) = Do,o + Do,iX (mod X2),

причем Ф1,о = 0 Ф2,о = 0 и Dq,q = 0.

Предположим, что Г2 > 0 По предложению 1 выполнено неравенство Г2 > 0 только, если tc f^12)) = 0. Последнее условие равносильно limx^0Т2(^) = Т2(^о) = 0, что возможно только при Zo = — 1. По определению величины Z, условие Zo = —1 равносильно условию Ф? о + Ф2 о^о,о = 0 Также то предложению 1 ясно, что при Г2 > 0 справедливы соотношения

vx = 0 при пф 2 (mod 4), и vx ^2™^ = 0 при пф 0 (mod 4). Покажем, что для к Е N

выполнены равенства vx = vx = vx = г2-

Для начала рассмотрим Q?2)(X) ф 0?2() + Q?2)X (mod X2), где

= Ф2,о + Ф2,о^о,о = 0,

П?2) = 2Ф?,оФ?,1 + 2Ф2,оФ2,1^о,о + Ф2 о^,1.

Q(4fc+2) = ф4,+2T4fc+2 ^Що

По формулам (10) имеем

£Л )

= (ф? + д>) ■ T2kJ^ + ф2^о)2' -

- П?^ ■ ( 4Ф1)оФ2)о^о,о)й ■ х (mod X2).

Таким образом, П?4^+2) = 0 тогда и только тогда, когда П?2) = 0. Далее, рассуждая аналогич-

г>(2) г>(2) г>(2) А

но, при условии, что П? о = П? 1 = ... = 1 = 0, по индукции имеем

<+2) - П?2^ ■ (4Ф?,оФ2 ,опо,о)к ■ Xn (mod X*1),

т. е. п!4^+2) = 0 тогда и только тогда, когда П^ = 0, что означает vx ^n14fc+2)j = vx (П2^. Аналогично, по формулам (10) получаем

П24Н = Ф1ь-204, (фф?2) =

= (Ф1 + Ф2°» >4 (ф^ )(ф? + ф2°»)2№-1) -

- lc(Q2fc) ■ П(12) ■ (4Ф1,оФ2 ,оЩо)к-1 ■ х (mod X2).

Следовательно, п24^) = 0 тогда и только тогда, когда п12) = 0. Далее, по индукции получаем

п14^+2) = 0 тогда и только тогда, когда п12^ = 0, что означает vx (П4^ = vx (п12)^.

Предположим, что Гз > 0. В этом случае Г1 = Г2 = 0 По предложению 1 неравенство Гз > 0 может быть выполнено только, если tc = 0 или tc = 0.

Первым рассмотрим условие tc = 0, которое равносильно

lim T3(Z) = Тз(го) = 0, х^о

что возможно только при Zо = —1/3 По определению величины Z, условие Zо = -1/3 равносильно условию Ф2 о + 3Ф2 о^о,о = 0 Также по предложению 1 ясно, что в этом случае справедливы соотношения vx = 0 при п - 3 (mod 6), и vx = 0 ПРИ п - 0 (mod 6). Покажем, что для к £ N выполнены равенства vx = vx (п13)^ = vx (П6^ = гз.

Для начала рассмотрим q13)(X) — Q^ + Q^X (mod X2), где

Q^ = ф1,о (Ф1,о + 3Ф2,о^о,о) = 0, QfJ = 3(2Ро, оФ1, оФ2 , оФ2 ,1 + ^о,оФ1,1Ф2о + ^одФ1,оФ2о + ф2оф1,1).

По формулам (10) имеем

Q16fc+3) = Фб^+3

Т (Ф2^о\

Ф2^+1(Ф2 + зФ2^о)■ Т2к+1^Фр°(ФФ2+3Ф^)^ (Ф2 + Ф2^о)2^—

= Ф^П^ ■ (ф2^о,о)* ■ (^ОГ ' X (mod X2),

где ^0 = ЗФ2^ + Ф2)0D0)0 = 0. Таким образом, Ql6^+3) = 0 тогда и только тогда, когда q(3) = 0. Далее, по индукции получаем о(6^+3) = 0 тогда и только тогда, когда = 0, что означает vx ^b(6fc+3)j = vx

Аналогично, по формулам (10) получаем

Q26fc) = Ф6'-2^

(Ф1рл V Ф1 )

ф6^+1(Ф1 + ЗФ2рО)(ЗФ2 + Ф2РО)«2^ФФро (ФФ+33Ф2Р;)2) (Ф2 + ЗФ2РО)

к-1

-f2n x2(fc-1) _

— lc(Q2k) ■ Q13i ■ (Ф2,оРо,о)" 1 ■ (Q23.S)2fc-1 -X (mod X2).

Следовательно, если Q^ = 0, то Q2^f) = 0. Следовательно, Q2^f) = 0 тогда и только тогда, когда q13) = О Далее, по индукции получаем Q^^ = 0 тогда и только тогда, когда Q^ = 0, что означает vx (Q6^) = vx ^Q^)-

Теперь рассмотрим условие tc = 0, которое равносильно

lim Q3(Z) = Q3(^о) = 0, х^о

что возможно только при Zо = — 3. По определению величины Z, условие Zо = —3 равносильно условию 3Ф2 о + Ф2 оРо,о = 0. Также по предложению 1 ясно, что в этом случае

справедливо vx (Q^j = 0 при п — 0 (mod 3). Покажем, что для к £ N выполнены равенства

,х (Q23fc)) = ^х (q23^ = гз.

Для начала рассмотрим q23)(X) — q2^q + q23)X (mod X2), где

Q2^ = Ф2,о (3Ф2,о + Ф2,оР ,о) = 0, Q2 1 = 3Ро ,о Ф2оФ2,1 +Ро,1ФЗо +3Ф1, оФ2,1 + 6Ф1,оФ1,1Ф2,о.

По формулам (10) имеем

Q(6fc) = Ф1

6к-2 1

Q6k

(ф1рл V Ф1 )

Ф2к-2( ф1 + 3Ф2Ро) (3Ф2 + Ф2рО) Q2fc

/ ф2ро / 3Ф2 + Ф2РЛ 2\ ,ф2 + 3ф2 р ч Ф2 + 3Ф2Ро; ) + 3ф2Ро)

2 ry \ 2(fc-1) _

_ хЪ2к-2, — ф1,о

Q2fc(0) ■ q23) ■ (Q^f*-1 ■ X (mod X2).

Следовательно, Q6? = 0 тогда и только тогда, когда Q3! = 0 Далее, по индукции получаем

^ = 0 тогда и только тогда, когда = 0, что означает vx ^2^) = vx (Q Аналогично, по формулам (10) получаем

Qf+3) = Фб^+з ( Ф||о )

ф1

Ф?-1(ЗФ! + Ф2^1 (Ф|° (ФФ+^(Ф2 + 3Ф2*)» ф

ф Ф1Ю"^+1(0) ■ Q23i ■ (Q(13(S)2fc ■ X (mod X2).

Таким образом, Q6^3 = 0 тогда и только тогда, когда Q3i = 0. Далее, по индукции получаем

Q16k+3) = 0 тогда и только тогда, когда Q3»! = 0 чт0 означает vx ^26Й+3)) = vx (Q3)

□

4. Заключение

Приведем пример элемента эллиптического поля Р € <[Х], degР = 4, у

которого длина квазипериода непрерывной дроби значительно превосходит порядок порядок класса дивизора (те- — те+) в группе классов дивизоров А°(Ь). Этот пример был найден с помощью символьных компьютерных вычислений и параметризации Куберта [16] всех эллиптических кривых, имеющих точку конечного порядка.

Положим Р = 4Х4 — 8Х3 — 8Х2 — 12X — 3. Бесконечное нормирование поля <(Х) имеет два неэквивалентных продолжения па поле С = <(Х)(л/Р)• Рассмотрим элемент а =

ДР и

его непрерывную дробь.

В обозначениях теоремы 2 справедливы соотношения Ух

ко

= Ух К2)) = 0,

Ух = 2, то есть п = Г2 = 0 гз = 2. Поэтому, согласно пункту 3 теоремы 2, элементы

л/Р ■ X5 для —2 ^ 8 ^ 2 имеют периодическое разложение в непрерывную дробь. Непрерывная дробь элемента

ДР в <((1/Х)) имеет вид

VF =

X 1 X2 X 1 X 1

2X2 — 2X — 3;--+ -, 8X — 12,--+ — + -, 8X — 12,--+ -, 4X2 — 4X — 6

' 6 4 12 12 8' '64

= -48

С4

порядок класса дивизора (те- — те+) в группе классов дивизоров А°( V) равен 4. В отличие от элементов 7Р/Х и 7Р/Х 2 для элемента л/Р справедливы условия утверждения из статьи [4] об оценке длины квазипериода.

Непрерывная дробь элемента 7Р/Х < ((1/ Х))

VР

X 2 2 X 2 X 1

- 2X — 2;--+ -, —3X — 6,--+ -, 27X — 27,--+ —, 24X2 — 36X — 18,

X [ 3 3 27 9 27 18

~X 1 X 1 16X3 16X2 X 1

--+ —, 24X — 24,--+ -,---- 8X — 16,--+ -, 24X — 24,

36 36' 12 6 3 3 ' 12 6

Х 1 Х 1 2 Х 2 Х 2

--+ —, 24Х2 — 36Х — 18,--+ —, 27Х — 27,--+ -, —3Х — 6,--+ -, 4Х — 4

36 + 36, , 27 + 18, , 27 + 9, , 3 + 3,

Длина периода совпадает с длиной квазипериода и равна 20, период имеет симметричный вид.

Непрерывная дробь элемента y/F/X2 в Q((l/X)) имеет вид

VF

X 2

X 3 S X X2 X 1 X 1 32 X

2;---+ -,--h 4,---1----, 4SX - 96,---1--,--16,

' 2 4' 3 ' 24 S 6' 24 4S 3 '

X 1 2 X 3 X4 X3 X2 3 2 X 3 X 1

— + —, SX - 22,--+ -,------X —,--+ -, SX - 22, — + —,

16 16' 3 2' 3 3 2 2' 3 2' 16 16'

32X X 1 X2 X l SX X

--16,--+ —, 4SX - 96,--+---,-+4,--+ 1, SX - 16,

3 ' 24 4S 24 S 6' 3 ' 2 '

~X l 2X2 S 2X 1 2X X ÏT

- 2X + -, - 3X + 6,---,--+ 1, - X - 1,--+ —,

6 4' 3 3' ' 3 3' 3 ' ' 2 S

32X " X4 X3 X2 X 3 32X " X IÏ Г 2X

-- 24,---1---1---1---1--,--24,---1--, -X - 1,---h 1,

3 4S 4S 32 16 32' 3 2 S 3

2 X 1 2 X2 S X 1 X

---, - 3X + 6,--2X + -,----, SX - 16,--+ 1

3 3' 3 3' 6 4' ' 2

= 1/16

период имеет сдвинутый симметричный вид.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Abel N.H. Uber die Integration der Differential-Formel p dx/y/R, wenn R und p ganze Functionen sind // J. Reine Angew. Math. 1826. №1. P. 185-221.

2. Chebychev P. L. Sur l'intégration de la differential , dx // J. Math. Pures Appl.

yj x4 +ax3+ßx2+7

1864. Vol. 2, № 9. P. 225-246.

3. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69, № 1(415). С. 3-38.

4. Berry, T. G. 1990, "On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields", Arch. Math., vol. 55, pp. 259-266.

5. Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Т. 209, № 4. С. 54-94.

6. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 1. С. 15-44.

7. Федоров Г. В. Периодические непрерывные дроби и S-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, № 3.

8. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 474, № 5. С. 540-544.

9. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в эллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 475, № 2. С. 133-136.

10. Платонов В. П., Жгун B.C., Федоров Г. В. Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и многочлены Мамфорда // ДАН. 2016. Т. 471, № 6. С. 640-644.

11. Платонов В. П., Петрунин М. М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Тр. МИЛИ. 2018. Т. 302. С. 354-376.

12. Платонов В. П., Петрунин М.М. S-единицы и периодичность в квадратичных функциональных полях // УМ И. 2016. Т. 71, № 5. С. 181-182.

13. Платонов В. П., Петрунин М. М. S-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей // ДАН. 2016. Т. 470, № 3. С. 260-265.

14. Жгун В. С., Обобщенные якобианы и непрерывные дроби в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 4. С. 208-220.

15. Платонов В. П., Федоров Г. В., S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2015. Т. 465, № 5. С. 537-541.

16. Kubert D.S., Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math.Soc. (3). 1976. Vol. 33, № 2. P. 193-237.

REFERENCES

1. Abel N.H. 1826, "Uber die Integration der Differential-Formel ^s^V^^nn ^d p ganze Functionen sind", J. Reine Angew. Math., no. 1, pp. 185-221.

2. Chebychev P. L. 1864. "Sur l'intégration de la differential , X+A dx", J. Math,. Pures Appt., vol. 2, no. 9, pp. 225-246.

3. Platonov, V. P. 2014, "Number-theoretic properties of hvperelliptic fields and the torsion problem in Jacobians of hvperelliptic curves over the rational number field", Russian Math. Surveys, vol. 69, no. 1, pp. 1-34.

4. Berry, T.G. 1990, "On periodicity of continued fractions in hvperelliptic function fields", Arch. Math., vol. 55, pp. 259-266.

5. Platonov, V. P., Fedorov, G.V. 2018, "On the problem of periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Sb. Math., vol. 209, no. 4, pp. 519-559.

6. Benvash-Krivets, V. V., Platonov, V. P. 2009, "Groups of S-units in hvperelliptic fields and continued fractions", Sb. Math., vol. 200, no. 11, pp. 1587-1615.

7. Fedorov, G.V. 2018, "Periodic continued fractions and S-units with second degree valuations in hvperelliptic fields", Chebyshevskii Sbornik, vol. 19, no. 3. (In Russ.)

8. Platonov, V. P., Fedorov, G. V. 2017, "On the periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Dokl. Math., vol. 95, no. 3, pp. 254-258.

9. Platonov, V. P., Fedorov, G. V. 2017, "On the periodicity of continued fractions in elliptic fields", Dokl. Math., vol. 96, no. 1, pp. 332-335.

10. Platonov, V. P., Zhgoon, V. S., Fedorov, G.V. 2016, "Continued Rational Fractions in Hvperelliptic Fields and the Mumford Representation", Dokl. Math., vol. 94, no. 3, pp. 692-696.

11. Platonov, V. P., Petrunin, M.M. 2018, "Groups of S-units and the problem of periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 302, pp. 336-357.

12. Platonov, V. P., Petrunin, M.M. 2016, "S-Units and periodicity in quadratic function fields", Russian Math. Surveys, vol. 71, no. 5, pp. 973-975.

13. Platonov, V. P., Petrunin, M.M. 2016, "S-units in hvperelliptic fields and periodicity of continued fractions", Dokl. Math., vol. 94, no. 2, pp. 532-537.

14. Zhgoon V. S. 2017, "On generalized jacobians and rational continued fractions in the hvperelliptic fields", Chebyshevskii Sbornik, vol. 18, no. 4, pp. 208-220. (In Russ.)

15. Platonov, V. P., Fedorov, G.V. 2015, "S-Units and Periodicity of Continued Fractions in Hvperelliptic Fields", Dokl. Math., vol. 92, no. 3, pp. 752-756.

16. Kubert, D. S. 1976, "Universal bounds on the torsion of elliptic curves", Proc. London Math.Soc. (3), vol. 33, no. 2, pp. 193-237.

nojivHeno 02.02.2019 r. npiiHaTO B nenaib 10.04.2019 r.