CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 4.
УДК 511.6 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-357-370
Об ограниченности длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей над полем рациональных чисел 1
Г. В. Федоров
Федоров Глеб Владимирович — кандидат физико-математических наук, механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (г. Москва).
e-mail: fedorov@mech. math, тsu.su
Аннотация
Проблема периодичности функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля тесно связана с проблемой поиска и построения фундаментальных ¿"-единиц гиперэллиптического поля и проблемой кручения в якобиане соответствующей гиперэллиптической кривой. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Б. Мазуром в 1978 году. Для гиперэллиптических кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел приведенные три проблемы остаются открытыми. Теория функциональных непрерывных дробей стала мощным арифметическим инструментом для исследования этих проблем. Кроме этого, возникающие в теория функциональных непрерывных дробей задачи имеют собственный интерес. Иногда эти задачи имеют аналоги в числовом случае, но особенно интересны задачи, которые значительно отличаются от числового случая. Одной из таких задач является задача об оценке сверху длин периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел. В данной статье мы находим оценки сверху на длины периодов для ключевых элементов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел. В случае, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом нечетной степени, длина периода рассматриваемых элементов либо бесконечна, либо не превосходит удвоенной степени фундаментальной ¿-единицы. Более интересный и сложный случай, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом четной степени. В 2019 году В. П. Платоновым и Г. В. Федоровым для гиперэллиптических полей L = Q(x)(^ff), deg f = 2д + 2, найден точный промежуток значений s € Z таких, что непрерывные дроби элементов вида %/7/hs € L \ Q(x) периодические. Используя этот результат в данной статье найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел, зависящие только от рода гиперэллиптического поля и порядка группы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой.
Ключевые слова: непрерывные дроби, длина периода, фундаментальные единицы, S-единицы, кручение в якобианах, гиперэллиптические поля, дивизоры, группа классов дивизоров.
Библиография: 27 названий. Для цитирования:
Г. В. Федоров. Об ограниченности длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей над полем рациональных чисел // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 357-370.
1 Работа выполнена при поддержке РНФ (грант № 19-71-00029).
358
T. B. <3>e/j,opoB
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 4.
UDC 511.6 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-357-370
On boundedness of period lengths of continued fractions of key elements hyperelliptic fields over the field of rational numbers 2
G. V. Fedorov
Fedorov Gleb Vladimirovich — candidate of physical and mathematical Sciences, faculty of mechanics and mathematics, Lomonosov Moscow state University (Moscow). e-mail: fedorov@mech. math, msu.su
Abstract
The problem of the periodicity of functional continued fractions of elements of a hyperelliptic field is closely related to the problem of finding and constructing fundamental 5-units of a hyperelliptic field and the torsion problem in the Jacobian of the corresponding hyperelliptic curve. For elliptic curves over a field of rational numbers, the torsion problem was solved by B. Mazur in 1978. For hyperelliptic curves of genus 2 and higher over the field of rational numbers, the above three problems remain open. The theory of functional continued fractions has become a powerful arithmetic tool for studying these problems. In addition, tasks arising in the theory of functional continued fractions have their own interest. Sometimes these tasks have analogues in the numerical case, but tasks that are significantly different from the numerical case are especially interesting. One such problem is the problem of estimating from above the lengths of periods of functional continued fractions of elements of a hyperelliptic field over a field of rational numbers. In this article, we find upper bounds on the period lengths for key elements of a hyperelliptic field over a field of rational numbers. In the case when the hyperelliptic field is defined by an odd degree polynomial, the period length of the elements under consideration is either infinite or does not exceed twice the degree of the fundamental 5-unit. A more interesting and complicated case is when a hyperelliptic field is defined by a polynomial of even degree. In 2019, V. P. Platonov and G. V. Fedorov for hyperelliptic fields L = Q(x)(yff), deg f = 2g + 2, found the exact interval values s g Z such that continued fractions of elements of the form a/7/hs g L \ <Q(x) are periodic. Using this result in this article, we find exact upper bounds on the period lengths of functional continued fractions of elements of a hyperelliptic field over a field of rational numbers, depending only on the genus of the hyperelliptic field and the order of the torsion group of the Jacobian of the corresponding hyperelliptic curve.
Keywords: continued fractions, period length, fundamental units, 5-units, torsion in the Jacobians, hyperelliptic fields, divisors, divisor class group.
Bibliography: 27 titles. For citation:
G. V. Fedorov, 2019, "On boundedness of period lengths of continued fractions of key elements hyperelliptic fields over the field of rational numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 357370.
2The work was supported by RSF (grant № 19-71-00029).
1. Введение
Пусть Р (X) £ К [X] — свободный от квадратов многочлен над полем К характеристики отличной от 2. В классическом случае рассматривается гиперэллиптическое поле С = К (X)(л/^), где у многочлена Р степени 2д + 2, 9 ^ 1 старший коэффициент является полным квадратом в мультипликативной группе К * толя К. Вопрос о периодичности непрерывной дроби у/Р, построенной в поле К((X-1)), связан с многими математическими проблемами. Одной из первых таких проблем стала проблема интегрируемости в элеметарных функциях псевдоэллиптических интегралов, рассмотренная в работах Абеля [1] и Чебышева [2]. Современные результаты о периодичности непрерывной дроби и эквивалентных условиях изложены в [3], [4]. В частности, из этих результатов следует, что в поле С элемент и его разложение в непрерывную дробь играет ключевую роль в вопросах связанных с поиском фундаментальных единиц и рациональных точек кручения в якобиане гиперэллиптической кривой, заданной уравнением У2 = Р(X).
В отличие от числовых непрерывных дробей, в функциональном случае непрерывная дробь может быть квазипериодической — периодической с точностью до константы из К*. Для непрерывной дроби элемента справедливо утверждение: если длина квазипериода конечна, то длина периода либо равна длине квазипериода, либо равна удвоенной длине квазипериода.
В эллиптическом случае deg Р = 4 над полем конетант К = Q в [5]-[6] был поставлен вопрос о возможной длине периода непрерывной дроби Согласно теореме Мазура [7] для эллиптических кривых, если класс дивизора (те- — те+) имеет конечный порядок т в группе классов дивизоров Д°(£), то 2 ^ т ^ 10 или т = 12. Используя этот результат и параметризацию Куберта [8], в [9], [10], [11] показано, что длина периода п непрерывной дроби принимает одно из значений {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,10,12,14,18, 22}, причем для каждого п из этого множества существует бесконечная серия соответствующих примеров неизоморфных эллиптических кривых. Для квадратичного поля констант К и deg Р = 4 в [12] доказано, что длина периода п непрерывной дроби л/Р может принимать одно из значений п £ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,17,18, 22, 26, 30, 34}.
Для гиперэллиптических полей общего вида С = К (X)(л/^), deg Р = 2д + 2, д ^ 1, в статье [13] дана оценка сверху на длину квазипериода N непрерывной дроби элемента специального вида ¡5 = (В + )/А £ С, гДе А, В £ К[X], А | Р — В2, согласно которой N ^ т — р + 1, где т — порядок класса дивизора (те- — те+) в группе классов дивизоров Д°(Ь), р — порядок полюса элемента [3 в те+.
Пусть теперь / £ К[ж] — свободный от квадратов многочлен произвольной степени. Пусть Н £ К [ж] и нормирование у^ толя К (ж) имеет два продолжения V- и у+ на гиперэллиптическое поле Ь = К(ж)(\//). В статье [14] показано, что в случае deg Н = 1 теория функциональных непрерывных дробей, связанных с нормированиями V- и находит эффективное применение в поле Ь. Поэтому далее мы считаем, что deg Н = 1, многочлен / задан в кольце К[Н] ъ Ь = К(Н)(\//)• В этом случае элемент а £ Ь разлагается в поле формальных степенных
те
рядов К((Н)) в степенной ряд вида а = ^ щН3, где щ £ К. Если а £ Ь \ К(Н), то а можно
представить в виде формального степенного ряда в К((Н)) двумя способами, которые соответствуют нормированиям V- и Чтобы каждый элемент поля Ь имел однозначное разложение в К((Н)), мы без ограничения общности фиксируем одно из вложений поля Ь в К((Н)), соответствующее нормированию V-. Для а £ Ь \ К (ж) обозначим а — сопряженный элемент к а.
Из теоремы 2 статьи [15] следует оценка снизу на длины квазипериодов непрерывных дробей некоторых специальных элементов гиперэллиптического поля. В статье [16] получены оценки сверху и снизу на длину квазипериода непрерывных дробей элементов \/У/Нд и
л/У/№9+1 в случае, когда deg f = 2д + 1. В статье [17] получены оценки, уточняющие результаты статьи [16], зависимости от четности степени фундаментальной 5-единицы т, а также приведены примеры непрерывных дробей, на которых указанные оценки становятся точными.
В частности, длина квазипериода N ^ т — 2д + 1 для нечетной степени фундаментальной 5-единицы т, и щенка N ^ т — 2д для четной степени фундаментальной 5-единицы т.
В статьях [16]-[25] отмечалось, что элементы вида л/]/№ для различных 8 € Ъ играют особую роль для поиска фундаментальных б^-единиц и изучения их свойств в гиперэллиптическом поле Ь = К(№)(у?). В статье [24] показано, что из квазипериодичности непрерывной дроби элемента /№ следует квазипериодичность непрерывной дроби где к = deg/.
В теореме 2 [18] при данном некотором 8 € Ъ найдены достаточные условия одновременной квазипериодичности непрерывных дробей элементов а, а ■ № € Ь \ К(х). Для гиперэллиптических полей Ь = К (ж)(\//), построенных с помощью свободных от квадратов многочленов / € К [ж] нечетной степени 2д + 1 достаточные условия также являются необходимыми. В случае deg / = 2д + 2 найденные достаточные условия не являются необходимыми, что подтверждается примерами 1-3 в статье [18]. Одним из наглядных эффектов случая, когда для элементов а и а ■ № достаточные условия не являются необходимыми, является значительное отличие длин квазипериодов и периодов непрерывных дробей элементов а и а ■ №. Так, в примере 4 статьи [18] найден свободный от квадратов многочлен / степени 6, для которого длина периода непрерывной дроби элемента а = /№3 равна 2, а длина периода непрерывной дроби элемента а ■ №3 = л/] равн а 18 при том, что поле Ь = К (ж)(\//) обладает фундаментальной б^-единицей степени 4, где = [у-,у+}.
В статье [26] дано уточнение теоремы 2 статьи [18]. А именно, в теореме 2 [26] для гиперэллиптических полей Ь = Q(ж)(V7), deg/ = 2д + 2, найден точный промежуток значений 8 € Ъ таких, что непрерывные дроби элементов вида л/]/№ € Ь \ 0>(ж) периодические.
В данной статье, опираясь на результаты статьи [26], мы даем оценки сверху на возможные длины периодов непрерывных дробей ключевых элементов поля Ь над полем рациональных чисел. В теореме 5 доказано, что, если длина периода непрерывной дроби элемента вида \/Т/№ конечна, то она не превосходит 12т — 4$, где т есть степень фундаментальной единицы поля Ь. При более сильных условиях найдены более точные оценки на возможную длину периода. Приведены новые примеры элементов рассматриваемого вида с периодами, достигающими некоторые из приведенных оценок.
Мы высказываем предположение, что длины периодов непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля над полем алгебраических чисел К ограничены сверху постоянной, зависящей только от рода гиперэллиптического поля, порядка группы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой и степени расширения [К : 0>].
Символом 1с (К) обозначим свободный член многочлена К.
2. О периодичности ключевых элементов
В 2018 году в статье [17] доказано, что для делителя й многочлена / квазипериодическая непрерывная дробь элемента вида 8 € Ъ, является периодической. Приведем альтернативное доказательство этого факта, которое нам будет полезно в дальнейших рассуждениях.
Из теоремы 1 [18] известно, что наличие хотя бы одного квазипериодического элемента в поле Ь = К(№)(\//) влечет ряд эквивалентных условий, среди которых мы выделяем разрешимость норменного уравнения вида
— ^2/ = ЬНт, max(2deg2degц,2 + deg /) = т.
(1)
По предложению 2 [18] норменное уравнение (1) можно свести к уравнению вида
f2ßl - fißl = hmi, mi =deg(/2^2) ^ deg(/i^2), deg f2 > 0, f = b20hh- (2)
Как и в доказательстве теоремы 1 [18] запишем, как будет выглядеть уравнение (2) в поле С = К(X)(VF), где X = h-i, F(X) = f ■ h-2a-2. Для этого обозначим
П = ■ h-deg^, F2 = /2 ■ h-deg/2, Fi = F/F2, Па = ■ hö+i-deg/2-deg,
тогда Fi,F2, П3, П4 G К[X] и
F2^4 - FiQ2 = 1, Fi ■ F2 = F, vx (^2)= (П4) = 0. (3)
В статье [27] определено отношение к для элемен tob a,ß G С\ К (X), а имен но а к ß, если найдутся Т, R,U,V G ^[X] такие, что
« = T+rni, TV - RU G К*. и + Vß
В теореме 1 [27] доказано, что а к ß для a,ß G С\ К(X) тогда и только тогда, когда ßm = сап для некоторых m,n G Z, с G X*. Отсюда следует, что непрерывные дроби элементов а к ß одновременно квазипериодические (периодические) или не квазипериодические (не периодические) .
Лемма 1. Пусть многочлены, Fi, F2, П3, П4 G К[X] удовлетворяют, (3). Тогда для любого s G Z такого, что -vx (П3) ^ s ^ vx (^\П3); имеем,
VF VF Xs ■ Vf
r^J - ГЧ„/ .
F2 ■ Xs Xs Fi
Доказательство. Сперва рассмотрим T = X-sFiü^ R = П4, U = F2Q4, V = XSÜ3, тогда из (3) имеем
TV - RU = -(F2Q4 - *ifi3) G К *, T,R,U,V G К [X ],
vf t + Rvf/x s vf
Xs и + VVF/X s F2 ■ Xs' Теперь положим T = F2Q4, R = XSQ3, U = X-sV = П4, тогда из (3) получаем
TV - RU = f2Q4 - Fi П3 g К *, T, R,U,V G К [X],
VF T + RVF/Xs xs ■ VF
X3 и + V^/F/X * '
Лемма 1 доказана. □
Теорема 1. Пусть для некоторого в0 £ Z непрерывная дробь элемента, а = \[]/Ня° квазипериодическая.
Тогда непрерывные дроби элементов л/7/Н80, Н"^у////2 и Н50-"^периодические, где многочлены, /1,/2 определены из (2) согласно предложению 2 [18].
Доказательство. Поскольку непрерывная дробь а = л/]/НЯ0 квазипериодическая, то в силу теоремы 1 [18] и предложения 2 [18] справедливо уравнение (2), а, следовательно, и (3), причем за счет условий (2) имеем deg^ ^2 > 0. По предложению 3 [ 18] для г = шах(2зо, deg /) получаем неравенство Ух (^з) + 9 + 1 ^ т — во-
Непрерывные дроби элементов \/J/hS0 и л/F/X9+l-S0, построенные соответственно в полях К((h)) и К((X-1)), совпадают. В лемме 1 можно взять s = д + 1 — so, поскольку 1д + 1 — s0| = г — s0 — (д + 1) + vx (F1) ^ vx Следовательно, непрерывные дроби
VF/XVF/(F2Xs)rn XS^F/Fi квазипериодические. В силу deg^ F2 > 0 имеем
max (-(у.F/Xs) , — (^F/^Xs)) , — (xSVF/F^ > 0,
значит, по теореме 3 [27] и лемме 1 получаем периодичность непрерывных дробей y/F/Xs, VF/(F2Xs)rn Xay/F/Fi. Отсюда следует периодичность непрерывных дробей
y/f/hS0 , hdeg f2-S0 л/]/}'2 Ш T7/(/lhdeg f2-S0).
Теорема 1 доказана. □
В частности, в случае So по теореме 1 получаем, что квазипериодичность непрерывной дроби элемента л/J влечет ее периодичность. Данный факт для многочленов f нечетной степени впервые был доказан в 2017 году в статье [22].
3. Оценки на длину периода
Пусть элемент @ € С = К (X)(л/^) является корнем уравнения
Л2Р2 + 2Л1(0 + Ло = 0, (4)
где Ло, Л1, Л2 € К[X] взаимно простые многочлены. Обозначим И = Л2 — Л0Л2. Тогда по теореме 2 [27] квазипериодичность непрерывной дроби @ = [ао; Я1, ...] в К((1/X)) эквивалентна наличию решения О1, О2 € К[X], О2 = 0, уравнения
О1 — ^2 = а € К*. (5)
Теорема 2. Пусть существует решение О?, О2 € К[X], О2 = 0; уравнения (5). Тогда длина, квазипериода непрерывной дроби элемента, [3 не превосходит,
degО2 + тах ^degЛl, 2 (degЛо + degЛ2.
Доказательство. Обозначим длину квазипериода непрерывной дроби элемента @ через N. Так как О? = ИО^2 + а — полный квадрат в К[X], то уравнение К2 + 2О2Л1Л + Л0Л2О2 — а = 0 имеет решение Я € К [X]:
Я = —О2Л1 + О1.
Определим
Т = О2Л2, и = Я + 2О2Л1, 5 = —О2Л0,
тогда Яи — БТ = нТ = 0. С введенными обозначениями уравнение (4) равносильно соотношению
Р = Т^+и ■ (6)
Подставим тождество
Р = Рп-1@п + Рп-2 Яп-1Рп + Яп-2
в соотношение (6), тогда
= А/Зп + В Р Срп + & А = КРп-1 — ^2^оЯп-1, В = КРп-2 — ^2^оЯп-2, С = КЯп-1 + ^2 Л 2 Рп-1, В = КЯп-2 + П2Л2РП-1,
причем — ВС £ К*. С некоторого номера справедливо V- (рп) ^ 1, поэтому по лемме 1 [27] найдется номер Ь ^ п такой, что для некоторого Ь £ К *
я ьа А Р* В
А+1 =с = о;, ^ = о-т• (7)
Тогда для длины квазипериода верна оценка N ^ £ + 1 — пи справедливы неравенства
deg А ^ deg Р1 = ^ deg а,] ^ deg Рга_1 + 4 + 1 — п ^ deg Рга_1 + N. (8)
.7=0
Следовательно,
X ^ deg А — deg Рп-1 ^ max(deg К, deg 02 + deg Л0 — deg а0) ^ ^ max^degQ2 +degЛl, degQl, degQ2 + 2(degЛо + degЛ2^ ^
^ degQ2 + тах ^degЛl, 2 (degЛо +degЛ2^ • □
Теорема 3. Пусть элемент @ = /Xя £ С для некоторого 8 £ Z имеет, квазипериодическое разложение в непрерывную дробь. Тогда для, некоторого Р1 | Р, deg Р1 < deg Р, длина, квазипериода не превосходит, degQ1 — 5, где
5 = тах(0, deg Р1 — д — в — 2) + тах(0, д — в) + тах(0, д + 8 — deg Р^ •
В част,ноет,и, если многочлен Р неприводим, ив ^ —д, то длина, квазипериода не превосходит, degQl — 2д.
Доказательство. По теореме 1 для некоторого представления Р = Р1 ■ Р2, Р2 £ К[X], deg Р2 > 0, непрерывные дроби элементов
/Ё у/Ё X3 ■
F2 ■ X X ^ Fi
периодичны, причем по лемме 1 их периоды совпадают с точностью до сдвига и домножения на некоторую постоянную. Следовательно, в каждом из трех квазипериодов найдутся неполные частные каждой положительной степени из следующих значений
- ( ^ \ - I ^ \ - 1Х S ■J* \
-V- I^T^J ' —^I^J ' —^^^) ■
Значит, в оценке степеней неполных частных (8) степени некоторых трех неполных частных можно оценить более точно значениями
max(l,# + 1 — s — deg F2), max(l,g + 1 — s), max (l,g + 1 + S — deg Fi).
Обозначим
S = max(0, д — s — deg F2) + max(0, д — s) + max(0, g + s — deg Fi),
тогда
t
deg A ^ deg Pt = ^ deg aj ^ deg Pra_i + N + ó. (9)
i=o
Далее, рассуждая как при доказательстве теоремы 2, для элемента fi = y/F/Xs получаем N + S ^ deg А — deg Pn-i ^ max(deg R, deg Q2 + deg Л0 — deg a0) ^ ^ max^degQi, degQ2 + 1(degЛo +degЛ2^ = degQi.
Теорема 3 доказана. □
В следующей теореме рассматривается базовое поле констант К = Q. Это ограничение существенно для использования теоремы 2 [26].
Теорема 4. Пусть s € Z и гиперэллиптическое поле С = Q(X)(y/F) содержит фундаментальную Б^-единицу степени т, где Sж = {v__,v++}. Если длина, квазипериода непрерывной дроби y/F/Xs конечна, то она не превосходит 6т — 2д, а длина периода не превосходит 12m — 4д.
Доказательство. По теореме 2 [27] квазипериодичность непрерывной дроби элемента y/F/Xs эквивалентна наличию решения Qi, Q2 € К[X], Q2 = 0, уравнения (5), где D = FX2s, К = Q. Пусть непрерывной дробь элемента y/F/Xs квазипериодическая, тогда найдутся Qi, Q2 € К[X] минимальной степени такие, что Q2 = 0 и справедливо (5). Наличие квазипериодических элементов в поле С влечет периодичность элемента y/F, поэтому существуют € К [X ] такие, что — F^ € К * и + есть фундаментальная 5ж-единица
степени т. Обозначим
+ = (^i + ^Vf )п.
Тогда для квазипериодичности непрерывной дробь элемента y/F/Xs необходимо и достаточно, чтобы для некоторого п € N было выполнено Xs | или, равносильно, XsO,2 = сц,^ для некоторой постоянной с € К*. Из теоремы 2 [26] следует, что, если Xs \ ^2, то справедливо одно из соотношений Xs | ^2) ми Xs | ^3) ми Xs | ^23)> причем, е ели Xs | ^2), то Xs | а если Xs | то Xs | Итак, XSQ2 = сц,^ для некоторого п ^ 6, следовательно,
degQi ^ 6т. По теореме 3 заключаем, что длина квазипериода непрерывной дроби y/F/Xs не превосходит 6m — 2д. Теорема 4 доказана. □
В статье [26] приведен пример эллиптического поля С = Q(X)(y/F), degF = 4, в котором есть фундаментальная б^-единица степени 4, квазипериод непрерывной дроби элемента y/F/X совпадает с периодом и равен 20, квазипериод непрерывной дроби элемента y/F/X2 равен 19, а период — 38. Таким образом, для многочленов F четной степени длины периодов непрерывных дробей вида y/F/Xs могут значительно превышать степень фундаментальной б^-единицы.
В следующей теореме найдены оценки длин периодов непрерывных дробей элементов поля L, связанных с конечными линейными нормированиями.
Теорема 5. Пусть f € Q[#] — свободный от квадратов многочлен, и h € Q[#] — линейный многочлен. Пусть Uh = h_m(^i + ^2y/J) — фундаментальная Sh-единица в поле
L = Q(a:)(v7 )•
Для deg f = 2д + 1 непрерывная дробь \[]/НЯ0 квазипериодическая тогда и только тогда, когда во £ Z удовлетворяет неравенству |«о — 9 — 1/21 ^ deg — deg — д, причем в случае квазипериодичности непрерывная дробь \[]/НЯ0 является периодической, длина, квазипериода не превосходит, т — 2д, длина периода не превосходит, 2т — 4д.
Для deg f = 2д + 2 положим
ь1 = Н-пт(№ + гп = deg — deg ^ — д — 1
1. Если п = 0 то элементы вида, л/] /НЯ0 имеют квазипериодическое разложение в непрерывную дробь тогда и только тогда, когда д + 1 — г1 ^ во ^ д + 1 + г1; причем в случае квазипериодичности непрерывная дробь у/7/Н30 является периодической, длина, квазипериода, не превосходит, т — 2д, длина периода не прев осходит, 2т — 4д.
2. Если г1 =0 г2 = 0? то элементы в ида, \[]/НЯ0 имеют квазипериодическое разложение в непрерывную дробь тогда и только тогда, когда д + 1 — г2 ^ во ^ д + 1 + г2, причем в случае квазипериодичности непрерывная дробь \[]/НЯ0 является периодической, длина, квазипериода не превосходит, 4т — 2д, длина периода не прев осходит, 8т — 4д.
3. Если г1 = г2 = 0; то элементы в ида, \[]/НЯ0 имеют квазипериодическое разложение в непрерывную дробь тогда и только тогда, когда д + 1 — г3 ^ зо ^ д + 1 + г3, причем в случае квазипериодичности непрерывная дробь \[]/НЯ0 является периодической, длина, квазипериода не превосходит, 6т — 2д. длина периода не превосходит, 12т — 4д.
□
4. Заключение
Отметим, что теорема 5 уточняет оценку длины квазипериода в статье [13] для элементов вида — М, deg М ^ д + 1 deg(F — М2) ^ д + 1 д ^ 2, для непрерывных дробей в К((1/X)) или для элементов вида (\//—V)/Ня+\ где Ня+1 | f — V"2, deg V ^ д + 1 д ^ 2, для непрерывных дробей в К((Н)).
Приведем несколько примеров, показывающих эффективность и неулучшаемость найденных в теоремах 3 и 5 оценок.
Пример 1. Рассмортим Р = X4 + 20Х3 + 124Х2 + 144Х — 432. Непрерывная дробь элемента в Q((1/X)) имеет вид
у/Ё =
X2 + 10Х + 12; — — — —, 4Х + 16, ' 48 12' '
V 2 5 V 1 V 1
—^ — 2± — 1, 4Х + 16, — — — —, 2Х2 + 20Х + 24 96 48 8 48 12'
1/96
С4
(те- — те+) в группе классов дивизоров Д°(Ь) равен 4. Заметим, что 1с(р3) = 0 ^(д3) = 0; поэтому в обозначениях теоремы 2 [26] имеем, г1 = 0; но поэто-
му "с ^ = 0; следовательно, непрерывная дробь элемента /~Р /X периодическая,
/Ё/Х =
X 1 X2 X 5 X
X + 10; — + -, -+ X - 3,----,---1,
' 12 3' 4 6 3' 2 '
- +4,- - 1, - - - 5, - - - -, 4Х + 28, 2 6 3 2 ' 12 12' '
X3 5Х2 X 1 ^ ~ X 1 X Т^ Г
--1---1----, 4Х + 28,----,---5,---,
384 192 32 8 ' 12 12' 2 ' 6 3
X X X 5 X2 X 1
— + 4,---1,----, — + X - 3, — + -, 2Х + 20
2 ' 2 ' 6 3 4 '12 3'
Длина, периода совпадает с длиной квазипериода и равна 20 < 6т - 2д, как в теореме 3 для неприводимого многочлена Р.
Пример 2. Рассмортим Р = X4 + 36Х3 + 420Х2 + 1472Х - 256. Непрерывная, дробь элемента в Q((1/X)) имеет вид
-/¥ =
X2 + 18Х + 48; - —----, 4Х + 32,
' 128 16' '
- ^ - А, 4Х + 32, - — - —, 2Х2 + 36Х + 96 256 128 16' ' 128 16'
-1/256
на 6. В поле С существует фундаментальная единица, степени 4, порядок класса, дивизора, (те- - те+) в группе классов дивизоров Д°(Р) равен 4. Заметим, что Ъс(р3) = 0 "с(д3) = 0; поэтому в обозначениях теоремы 2 [26] имеем, г{ = 0; но "с Ы2 + "Ъс (^) "с (^3)2 = 0, поэтому Ъс ) = 0, следовательно, непрерывная, дробь элемента /Р/X периодическая,
/Ё/Х =
X 1 27Х 153 2Х 4 81Х 729
^ + 18; _+______ _+___+__
; 48 18, 8 4 , 81 81, 64 32 ,
4Х 16 81Х 243 X3 X2 2х 16 81Х 243
"81 + 81, 64 16, - 648 - "36 - "27 + 81, 64 16,
4Х 16 81Х 729 2Х 4 27Х 153 X 1
--1--,--1--,--1--,----,--1--, 2Х + 36
81 81 64 32 81 81 - 8 - 4 48 18
Длина, периода совпадает с длиной квазипериода и равна 14 = 4т - 2д, как в теореме 3 для неприводимого многочлена Р.
Пример 3. Рассмортим Р = (X + 6) (X3 - 2Х2 + 32Х - 32). Непрерывная дробь элемента в Q((1/X)) имеет вид
//Ё =
X
1
X
1
X2 + 2Х + 8; — + —, 4Х - 16, — + —, 2Х2 + 4Х + 16
64 16
64 16
С
тальная единица, степени 5, порядок класса, дивизора, (те- - те+) в группе классов дивизоров Д°(Р) равен 5. Заметим, ч,т,о Ъс (р3) = 0 "с(д3) = 0; поэтому в обозначениях теоремы 2
[26] имеем Г\ = 0, но 3tc(p3)2 + tc (F) tc (q3)2 = 0 поэтому tc = 0, следовательно,
непрерывная дробь элемента VF/X периодическая
Vf/x =
X X 8 27Х 45 2Х 4
X + 2:--1,--+ -,----,---1--,
'8 '12 9 8 4 ' 81 81
81Х 81 4Х 16 81Х2 8ÎX 81 4Х 16~
- 16, "81 + 81, 259 + "69 - "8, "89 + 81,
81Х 81 2Х 4 27Х 45 X 8 X
+ —,-----, — + -,--1, 2Х + 4
32 16 81 81 8 4 12 9 8
14
Пример 4. Рассм,ортлш, Р = (X + 6) (X3 + 30Х2 + 224Х — 32). Непрерывная дробь элемента в Q((1/X)) имеет вид
Vf =
X2 + 18Х + 40: - — -—, ' 64 16'
X 1
X 1
4Х + 48,----, 2Х2 + 36Х + 80
' 64 16'
С
тальная единица, степени 5, порядок класса, дивизора, (те- — те+) в группе классов дивизоров Д°(Ь) равен 5. Заметим, что 1с (р4) = 0 1с(д4) = 0, поэтому в обозначениях теоремы 2 [26] имеем, г1 = 0, но 31с (р4)2 + 1с (^) 1с (д4)2 = 0, поэтому 1с (^23)) = 0, следовательно, непрерывная, дробь элемента /X периодическая
/¥/Х =
X 1 125Х 850 27Х 9
X + 18: — + —,----, -+-,
' 40 25' 12 9 ' 10000 400'
10000Х 10000 8ÏX 729 40000Х 160000
81 81 320000 160000 81 81 '
81Х2 243Х 81 40000Х 160000 8ÎX 729
+
2560000 640000 80000 81 81 320000 160000
10000Х 10000 27Х 9 125Х 850 X 1
+ 77^,--тт;---—^ — + —, 2Х + 36
81 81 10000 400 12 9 40 25
14
показывает,, ч,т,о при сравнительно небольших коэффициентах многочлена Р коэффициенты неполных частных периодической непрерывной дроби могут быть дост,а,т,оч,но велики.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abel N.H. Uber die Integration der Differential-Formel p dx/yJ~R, wenn R und p ganze Functionen sind // J. Reine Angew. Math. 1826. № 1. P. 185-221.
2. Chebvchev P. L. Sur l'intégration de la differential , dx // J. Math. Pures Appl.
yi4 +ax3+ßx2+j
1864. Vol. 2, № 9. P. 225-246.
3. Adams W. W., Razar M.J. Multiples of points on elliptic curves and continued fractions // Proc. London Math. Soc. 1980. Vol. 41, № 3. P. 481-498.
4. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69, № 1(415). С. 3-38.
5. Schinzel A. On some problems of the arithmetical theory of continued fractions // Acta Arith. 1960/1961. Vol. 6. P. 393-413.
6. Schinzel A. On some problems of the arithmetical theory of continued fractions. II // Acta Arith. 1961/1962. Vol. 7. P. 287-298.
7. Mazur B. Rational isogenies of prime degree // Ivent. Math. 1978. Vol. 44, № 2. P. 129-162.
8. Kubert D. S. Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math.Soc. (3). 1976. Vol. 33, № 2. P. 193-237.
9. Van Der Poorten A. J., Tran X. C. Periodic continued fractions in elliptic function fields // International Algorithmic Number Theory Symposium. - Springer, Berlin, Heidelberg, 2002. P. 390-404.
10. Pappalardi F., Van der Poorten A.J. Pseudo-elliptic integrals, units, and torsion / / Journal of the Australian Mathematical Society. 2004. Vol. 79, № 3. P. 69-78.
11. Scherr Z. L. Rational polynomial pell equations //A dissertation submitted in partial fullment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy (Mathematics) in The University of Michigan. 2013.
12. Sadek M. Periodic continued fractions and elliptic curves over quadratic fields // Journal of Symbolic Computation. 2016. Vol. 76. P. 200-218.
13. Berry T.G. On periodicity of continued fractions in hvperelliptic function fields Arch. Math. 1990. Vol. 55. P. 259-266.'
14. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 1. С. 15-44.
15. Платонов В. П., Жгун B.C., Федоров Г. В. Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и многочлены Мамфорда // ДАН. 2016. Т. 471, № 6. С. 640-644.
16. Платонов В. П., Федоров Г. В., S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2015. Т. 465, № 5. С. 537-541.
17. Платонов В. П., Петрунин М. М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Тр. МИЛИ. 2018. Т. 302. С. 354-376.
18. Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Т. 209, № 4. С. 54-94.
19. Федоров Г. В. Периодические непрерывные дроби и S-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, № 3. С. 279-294.
20. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 474, № 5. С. 540-544.
21. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в эллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 475, № 2. С. 133-136.
22. Петрунин М. \!.. О периодичности квадратных корней в гиперэллиптических полях, ДАН. 2017. Т. 474, № 2. С. 155-158.
23. Платонов В. П., Петрунин М.М. S-единицы и периодичность в квадратичных функциональных полях // УМН. 2016. Т. 71, № 5. С. 181-182.
24. Платонов В. П., Петрунин M. М. S-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей // ДАН. 2016. Т. 470, № 3. С. 260-265.
25. Жгун В. С., Обобщенные якобианы и непрерывные дроби в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, № 4. С. 208-220.
26. Платонов В. П., Федоров Г. В., Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, № 1. С. 246258.
27. Schmidt W. M. On continued fractions and diophantine approximation in power series fields // Arch. Math. 2000. Vol. 95, № 2. P. 139-166.
REFERENCES
1. Abel N.H. 1826, "Uber die Integration der Differential-Formel p àx/y/~R, wenn R und p ganze Functionen sind", J. Reine Angew. Math., no. 1, pp. 185-221.
2. Chebvchev P. L. 1864, "Sur l'intégration de la differential , dx", J. Math. Pures Appt., vol. 2, no. 9, pp. 225-246.
3. Adams W. W., Razar M. J. 1980, "Multiples of points on elliptic curves and continued fractions", Proc. London Math. Soc., vol. 41, no. 3, pp. 481-498.
4. Platonov, V. P. 2014, "Number-theoretic properties of hvperelliptic fields and the torsion problem in Jacobians of hvperelliptic curves over the rational number field", Russian Math. Surveys, vol. 69, no. 1, pp. 1-34.
5. Schinzel A. 1960/1961, "On some problems of the arithmetical theory of continued fractions", Acta Arith., vol. 6, pp. 393-413.
6. Schinzel A. 1961/1962, "On some problems of the arithmetical theory of continued fractions. II", Acta Arith., vol. 7, pp. 287-298.
7. Mazur B. 1978, "Rational isogenies of prime degree", Ivent. Math., vol. 44, no. 2, pp. 129-162.
8. Kubert, D. S. 1976, "Universal bounds on the torsion of elliptic curves" Proc. London Math.Soc. (3), vol. 33, no. 2, pp. 193-237.
9. Van Der Poorten A. J., Tran X. C. 2002, "Periodic continued fractions in elliptic function fields", International Algorithmic Number Theory Sym,posiu,m,. - Springer, Berlin, Heidelberg, pp. 390404.
10. Pappalardi F., Van der Poorten A. J. 2004, "Pseudo-elliptic integrals, units, and torsion", Journal of the Australian Mathematical Society, vol. 79, no.3, pp. 69-78.
11. Scherr Z.L. 2013, "Rational polynomial pell equations", A dissertation submitted in partial fullment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy (Mathematics) in The University of Michigan.
370
T. B. <3>e/j,opoB
12. Sadek M. 2016, "Periodic continued fractions and elliptic curves over quadratic fields", Journal of Symbolic Computation, vol. 76, pp. 200-218.
13. Berry, T.G. 1990, "On periodicity of continued fractions in hvperelliptic function fields", Arch. Math,., vol. 55, pp. 259-266.
14. Benvash-Krivets, V. V., Platonov, V. P. 2009, "Groups of S-units in hvperelliptic fields and continued fractions", Sb. Math., vol. 200, no. 11, pp. 1587-1615.
15. Platonov, V. P., Zhgoon, V. S., Fedorov, G.V. 2016, "Continued Rational Fractions in Hvperelliptic Fields and the Mumford Representation", Dokl. Math., vol. 94, no. 3, pp. 692-696.
16. Platonov, V. P., Fedorov, G.V. 2015, "S-Units and Periodicity of Continued Fractions in Hvperelliptic Fields", Dokl. Math., vol. 92, no. 3, pp. 752-756.
17. Platonov, V. P., Petrunin, M.M. 2018, "Groups of S-units and the problem of periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 302, pp. 336-357.
18. Platonov, V. P., Fedorov, G.V. 2018, "On the problem of periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Sb. Math., vol. 209, no. 4, pp. 519-559.
19. Fedorov, G.V. 2018, "Periodic continued fractions and S-units with second degree valuations in hvperelliptic fields", Chebyshevskii Sbornik, vol. 19, no. 3. (In Russ.)
20. Platonov, V. P., Fedorov, G.V. 2017, "On the periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Dokl. Math., vol. 95, no. 3, pp. 254-258.
21. Platonov, V. P., Fedorov, G. V. 2017, "On the periodicity of continued fractions in elliptic fields", Dokl. Math., vol. 96, no. 1, pp. 332-335.
22. Petrunin, M.M. 2017, "S-units and periodicity of square root in hvperelliptic fields", Dokl. Math., vol. 95, no. 3, pp. 222-225.
23. Platonov, V. P., Petrunin, M.M. 2016, "S-Units and periodicity in quadratic function fields", Russian Math. Surveys, vol. 71, no. 5, pp. 973-975.
24. Platonov, V. P., Petrunin, M.M. 2016, "S-units in hvperelliptic fields and periodicity of continued fractions", Dokl. Math., vol. 94, no. 2, pp. 532-537.
25. Zhgoon V. S. 2017, "On generalized jacobians and rational continued fractions in the hvperelliptic fields", Chebyshevskii Sbornik, vol. 18, no. 4, pp. 208-220. (In Russ.)
26. Platonov, V. P., Fedorov, G.V. 2019, "The criterion of the periodicity of continued fractions of key elements in hvperelliptic fields", Chebyshevskii Sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 246-258. (In Russ.)
27. Schmidt W. M. 2000, "On continued fractions and diophantine approximation in power series fields", Arch. Math., vol. 95, no. 2, pp. 139-166.
nojivHeno 20.10.2019 r. npiihato b nenaib 20.12.2019 r.
