Перенормировки идеальных пространств измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 3 (2019). С. 3-9.

УДК 517.983:517.986

ПЕРЕНОРМИРОВКИ ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПРИСОЕДИНЕННЫХ К ПОЛУКОНЕЧНОЙ АЛГЕБРЕ ФОН НЕЙМАНА

A.M. БИКЧЕНТАЕВ

Аннотация. Работа посвящена некоммутативным аналогам классических методов построения функциональных пространств. Пусть алгебра фон Неймана М операторов действует в гильбертовом пространстве т - точный нормальный полуконечный след на М. Пусть М - *-адгебр а т-измеримых опера торов, |Х | = \/X *Х для X еМ. Линеал £ в М называется идеальным пространством на (М, т), если 1) из X е £ следует, что X* е £; 2) из X е £, Y е М и \Y| ^ |Х| следует, что Y е £.

Пусть £, Т - идеальные пространства на (М, т). Предложен метод построения отображения р: £ ^ [0, с хорошими свойствами, используя заданное на положительном конусе £+ отображен ие р. При этом, е ели £ = Ми р = т, то р(Х) = т (|Х |) и, в случае конечности следа т, р(Х) = ||Х||i, для всех X е М. Исследован случай, когда /5(Х) эквивалентно исходному отображению р(\Х|). Используя отображения на £ и Т, построено новое отображение с хорошими свойствами на сумме £ + Т. Приведены примеры таких отображений. Результаты являютя новыми и для *-алгебры М = #(%) всех ограниченных линейных операторов в снабженной каноническим следом г = tr.

Ключевые слова:гильбертово пространство, линейный оператор, алгебра фон Неймана, нормальный след, измеримый оператор, идеальное пространство, перенормировка.

Mathematics Subject Classification: 46L10; 47С15; 46L51

1. Введение

Работа посвящена некоммутативным аналогам классических методов построения функциональных пространств. Начало развития соответствующего аспекта теории некоммутативного интегрирования связана с именами И. Сигала и Ж. Диксмье, которые в начале 1950-х гг. создали теорию интегрирования относительно следа на полуконечной алгебре фон Неймана [1]. Результаты этих исследований нашли эффектные применения в теории двойственности для унимодулярных групп и стимулировали прогресс «некоммутативной теории вероятностей». Теория алгебр измеримых и локально измеримых операторов интенсивно развивается и имеет интересные приложения в различных областях функционального анализа, математической физики, статистической механики, квантовой теории поля.

До середины 1980-х гг. идеальные пространства измеримых операторов служили преимущественно объектом исследования (см. [2] и библиографию в ней). В последнее время появились публикации, в которых они выступают как инструмент (например, [3]). Вышесказанное демонстрирует актуальность поиска новых методов построения идеальных

A.m. Bikchentaev, Renormalizations of measurable operator ideal spaces affiliated to a

semifinite von neumann algebra.

© Бикчентаев A.m. 2019.

Работа выполнена при поддержке субсидии, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности (1.9773.2017/8.9).

Поступила 22 августа 2018 г.

пространств и развития общей теории этих пространств, В [4], [5] были предложены новые методы построения идеальных пространств на полуконечных алгебрах фон Неймана и исследованы геометрические и топологические свойства полученных пространств.

Пусть алгебра фон Неймана М операторов действует в гильбертовом пространстве Н, г - точный нормальный полуконечный след на М. Пусть Е, Т - идеальные пространства на (М,т). В разделе 3 предложен метод построения отображения р: Е ^ [0, +то] с хорошими свойствами, используя заданное на положительном конусе Е+ отображение р. При этом, если Е = М и р = т, то р(Х) = т(|Х|) и, в случае копечноети следа т, р(Х) = ||Х||1; для всех X е М. Исследован случай, когда р(Х) эквивалентно исходному отображению р(|Х|), В разделе 4, используя отображения на Е и Т, построено новое отображение с хорошими свойствами на сумме Е+Т, Результаты являютя новыми и для *-адгебры М = В(Н) всех ограниченных линейных операторов в Н, снабженной каноническим следом т = tr,

2. Обозначения и определения

Пусть М - алгебра фон Неймана операторов в гильбертовом пространстве Н, Мрг -решетка проекторов (Р = Р2 = Р*) в М, I - единица М., Р± = I — Р для Р е Мрг, М+ -конус положительных элементов из М, М1 = {X е М : ||Х|| ^ 1},

Отображение у : М+ ^ [0, +то] называется следом, если ^(Х + Y) = ^(Х) + ip(Y), ^(АХ) = \р(Х) для всех X, У е М+, А > 0 (при этом 0 ■ (+то) = 0 и <P(Z*z) = <f(ZZ*) для всех Z е М. Cmд ^ называется тоннши, если ф(Х) > 0 для всex X еМ+ X = 0; полуконечным, если <р(Х) = sup{^(F) : Y е М+, Y < X, p(Y) < +то} для каждого X е М+; нормальным, если Xj ^ X (Х^,Х е М+) ^ <р(Х) = sup ^(Xj) (см, [6, гл. V, §2])-

Н

М

ным оператором из коммутанта М' алгебры М. Далее всюду г - точный нормальный полу конечный след на М, Замкнутый опер атор X, присоединенн ый к М, имеющий всюду плотную в Н область определения Т>(Х), называется т-измеримым, если для любого е > 0 существует такой Р е Мрг, что РН С V(X) и т(Р±) < е. Множество М всех т-измеримых операторов являетея *-алгеброй относительно перехода к сопряженному оператору, умножению на скаляр и операций сильного сложения и умножения, получаемых замыканием обычных операций [1], [7]. Для семейства С С М обозначим через С+ и £sa

—-sa

М

денный собственным конусом М , будем обозначать через Есл и X е М и X = U |Х | -полярное разложение X, то U бМ^ |Х| = л/Х*Х е М .

В *-адгебре М вводится топология tT сходимости по мере [7], фундаментальную систему окрестностей нуля которой образуют множества

U(е, 6) = {X е М : 3 Р е Мрг (ЦХР|| < ей т(Р±) ^ 5)}, е > 0, 5 > 0.

Известно, что (М, tT) является полной метризуемой топологической *-алгеброй, причем М плотно в (М, tT),

Через p,t(X) обозначим перестановку оператора X е М, т. е. невозраетающую непрерывную справа функцию р(Х): (0, то) ^ [0, то), заданную формулой

Pt(X) = inf{ЦХР|| : Р еМрг, г(Р±) ^ t}, t> 0.

Множество т-компактных операторов Мо = {X е М : lim pt(X) = 0} является

¿т-замкнутым идеалом в М [8]. Пусть т - линейная мера Лебега па R, Ассоциированное с (М,т) некоммутативное Lp-проетранетво Лебега (0 < р < то) может быть определено

как Ьр(М,т) = {X е М : pt(X) е Lp(R+,m)} с Р-пормой (нормой для 1 ^ р < то) ||*||Р = H^t(X)||р, X е Ьр(М,т).

Линеал £ в М называется идеальным пространством на (М,т) (см, [9], [3] и [2]), если 1) из X £ £ следует, что X* £ £; 2) из X £ £ Y £ М и \Y| ^ |Х| следует, что Y £ £, Таковы, например, алгебра М, совокупность элементарных операторов Т(М), М0, (L1 + Ь1Х1)(М, т) и ЬР(М, т) при 0 < р < Для каждого идеального пространства £ на (М,т) имеем М£М С £ [2, лемма 5].

Если М = Б(Н) - *-алгебра всех ограниченных линейных операторов в Н и г = tr -канонический след, то М и М0 совпадают с Б(Н) и с идеалом компактных операторов в Н соответственно, Имеем pt(X) = sn(X)x[n-1,n)(t), t > 0, гДе ($п(Х)}£= ~ после-

довательность s-чисел компактного оператора X [10, с, 46]; ха ~ индикатор множества А С R, Тогда пространство Ьр(М,т) есть идеал Шаттепа-фоп Неймана &р, 0 < р < то.

Лемма 2.1. (см, [11], с, 261). Если X,Y £ М и X ^ Y, то существует оператор

Z £ М1 та,кой, что VX = ZVY и X = ZYZ*.

—sa —-

Лемма 2.2. (см, [12], с, 720). Если X,Y £ М и Z £ М, то из неравенства X < Y следует, что ZXZ* < ZYZ*.

3. Перенормировка идеальных пространств

Пусть т - точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана М, £ -идеальное пространство на (М, т), Если А £ М и А*А £ £, то АА* £ £ [2, лемма 5], Для отображения р: £ + ^ [0, +то] введем условия:

(i) если X,Y £ £+ и X ^ У, то р(Х) ^p(Y);

(ii) р(Х*X) = р(ХХ*) для всех X £ М с X*Х £ £;

(iii) р(Х + Y) ^ р(Х) + p(Y) для всех X,Y £ £+. Для отображения р: £ ^ [0, +то] введем условия:

(iv) р(Х) = р(|Х|) = р(Х*) для всех X £ £;

(v) р(Х + Y) ^ р(Х) + p(Y) для всех X,Y £ £;

(vi) р(\Х) = |А|р(Х) для всех А £ Си X,Y £ £ (при этом 0 ■ +то = 0),

Пример 3.1. Пусть (£, || ■ Ц^) - нормированное идеальное пространство на, (М,т) [9]. Тогда, ограничение нормы || ■ на, £ + удовлетворяет условиям (i)-(iii), а || ■ Ц^ удовлетворяет условиям (iv)-(vi). Примеры: (М, || ■ ||) м (Ьр(М,т), || ■ ||р) для, р ^ 1.

Пример 3.2. Пусть р = ((■)£,£) (С £ Н, ||£|| = 1) - векторное состояние на, алгебре Б(Н). Сужение р\в(и)+ удовлетворяет условиям (i) и (iii). Для, р1 = |р| выполнены условия (v) и (vi).

Пример 3.3. Пусть £ - идеальное пространство на, (М,т) и Y £ £ + . Положим р(Х) = inf(А > 0 : X ^ XY} для, всех X £ £считая, inf по 0 равным +то. Тогда, р удовлетворяет условиям (i) и (iii).

Предложение 3.1. Пусть £ - идеальное пространс тво на (М,т) и отображение р: £ ^ [0, +то] удовлетворяет условиям (iv)-(vi) (или, (i), (iv) и (v)). Тогда, Т = (X £ £ : р(Х) < +то} является идеальным пространством на (М,т).

Предложение 3.2. Пусть £ - идеальное пространс тво на (М,т) и отображение

п

р: £ ^ [0, +то] удовлетворяет условиям, (i)-(iii). Тогда, р(Х) ^ ^^p(YkXYj*) для всех

X £ £ + и (Yk}п= 1 с мс}_, yk*Yk > I.

k=1

k =1

n

Доказательство. В силу леммы 2,2 имеем

n

X ^ Vx (У^ВД) Vx = ^ VXY*YkVx.

J k= 1

Поэтому р(Х) ^ p(VXYk*YkVx) = J] p(Y*XY*) и предложение доказано, □

k=1 k=1 Лемма 3.1. Пусть £ - идеальное пространство на, (М,т) и отображение р: £ м [0, удовлетворяет условиям (i), (iv). Если X,Y Е М1, то p(XZY) ^ p(Z) для, всех Z Е £.

Доказательство. Если операторы А, В Е М, то AZB Е £ для всex Z Е £. Для всех X Е М1 и Z Е £ в силу операторной монотонноети функции А м- л/А на R+ и леммы 2,2 имеем ___

p(xz) = рЦхг|) = P(Vz*х*xz) ^ P(Vz*z) = Рцг|) = P(z).

Если Y Е Мь т о Y * Е Mm p(ZY) = p((ZY)*) = p(Y*Z*) ^ p(Z*) = p(Z). Лемма доказана, □

Предложение 3.3. Пусть £ - идеальное пространство на (М,т) и отображение р: £ м [0, удовлетворяет условиям (i), (iv). Тогда, р удовлетворяет условию (ii).

Доказательство. Пусть X = U |Х | - полярное разложение оператора X Е М. Тогда U,U * Е М1 и XX * = UX *XU* Е £, В силу леммы 3,1 имеем р(ХХ*) = p(UX*XU*) ^ р(Х*Х). Заменив X на X% получаем р(х*Х) ^ р(ХХ*) и (ii) доказано, □

Теорема 3.1. Пусть £ - идеальное пространс тво на (М,т), и зада,но отображение р: £ + м [0, Положим

р(Х) = sup sup р(А) для всех X Е £. (1)

zeMi o^A^z|x|z*

Тогда, для р выполнены условия (i), (ii), (iv) и р(Х) ^ р(|Х|) для, всех X Е £.

Доказательство. Пусть X,Y Е £ + и X ^ Y. В силу леммы 2.1 найдется оператор U Е М1 такой, что X = UYU*, Поэтому

р(Х) = sup sup р(А) = sup sup р(А) ^ zeMi o^A^zxz* zeMi о^a^zuyu*z*

^ sup sup p(A) = p(Y) zeM1 o^a^zyz*

и (i) установлено.

Пусть X = UIXI - полярное разложение оператора X Е М. Тогда IX*| = UIX\U* и IX*|2 = UIXI2U*. Имеем

р(Х*) = sup sup р(А) = sup sup р(А) ^

zeMi o^a^z|x*|z* zeMi o^a^zu|x|u*z*

^ sup sup p(A) = p(X). zeMi o^A^z|x|z*

С учетом равенства (X*)* = X, (iv) установлено. Теперь (ii) следует из предложения 3,3, Теорема доказана, □

Теорема 3.2. Пусть £ - идеальное пространс тво на (М,т), и пусть отображение р: £+ м [0, удовлетворяет условию (iii). Тогда, отображение р: £ м [0, опре-

(1)

Доказательство. Пусть X,Y Е £ и а = р(Х+Y), Тогда для каждого числа е > 0 найдутся операторы Ze Е М1 и Ае Е £ + такие, что

Л ^ Z£IX + Y\Z*e, а > р(Ае) > а - е.

Существуют такие частичные нзометрпн V,W Е М1; что IX + YI ^ VIXIV * + WIYIW * ([13, теорема 2,2]; [14]), Поэтому (см, также лемму 2,2) для каждого числа е > 0 найдутся операторы Z£ Е М1 и Ае Е £ + такие, что

^ Z£VIXIF*Z* + Z£WIrIW*Z*, a ^ p(Ae) >a - e.

В силу леммы 1 имеем для каждого числа е > 0 найдется оператор Ue £ М1 такой, что

Л = U£Z£V\Х\V*Z*eU*e + U£Z£W\Y\w*z*eu*e. Операторы UeZeV, UeZeW лежат в М1 и

p(Ae) ^ P(UeZe V\Х \V * Z*e ue*) + p(U£Z£W \Y \W *Z*eU*e) ^ p(X) + p(Y). В силу произвольности числа е > 0 получаем а ^ р(Х) + p(Y) и теорема доказана, □

Замечание 3.1. В условиях теоремы, 3.1 если р(А) = 0 ^ А = 0 (А £ £+), то р(Х) = 0 ^ X = 0 (X £ £); если р(ХА) = Хр(А) для всех X £ R+ и А £ £+, то р удовлетворяет условию (iv). Если р удовлетворяет условию (i), то р(1) = р(1) и

р(Х) = sup p(Z|Х\Z*) для всех X £ £. zeMi

Предложение 3.4. Пусть £ - идеальное прострапство на (М,т), р: £ + ^ [0, и пусть отображение р: £ ^ [0, определено по формуле (1). Если, для, р выполнены условия (i) и (ii), то р(Х) = р(\Х|) для, всех X £ £.

Доказательство. Имеем Z*Z ^ I для всех Z £ М1 и yz|x\Z*^yz|x\ ^ |Х\ для X £ £ в силу леммы 2,2, Тогда

р(Х) = sup sup р(А) = sup p(Z|Х\Z*) = sup p(V\X\Z* Zу/Щ) = p(\X|). zeMi o^A^z|x|z* zeMi zeMi

Таким образом, ограничение p\g+ совпадавт с р. Утверждение доказано, □

Пример 3.4. Пусть £ = М и р = т. Тогда, р(Х) = т(\Х\) и, в случае конечности следа, т, р(Х) = ||Х||ь для всех X £ М.

Предложение 3.5. Пусть £ - идеальное прострапс тво на (М,т), р: £ + ^ [0, и пусть отображение р: £ ^ [0, определено по формуле (1). Если, выполнены условия

(vii) существует С1 > 0 такое, что р(Х*Х) ^ С1р(ХХ*) для, всех X £ М с X*Х £ £;

(viii) существует С2 > 0 такое, что р(Х) ^ C2p(Y) для, всex X,Y £ £ + с X ^ Y, то р(\Х\) ^ р(Х) ^ 2С1С22р(\Х\) для всех X £ £.

Доказательство. Пусть X £ £ Z £ М1 и 0 ^ А ^ Z\Х\Z* такие, что р(Х) ^ 2р(А). Имеем у/\Х \ Z*Zyf\X\ ^ \Х \ в силу леммы 2,2 и

р(Х) ^ 2р(А) ^ 2C2P(Z\Х\Z*) ^ 2C1C2P(V\X\Z*ZV|X|) ^ 2C1Cfp(\X\). Таким образом, р(\Х\) ^ р(Х) ^ 2С1С|р(\Х\) для всех X £ £, Утверждение доказано, □

Замечание 3.2. Пусть £ - идеальное прострапс тво на (М,т), где М - конечная, алгебра, фон Неймана (т.е. из U £ М и U*U = I следует, что UU* = I). Пусть отображение р: £ ^ R+ удовлетворяет условию (v). Положим

р1(Х) = sup p(ZXT) для всех X £ £. z,T eMi

В теорем,е 2 [15] показано, что отображение р1: £ ^ [0, удовлетворяет условиям (i), (iv) и (v). Для, отображения р со свойством, (vi) отображение р1 также удовлетворяет условию (vi).

Предложение 3.6. Положим р2 = р|, + . Тогда, р2(X) ^ р1(Х) для, всех X £ £.

Доказательство. Пусть X £ £ и а = (X), Тогда для каждого числа е > 0 найдутся операторы Ze £ М1 и Ae £ £ + такие, что

Ае ^ Ze \Х\Z*, « ^ р(Л) > « - £.

В силу леммы 2,1 для каждого числа е > 0 найдется опер атор Ue £ М1 такой, что

Ae = UeZe\Х\Z*£U*e .

Поэтому

Pi(X) = pi(|X|)= sup p(ZIXIT) ^ p(Ae) > a - e.

z,t eMi

В силу произвольности числа е > 0 имеем pi (X) ^ а и предложение доказано, □

Пример 3.5. Пусть отображение р: Мрг ^ R+ монотонно и унитарно инвариантно. Тогда, отображение ps: М ^ R+, определенное формулой ps(A) = p(s(IA\)), где А е М и s(|A|) - носитель опера 'тора IAI, удовлетворяет условиям (i), (ii) и (iv).

4. Нормировка суммы идеальных пространств

Если £, Т - идеальные пространства на (М,т), то множества £ П Т и £ + Т = {А + В : А е £,В е Т} также являются идеальными проетранетвами на (М,т) [2, теорема 2], Структура идеальных пространств модулярна: если £, Т и Q являются идеальными пространствами на (М,т) и £ с Я, то (£ + Т) nQ = £ + (Т П Q) [2, теорема 3], В некоммутативной теории интегрирования важную роль играет пространство (Li + Ьх)(М,т)= Li(М,т)+ М [12].

Теорема 4.1. Пусть £, Т - идеальные пространс тва, на, (М,т) и Q = £ + Т. Если отображения р1: £ ^ [0, м р2: Т ^ [0, удовлетворяют условиям (i), (iv), то отображение р: Q ^ [0, определенное формулой

p(Z) = inf{pi(X) + p2(Y) : X е £,У еТ л Z = X + Y}, (2)

также удовлетворяет условиям (i), (iv).

Доказательство. Пусть Z = UIZ| - полярное разложение оператора Z е Q. Тогда IZI = U*Z. Для проверки (iv) заметим, что p(Z*) = p(Z). В силу леммы 3.1 имеем

P(IZ|) = inf{pi(X)+ p2(Y): X е £,Y еТ и IZ| = X + Y} ^

^ inf {pi(X) + p2 (Y) : X е£ ,Y е Т и U IZ I = UX + UY} ^

^ inf {pi(^X) + P2(UY) : X е£, Y е Т и U IZ I = UX + UY} ^

^ p(Z) = inf{pi(X)+ P2(Y) : X е£,Y еТ и Z = X + Y} ^

^ inf {pi(X) + p2 (Y) : X е£ ,Y е Т и IZ I = U *Z = U *X + U *Y} ^

^ inf {Pl(U *X) + p2 (U * Y) : X е£ ,Y е Т и IZ I = U *X + U *Y} ^

^ inf {pi(T) + P2(S) : T е £ ,S е Т и IZ I = T + 5} = p(IZ I)

и (iv) установлено. Для проверки (i) выберем А, В е £А ^ В. В силу леммы 2.1 имеем А = VBV* для некоторого V е Мь Пусть а = р(В). Тогда доя каждого числа е > 0 найдутся операторы Х£ е £ и Y£ е Т такие, что

В = Х£ + Y£, а ^ Pi(X£) + Р2(П) < а + е.

Тогда А = V(Х£ + Y£)V* и в силу леммы 3.1 имеем

р(А) ^ Pi(VX£V*) + P2(VY£V*) ^ pi(X£) + р2(П).

В силу произвольности числа е > 0, теорема доказана. □

Предложение 4.1. Пусть £, Т - идеальные пространс тва, на, (М,т) и Q = £ + Т. Если отображения pi: £ ^ [0, м р2 : Т ^ [0, удовлетворяют условию (v) (соответственно, (vi)), то отображение р: Q ^ [0, определенное формулой (2), также удовлетворяет условию (у) (соответственно, (vi)).

Пример 4.1. Имеем, £ + Т = М для, £ = М и Т = Мо [16]- Топология, tT может быть задана, и с помощью идеальной F-нормы pT(X) = infmax{i,pt(X)}, X е М. Для,

Z е М определим, (см. формулу (2))

p(Z) = inf{\\Х|| + Pt(Y): X еМ,У е Мо ч Z = X + Y}.

Тогда р удовлетворяет условиям (iv) и (v). Для, ограничения, pI~ + выполнены условия

(i)-(iii). Таким, образом,, отображение р: М ^ R+ является, идеал,ьной F-нормой, мажорирующей pT. Так как \\Х\\ = lim pt(X) = suppt(X) ^ pT(X) для, всex X е М, имеем,

t>0

p(Z) ^ 2pT (Z) для, вс ex Z е М.

Замечание 4.1. Пусть £, Т - идеальные пространс тва, на, (М,т) и Q = £ ПТ. Если отображения pi: £ ^ [0, м р2: Т ^ [0, удовлетворяют одному из условиий (i)-(vi), то отображение р: Q ^ [0, определенное формулой p(Z) = max{pi(Z), p2(Z)}

для, всех Z е Q, также удовлетворяет этому условию.

Автор признателен профессору В,И, Чилнну за ценные советы,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. I.E. Segal A non-comm,u,t,ative extension of abstract integration // Ann. Math. 1953. 57:3. P. 401457. Русск. перевод: Математика (сб. переводов) 1962. 6:1. С. 65-132.

2. Бикчентаев A.M. Идеальные пространства измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Сиб. матем. журн. 2018. 59:2. С. 309-320.

3. Бер А.Ф., Левитина Г.Б., Чилин В.И. Дифференцирования со значениям,и в квазинорм,иру-еммх бимодулях локально измеримых операторов // Матем. тр. 2014. 17:1. С. 3-18.

4. Бикчентаев A.M. Неравенство треугольника для некоторых пространств измеримых операторов // Конструктивная теория функций и функциональный анализ. № 8. Казань: Изд-во КГУ, 1992. С. 23-32.

5. A.M. Bikchentaev On noncommutative function spaces // Selected Papers in K-theory. Amer. Math. Soc. Transl. (2). 1992. 154. P. 179-187.

6. M. Takesaki Theory of operator algebras. I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 124. Operator Algebras and Non-commutative Geometry, 5. Springer-Verlag, Berlin (2002).

7. E. Nelson Notes on поп-commutative integration //J. Funct. Anal. 1974. 15:2. P. 103-116.

8. F.J. Yeadon Non-commutative Lp-spaces // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1975. 77:1. P. 91102.

9. Бикчентаев A.M. Об одном, свойстве Lp-пространств на полуконечных алгебрах фон Неймана // Матем. заметки. 1998. 64:2. С. 185-190.

10. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука. 1965.

11. F.J. Yeadon Convergence of measurable operators // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1973. 74:2. P. 257-268.

12. P.G. Dodds, T.K.-Y. Dodds, B. de Pagter Noncommutative Kothe duality // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. 339:2. P. 717-750.

13. C.A. Akemann, J. Anderson, G.K. Pedersen Triangle inequalities in operator algebras // Linear Multilinear Algebra.1982. 11:2. P. 167-178.

14. Чилин В.И. Неравенство треугольника в алгебрах локально измеримых операторов // Математический анализ и алгебра. Сбор. науч. тр. Ташкент, ун-та. Ташкент: Изд-во ТашГУ, 1986. С. 77-81.

15. Бикчентаев A.M. О минимальности топологии сходим,ост,и по мере на конечных алгебрах фон Неймана, // Матем. заметки. 2004. 75:3. С. 342-349.

16. A. Stroh, Grame P. West т-compact operators affiliated to a semifinite von Neumann algebra // Proc. Roy. Irish Acad. Sect. A. 1993. 93:1. P. 73-86.

Айрат Мидхатович Бикчентаев,

Казанский Федеральный университет,

ул. Кремлевская, 18,

420008, г. Казань, Россия

E-mail: Airat. Bikchentaev@kpf u. ru