CC BY
10УДК 519.853-519.632
В.В. Сельвинский
ПЕРЕКАТЫВАНИЕ ГРАНЕНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА НА УГЛОВОМ ВИБРОЛОТКЕ
В статье рассматривается относительное движение граненого твердого тела на угловом вибролотке. Это движение происходит под действием сил тяжести, трения и сил инерции.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения движения, силы трения, силы инерции, вибрационное перемещение.
THE MOTION OF GRANTEE SOLID ON THE CORNER VIBROPLANE
In this paper the motion of grantee solid on the corner vibroplane is considered. This motion is result of the action of gravity, friction and inertia.
Key words: differential equations of the motion, forces offriction, forces of inertia, vibration motion.
Рассмотрим движение плоского твердого тела, опирающегося своей плоской частью на шероховатую плоскость, расположенную под углом а к горизонтальному положению, а краями (в точках В и Б) - на бортик (рис. 1).
Рис. 1. Схема сил, действующих на твердое тело: а) до опрокидывания; б) во время опрокидывания.
Пусть плоскость совершает поступательные прямолинейные гармонические колебания по закону X = А ЗтШ, направленные под углом / к бортику в самой же плоскости. Здесь: А, с - амплитуда и частота колебаний; ^ - время. Началом этапа опрокидывания (перекатывания) является момент отрыва одной из точек контакта при сохранении контакта в другой точке (для определенности рассматривается отрыв в точке Б). Опрокидывание будем считать состоявшимся, если тело повернется вокруг точки В так, что центр масс С окажется с ней на одном перпендикуляре к бортику. Инерционные свойства тела характеризуются массой М и моментом инерции 3С относительно центра масс. Положение будем задавать координатами центра масс хС, уС в системе координат Оху, а также уг-
лом поворота j относительное положение точек контакта и центра масс определим размерами
h, Id , IB [1].
Для более удобной записи считаем положительным направление угла поворота по часовой стрелке.
Тело находится под действием следующих сил: силы тяжести G = Mg, нормальных реакций ND , NB и сил трения FD, FB, в точках D и B; трение плоской части тела распределено по всей площади и приводится относительно центра масс С к действию силы F и момента MC, нормальное давление приводится к силе N. После отрыва контакта в точке D действие сил ND и FD прекращается. Считаем, что трение подчиняется закону Амонтона - Кулона:
FdI < f ■ Nd ; Fb| < f ■ Nb ; F < f ■ N. Здесь f - коэффициент трения.
Исследуемое движение может состоять из нескольких этапов: относительного покоя, одновременного скольжения в точках D и B, поворота вокруг точки B, скольжения в точке B с поворотом. Все этапы движения описываются общей системой уравнений:
Mxc = Ф Cosb + Fdx + Fbx + Fx,
MyC = ND + NB - Mg Sina + Ф Sinb + Fy, (1)
Jj = -(FDX + FBX )h + NDID - NBIB - MC , N = Mg Cosa,
где Ф = MAw2Sinwt - переносная сила инерции.
Если в какой-то момент случится, что ND = 0 или NB = 0, то происходит отрыв тела в соответствующей точке контакта. В случае одновременного нарушения положительности ND и NB наступает полный отрыв тела от бортика углового вибролотка. Заметим, что опрокидывание через точку B возможно только при условии xC > 0.
Этап скольжения вправо (XC > 0) определяем условиями:
Nd > 0, Nb > 0, FDx + FBx + Fx = - f N + Nb + N), Ус = 0, j = 0. (2)
Из системы (1) нетрудно получить (y = 0, Fy = 0), что скольжение вправо из состояния покоя
может начаться только при условии f ■ Mg (Sina + Cosa)
Ф >
Cosb + f ■ Sinp
g
Введем безразмерные величины: т = wt - «время», г =--— параметр разгрузки. При усло-
Аа>
вии, что
Sinp + — Cosp
z >-f-, (3)
Sina + Cosa
скольжения вправо (а также влево) не произойдет.
Дополним список безразмерных параметров:
JB ~ = J
o , J C —
MA2 C MA
JB = —, JC = —- приведенные моменты инерции; lB = lB / A, lD = lD / A, h = h / A - па-
22
,dj №dj. 2
раметры относительных координат центра масс; j = — = j/w; j =—^ = j/w - безразмерные
dt dt
угловая скорость и угловое ускорение тела; NB —
NB
F —
F„
MAw2 ' B MAú)2
- безразмерные силы (в даль-
нейшем для упрощения записи волну в обозначениях безразмерных переменных будем опускать). Из системы (1) также определяются нормальные реакции ND и NB : _(lB - f ■ h)(zSina-SinpSint) _(lD + f ■ h\zSina-SinpSint)
N n --! ! ч N R -
lD + lB
lD + lB
Ввиду того, что реакции Ыв и ЫВ, обращаются в нуль одновременно при выполнении условия г • Sina < Sinp в момент т = arcSin 2 ^па , опрокидывание во время скольжения исключается, а
Sinp
выполнение условия
г • Sina> Sinp (4)
служит гарантией отсутствия этапа полного отрыва тела от бортика.
Опрокидывание (перекатывание) тела через точку В осуществляется при выполнении условий (рис. 2):
На = 0 = 0); Нв > 0, - Fвx < / • Нв ,Р> 0, (5)
из последних двух неравенств вытекает необходимое условие опрокидывания
e--< f. h
(6)
Поворот вокруг точки В описывается уравнением вращательного движения (рС = ВС):
= рCSinт Cos(p+/3-у)+рCzSina Sin(p-v)-МВ, (7)
при этом реакции точки В определяются выражениями:
FBx =^птСО8/-рС[р" Cos(p-v)-p'2Sin(p-v))-Fx, (8)
ЫВ = -SinтSinp-рС (р Sin(p-v)+ p2Cos(p-v))+ zSina-Fy, (9)
Для расчета сил трения Fx, Fy и момента МВ конкретизируем форму тела - прямоугольник
гСоиа
размерами 21 х 2п ; нормальное давление р =-— равномерно распределено по всей площади
4eh2
(рис. 3):
Рис. 2. Схема сил, действующих на тело при опрокидывании через точку В.
Fx = - jj dF Cos(p-y) = -Cospjj Cos ydF - Sinpjj Sin ydF = - F1Cosp-F2 Sinp;
S S S
Fy = - jjdF Sin(y-p) = -CospjjSin y dF + SinpjjCos y dF = F1Sinp-F2Cosp.
S S S
При этом
Fj = jj Cosy dF = f p jj Cos ydS = Cosa^ lnj^e W1 + e2 j + eV1 + e2 -e2 Jj;
F2 = jj Sin ydF = f p jj SinydS = = ^ CosaU 1 + e2 -1 + e2 ln1ÍV1 + e2 + 1 j J;
S S 2e 1 3 j
MB = jjpdF = fpjjpdS = fiezCosoO^iln^e W1 + e2 j + e3ln-^1 + e2 ++ 2eV 1 + e2
Условия начала этапа опрокидывания (5), (6) преобразуются следующим образом (р = 0, ( = 0):
-р" pC Sin(p-v)-SintSinß + z Sin a- Fy > 0 (NB > 0), (10)
-р pC (Cos v + f ■ Sinv)+Sint(Cosß + f ■ Sinß)+ Fx + f ■ Fy < fzSina (- FBx < f NB), (11)
pCSint Cos(p +ß-v)+pCzSina Sin(p-v)-MB > 0 ((> 0), (12)
e < f (e = h = tg vJj. (13)
Условие проскальзывания (3) можно уточнить. Оно гарантирует сцепление в точках контакта B, D в состоянии относительного покоя. Когда наступает фаза Т1 начала опрокидывания:
Sin t = f z (Sin a + Cosa) mt = fSinß + Cosß '
движение твердого тела начинает подчиняться уравнениям (7) - (9). Рассмотрим совокупность всех возможных начальных состояний этапа опрокидывания в предположении, что тело помещается в момент t (t < t < p -1) на виброплоскость, и опрокидывание начинается из состояния р = 0, р' = 0 , а далее происходит в соответствии с уравнениями (7) - (9). Таким образом, имеем формальные уравнения:
JB ( = h Sin t(Cosß + e Sinß) - hez Sin a,
FBx = -SintCosß + (h, (14)
NB =-SintSinß + zSina + р" he, справедливые в указанный момент t.
Условие безотрывности, NB > 0 принимает вид:
- JBSintSinß + JBzSina + eh2(Sint(Cosß + eSinß) - ezSina) > 0.
Это неравенство будет выполняться при всех t £ (t1,P -11), если
zSina >
Smß- 1^+ep)Cosß
где / - инерционный коэффициент, взятый так, чтобы
¿с =т(1 + е2 2, ¿в = ¿с +11 + е2 )&2 =(1 + т)(1 + е2 )г2.
Условие непроскальзывания вправо, — FBx < / ■ Ыв, принимает вид:
JBSin t Cosb - h2 (Sin t(Cosb + e Sinb) -ez Sin a) <
<
или
где
f (- JBSin t Sinb + JB z + eh2 (Sin t(Cosb + e Sinb) -ez Sin a)), P(e)Sint < z ■ Sina ■ Q(e),
P(e) - m(1 + e2 )(Cosb + f ■ Sinb)+ (f - e)Sinb, Q(e)_ f m(l + e2)+ f-e.
Поиск интервалов знакопостоянства квадратных трех членов P(e), Q(e) показывает, что при ee (0, f), Q(e)> 0, P(e) либо положителен при всех e, либо имеет подинтервал отрицательности (e1, e2) с (0, f), где e1, e2 - корни P(e). Таким образом, с учетом 0 <t1 <t<p-t1, неравенство (16) выполняется при всех допустимых значениях остальных параметров на интервале (e1, e2 ), а при e e (0, e1) u (e2, f) гарантируется неравенством
P(e)
z ■ Sina>
Q(e)
(17)
В соответствии с рис. 4, на котором приводится расположение областей режимов движения твердого тела на плоскости параметров е-г, показано, как меняются области при изменении угла а наклона виброплоскости. На рисунке представлены:
область 1, в которой происходит опрокидывание твердого тела в течение одного периода колебаний;
область 2, в которой происходит опрокидывание твердого тела в течение нескольких периодов, за исключением участка, ограниченного пунктиром, где начальная фаза опрокидывания периодически возникает, но полного опрокидывания не происходит; тело возвращается в начальное положение;
область 3, в которой точки контакта В и Б не отрываются от виброплоскости и тело остается в состоянии относительного покоя;
область 4, в которой уже в течение первого периода возникает проскальзывание в точке В , что автоматически исключает возможность опрокидывания.
Граница между областями 1 и 2 определялась на основе численного решения уравнения (7). Точка плоскости е- г включалась в область 1, если функция рр), возрастая от нуля, достигала значения arcCtg (е), при этом не нарушались условия НВ > 0 , - FBx < / • НВ, которые контролировались неравенством (16). Граница между областями 2 и 3 определялась зависимостью (16), граница между областями 1 и 2 и областью 4
Рис. 4. Области существования состояний твердого тела.
- зависимостью (17), граница между областями 3 и 4 - зависимостью (3). Таким образом, условие (17) существенно расширило границы областей 1 и 2, которые без учета (17) находились бы на уровне границы областей 3 и 4. Условие безотрывности не влияет на границы областей 1 - 4. Все расчеты производились средствами математического пакета МаШСАБ.
1. Сельвинский, В.В. Динамика контактного взаимодействия твердых тел. - Благовещенск, 2009. - 164 с.
