Устойчивость движения материальной частицы в окрестности оси угловых колебаний шероховатой плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика. Прикладная математика. Механика

В.В. Сельвинский

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ В ОКРЕСТНОСТИ ОСИ УГЛОВЫХ КОЛЕБАНИЙ ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ

In this article the motion of the particle on the rough work plane is considered. The motion is in the neighbourhood of the axis of the angle vibrations of the work plane. The axis is in the same plane and has an incline with a horizontal line. The conditions of the stability of this motion are given.

Если твердое тело касается шероховатой плоскости тремя точками и трение во всех точках одинаково, то поступательные колебания плоскости будут вызывать поступательное движение твердого тела. Этот случай мало отличается от движения материальной частицы, широко известного в научной литературе. Гораздо менее изученным является случай угловых колебаний плоскости. На практике угловые колебания рабочего органа вибрационных машин считаются нежелательными, так как в общем случае дестабилизируют основное движение объекта обработки. Тем не менее угловые колебания неизменно сопровождают любые направленные колебания рабочего органа, по крайней мере - как побочные, и являются причиной возникновения главного момента переносных сил инерции, оказывающего воздействие на вращательную часть движения твердого тела.

Движение центра масс твердого тела в первом приближении соответствует движению материальной частицы при тех же колебаниях плоскости. Поэтому с целью исследовать устойчивость траектории центра масс твердого тела рассмотрим материальную частицу D (рис. 1), которая находится на наклонной шероховатой плоскости, совершающей угловые колебания относительно оси Ох по закону а = а0 Sincot;

где аа со-амплитуда и частота колебаний плоскости; t-время. Сама ось Ох наклонена под углом у к горизонту и совпадает с линией наибольшего ската шероховатой плоскости в ее среднем положении.

цУу o(t)= aoSm cat

Рис. 1. Схема сил, действующих на материальную частицу при угловых колебаниях шероховатой плоскости.

Относительное движение частицы происходит под действием силы тяжести в, йормальной реакции плоскости силы трения Г , к которым необходимо добавить переносные силы инерции

ФТ = ша(гу„ - уг0), Фп = гпа2(уу0 + гг0) и кориолисову силу инерции

фк„Р=2та(2у0-уг0).

Здесь т - масса частицы; а, а - угловая скорость и угловое ускорение плоскости; х, у, х, у - координаты и проекции скорости частицы в системе координат Охуг, связанной с плоскостью; х0, у0, г0 - единичные орты осей Охуг. Уравнения, определяющие состояние материальной частицы, имеют вид: mx = mgSiny + Fmp¡.,

ту = -mgCosySina + тга + туа2 + 2тга + Етру, ^

пи = -mgCosyCosa + N - туа + тга2 - 2туа. Здесь сила трения подчиняется закону Амонтона-Ку-

лона: если скорость частицы отлична от нуля, V * 0, то

где v„ = т-7 - единичный вектор направления скорости

м

частицы;/- коэффициент трения скольжения.

Перейдем к безразмерным переменным, выбрав в качестве характерного времени период угловых колебаний

■ _ 2п

шероховатой плоскости Т = —, а в качестве характерной

со

g-Cosy

длины - величину L = ——;—: со

- t ~ X _ у _ Z

T-2n- — ~m-t - время; х = —; У~~'< 2 = Т - ко"

I 1j Lt L/

, а „а ординаты частицы; а = -—, а = —г - угловая скорость со ' со

v'-Jl.

и угловое ускорение плоскости; ^' " ~ '

z =

-j— - проекции скорости частицы; *

Г," У ■ 2

У =-—z =-—j - проекции ускорения частицы;

Leo2 Leo N

F =-

> i nrn

- действующие силы.

mg ■ Cosy w mg ■ Cosy

Тогда уравнения (1) преобразуются (далее «волну» над безразмерными переменными для краткости записи опускаем):

x" = tgy + Fmpx;

у" - -Sina + za" + уа'2 + 2z'a' + Fmpy; z" = -Cosa - ya" + za'2 - 2y'a' + N.

(2)

Во время полета в этих уравнениях нужно полагать: И = Р =0.

трх тру

При безотрывном движении 2 = г' = г" = 0 уравнения (2) принимают вид:

х" =tgy + F„w; y" = -Sina + ya'2+Fm; N - Cosa + уа" + 2у'а' > 0. При этом

х'

х'2 + у'2

(4)

(5)

jx'2 + у2 "*" ' J. Условие относительного покоя имеет вид

= \Fmp\ = + Fmpy < №;

при этом, как следует из (2):

Fmpy = Sina-ya'2;

N = Cosa + ya".

Далее рассмотрим безотрывное движение частицы. С целью определения общих закономерностей полагаем сначала у - 0, т.е. движение частицы прямолинейное вдоль оси Оу, угловые колебания считаем малыми настолько, что Sine. & a, Cos а» I.

Исследуем относительный покой частищ>1 как состояние, предшествующее ее возможному скольжению. Для определенности будем полагать>> ¿0, Анализ условия безотрывное™ N > 0 из (3) показывает, что частица не будет отрываться от плоскости до тех пор, пока она находится в области

Y = ya0<l. (6)

В зависимости от фазы колебаний плоскости первоначально покоящаяся частица может начать движение либо в положительном, либо в отрицательном направлении оси Oy. Частица не будет перемещаться в положительном направлении оси Oy из состояния покоя, если Fm >- f-N. В этом случае получаем из (5)

уа'2 -a<f(ya" + 1), что с учетом

а = a(lSinT, а'2 =а20 - а2, а" = -о:, эквивалентно положительности квадратного трехчлена:

hl(a) = Ya2+(a0-Y)a + aü(l-Ya0)>Ol

где

а = а/ f, a0=aQ/f. Квадратный трехчлен h(a) положителен при |а| < а0, если выполняется одно из условий: а)£><0;б)я0<й,;в) а,<-ад,

гае

-D = (aB-Yy-4Ya0(l-Ya\

- дискриминант трехчлена п/а); .

аи =(Y-а0±4Ъ)/2Y

- действительные корни трехчлена h/a) (а <а).

Условие а) выполняется, если:

ап „ ап

<У<

3 + 2^2-а2№ 3-2^2-а2/

условие б) выполняется, если:

1~2а,

<Y<a0 +1,

а0<

(7)

(8)

условие в) выполняется, если: а„

■ 1 <Y <■

1 + 2а„

(9)

(3)

Частица не будет перемещаться в отрицательном направлении оси Оу, если Р < /К В этом случае

-Ауа" + 1)<уа'3-а, что эквивалентно отрицательности квадратного трехчлена:

к2(а)шУа2 +(а0 + У)а-а0(1+Уа0)<0; последнее неравенство выполняется при |л| й а^ если

У<1-а,

1о•

, 00)

Неравенства (б)-(10) разбивают плоскость параметров У, а0 на области (рис. 2): 1 - область, где происходит отрыв частицы от плоскости; 2 - область, в которой первоначально покоящаяся частица может двигаться только по направлению к оси колебаний; 3 - область относительного покоя; 4 - область, в которой направление движения первоначально покоящейся частицы зависит от фазы колебаний плоскости. Для отрицательных К расположение одноименных областей симметрично относительно оси а0.

V

0.5 1 1.5

Рис. 2. Зоны возможного состояния первоначально покоящейся материальной частицы в окрестности оси колебаний.

На основании изложенного можно сделать вывод: если а0< 1, то частица, помещенная в область безот-рывности, начинает перемещаться (возможно, с остановками) к оси колебаний до тех пор, пока не достигнет области покоя, в которой движение частицы прекращается;

если а0 £ 1, то возможны режимы движения, при которых частица скользит в обоих направлениях в окрестности оси колебаний", не покидая области безотрывности.

Исследуем возможность существования установившихся периодических режимов движения частицы. При а0Л движение ее может состоять из следующих этапов: скол ьжение в отрицательном направлении оси Оу ( у' < 0 ), скольжение в положительном направлении оси Оу ( у' >0),

относительный покой (У = 0). Во время установившегося движения частицы указанные этапы периодически сменяют друг друга.

Сначала рассмотрим случай, в котором сила трения и нормальная реакция велики по сравнению с силами инерции так, что последними можно пренебречь. Это будет справедливо при выполнении условий: |г|« /,|Г'|«1. Тогда уравнение движения из (2) в безразмерных переменных У, х имеет вид (г = г' = 0, Р„1ру = -/•//• ):

У" = -а0/2 (а08тг + 51ёпГ), Г*0. (11)

На этапах покоя:

\a0Sim\<l, Y' = 0.

Исследуем возможность существования 2л-периоди-ческого решения уравнения (11) с моментами переключений: т1 - фаза начала движения частицы в отрицательном направлении оси Оу\ т, - фаза остановки; т3 - фаза начала движения частицы в положительном направлении оси Оу\ х4 - фаза остановки; при этом х3 = х1 + к, х = х2 + л.

Решение уравнения (11) на каждом этапе имеет вид:

г, <t<t2,Y' = а\ (Cost - Cost] ) + a0f2 (т - г,),

Y -Y^+al{Sint - Sim,) - а\{т - t])Cost] +

т2 < г < г3, Y = Y2 = Y, + al{Sim2 - Sinri) -

~аЦт2 -t,)Cost, -r,)2;

r3<r<r4, = a2 (Cost -Cost3)-

Y = Y3 + al{Sinr - Sim3) - (r - t})Cost} -

При интегрировании будем считать: за период колебаний К изменяется очень медленно, так что практически можно полагать ^постоянным; закон изменения скорости У' незначительно отличается от закона изменения скорости рассмотренного установившегося движения, - в частности, фазы г;, т„ ту ^перехода от одного этапа движения к другому буде'м считать такими же, как и для установившегося движения.

При сделанных предположениях среднее за период ускорение частицы получаем из (16) в виде:

У;р=^[2(т2-т1)(1-11) + 8т2т2-8Ы2т1]; (17) 4п а0

фазы хе г, определяются из уравнений (12), (13).

На рис. 3 приведены результаты численного решения уравнений (12), (13) и графики приведенной средней равнодействующей сил:

Я

■»о

4 it

"tfY

- в зависимости от коэффициента трения/ но при фиксированной амплитуде угловых колебаний плоскости «0;

- в зависимости от а0, но при фиксированном/.

г4 < т < г, + 27t, Y = У4 = 73 + al(SinvA - Sim3) -

-¿7о(Г4 -Г3)С05Г3

фаза т/ определяется из равенства:

a0Sim! = 1;

(12) (13)

|«05штг|</, (14)

иначе периодическое движение становится невозможным. В предельном случае х~ т, + п, и из (13) следует:

фаза х2 определяется из условия Y'=0: a0{Cosx2 - Cost J + тг-т/ = 0. При этом должно быть:

Cost2 - -

it

2ап

что, с учетом (12), будет выполняться при а„ = л[\ + тт214 ■ Если 1 < а0 < -Л+^/4, то этапы скольжения чередуются с этапами покоя. Равенства (12), (13) определяют моменты перехода г() г, от одного этапа к другому. Амплитуда перемещения частицы в этом случае имеет вид:

= ^(1-^0 sin Г2)2

(15)

Нетрудно убедиться в справедливости неравенства

что оправдывает предположение о малости Y. Исследуем влияние сил инерции

Фп - уа'2 ~ a0Ycos2 т,

Фх = уа" = -Ysint,

<Pmp=2y'a' = 2Y'cosr

на устойчивость рассмотренного выше установившегося движения частицы в окрестности оси колебаний (Y«1). Здесь устойчивость движения понимается в смысле малости отклонения частицы от оси колебаний. Запишем полное уравнение движения из (3) в безразмерных переменных (по-прежнему считаем у = 0, Sina »a, Cosa «1):

Y" = -aj\a0SinT + SignY') + a2J2Y ■ Cos2t + +a0f2Y-SinTSignY'-2a0f2CosT\Y'\. : ('6)

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 15 1.6 1

Рис. 3. Графики фаз перехода от одного этапа движения к другому (т т ) и средних равнодействующих

Анализ графика показывает, что группа частиц с различными коэффициентами трения должна при данном ад разделиться на два потока (в окрестности оси колебаний): на приближающийся к оси колебаний, для которого ад< 1,51, и удаляющийся от оси, для которого а>1,51. Это явление может быть использовано в процессах разделения частиц на фракции.

Анализ графика ^ показывает, что наиболее сильно явление устойчивости установившегося движения для данной частицы проявляется при тех значениях параметров колебаний, для которыхРд~ 1,16. Этот эффект можно использовать с целью стабилизации положения твердого тела при обработке.

Более конкретно характер устойчивости движения частицы отражается экспоненциальным показателем в зависимости среднего за период Г отклонения Уср частицы от оси колебаний:

ß =

Г

ср

Ycp ~В0

(18)

Это эквивалентно представлению:

здесь А№ В - коэффициенты, определяемые начальными условиями и параметрами системы. Если р > 0, то У не-

ограниченно возрастает по величине, т.е. при соответствующих начальных условиях частица в среднем удаляется от оси колебаний; если /?< О и Вд = О, то частица приближается к оси колебаний, причем по величине в характеризует интенсивность этого приближения; если ft < 0 и Вд # 0, то центр колебаний частицы смещен относительно оси колебаний на величину Y = Вд.

На рис. 4 приведен график численного решения полного уравнения из (3) при у = 0 с начальными условиями

Y = 0.2; Г = 0:

Y" = -ct0(Sin(a0Sim) + / • Cos(a0Sint)SignY') +

+a2J ■ Cos2r + a0f ■ Y • Sim SignY' - 2aJ • Cosr\Y'\ с учетом возможности периодических остановок, определяемых условиями (4), (5). Решение выполнено на основе математического пакета MathCad 13 с помощью встроенной функции rkfixed.

Для массива средних значений Y функция expfit дает экспоненциальное приближение с параметрами А0 -0.186, В0 = -2.1 ■10 -4, Р = -5.762 -Ю-3. Для установившихся режимов движения частицы на рис. 5 представлены следующие зависимости от параметра ад: а) фазы чередующихся этапов скольжения и покоя т т г г ; б) амплиту-

да колебаний^; в) смещение D среднего значения координаты Fотносительно оси колебаний; г) параметр ß.

Анализ полученных зависимостей приводит к выводу, режимы установившегося движения материальной частицы в окрестности оси колебаний происходят примерно при 1 < а0< 2; при а0 < 1.05 частица останавливается на некотором расстоянии от оси, при а0 > 2 частица в среднем удаляется от оси колебаний, покидая зону безотрывное™ движения. Естественно, с ростом ад амплитуда А установившихся колебаний растет, максимальное «притяжение» к оси колебаний частица испытывает при а0 » 1.5.

Как показывает обработка совокупности численных решений, рассмотренные зависимости т (i-l,...,4), А, ß практически не зависят от начальных условий, если только эти условия не выводят частицу из зоны безотрывности.

На рис. 6 представлено влияние дополнительного угла наклона у оси колебаний Ох на характер движения частицы. Заметны следующие тенденции: смещение интервала устойчивости в сторону уменьшения значений адпо мере увеличения угла у; рост амплитуды А tустановившегося смещения частицы относительно оси1 колебаний и средней скорости транспортирования V вдоль оси колебаний с увеличением угла у .

Из полученных результатов можно сделать вывод

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 4. График численного решения уравнения движения материальной частицы при /= 0.1, ад = 1.5, у=0.

Т. рад

. Аг]0

ао

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6" 1.7 1.8 1.9

! j —— --

• \ -- J /

—1........- i ! N 1 /

| ; 1 j ао

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Рис. 5. Зависимости параметров движения материальной частицы при/=0.1, у=0.

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 АУЮ

1.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1

к-ю'

РТтИ ■

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Рис. 6. Зависимости параметров движения материальной частицы при Г= 0.1. .

о возможности осуществления следующих технологичес- ческой асимметрией, при котором происходит постепен-

ких процессов:

ное ориентирование деталей за счет неоднородности поля

а) транспортирование смеси частиц с постепенным переносных сил инерции в их относительном движении, разделением частиц на две фракции, коэффициенты тре-

ния которых таковы, что фракция, имеющая показатель а0

меньше критического, приближается к оси, а другая, с в 2 т. - М: Наука, 1983. показателем ад больше критического, - удаляется в зону отрыва и далее;

Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики:

2. Сельвинский В.В. Взаимодействие материальной частицы с шероховатой плоскостью, совершающей угловые колебания // Управ-

б) транспортирование деталей С выраженной динами- ление механическими системами. - Иркутск, 1986. - С. 156-161.