Переходные процессы при течении неньютоновской жидкости в трубе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 532.135

С. В. Лапшина, В. М. Шаповалов

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ТЕЧЕНИИ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ

Поставлена и решена задача о вытеснении жидкости Оствальда-де Виля жидкостью с отличной температурой в круглой трубе. Получено аналитическое решение задач для случаев подачи на вход системы ступенчатого и импульсного возмущений. Представлены результаты расчёта кривой отклика. В случае дилатантной жидкости на кривой отклика отсутствует излом.

Ключевые слова: расход, температура, модель Оствальда-де Виля, время, скорость.

Большинство химико-технологических процессов проводится в потоке жидкости или газа. Характеристики потока оказывают чрезвычайно существенное влияние на ход процессов, и построить хорошую модель процесса без учёта этого обстоятельства невозможно.

В химической технологии наиболее распространены аппараты непрерывного действия. Существование поля скоростей обусловливает неравномерность времени пребывания частиц жидкости в аппарате: в частицах с малым временем пребывания реакция пройдёт недостаточно глубоко, зато в частицах, долго находящихся в рабочей зоне, глубина протекания реакции велика.

Рассматривается трубчатый реактор, работающий в режиме вытеснения. Близкая по смыслу проблема переработки неньютоновских сред в трубчатых реакторах рассмотрена профессором А. Б. Голованчиковым в серии работ [1 — 3], [5].

Следует отметить: имеем задачу вытеснения одной и той же жидкости, но различающуюся температурой. Можно эту задачу распространить на вытеснение жидкости с одной концентрацией растворённого компонента той же жидкостью, но отличающейся концентрацией. При этом формулировка задачи сохраняется, требуется лишь во всех выражениях вместо температуры поставить концентрацию. В теории фильт-

Лапшина Светлана Владимировна — кандидат технических наук, доцент (Волжский политехнический институт (филиал) Волгоградского государственного технического университета, Волжский); e-mail: svm-5@meil.ru.

Шаповалов Владимир Михайлович — доктор технических наук, профессор (Волжский политехнический институт (филиал) Волгоградского государственного технического университета, Волжский); e-mail: svm-5@meil.ru.

© Лапшина С. В., Шаповалов В. М., 2017

79

рации подобная задача называется «задачей о разноцветных жидкостях». Также можно рассматривать трубу как трубчатый реактор, в котором протекает какая-либо химическая реакция без изменения физических свойств жидкости. Следовательно, рассматриваемая задача имеет достаточно широкое приложение.

Поперечное сечение рассматриваемого участка трубы радиусом Я представлено на рисунке 1. Рассмотрим участок трубы длиной, равной или несколько превышающей С.. Поступающая в трубопровод жидкость имеет постоянную температуру То. Температура жидкости на участке 0 < г < а однородна по сечению и в начальный момент равна (Тг ф Т0). Теплообмен со стенками трубы не учитываем. Поперечную и продольную теплопроводность также не учитываем. Задача состоит в определении изменения средней по сечению температуры жидкости на выходе, т. е. в контрольном сечении, удалённом от входа на расстояние 2 = (:.

Рис. 1. Расчётная схема течения

Пусть реологические свойства жидкости описываются уравнением состояния Оствальда-де Виля [4]:

Trz ^ if ] '

где т — касательное напряжение, По — консистентность, п — индекс

течения, V — осевая скорость, г — радиус.

Стационарное ламинарное (слоистое) течение степенной жидкости характеризуется следующим поперечным профилем скорости [5]:

V = V

1

R

(1)

где vo — скорость на оси. Для течения ньютоновской жидкости (n = 1) характерно соотношение Vo = 2v+ (v+ = У/(ж R2) — среднерасходная скорость жидкости, V = const — объёмный расход).

80

Согласно (1), максимальную скорость осевого перемещения имеют частицы жидкости на оси трубы У стенки (условие прилипания) скорость равна нулю.

Очевидно, что время достижения частицей жидкости, находящейся на оси, выходного (контрольного) сечения г = I составляет /о= Р. /При этом средняя по сечению х = Р температура равна Ти Для этого момента времени можно записать:

t < и, T = Tl.

(2)

Далее для всех времён (г > ¿0) в сечении /.= < происходит рост средней по сечению температуры. Учитывая формулу (1), можем записать уравнение, связывающее радиус сечения параболоида жидкости с температурой Т0, плоскостью г = (с временем (рис. 1):

(3)

Здесь Го — радиус границы раздела жидкостей, имеющих различную температуру, в сечении х= (. Из соотношения (3) следует:

(4)

Найдём среднюю температуру в контрольном сечении для произвольного времени Ь (Ь > Ь0). Жидкость несжимаемая, теплофизические свойства постоянны и не зависят от температуры. Условно сечение можно разбить на ядро радиусом го (Ь) с температурой жидкости То и кольцевое сечение (го (Ь) < г < Я) с температурой Тъ Теплосодержание ядра:

<2о = С рТо 2ж| утСТ.

0

Теплосодержание кольцевого сечения:

я

21 = СрТ 2ж|утСГ .

(5)

(6)

Допустим, жидкость в контрольном сечении интенсивно перемешивается, тогда её теплосодержание соответствует средней температуре:

2 = С рТ+ 2 ж| утСТ ,

0

где С, р — теплоёмкость и плотность жидкости соответственно.

(7)

81

Уравнение теплового баланса в контрольном сечении:

Q+ = Qo + 01. (8)

Подставив составляющие (5) — (7) в уравнение (8), получим выражение для средней по сечению температуры жидкости в контрольном сечении:

T = т +(T - T)

2 (3n + 1)

(n +1)

1 f Г (tЛ _ n frj^) 2[ R ) (3n +1)[ R

(9)

С учётом соотношения (4) выражение (9) примет вид:

(10)

Согласно полученному выражению, средняя температура на выходе трубы изменяется по гиперболическому закону и при бесконечно большом времени стремится к температуре на входе (t ^ ж, ^ т ).

Введём безразмерные переменные:

Л- т

в-

т0 - Ti

_ t L '

(11)

С учётом обозначений (11) решение задачи (2) (10) примет более компактный вид:

0,

если т < 1

2 (3n +1) (1 1 (n +1) ' -

1 (1 -1 2 (3n +1)1, т

если т> 1.

(12)

Вид решения (12) не зависит от соотношения температур То и Тъ Как было отмечено выше, вместо температур в первой формуле в (11) могут использоваться концентрации.

График функции в(т) показан на рисунке 2. Представлена так называемая кривая разгона — реакция системы на ступенчатое возмущение входного параметра. Имеем типичный объект с запаздыванием. Зависимость носит асимптотический характер. Вид разгонной кривой однозначно определяется профилем скорости. При ламинарном течении жидкости Оствальда-де Виля профиль скорости полностью определяется индексом течения, поэтому кривая разгона коррелирует со степенью аномалии вязкости. В случае ярко выраженных псевдопластических свойств жидкости (п < 1) режим течения приближается к поршневому.

Рассмотрим более сложный вариант задачи: реакцию системы на импульсное возмущение.

в

82

В этом случае кривую отклика получают при подаче на вход конечного количества индикатора, например, жидкости отличной температуры. Следует отметить, что в качестве возмущения могут быть использованы: концентрация, оптическая плотность, радиоактивное излучение.

Расчётная схема с тремя вариантами ситуации представлена на рисунке 3. Имеем установившийся поток жидкости в трубопроводе температурой Тг. В момент времени t = 0 в окрестности начала координат возникает цилиндрический объём жидкости л Я2б с температурой То. Технически это можно реализовать, например, путём нагрева жидкости электрическим током. С течением времени цилиндрический объём индикатора трансформируется в параболоид вращения, причём на любом радиусе толщина слоя индикатора в направлении 2 постоянна и составляет б (теплопроводность жидкости не учитывается).

Условно движение индикатора можно разбить на 3 периода. Первый период (рис. 3а) начинается в нулевой момент времени и заканчивается в момент t = когда вершина переднего фронта индикатора касается контрольного сечения : = / . I? течение первого периода температура на выходе постоянна Т = Тг. Для первого периода можем записать:

0 < t < to

T = Tl.

(13)

83

у////////////////////////,

To SSSSSSSSSSSSSSr Г Г sr'rs ."я^^Л ¡•.¡¿gssssssfsssssssssrl'

to SSSSSs

.................I ' ' 1 I I—............. . . /7/,У/

'.<?/.■■ ,,,,,, SfSffffSffStyffSffSffffSffS?

_'//////////////////////////////y//////////////^

/////////////////////*'//////>

a)

r

R

0

z

ö

f/SSSSfij'/SS/S/SS/SS/S/SSj.

T

/'//¿'/■¿'//¿'//¿'/¿'//¿'//¿'г ,

To

'Z/ss/ss/s/ss/s?/s/ss/sss!r~^ 's/s\/s/ss/sss\ 1

SSSSSSSSSSSSSf?*if\S/?S{SSSSSSSSSS/

• 1 J/

/'ssssssssssssssssssssssssssssssssssss&rfssl^wsssj'sssssss/ .■,,.■.■.■,,.■,,.■,.■,,.■,,.■,.■,,.■,,.■.■.■,, ■■ А ■■-■■-■■■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■

...................• II • ' ......[ | rn w/t = t /

77f//S/fS/f/fS/fS/f/fS/fS/f/fj,, y/f/rs

177^77777777777777777*77777773

b)

T1

\fSffffSffSf ' ■■■ ■■■ y/fSfSSfSSf/i^bJh} ) "si M/////////// To ■SSSSSSSSSSSSSSSSSrPSi^SSpfi^&'SSSs /'/SFr/Tsf/Sf/f/Sf/Sf. , .-.- sffffsffsffffsffs\fff7\sfff}xsfsi

//SSSS/SS/SS/S/SS/SS/S/SS/SSSS/SS/S Г3 /. 'S/ST/S/SjPSSSSS/S/Si SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS _Ä ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Т/Т///////////////. **//////j

c)

Рис. 3. Три стадии движения фронта индикатора

Продолжительность первого периода можно найти по тривиальной формуле механики = (I — б)/

r

R

0

z

r

R

0

z

84

Второму периоду отвечает интервал времени < t < Ь. В момент t = Ь экстремум заднего фронта индикатора касается контрольного сечения в точке г = 0, х= I.

Граничное значение времени Ь можно найти по формуле Ь= С / При этом средняя температура на выходе увеличивается и достигает наибольшего значения, поскольку увеличивается радиус гп.

Учитывая эпюру скорости (1), для второго периода можем записать уравнение кинетики роста радиуса сечения переднего фронта гп (£) в сечении х= С:

n-1 ]

1 £-S)- Hr]

t > to.

(14)

Соответственно, в третьем периоде кинетика роста сечения заднего фронта параболоида индикатора гз(£) описывается уравнением

, £ > *1. (15)

Согласно выражению (14), для интервала времени второго периода

(t1 > t > t0) можем записать соотношение:

2 Г

t-5 vi

t > to.

(16)

Среднюю температуру в контрольном сечении найдём из уравнения теплового баланса (8), в котором следует положить:

гп я я

во = сРТо^т, в, = СрТ{2к|уЫТ , в = СрГ+ УГС1Т .

о гп о

Выполнив интегрирование, получим выражение для средней температуры в контрольном сечении во втором периоде:

r+ = T +(го -T)

2(3« +1) ( « +1)

1 f -- (t r 2 n f (t))

2 R V 3n +1 R V /

С учётом соотношения (16) последнее выражение примет вид:

T+=Ti+{T°~T\)

2(3и + ])

(и + 1)

1-5 vj

Зи + 1

i-s V"+1)

vj

, to < t < ti. (17)

85

В третьем периоде (£ > в контрольном сечении имеем три зоны: центральную (гз > г > 0), среднюю (гз < г < гП) и периферийную (Гп < г < К). При этом составляющие теплового баланса (8) имеют виц:

г„ Г3 Я Я

в = СрТо 2^лтСт, в, = СрТ, + СрТ, уЫГ , в+ = СрТ+ утСт ■

Ч 0 т„ 0

Подставив эти выражения в уравнение баланса и выполнив интегрирование, найдём:

T+= T +(To - T)

2 (3n +1)

( n +1)

2 ^

V R У

R

Y

n

3n +1

fr_M V +

R

V У 1

n

3n +1

fr_M V+

R

, t > ti.

Рассматривая эту формулу совместно с (14), (15), найдём изменение средней температуры на выходе во времени:

, t > ti. (18)

Введём безразмерные переменные:

T - T t

в = -

8

To - T

Т t,' S £ .

Здесь 5)/Vo — маспнабвремени.

В безразмерной форме расчётные формулы (13), (17), (18) можно записать так (общее решение задачи):

в =

МЛ-1 ^- -_*LЛ1 ]

(n +1) ^ Т ) n +1 V Т )

(3n+1) (n+1)

2 (3n +1) (n +1)

если т < 1

если 1 <т <-

1 -s

1 fl_ 1 | n+^1

2 V т У 2

(

1 -

т(1 -s)

3n+1

n I ь 1

n+1

1_1 ' n+1

(19)

если т > -

1 -s

3и +11 г(1 -б) I 3и +1^ ту Независимо от соотношения температур основной жидкости и ин-

0

1

86

дикатора в течение переходного периода выполняется условие в < 1. В ньютоновском случае (п = 1) расчётные формулы упрощаются:

0 =

211 -7 Н1 -7

111 1

---+--т-т

2 т 2 т(1-е)

( 1 1 -

если т < 1

1 <т<-

1-е

1

'(1 -е).

- 4 i' -1

(20)

если т > -

1-е

Расчётные кривые отклика для различных значений индекса течения, полученные с помощью выражения (19), представлены на рисунке 4. Значение геометрического симплекса (относительной толщины индикатора) составляло £ = 0,1. Величине £ = 0,1 отвечает граничное значение безразмерного комплекса (1 - £)-1 = 1,111. Расчёты выполнены для трёх значений индекса течения. Значение n = 1 отвечает течению ньютоновской жидкости.

0,5

0,25

n = 0,2

^^ 1 4

0

1

в

0 2 4 т 6

Рис. 4. Кривые отклика при импульсном возмущении при течении различных неньютоновских жидкостей

(цифры у кривых — значения индекса течения)

Из рисунка видно, что эффекты аномалии вязкости существенно влияют на характер кривой отклика. В частности, существенно изменяется величина наибольшего всплеска температуры на выходе. С понижением псевдопластических свойств (увеличение индекса течения п)

87

снижается интенсивность вымывания индикатора. Этот результат вполне согласуется с результатом первой задачи о вытеснении (см. рис. 2). В случае дилатантной жидкости (п = 4) рост температуры продолжается даже после того, как вершина заднего фронта миновала контрольное сечение, поскольку максимум соответствующей кривой находится за абсциссой границы т = 1,111. На стыке второго и третьего периодов в точке т = (1 - е)-1 имеет место разрыв производной, следовательно, это точка излома. Наиболее заметен излом при течении псевдопластика, для дилатантной жидкости излом практически незаметен.

Решение задачи (19) представляет функцию, заданную несколькими формулами. Остановимся несколько подробней на стыке второго и третьего режимов. Иными словами, рассмотрим решение в окрестности точки с абсциссой т = (1 - е)-1. Слева и справа от рассматриваемой точки решение описывается различными алгебраическими выражениями. В этой точке второе и третье выражения в (19) дают идентичный резуль-

(3n +1 - 2ns) тат: 0 = S-'s

. Следовательно, разрыва нет, функция равно-

п +1

мерно непрерывна.

Рассмотрим поведение первой производной в этой точке. Производная слева равна

dd 2n (3n +1)

-=---T^-s

dr ( n +1)2

(1 -s)3

Производная справа определяется выражением

de d

— = iim--

dr r^ 1 +o dr

(1-s)

2 (3n +1)

(n +1)

1 Ii- 1 | n+1-1

21 r) 2

1

(

2n ^+1

1

3n +1

(1-s)

3n+1

W

(1 s)

3n +1

1_1 ' "+1

(21)

Выполнив дифференцирование, приходим к неопределённости типа «00». Для раскрытия неопределённости введём новую бесконечно малую положительную величину Д как слагаемое параметра е, входящего в граничное значение т. При этом получим вместо (21) следующее соотношение:

de d

— = lim —

dr r^_1_dr

(1-s-A) A^0

2(3n +1)

(n +1)

2n .

1Г1-1 ] "-1 i1~r4

2 | r) 2 ^ r (1 -s)

2n n+1

3n +1

r(1 -s)

3n+1 n+1

3n+1

1 ^

3n +11 r

88

После несложных преобразований приходим к следующему выражению для производной справа:

de

lim— =

dT

n < 1

2n (3n +1) , ч3 —

v ;(1 -s)3sn+1, n > 1.

n-1

\3

(n +1)2

При течении псевдопластика (п < 1) первая производная терпит разрыв второго рода. Линия в точке стыка имеет излом, что подтверждает график на рисунке 4, линия отвечающая п = 0,2. В случае дилатантной жидкости излом отсутствует (линия отвечающая п = 4 на рисунке 4). Полученные формулы неприменимы для ньютоновской жидкости (п Ф1).

В ньютоновском случае (п = 1) необходимо непосредственно выполнить дифференцирование выражений (20). При этом имеем: производная

слева ^ = 2(1 -г)3, производная справа ^ = _2е(2-е)(1 -е) . Функция

имеет излом на границе второго и третьего периодов.

Основной недостаток степенного закона при решении задач течения в каналах — это независимость профиля скорости от напряжения на стенке. При любом расходе жидкости степенной закон показывает «застывшую» по форме эпюру осевой скорости (изменяется лишь её «размах»). Конфигурация эпюры полностью определяется единственным параметром — индексом течения — и не зависит от напряжения на стенке. Особенно ярко это проявляется при малых напряжениях на стенке (малых расходах жидкости), когда поведение неньютоновской жидкости приближается к ньютоновской. При этом её свойства отвечают максимальной вязкости, соответственно профиль скорости должен быть близким к квадратичной параболе. Именно в этом случае следует ожидать от математической модели, построенной на степенном законе, наибольшей ошибки в прогнозе интегральных характеристик течения, в том числе формы кривой отклика. Полученные результаты носят по преимуществу качественный характер. Для получения более точных расчётных формул целесообразно при построении математической модели использовать другую реологическую модель, например, модель Эллиса.

-да

Список литературы

1. Голованчиков А. Б., Дулькина Н. А., Ильин А. В., Ильина Л. А. Расчёт трубчатого реактора с неньютоновской реакционной массой и маловязким пристенным слоем / / Известия Волгоградского государственного технического университета. 2010. № 3. Т. 1. С. 16—20.

2. Голованчиков А. Б., Рябчук Г. В., Дулькина Н. А. Расчёт и проектирование политроп-ных реакторов вытеснения с учётом реологических свойств реакционной массы // Известия ВолгГТу. 2004. № 5. С. 23 —27.

89

3. Голованчиков А. Б., Тябин Н. В. Расчёт реактора вытеснения по кинетическим и реологическим данным / / Известия вузов. Химия и хим. технология. 1988. Т. 31. Вып. 11. С. 119-123.

4. Мак-Келви Д. М Переработка полимеров. М.: Химия, 1965.

5. Пат. 2007702 РФ, МПК G01N 11/00. Способ определения реологических свойств жидкостей / Голованчиков А. Б., Брифф Е. А., Тябин Н. В., Болотин Ю. О., Лаки З.; патентооблад. Волгоградский политехнический институт. № 914949347; за-явл. 26.06.1991; опубл. 10.10.2000. Бюл. № 28.

•Jc -Jc -Jc

Lapchina Svetlana V., Shapovalov Vladimir M. TRANSIENTS-VISCOUS FLUID IN A TUBE

(Volzhsky Polytechnical Institute (branch of) State Educational Institution of Higher Professional Education 'Volgograd State Technical University', Volzhsky, Volgograd region)

Posed and solved the problem of fluid displacement Ostwald-de Waele fluid with excellent temperature in a round pipe. An analytical solution for the problems of filing cases at the entrance step and pulse perturbation system. The results of the calculation of the response curve. In the case of a dilatant fluid on the response curve is not a break.

Keywords: flow, temperature, model Ostwald-de Waele, time, speed.

References

1. Golovanchikov A. B., Dulkina N. A., Ilin A. V., Ilina L. A. Calculation of a tubular reactor with a non-Newtonian reaction mass and a low-viscous wall layer [Raschet trubchatogo reaktora s neniutonovskoi reaktcionnoi massoi i maloviazkim pristennym sloem], Izvestiia Volgogradskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2010, no. 3, vol. 1, pp. 16—20.

2. Golovanchikov A. B., Riabchuk G. V., Dulkina N. A. Calculation and design of polytropic displacement reactors taking into account the rheological properties of the reaction mass [Raschet i proektirovanie politropnykh reaktorov vytesneniia s uchetom reologicheskikh svoistv reaktcionnoi massy], Izvestiia Volgogradskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2004, no. 5, pp. 23 — 27.

3. Golovanchikov A. B., Tiabin N. V. Calculation of a repression reactor based on kinetic and rheological data [Raschet reaktora vytesneniia po kineticheskim i reologicheskim dannym], Izvestiia vuzov. Khimiia i khimicheskaia tekhnologiia, 1988, vol. 31, Issue 11, pp. 119 — 123.

4. McKelvey James M. Polymer Processing, John Wiley & Sons Inc, New York, 1962.

5. Golovanchikov A. B., Briff E. A., Tiabin N. V., Bolotin Iu. O., Laki Z. Sposob opredeleniia reologicheskikh svoistv zhidkostei (A method for determining the rheologi-cal properties of liquids), patent No. 2007702 of the Russian Federation, MPK G01N 11/00, patent holder Volgograd Polytechnic Institute, publ. 10/10/2000. Bulletin No. 28.

•Jc -Jc -Jc

90