Переход к классике в теории эффекта Капицы-Дирака в пределе сильного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

Переход к классике в теории эффекта Капицы-Дирака в

пределе сильного поля

Ефремов М.А. (efremov@ran.gpi.ru) Институт общей физики РАН

Рассмотрено рассеяние электронов на стоячей световой волне в пределе сильного поля. Показано, что угловая функция распределения электронов после рассеяния близка к соответствующей классической функции распределения.

I. Введение

Рассеяние электронов на стоячей световой волны, известное как эффект Капицы-Дирака [1], исследуется достаточно давно как теоретически [2-4], так и экспериментально [5] - [11]. Общая постановка задачи об эффекте Капицы-Дирака иллюстрируется на Рис. 1. Обычно предполагается, что стоячая световая волна образуется двумя одинаковыми, бегущими навстречу друг другу (вдоль и против оси волнами, с волновыми векторами к и —к Векторы начального, ро, и конечного, р, импульса электрона лежат в плоскости хг и составляют с осью 0х углы а и а', соответственно. Разность между конечным а' и начальным а углами скольжения электрона есть угол рассеяния 9 = а' — а.

С квантовой точки зрения эффект Капицы-Дирака представляет собой вынужденное комптоновское рассеяние, которое состоит в поглощении фотона (и,к) из одной волны и излучении фотона (и,—к) другой волны. При этом, очевидно,

х

и

Рис. 1: Схема рассеяния электрона в эффекте Капицы-Дирака.

энергия электрона не меняется, а импульс меняется на 2ñk. В работе [1] была дана наглядная интерпретация рассеяния электрона на стоячей волне, согласно которой этот процесс рассматривается как дифракция де-бройлевской волны электрона на периодической структуре стоячей световой волны с периодом А/2 (где А = 2пс/и -длина волны поля излучения), образованной плоскостями равных фаз стоячей волны (Рис. 1). Следующее из законов сохранения энергии и импульса значение начального угла скольжения электрона а, при котором возможно индуцированное комптоновское рассеяние, интерпретируется как угол Вульфа-Брэгга:

авг = arcsin(AdB/А) = arcsin(ñk/p0) ~ ñk/p0 , (1)

а условие а = ±aBr - как условие Вульфа-Брэгга. Предполагается, что движение электрона является нерелятивистским, v, v0 ^ с; а частота света и - малой, ñu ^ mc2, где m - масса электрона.

Основным параметром, разделяющим области слабого и сильного поля в эффекте Капицы-Дирака, является произведение U0r/ñ, где т - длительность взаимодействия, а U0 = 2ne2//(mu2c) - амплитуда пондеромоторного потенциала электpona с зарядом e, I - интенсивность каждой из двух бегущих световых волн, формирующих стоячую волну. Если начальное состояние падающего электрона имеет вид плоской волны, то в слабых полях, U0T/ñ < 1, реализуется брэгговский режим рассеяния, который характеризуется острой зависимостью эффективности рассеяния от направления начального импульса электрона p0, иначе, от угла скольжения а (Рис. 1). При увеличении силы поля, U0t/ñ > 1, наступает дифракционный режим рассеяния, в котором зависимость картины рассеяния от направления начального импульса p0

p0

[2, 12]. Импульс рассеянного электрона в n-ой компоненте "веера"наиравлен под углом 2паВг (где п = 0, ±1, ±2...) то отношению к p0.

Помимо традиционной квантовой постановки задачи о рассеянии на стоячей световой волне электронной плоской волны, в работах [13, 14] в приближении слабого поля были также рассмотрены квантовая задача о рассеянии волновых пакетов и полностью классическая задача, в которой движение электронов определялось уравнением Ньютона. Сопоставление классического и квантового описания эффекта Капицы-Дирака в сильном поле будет дано в настоящей работе. Будет показано, что в большой степени в пределе сильного поля результаты квантового и классического

рассмотрения сближаются даже если начальное состояние электрона имеет вид плоской волны. Следует отметить, что область сильного поля в теории эффекта Капицы-Дирака рассматривалась и ранее [2]. Однако, сделанные прн этом дополнительные приближения таковы, что результаты работы [2] не могут быть использованы, например, для вычисления ненулевого среднего угла рассеяния. В настоящей работе дан уточненный вывод функции распределения рассеянных электронов в пределе сильного поля, что позволяет в полном объеме проанализировать соотношение классических и квантовых результатов.

II. Постановка задачи и основные уравнения

Исходным пунктом при постановки задачи является Гамильтониан электрона в классическом поле стоячей световой волны

н = 2т (р— <2>

где А (г, г) - векторный потенциал поля стоячей волны

с

А(г, г) =--Ео(г) Ыи(иг — кг) + эт(иг + кг)]. (3)

и

Здесь Е0 (г) - слабо зависящая (по сравнению с оптическим периодом 2п/и) от времени г огибающая напряженности электрического поля.

Будем полагать далее, что все характерные времена процесса рассеяния электрона намного превышают период осцилляций светового поля 2п/и. Это предположение позволяет использовать приближенный Пшпльтонпан [2, 3, 12, 13], усредненный по быстрым осцилляциям светового ПОЛЯ

н = — р2 + 2 и(г) еов(2кг). (4)

2т

Второе слагаемое в уравнении (4), 2и0 (¿)еов(2кг), есть хорошо известный

пондеромоторный потенциал электрона с зависящей от времени г амплитудой

р2

ио (г) = 4ти2 ^ И

Пусть для простоты, взаимодействие поля стоячей волны с электроном включается и выключается мгновенно, т.е. зависимость и0(г) имеет вид "ступеньки"

ио, 0 < г < т

ио^) = <( (6)

о , г > т,

где величина т - длительность взаимодействия.

Поскольку начальное состояние электрона, заданное в виде плоской волны ехр{ф0 г/Я}, является полностью делокализованным в координатном пространстве, наиболее удобным аппаратом для решения задачи будет введение нормировочного объема V. Тогда решение уравнения Шредингера Ф(г,£) с Гамильтонианом (4) может быть разложено в ряд (или интеграл) по плоским волнам

ФМН £ £ с(р,*)ехр{1 (р-г - £ *)}■ (7)

Волновая функция (7) нормирована на единицу, / ¿г|Ф(г,£)|2 = 1, если амплитуды вероятности С(р, ¿) сами удовлетворяют условия нормировки

Е I С(р, *) |2= / ¿р | С(р, *) |2= 1. (8)

Одной из общих и важных характеристик процесса рассеяния является функция распределения рассеянных электронов Г(0) по углу рассеяния 9. Эта функция может быть непосредственно измерена в эксперименте как количество электронов Г(9) ¿9,

9

углов ¿9. В рамках рассматриваемой модели рассеяния плоской волны (в качестве начального состояния электрона) число электронов, имеющих импульс в интервале [р, р + ¿р], непосредственно выражается через коэффициенты разложения С(р, ¿) волновой функции Ф(г,£) по плоским волнам (7)

^р = (^?1С (9>

Ввиду того, что при малых значениях импульса, — р0-г | = |Арг | ^ р0, можно приближенно полагать « р0 9 и ¿р ~ р0^9, плотность вероятности (9) можно

9

/¿^ р 'V' г

<*р±^ржты = У 1С(р±,р=+р0 м=т) |2. (10)

где р^ = {Рх,Ру} - компоненты импульса, лежащие в перпендикулярной к волновому вектору к плоскости; = р0 а, а углы а и 9 далее предполагаются малыми: |а|, |9| ^ 1.

Из условия нормировки (8) следует, что угловая функция распределения Г(9) (10) удовлетворяет очевидному требованию нормировки на единицу, / (9) = 1. Разумеется, в силу своего определения угловая функция распределения Г(9) несет в себе полную информацию о свойствах процесса рассеяния. В частности, с помощью

функции F(в) легко вычисляется среднее значение любой функции угла в, включая средний угол рассеяния в и средний квадрат угла рассеяния в2

в =у 0F (в)^в в2 = у e2F (в)^в. (И)

III. Решение уравнения Шрёдингера

Отличительной особенностью усредненного Гамильтониана H (4), описывающего динамику рассеяния электрона, является его периодичность от координате z. По аналогии, например, с введением блоховских функция в периодическом поле кристалла, представим решение уравнения Шрёдингера с Гамильтонианом (4) в виде разложения в ряд Фурье

1 (и

Ф(г, t) = exp | h (^Pü ■ r - tJ j Z a"(t) exP [ 2ink(z - vozt) ], (12)

где n = 0, ±1, ±2,..; v0z = p0z/m.

Тогда зависящие от времени коэффициенты an (t) разложения (12) удовлетворяют бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, непосредственно следующей из уравнения Шрёдингера d (h k)2

ih— an(t) = 2-n2an + Uo(t) {exp(2ikvozt) an-i + exp(_2ikvozt) an+i} (13)

dt m

с начальным условием an(t = 0) = ¿n,o. Коэффициенты an(t) разложения (12) связаны с амплитудами C(p, t) разложения (7) простым соотношением

У i p2_p0 \ ^

C(p, t) = ехЫ ^ 2m 0 t) Z an(t) exp(_2inkvozt) ¿p,po+2nhk . (14)

n

С учетом соотношения (14) между коэффициентами двух эквивалентных разложений (7) и (12) волновой функции электрона, угловая функция распределения F (0) (10) электронов после рассеяния может быть также выражена через коэффициенты разложения an(t) в момент "выключения"взаимодействия т, an(t = т), следующим образом

F(0) = Z I an |2 ¿(0 _ 2павг). (15)

n

При вычислении функции распределения F(0) (15) символы Кронекера ¿p,p/ в правой части уравнения (14) заменены на ¿-функции Дирака с помощью соотношения вида

¿p,po+2nhk = ¿(p _ Po _ 2nhk). (16)

Уравнения (14)-(15) проявляет физический смысл разложения (12): это есть разложение волновой функции электрона Ф(г, £) по брэгговским максимумам, причем величина |ап(£ = т)|2 есть вероятность найти электрон к моменту времени т в пучке, отклоненном от первоначального направления р0 на угол 9п = 2паВг, т.е. в п-ом дифракционном брэгговском максимуме.

Точное решение системы дифференциальных уравнений (13) является достаточно сложной задачей. Поэтому, необходимо сформулировать определенные предположения и приближения. Для этого рассмотрим, какими основными параметрами характеризуется система уравнений (13). Очевидно, что к числу таких параметров относится амплитуда пондеромоторного потенциала и0, энергия отдачи электрона £г = Я2к2/2т и время взаимодействия т. Число дифракционных максимумов, в

т

порядку величины равно и0т/Я. В условиях слабого поля, и0т/Я < 1, вероятность рассеяния электрона не мала только для первого дифракционного максимума (п = ±1). В этом случае, методом решения системы (13) является метод теории возмущений по слабому пондеромоторному потенциалу и0 еов(2кг). Для решения задачи в области более сильных полей, где и0т/Я > 1, необходимо сформулировать другое приближение.

Очевидно, что максимальный номер дифракционного максимума, в который вообще может отклониться электрон при рассеянии на неоднородном пондеромоторном потенциале с амплитудой и0, есть птах ~ (и0/£г)1/2. Поэтому, если за время взаимодействия т количество дифракционных максимумов и0т/Я не превышает птах, и0т/Я < птах, то влияние слагаемого пропорционального п2, £гп2, в уравнениях (13) является слабым, £гп2 ~ (п/птах)2и0 ^ и0. Отсюда следует, что при не слишком больших значениях п, п < птах, слагаемое £гп2 не превосходит величину второго слагаемого в правой части уравнения (13), ж и0. Это позволяет использовать теорию возмущений для решения системы уравнений (13) не по пондеромоторному потенциалу (слагаемые ж и0), а по оператору кинетической энергии (или энергии отдачи) электрона, ж £гп2. Нетрудно убедиться, что квадрат модуля коэффициента разложения (12) |ап(£ = т)|2 в этом случае имеет вид

К12 = -Ш+ (%) »{1(17)

_ и0т

П = 2-г--, 18)

Я и

где и = ку0,гт = ку0та ^ ^^^^^^^^ ^^тееля с индексом п, п = 0, ±1, ±2,...

Первое слагаемое в формуле (17) соответствует результату работы [2]. В настоящей теории в |ап |2 дополнительно учтено слагаемое первого порядка по £гт/Я ^ 1. Как будет показано ниже, это необходимо сделать, поскольку без учета этого слагаемого угловая функция распределения ^(0) является симметричной по в, и средний угол рассеяния в (11) обращается в ноль, в ~ п^П(п) = 0- Однако, результаты работы

[2] позволяют оцепить порядок максимального угла рассеяния электрона в™*, втах « 2пед-аВг ~ 2аВг(и0т/Я) = 2и0кт/р0, где пед- ~ и0т/Я ^ 1 - эффективное количество перерассеянных фотонов. В работе [2] отмечалось также, что это выражение для втах не зависит от константы Планка Я и в этом смысле является классическим.

Параметр теории возмущений, приводящий к разложению (17) нетрудно оценить, учитывая, что характерные значения п определяются аргументом функций Бесселя, пея ~ и0т/Я ^ 1 . Тогда слагаемое пропорциопальное п2 в системе уравнений (13) мало по сравнению со вторым слагаемым ж и0, если (и0т/Я)2ег = (и0тк)2/т < и0 или и0т2к2/т < 1, иными словами, при 1 < и0т/Я < (егт/Я)-1. Отметим, что это ограничение сверху на величину пондеромоторного потенциала и0 впервые было получено в работе [2] и совпадает с условием применимости метода итераций для классического уравнения Ньютона [13].

IV. Угловая функция распределения электронов после рассеяния

в

(17), полностью определяется вторым слагаемым в правой части уравнения (17) и равен

- 2 /и0кт\2 Г й ап2 и

в(а)= ^ 1 ап1 2павг=4^—;^й^-иг

. (19)

и=к'юо та

Отметим, что средний угол рассеяния в (а) (19) не зависит от постоянной Планка Я и совпадает с классическим выражением для среднего угла рассеяния, вычисленного в случае мгновенного включения взаимодействия [13].

Как отмечалось выше, угловая функция распределения рассеянных электронов ^(в) (15) несет в себе значительную информацию о свойствах процесса рассеяния. Так, средний квадрат угла рассеяния в2, характеризующий дисперсию распределения ^(в), л/в2 — (в)2, и определяемый первым слагаемым в правой части уравнения (17),

равен

92(а)

Е

п=-<х

1 ап | (2павг )2

1 ( и0 кт\ 2 Г 8т2 и

и

2 \ шу0

1 92 2 9т

(20)

п=куота

9т2 /2

классической функции распределения [13].

Из уравнений (19) и (20) следует, что квантовая угловая функция распределения

Г(9) (15)-(17) и классическое распределение [13] обладают одинаковыми первыми

моментами - это средний угол рассеяния 9 (19) и средний квадрат угла угла рассеяния 92

в моментах более высокого порядка (начиная с 93 и т.д.).

Покажем, что квантовая угловая функция распределения электронов после рассеяния в среднем совпадает с классической функцией распределения. Для этого учтем, что характерный номер пед- брэгговского максимума (17), в который рассеиваются электроны является большим, пед- ~ Ц0т/Я ^ 1. В этом случае квадрат функции Бесселя • (п) (17) как функция индекса п при больших значения аргумента П (18), п ^ 1 н0 ПРИ этом п < П) может быть приближенно представлен в виде [15]

•(п) *

2

п

\/п2 —

ео8

п2

л/ п2 — п2 —

п

п агеео8 — —-

п

4

1

п

\/п2 —

п2

(21)

1/2

что значения п не слишком близки к величине п п ^ п чт0 соответствует большим значениям аргумента косинуса. Используя приближенное выражение (21) для /2(п)) вероятность рассеяния электронов в п-ый дифракционный максимум |ап |2 (17) можно

записать в виде

I а,п |2=

п

\/п2 —

п

£г т

Я

+ -Ы п*— 1п

¿и

п

уп2—п2

- ^ V

п

4 / £г т

п 1X

цт Я

8Ш2 и

и2

8Ш2 и ¿и и2

'П-г

¿п пу^п2 — п2

п

п — 4 ( (Цт^ А 81п и

Я / \ Я / ¿и и2

(п2 — п2)3/2 ^ -1/2

(22)

Вероятность рассеяния электронов в п-ый дифракционный максимум |ап |2, определяемая уравнением (17) или уравнением (22), изображена на Рис. 2 сплошной и пунктирной кривой, соответственно.

1

1

2

1

1

Возникновение сингулярных функций, ¿(0 — 2naBr), в уравнении (15) для угловой функции распределения F(0) связано прежде всего с неограниченностью области интегрирования по координате z и с тем, что начальное состояние падающего электрона - плоская волна. Реально, размер области интегрирования ограничен, например, длинной лазерного фокуса L или тем, что электрон представляет собой, вообще говоря, волновой пакет конечного размера Дг. В результате, ¿-функции в правой части уравнения (15), ¿(0 — 2naBr), заменяются на гладкие функции (например, гауссовской формы) конечной, но малой ширины Д0, равной по порядку величины либо AdB/L, либо XdB /Дго

¿(0 — 2naBr) ^ (1/^ЛД0) exp (—(0 — 2павг)2/Д02) . (23)

Д0

угла aBr (1), Д0 ^ aBr, то квантовая угловая функция распределения F(0) (15) разбивается на отдельные неперекрывающиеся пички (23), локализованные около значений угла рассеяния 0 = 2naBr, а амплитуда каждого пика описывается величиной |а„|2 (17), (22), которая определяет относительную долю электронов в пом дифракционном максимуме. В противоположном случае, Д0 > aBr, различные

F(0)

F(0)

вычисленная численно при п = 25 и Д0 = 2aBr с использованием замены (23), изображена сплошной кривой на Рис. 3 вместе с классической функцией распределения Fcl(0) = (1/n)(0m — (0 — 0)2)-1/2 [13], пунктирная кривая.

Таким образом, при переходе в область сильных полей, 1 < и0т/Я < (erт/Я)-1, когда вероятность рассеяния электрона в различные дифракционные максимумы являются величинами одного порядка, квантовая функция распределения электронов F(0) (15) в области |0 — 0| < 0m близка к классическому распределению Fcl(0). При

F(0)

прежнему абсолютно квантовой. Отметим, что это же явление имеет место и при рассеянии атомов на стоячей световой волне в условиях точного резонанса [16].

Следовательно, в эффекте Капицы-Дирака сильное поле стоячей световой волны способствует "сближению"результатов классического описания и квантово-механического подхода, в котором начальное состояние электрона описывается в виде плоской волны.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность М.В. Федорову за

Рис. 2: Вероятность рассеяния в п-ый дифракционный максимум |ага|2 как п

(17), пунктирная - (22).

постановку задачи, рецензирование статьи и

Рис. 3: Классическая ^ (9) (пунктир) и квантовая ^(9) (15), (17) (сплошная линия) угловые функции распределения.

ютоянный интерес к работе.

[1] P.L. Kapitza and Р.А.М. Dirac, Proc. Phil. Soc., 29, 297 (1933)

[2] M.B. Федоров, ЖЭТФ, 52, 1434 (1967)

[3] L.S. Bartell, J. Appl. Phys., 38, 1561 (1967)

[4] H. Ezawa, H. Namaizawa, J. Phys. Soc. Japan, 25, 1200 (1968); 26, 458 (1969)

[5] L.S. Bartell, H.B. Tompson, R.R. Roskos, Phys. Rev. Lett., 14, 851 (1965); Phys. Rev., 166 1494 (1968)

[6] H. Schwarz, H.A. Tourtellote, W.W. Gaertner, Phys. Lett., 19, 202 (1965)

[7] H. Schwarz, Zs. Phys., 204, 276 (1967)

[8] Y. Takeda, I. Matsui, J. Phys. Soc. Japan, 25, 1202 (1968)

[9] P.H. Backsbaum, D.W. Schumacher, and M. Bashkansky, Phys. Rev. Lett., 61, 1182 (1988)

[10] D.L. Freimund, K. Aflatooni, and H. Batelaan, Nature (London), 413, 142 (2001)

[11] D.L. Freimund and H. Batelaan, Phys. Rev. Lett., 89, 283602 (2002)

[12] V.G. Minogin, M.V. Fedorov, and V.S. Letokhov, Opt. Cornrnun., 140, 250 (1997)

[13] M.A. Ефремов, M.B. Федоров, ЖЭТФ, 116, 870 (1999)

[14] M.A. Efremov and M.V. Fedorov, J. Phys. B, 33, 4535 (2000)

[15] Ф. Олвер, Асимптотика и специальные функции, Издательство "Наука", Москва, 1990

[16] А.П. Казанцев, Г.И. Сурдутович, В.П. Яковлев, Письма в ЖЭТФ, 31, 542 (1980)