CC BY
35
Scientific journal
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
rnyuiaK O.M., CeMeHfiKa C.O. nepedyMoeu no6ydoeu 6aгamo0aкmoрнoí eKOHOMempu^Hoi Modemi: docnidweHHn Ha MymbmuKomiHeapHicmb. 0i3UKo-MameMamu^Ha oceima. 2018. BunycK 1(15). C. 171-175.
Glushak O., Semenyaka S. Preconditions Of Construction Of Multifactory Econometric Model: Research Of Multicolinearity. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 1(15). P. 171-175.
ПЕРЕДУМОВИ ПОБУДОВИ БАГАТОФАКТОРНО1 ЕКОНОМЕТРИЧНО1 МОДЕЛ1: ДОСЛ1ДЖЕННЯ НА МУЛЬТИКОЛШЕАРШСТЪ
Анотац'я. Статтю присвячено детальному анал'зу одного /'з етаЫв, який передуе побудов'1 економетрично¡' модел'1 множинно¡'регресп, а саме, анал'зу та вiдбору факторних зм'нних, що входитимуть до досл'джувано!модел'1. Встановлено характеристики, яким повинн задовольняти потенцiйнi факторнi змiннi: бути юльтсно вим'ряними, мати високу вар'юбельшсть, сильно корелювати з результативною зм'нною та слабко корелювати м'ж собою, а також сильно корелювати з'1 зм'нними, як не використовуються в модел'1 як факторнi змiннi, але пов'язан'1 з результативною зм'нною.
Розкрито роль мультикол'теарност'! на етап розробки економетричноI модел'1. Визначено, що в/'дсутн/'сть мультикол'неарност'! е ключовою передумовою для побудови багатофакторноI економетричноI модел'1, яка адекватно в'дображатиме досл/'джуваний процес. Акцентовано увагу, що в/'дсутн/'сть мультикол'теарност'! дае можлив'!сть використовувати метод найменших квадрат'!в (МНК) для знаходження о^нок параметрiв модел'1, оскльки не в'дбуваетьсязм'щення о^нок. Розглянуто способи виявлення мультикол'неарност'!, зважаючи на зовнiшнi ознаки, та методи тестування мультикол'неарност'!. Сформульовано та обГрунтовано конструктивну схему досл'дження мультикол'неарност'! за допомогою покрокового алгоритму Фаррара-Глобера, якийзастосовуе три види статистичних критерпв (/2,Е-критерй та ^критерш). Дан критерп дозволяють виявити мультикол'неаршсть, як усього масиву незалежних зм'нних (критерш %г,), так / кожноI незалежноI зм'нноI з уама 1'ншими (F-критерiй) та кожноIпари незалежнихзм'нних (t-критерiй).
Вiдображено задач'1, як розв'язуються за допомогою методу математичного моделювання. На приклад'1 конкретноIзадач'1 (досл'дження залежност'1 м'ж витратами об/'гу п/'дприемства та обсягом вантажооб'гу, запасами по вантажооб'!гу, трудомктк'!стю його одини^) пролюстровано конструктившсть та ефективнсть реал'1заци алгоритму Фаррара-Глобера при виявленнi наявност'1 м'ж факторними зм'нними мультикол'неарност'!. В результат'1 проведеного досл'дження було встановлено, що м/'ж факторними зм'нними, як потен^йно можуть входити до економетричноIмодел'1, '¡снуе сильний взаемозв'язок, як по всьому масиву зм'нних, так i попарно.
Кnючовiслова: економ'ко-математичне моделювання, економетричнамодель, множиннарегреая, коефiцiент кореляцп, мультикол'неаршсть, критер'й Стьюдента, критерй Фiшера, алгоритм Фаррара-Глобера.
Постановка проблеми. Математична модель - це дieвий шструмент дослщження та прогнозування розвитку еконо/^чних процеав i явищ. Вона розвивае нашл уявлення про закономiрностi та взаемозв'язки економiчних процеав i допомагае формуванню наукового мислення та навичок порiвняльного аналiзу на новому, бтьш високому рiвнi.
Використання математичних методiв в економiчних дослщженнях дае можливкть видтити та формально описати найбтьш важливi й суп^ закономiрностi функцюнування економiчних систем i об'ек^в у виглядi моделей; на основi сформульованих за певними правилами лопки вхщних даних i стввщношень, методами дедукцп зробити висновки, ям адекватн до об'екта дослщження стосовно зроблених припущень. Математичн методи дають можливкть отримати дедуктивним шляхом новi дан про об'ект дослщження, о^м того, використання мови математики дозволяе компактно описати основы положення економiчноí теорп,сформулювати '¡х змктовний апарат i робити вщповщн висновки [1].
Тому розробка адекватно'' та статистично значущо' математично' моделi е одним iз основних завдань при дослщжены задач економти.
Аналiз актуальних дослщжень. Будуючи економетричну модель, в якм випадкова величина У залежить вщ ктькох факторних змЫних потрiбно звернути увагу на дектька момен^в [2].
УДК 519.233.5
О.М. Глушак1, С.О. Семеняка2
Кшвський ушверситет iMeHi Бориса rpiнченка, Украна
[email protected], [email protected] DOI 10.31110/2413-1571-2018-015-1-031
По-перше, факторы змжы мають бути кiлькiсно вимГряними. Якщо фактори не мають кiлькiсноí мГри, то ''м n0Tpi6H0 надати кiлькiсноí визначеносп. Так, наприклад, задати якiсть у виглядi балiв або встановити наявысть чи вiдсутнiсть ознаки у виглядi балiв: вiдповiдно 1 та 0 та ш..
По-друге, факторнi змЫы, якi входять до дослiджуваноí моделi мають задовольняти ряд ознак, а саме:
- мати високу варiабельнiсть (здатысть до змiнюваностi);
- сильно корелювати з результативною змiнною;
- слабко корелювати мiж собою;
- сильно корелювати зi змiнними, ям не використовуються в моделi як факторы змшы, але пов'язанi з результативною змшною.
Отже, однieю з передумов того, що побудована модель вщповщатиме всiм вимогам i адекватно вщображатиме дослiджуваний процес, е вщсутысть сильно' кореляцГ' мiж факторними змшними, тобто, мультиколiнеарностi.
Мета CTaTTi. Розкрити роль мультиколГнеарностГ на етапi розробки багатофакторно' економетрично'' моделi, висвiтлити способи тестування на мультиколшеарысть та продемонструвати застосування алгоритму Фаррара-Глобера на прикладнш задачк
Виклад основного матерiалу. МультиколГнеарнГсть - це явище при якому мiж двома або бiльше факторними змшними моделi iснуе щiльна лшмна залежнiсть або, iншими словами, факторы змшы мають високий ступiнь кореляцГ':
^ 1, де ^ - коефiцiент кореляцií мГж змГнними X,. та Xj (i * j ) [3].
Наявысть мультиколiнеарностi створюе певнi проблеми для розробки моделей. Насамперед, мультиколГнеарнГсть призводить до змЩення оцГнок параметрГв моделi, якГ розраховуються за допомогою МНК (методу найменших квадратiв). На основГ таких оцГнок (змiщених) неможливо зробити доноры висновки про результати взаемозв'язку мГж результативним показником i факторними змГнними. ОкрГм того, наявысть мультиколГнеарностГ не дае змоги з'ясувати значущГсть окремих параметрГв моделГ, оскГльки значення f-статистики Стьюдента стае близьким до нуля. А також не варто забувати, що при наявност мультиколГнеарностГ, вщбуваеться збГльшення довГрчих ГнтервалГв параметрГв.
Звичайно, мультиколГнеарнГсть не е проблемою, якщо единою метою регресшного аналГзу е прогнозування,
оскГльки чим бтьше значення R2 (коефщента детермГнацГ'), тим ГмовГрнГший прогноз. Якщо ж метою дослщження е не ттьки прогнозування, а й аналГз моделГ, де використовуються значення параметрГв (оцГнки параметрГв), то мультиколГнеарнГсть перетворюеться на проблему, оскГльки и наявысть призводить до великих стандартних похибок в оцшц параметрГв.
Единого способу визначення мультиколГнеарностГ, на жаль, не кнуе. Зовышыми ознаками Гснування мультиколГнеарностГ е наявысть суперечностГ, яка виникае при поеднанн двох факторГв, а саме, високого значення
коефщенту детермГнацГ' R2 (що свГдчить, зпдно критерГю ФГшера, про вГдсутнГсть нульових значень параметрГв) та незначущост f-статистики (зпдно критерГю Стьюдента це означае, що один або бтьше оцГнених параметрГв статистично мало вщрГзняються вщ нуля).
Високе значення коефщентГв кореляцГ' r також може бути ознакою мультиколГнеарностГ. Якщо значення хоча б
одного коефщГента кореляцГ'' > 0,8 (i * j) , то мультиколГнеарнГсть е серйозною проблемою. Зауважимо, що дана умова
е достатньою, але не необхщною для появи мультиколГнеарностГ, яка може Гснувати i при невеликих значеннях коефщентГв кореляцГ' у бтьш, нГж двофакторый регресГйнГй моделГ.
1снуючГ методи тестування мультиколГнеарностГ не е ушверсальними. Вс вони мають спГльний недолГк: жоден з них не проводить чГтко'' межГ мГж тим, що треба вважати «суттевою» мультиколГнеарнГстю, яку необхщно враховувати, i тим, коли мультиколГнеарнГстю можна знехтувати.
Найповшше дослГдження мультиколГнеарностГ проводять за алгоритмом Фаррара-Глобера [4], який застосовуе три види статистичних критерГ'в i дозволяе виявити мультиколГнеарнГсть:
- усього масиву незалежних змГнних (критерш );
- кожно'' незалежно'' змшно'' з усГма Гншими (F-критерГй);
- кожно' пари незалежних змшних (f-критерш).
ПроГлюструемо застосування даного алгоритму на приладГ конкретно' прикладно'' задачГ
Задача. Нехай на витрати обГгу впливають: обсяг вантажообГгу, запаси по вантажообГгу та трудомГсткГсть його одиницк Статистичну ГнформацГю, яка необхщна для дослГдження подано у таблица
№ ВантажообГг Запаси ТрудомГсткГсть
1 16,9 33,7 2,13
2 14,5 13,8 2,56
3 19,5 31,5 1,91
4 11,5 52,5 3,00
5 17,1 37,0 2,23
6 19,6 43,6 1,96
7 12,5 48,3 2,82
8 16,5 44,7 2,29
9 16,0 35,7 2,33
10 16,1 49,3 2,31
Щоб побудувати економетричну модель, необхщно бути впевненим, що мiж факторами вантажооб^у, запасiв та трудомiсткостi не кнуе мультиколiнеарностi. Завдання полягае в тому, щоб дослщити наявнiсть мультиколшеарносп мiж цими факторами i, в разi пiдтвердження и iснування зробити висновки щодо варiантiв и усунення i можливостi використання МНК (методу найменших квадратiв) для оцiнки параметрiв моделi.
lдентифiкуемо змiннi: У - витрати обку (результативна змiнна), Х1 - обсяг вантажообiгу, Хг - запаси по вантажообiгу, Хз - трудомктккть (факторнi змiннi). Запишемо промiжнi розрахунки, якi використовуватимуться в подальшому дослiдженнi, у виглядi таблицi.
№ Х1 Хг Хз х,2 X 2 X2 X ,* X 2 X *
1 16,9 33,7 2,13 285,61 1135,69 4,5369 0,111548 -0,15572 -0,21344
2 14,5 13,8 2,56 210,25 190,44 6,5536 -0,19267 -0,73932 0,196285
3 19,5 31,5 1,91 380,25 992,25 3,6481 0,441122 -0,22024 -0,42306
4 11,5 52,5 3 132,25 2756,25 9 -0,57295 0,395612 0,615534
5 17,1 37 2,23 292,41 1369 4,9729 0,1369 -0,05895 -0,11815
6 19,6 43,6 1,96 384,16 1900,96 3,8416 0,453798 0,134608 -0,37542
7 12,5 48,3 2,82 156,25 2332,89 7,9524 -0,44619 0,272441 0,444023
8 16,5 44,7 2,29 272,25 1998,09 5,2441 0,060844 0,166867 -0,06098
9 16 35,7 2,33 256 1274,49 5,4289 -0,00254 -0,09707 -0,02287
10 16,1 49,3 2,31 259,21 2430,49 5,3361 0,010141 0,301767 -0,04192
Середне 16,02 39,01 2,354 262,864 1638,055 5,65146
Використовуючи алгоритм Фаррара-Глобера, з'ясуемо, чи кнуе мiж факторними змiнними сильний кореляцмний зв'язок. На першому кроц даного алгоритму нормалiзуемо факторнi змшы Х1, Хг, Хз, дано' економетрично' моделi за формулою: х* = х) , 1=й ]■=1т, ^п •(х2 - (X])2) де п - кшьмсть спостережень вiдповiдних факторних змЫних; т - кiлькiсть факторних змшних. Будуемо матрицю х*, елементами яко' е значення х*
X * = 0,111548 -0,15572 -0,21344
-0,19267 -0,73932 0,196285
0,441122 -0,22024 -0,42306
-0,57295 0,395612 0,615534
0,1369 -0,05895 -0,11815
0,453798 0,134608 -0,37542
-0,44619 0,272441 0,444023
0,060844 0,166867 -0,06098
-0,00254 -0,09707 -0,02287
0,010141 0,301767 -0,04192
та вщповщну 'й транспоновану матрицю
(X* Г
0,111548 -0,19267 0,441122 -0,57295 0,1369 0,453798 -0,44619 0,060844 -0,00254 0,010141
-0,15572 -0,73932 -0,22024 0,395612 -0,05895 0,134608 0,272441 0,166867 -0,09707 0,301767
-0,21344 0,196285 -0,42306 0,615534 -0,11815 -0,37542 0,444023 -0,06098 -0,02287 -0,04192
Обчислюемо кореляцiйну матрицю за
формулою Я = (х * )"• X *:
Я =
1 -0,25383 -0,98966
-0,25383 1 0,281601
-0,98966 0,281601 1
Звiдси, визначник кореляцiйноí матрицi Я = 0,018332 i значення х2-критерiю буде дорiвнювати:
Ж
п -1---(2т + 5)
6
■ 1п|я| = 28,66039, де п - кшьмсть спостережень (п = 10), т - кiлькiсть факторних змiнних (т = 3).
Порiвнюючи отримане значення x2 3 табличним х2ш = 7,814728 при —m(m -1) степенях втьносп i заданому
piBHi значущост а (а = 0,05), робимо наступний висновок: осктьки x2 > x2« , то у даному масивi факторних змiнних наявне явище мультиколiнеарностi.
Подальшим кроком дослiдження буде розрахунок F-критерю за формулою: Fk -
д|агональн1 елементи матриц|
C - R1 -((rjTrV
(ckk -1)(n - m) m-1
^ де ck,
C =
50,22454 -1,35601 50,08685
-1,35601 1,12274 -1,65815
50,08685 -1,65815 51,03567
Знаходимо F1 = 172,2859; F2 = 0,42959; F3 = 175,1248 i пор1внюемо вщповщы значення з Ftabl = 19,35322 при (n - m) та (m - 1) степенях втьносл i заданому р1вы значущост а = 0,05.
Очевидно, що F1 > Ftabl i F3 > Ftabl, а, отже, ¡снуе залежнiсть факторних змшнихX1 iX3 вщ сукупност ¡нших змшних. Знаходимо частковi коефiцiенти кореляцп, як характеризують щтьысть зв'язку м1ж двома змшними за умови, що
¡нш1 зм1нн1 не впливають на цей зв'язок: r -
kj
£
j -го стовпця, си та cj7 - дiагональнi елементи матриц! C.
,, де с, - елемент матрицi C, розмЩений на перетинi k-го рядка та
-1 0,180579 -0,9893
0,180579 -1 0,219052
-0,9893 0,219052 -1
Розраховуемо f-критерш за формулою ^ - у |
in — m
V
0,485752 17,94213
0,485752 0,593983
17,94213 0,593983
пор1внюючи отриман значення tk з табличними ftabl = 2,364624 при (n - m) степенях втьносп та заданому р1вы
значущост а = 0,05, робимо наступний висновок: осктьки Г13 > ftabl, то у парi змшнихХ1 i X3 iснуе мультиколшеарысть.
Висновок: в результатi проведеного дослщження було встановлено, що м1ж факторними змшними, як потенцiйно можуть входити до економетрично'| моделi, iснуе сильний взаемозв'язок, як по всьому масиву змшних (результат перевiрки x2 -критерю), так i попарно. Дана залежысть, яку ми називаемо мультиколшеарыстю, може значно впливати на яккть оцшок, отриманих за допомогою МНК, адже модел^ в яких спостерiгаеться мультиколшеарысть, стають надзвичайно чутливими до конкретного набору даних, а отриман за МНК оцшки е змiщеними.
Список використаних джерел
1. Економто-математичне моделювання: Навчальний поабник / За ред. О. Т. 1ващука. Тернопiль: ТНЕУ «Економiчна думка», 2008. 704 с.
2. Глушак О. М., Семеняка С. О. Економто-математичне моделювання - перспективний напрямок прикладно'| математики. Физико-математична освпа 2017. №1. С.28-31
3. Лещинський О. Л., Рязанцева В. В., Юнькова О. О. Економетрiя: Навч. поаб. для студ. вищ. навч. закл. Кив: МАУП, 2003. 208с.
4. Наконечний С. I., Терещенко Т. О., Романюк Т. П. Економетрiя: Пщручник. Кж'в: КНЕУ, 2000. 296 с.
References
1. Economic-mathematical modeling: Textbook / Ed. O. T. Ivashchuk. Ternopil: TNEU "Economic Thought", 2008. 704 pp.
2. Glushak O. M., Semenyaka S. O. Economic-mathematical modeling - perspective direction of applied mathematics. Physical-mathematical education. 2017. №1. P.28-31
3. Leshchyns'kyy O. L., Ryazantseva V. V., Yun'kova O. O. Econometrics. K.: MAUP, 2003. 208 pp.
4. Nakonechnyy S. I., Tereshchenko T. O., Romanyuk T. P. Econometrics: Textbook. K.: KNEU, 2000. 296 pp.
PRECONDITIONS OF CONSTRUCTION OF MULTIFACTORY ECONOMETRIC MODEL: RESEARCH OF MULTICOLINEARITY
Glushak O. M, Semenyaka S. O.
Boris Grinchenko Kyiv University, Ukraine
с
kj
у
kj
kj
W3MK0-MATEMATMHHA OCBITA ($MO)
BunycK 1(15), 2018
Abstract. The article is devoted to a detailed analysis of one of the stages preceding the construction of a econometric model of multiple regression, namely, the analysis and selection of factor variables included in the model under study. The characteristics that potential factor variables must satisfy are: to be quantitatively measured, to have high variability, to strongly correlate with the resultant variable and to weakly correlate with each other, and also to strongly correlate with variables that are not used in the model as factor variables but related to productive variable.
The role of multicollinearity at the stage of development of econometric model is revealed. It is determined that the lack of multicollinearity is a key prerequisite for constructing a multivariate econometric model that adequately reflects the investigated process. Attention is drawn to the fact that the lack of multicollinearity makes it possible to use the method of least squares) to find estimates of the model parameters, since there is no bias in estimates. Methods of detecting multicollinearity, taking into account external signs, and methods of testing multicollinearity are considered. The constructive scheme of multicollinearity research is formulated and substantiated by means of a step-by-step Farrar-Globe algorithm, which uses three types of statistical criteria (%2, F-criterion and t-criterion). These criteria allow us to detect multicollinearity, as an entire array of independent variables (%2 criterion), and each independent variable with all other (F-criteria) and each pair of independent variables (t-criteria).
The tasks, which are solved by means of mathematical modeling, are shown. On the example of a concrete task (the study of the relationship between the expenses of the company's turnover and the volume of cargo turnover, cargo turnover, the complexity of its unit), the constructivity and efficiency of the Farrar-Globard algorithm implementation were demonstrated when the presence of the multiplicity variables was found. As a result of the study, it was found that there are strong interconnections between the factor variables potentially entering the econometric model, both in the whole array of variables, and in pairs.
Key words: economic-mathematical modeling, econometric model, multiple regression, correlation coefficient, multicollinearity, Student's criterion, Fisher's criterion, Farrar-Glober's algorithm.
