CC BY
45
Scientific journal
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Глушак О.М., Семеняка С.О. EKOHOMiKO-математичне моделювання - перспективний напрямок прикладной математики // Ф'вико-математична освта : науковий журнал. - 2017. - Випуск 1(11). - С. 28-31.
Glushak О., Semenyaka S. Economic-Mathematical Modeling Is A Promising Area Of Applied Mathematics // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 1(11). - Р. 28-31.
ЕКОНОМ1КО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ - ПЕРСПЕКТИВНИЙ НАПРЯМОК ПРИКЛАДНОТ МАТЕМАТИКИ
Анотаця. В данйроботiрозкрито необх'дн'сть використання математичного моделювання при досл'дженш економ'чних процеав i актуальнсть вивчення в'дпов'дних навчальних дисципл'ш. Сформульована та обфунтована конструктивна схема побудови та досл'дження економетрично¡' модел'1 множинно¡' регресИ Продемонстровано основнi етапи побудови та досл'дження модел'1 множинно¡' регресИ: зб'р i попередне опрацювання статистичних даних, специфiкацiя модел'1, параметриза^я модел'1, перевiрка на мультикол'шеаршсть за допомогою покрокового алгоритму Фаррара-Глобера, який застосовуе три види статистичних критерИв (- критер'ем та Ькритер'ем) адекватшсть за допомогою коефiцiентiв кореляцИ, детерм'шаци та середнього значення вiдносноi похибки., гетероскедастичшсть за допомогою ^ -критер'ю, Параметричний тест Гольдфельда-Квандта, непараметричний тест Гольдфельда-Квандта, автокореля^ю за допомогою тесту Дарб'на-Уотсона, критер'ю фон Неймана, нецикл'чного коефiцiенту кореляцп та визначення точкового та /'нтервального прогнозiв. На приклад'! конкретно! задач'! пролюстровано ефектившсть реал'!зацПсхеми досл'дження економетрично! модел'1 множинно!регрес!
Ключов! слова: економ'!ко-математичне моделювання, економетрична модель, множинна регреая, мультикол'!неарн'!сть, гетероскедастичшсть, автокореля^я.
Постановка проблеми. У контекст сучасного розвитку економти Укра'ни особлива увага придтяеться виршенню складних теоретико-прикладних задач, ям ктьккно та яюсно описують взаемозв'язки /^ж рiзними еконо/^чними об'ектами. Це зумовлюе необхщысть розробки та вивчення нових напрям^в еконо/^чно'|' теорп та пов'язаних з нею наукових дисциплш. Насамперед, виникае потреба у розвитку та впровадженн навчальних технологш та шновацшних методiв навчання, використання яких дало б можливкть сформувати у студенев нове економiчне мислення та розумЫня сутност економiчних процеав чи явищ, отримати вщповщы вмЫня та навички щодо регулювання та керування даними процесами на будь-якому рiвнi складносп, прогнозувати 'х розвиток. Вочевидь розв'язання визначених задач неможливе без використання рiзноманiтного математичного апарату.
Аналiз актуальних дослщжень. Метод математичного моделювання - один з найпоширенших методiв наукового тзнання. Вт використовуеться при розв'язуванн задач економти, соцюлогп, медицини, в прикладних науках. Там, де метод наукового спостереження та метод наукового експерименту не дають вщчутних результатiв (внаслiдок довготривалостi певних процеав чи явищ, що дослщжуються, або неможливостi проведення багатомасштабних експеримен^в для забезпечення достовiрних результатiв) на допомогу приходить метод математичного моделювання.
Використання математичного моделювання в рiзних галузях науки дозволяе поглибити ктьккний та яккний аналiз, розширити область отримання шформацп, прискорити математичнi розрахунки.
При дослщжены соцiально-економiчних явищ i процесiв, якi характеризують той чи шший етап розвитку економiки рин^в, доводиться мати справу з рiзноманiтними масовими явищами, виявляти наявнi там закономiрностi та встановлювати напрями 'х розвитку. Задачу вивчення кiлькiсних сторш масових явищ та процесiв у нерозривному зв'язку з 'х яюсною стороною вирiшуе насамперед економетрiя, яка за допомогою свого шструментально-теоретичного апарату встановлюе причинно-наслiдковi зв'язки в дослщжуваних економiчних системах з метою проведення 'х аналiзу, синтезу, дiагностування проблем i пошуку шляхiв 'х подолання [2].
Основним завданням економетрп е розробка та аналiз економiко-математичних моделей, в якост яких виступають певн абстрактнi математичнi спiввiдношення (рiвняння чи системи рiвнянь). Побудована математична модель мае задовольняти ряд вимог: по-перше, вона мае адекватно вщображати процес чи явище, що дослiджуеться; по-друге, бути якомога проспшою. Тому вивчення дано'' дисциплЫи розпочинаеться з моделi парно' регресп. Хоча на практик залежнiсть
УДК 519.233.5
О.М. Глушак, С.О. Семеняка
Кивський унверситет ÍMeHÍ Бориса rpiнченка,, Украна
o.hlush ak@kubg. edu.ua [email protected]
лише двох показни^в зустрiчаeться дуже рщко, використання дано! моделi дае можливкть зрозyмiти cyTHicTb багатьох процеав та дослiдити !х. Зазвичай модель парно! регресп використовують тодi, коли з ycix факторiв, якi впливають на результат, можна виокремити найвпливовший, який i обирають за факторну змшну.
А. Ейнштейн сказав: «Моделi мають бути настiльки простими, насктьки можливо, але не прослше» [3]. Тому незважаючи на те, що парна регресiя легко дослiджyеться i штерпретуеться, практичне застосування ÍÍ обмежене. Найчаспше використовують моделi множинно! регресп, ям дають можливiсть врахувати вплив вах факторiв на результативну змшну.
Мета CTaTTi. Розглянути економетричну модель як окремий клас математичних моделей, що описують економiчнi процеси чи явища, висвiтлити та проiлюстрyвати алгоритм побудови та дослщження економетрично! моделi множинно! регресп'.
Виклад основного матерiалу. Представимо розвинену схему, яка використовуеться для побудови та дослiдження економетрично! моделi множинно! регресп.
1. На основi зiбраних статистичних даних для обраних об'ек^в дослiдження, проводимо специфта^ю моделi, тобто визначаемо форму рiвняння регресп.
2. Здiйснюемо перевiркy на мультиколшеарысть, адже наявнiсть високого ступеня кореляцп мiж факторними змiнними може призвести до змщення оцiнок параметрiв економетрично! моделi, збiльшення довiрчих iнтервалiв та втрати можливостi перевiрити оцЫки параметрiв на статистичну значyщiсть.
Використовуючи покроковий алгоритм Фаррара-Глобера, який застосовуе три види статистичних критерпв: всього масиву незалежних змшних, кожно! незалежно! змiнноÍ з рештою змiнних та кожно! пари незалежних змiнних за %2, f- критерiем та t-критерiем вiдповiдно, здiйснимо перевiркy на наявнiсть мyльтиколiнеарностi мiж факторними змшними.
3. Якщо перевiрка, за вказаним алгоритмом, не виявила мультиколшеарносл серед заданого масиву факторних змшних - тодi оцiнюемо параметри економетрично! моделi на основi методу найменших квадратiв (МНК). В iншомy випадку - спробуемо позбавитися мультиколшеарысп серед факторних змшних та тiльки тсля цього здiйснити параметризацiю моделi на основi МНК. Якщо спроба виявиться невдалою, то для оцшювання параметрiв доцiльно застосувати метод головних компонент.
4. Проводимо аналiз якостi отриманого рiвняння. Для цього визначимо коефщент кореляцп, який демонструе щiльнiсть зв'язку мiж факторними змiнними та результативною, та коефщент детермiнацiÍ, який характеризуе якою мiрою варiацiя залежно! змшно! визначаеться варiацiею незалежних змiнних. Далi перевiряемо побудовану модель на адекватысть за допомогою середнього значення вщносно! похибки. Модель вважаеться невдалою, якщо середне значення вщносно! похибки перевищуе 10%. В цьому випадку необхщно переглянути специфiкацiю моделi. В шшому випадку - якщо середне значення вщносно! похибки знаходиться в межах 8-10%., то переходимо до наступного кроку дослщження моделi - перевiрки на гетероскедастичнiсть.
5. Явище гетероскедастичност порушуе одну з умов застосування методу найменших квадра^в, оскiльки дисперая залишкiв для окремих груп спостережень буде змiнюватися. 1снуе багато теспв та критерпв, якi дають можлив^ь здiйснювати дослiдження на наявнiсть гетероскедастичносп, серед яких: Ц-критерiй, Параметричний тест Гольдфельда-Квандта, непараметричний тест Гольдфельда-Квандта тощо. Якщо при перевiрцi за допомогою одного з вказаних теспв виявлено гетероскедастичысть, то необхiдно усунути це явище шляхом транспонування початково! моделi, таким чином, щоб залишки мали сталу дисперсiю. Якщо явище гетероскедастичносп не виявлено, тодi переходять до дослщження на автокореляцiю.
6. Перевiрити на автокореляцiю, що характеризуеться кореляцшною залежнiстю мiж послiдовними значеннями залиш^в однiеÍ вибiрки множини, що спостер^аються через деякий перiод часу, та яка може призвести до змЩення оцшок параметрiв моделi, недоцтьносл застосування статистичних критерпв для аналiзy моделi, неефективностi прогнозованого значення за побудованою екомнометричною моделлю, можна за допомогою тесту Дарбша-Уотсона, критер^ фон Неймана, неци^чного коефiцiентy кореляцп. Для оцшювання параметрiв моделi з автокорельованими залишками використовують методи: Ейткена, перетворення вихщно! iнформацiÍ, Кочрена-Оркатта, Дарбiна. Якщо тсля перевiрки зазначеними критерiями не виявлено явища автокореляцп, то можна переходити до наступних етапiв дослщження економетрично! моделi
7. Здiйснити точковий та штервальний прогнози.
Розглянемо застосування даного алгоритму на прикладi конкретно! прикладно! задачi.
Задача. Побудувати та дослщити економетричну модель, яка характеризуе залежысть фiнансового результату пiдприемства, яке реалiзyе продyкцiю, що належить до категорп продовольчих товарiв Y, вщ рiвня вартостi чистих активiв Xi, власного капiталy X2, запасiв X3, готiвки X4 i поточних зобов'язань X5.
Статистичну iнформацiю, що використовувалась для дослщження подано у таблиц 1.
1. За допомогою графiчного представлення статистичних даних та використовуючи (для контролю якост дослiдження) лшп тренду, вибираемо форму рiвняння множинно! регресп
Y = a0 + alXl + a2X2 + a3X3 + a4X4 + a5X5 .
Використовуючи коефщент варiацiÍ V- , здiйснюемо вiдбiр факторних змшних. Обчислимо v = ^
j
Осктьки v- > VKp , то вс змiннi залишаються для подальшого аналiзy.
x2 — (x )2 jj
Таблиця 1.
Дата Y Xi X2 X3 X4 X5
4 вересня 44,3 1690,8 241,3 122,1 74,4 336
4 жовтня 42,1 1730,2 241,3 123,5 142,6 784
4 листопада 46,8 1940,1 241,3 124,4 37,2 168
4 грудня 38,9 1560,3 269,4 138,9 80,6 470,4
5 ачня 43,7 1640,1 269,1 136,4 161,2 694,4
5 лютого 45,9 1640,8 269,1 132,1 31 201,6
5 березня 48,4 1630,9 270,5 129,4 198,4 728
5 квпня 44,2 1610,2 270,9 111,5 173,6 739,2
5 травня 49,7 1610,2 272,3 118,7 99,2 224
5 червня 48,1 1600,3 274,5 122,1 130,2 392
5 липня 50,1 1440,5 274,5 124,5 49,6 257,6
5 серпня 50,7 1440,5 238,1 129,6 55,8 156,8
5 вересня 52,4 1430,2 236,2 144,4 62 336
5 жовтня 48,9 1470,2 241,1 146,2 68,2 280
5 листопада 56,3 1420,4 241,1 142,1 86,8 336
5 грудня 54,4 1420,1 249,7 136,5 117,8 392
2. За допомогою алгоритму Фаррара - Глобера здмснюемо перевiрку на мультиколшеарысть. Бачимо, що мiж економетричним показником У i кожною факторною змiнною: рiвня вартостi чистих активiв Х1, власного катталу Х2, запасiв Х3, го^вки Х4 i поточних зобов'язань Х5 iснуe лiнiйний зв'язок. Звiдси, вщповщне рiвняння регресп набуде вигляду:
Y = a0 + axXx + a2X2 + a3X3 + a4X4 + a5X5 + u .
7 . 1
пор1внюемо отримане значення % з табличним %2аЬ1 при — т(т -1) степенях В1льност1 I заданому р1вн1 значущост! а-= 18,3. Оскiльки> % , то вщмтимо, що у масивi факторних змшних iснуe мультиколiнеарностi по сукупностi
даних.
На кроц 5 алгоритму дослiдження на мультиколшеарысть розраховуемо ^-критерп. Отримаемо:
Fk =
0,3 0,6 3,5
Далi отримання значення Ек порiвнюемо з табличним Р^Ы при (п-т) та (т -1) степенях втьносп i заданому
рiвнi значущостi а- = 5,94 . Оскiльки р < р , то можемо зробити висновок, що не iснуе залежносп кожно'''
факторно'' змiнноí в^д сукупносп iнших змiнних.
На кроцi 7 алгоритму розраховуемо t -критерiй. Отримаемо:
t =
0,44 2,22 0,95 1,07
0,44 1,15 0,71 0,27
2,22 1,15 0,96 0,84
0,95 0,71 0,96 6,52
1,07 0,27 0,84 6,52
Порiвнюемо отриманi значення з табличними tпри (п-т) степенях втьносп та заданому рiвнi
значущостi а - t(аЬ1 = 2,2. Оскiльки t4g > , то мiж вiдповiдними парами незалежних змшних Х3, Х4 iснуе
мультиколшеарысть. Тому пару незалежних змiнних Х3, Х4 виключаемо з розгляду факторiв для побудови моделi.
Знайдемо оцшки параметрiв методом найменших квадратiв за допомогою пакету аналiзу. Отримаемо: У = 92,1 - 0,02Х1 - 0,06Х2 - 0,01Х5. Проаналiзуемо значення оцшок параметрiв регресiйного рiвняння. Осктьки значення а0 е додатною величиною, то результат змшюеться повiльнiше ыж фактори. Тобто загальний фiнансовий результат тдприемства змiнюеться нiж рiвень вартост чистих активiв та власного катталу. Параметр ^ демонструе, що загальний фшансовий результат пiдприемства змiниться на 0,02, якщо рiвень вартостi чистих активiв (Х1) збiльшиться (зменшиться)
на одиницю. Параметр а2 демонструе, що фiнансовий результат пщприемства змшиться на 0,06, якщо власний каттал (Х2) збiльшиться (зменшаться) на одиницю. Параметр а3 демонструе, що фшансовий результат пiдприемства змiниться на 0,01, якщо поточн зобов'язання (Х5) збтьшиться (зменшаться) на одиницю.
3. За допомогою формул здiйснимо розрахунок коеф^енту детермiнацií, який дорiвнюе 0,51. Далi перевiряемо модель Y = 92,1 - 0,02Xi - 0,06Х2 - 0,01Х5 на адекватнiсть за допомогою середнього значення вщносно'' похибки апроксимацп, яке дорiвнюе 5%. Оскiльки середне значення вщносно'' похибки апроксимацп не перевищуе 10%, то можемо зробити висновок, що побудована модель е вдало п^браною.
4. Перевiримо побудовану модель на наявысть гетероскедастичностi за допомогою ^ -критерiю. Пiсля проведення
2
низки розрахун^в отримаемо: ^ = 4,79 . Знайдемо = о, 35 . Оскiльки ^ > Xtabl, то при заданому рiвнi значущостi
0.95.та 3 ступенях вшьносл пiдтверджуемо ппотезу про наявнiсть гетероскедастичностi. Отже, можемо стверджувати, що в данш моделi iснуе неврахований суттевий фактор, який впливае на фЫансовий результат пщприемства i не може бути усунений за рахунок втьного члену моделГ Оскiльки порушуеться друга умова застосування МНК, тому доцтьно шукати шший метод для побудови багатофакторно' лЫшно'' моделi.
Проведемо аналiз за допомогою параметричного тесту Гольдфельда-Квандта на виявлення факторно'' змшно'', яка безпосередньо спричиняе гетероскедастичысть залиш^в. Пiсля проведення низки розрахун^в таким фактором виявились: го^вка Х4 , яку ми виключили з перелiку факторiв, оскiльки дана факторы змшна, ще й спричиняе мультиколшеарысть.
5. Перевiримо побудовану економетричну модель на наявысть автокореляцГ'' залиш^в за критерiем ДарбЫа-Уотсона. Обчислюемо значення d-статистики. Отримаемо d = DW = 2,7. Як бачимо iз зони автокореляцмного зв'язку
за крилем Дарбiна-Уотсона маемо сумнiвний випадок (DW потрапляе в зону невизначеносп). Тому не можемо зробити висновок н про наявшсть, н про вiдсутнiсть автокореляцГ'. Отже, перевiримо результат за допомогою критерiю фон Неймана. Вщ'емне значення коефiцiенту r0 = -0,41 свГдчить про вщ'емну кореляцiю залишкiв. Далi оцЫимо параметри моделi за узагальненим МНК. Шсля проведених розрахункiв модель буде мати вигляд:
Y = 97,67 - 0,01 • Х1 - 0,12 • Х2 - 0,03 • Х3. Висновки. Використовуючи розвинену загальну схему побудови та дослщження економетричних моделей множинно'' регресií, було встановлено, що залежысть мГж вщповщними економiчними параметрами наведено'' вище задачТ е лГнГйною, причому дана модель е адекватною та статистично значущою. ОкрГм того, було проiлюстровано, що запропонований алгоритм дослщження економетричних моделей множинно'' регресií е конструктивним та зручним у використаны.
Список використаних джерел
1. Жебка В. В. Курс лекцш з економетрп: Навч. поаб. для студ. вищ. навч. закл. / В. В. Жебка, I. I. Юртин, О. О. Юнькова. -К.: Транспорт Укра'ни, 2007. - 138 с.
2. Корольов О. А. Практикум з економетрп. Частина 1. Регресшний аналiз: навч. поабник. / О. А. Корольов, В. В. Рязанцева. - Ки'в: вид-во £вроп.ун-ту, 2002. - 250 с.
3. Лещинський О. Л. Економетрiя /О. Л. Лещинський, В. В. Рязанцева, О. О. Юнькова. - К.: МАУП, 2003. - 208 с.
4. Лупын О. £. Економетрика: навчальний поабник / О. £. Лупнш [та ш.]. - Херсон: ОЛД1-плюс, 2014. - 319 с.
5. Наконечний С. I. Економетрiя: Пщручник. / С. I. Наконечний, Т. О. Терещенко, Т. П. Романюк. - К.: КНЕУ, 2000. - 296 с.
References
1. Zhebka V. V. Lectures on econometrics / V. V. Zhebka, I. I. Yurtyn, O. O. Yun'kova. - K.: Transport Ukrayiny, 2007. - 138 s.
2. Korol'ov O. A. Workshop on econometrics. Part 1 Regression Analysis: teach. manual. / O. A. Korol'ov, V. V. Ryazantseva. -Kyyiv: vyd-vo Yevrop.un-tu, 2002. - 250 s.
3. Leshchyns'kyy O. L. Econometrics /O. L. Leshchyns'kyy, V. V. Ryazantseva, O. O. Yun'kova. - K.: MAUP, 2003. - 208 s.
4. Luhinin O. Ye. Econometrics: Tutorial / O. Ye. Luhinin [ta in.]. - Kherson: OLDI-plyus, 2014. - 319 s.
5. Nakonechnyy S. I. Econometrics: Textbook. / S. I. Nakonechnyy, T. O. Tereshchenko, T. P. Romanyuk. - K.: KNEU, 2000. -296 s.
ECONOMIC-MATHEMATICAL MODELING IS A PROMISING AREA OF APPLIED MATHEMATICS
О. Glushak, S. Semenyaka
Boris Grinchenko Kyiv University, Ukraine Abstract. In this paper, the need to use mathematical modeling in the study of economic processes and the relevance of studying the relevant academic disciplines is disclosed. A constructive scheme for constructing and investigating the econometric model of multiple regression is formulated and justified. Demonstrate basic stages of construction and study multiple regression model, collection and preliminary processing of statistical data-sheet model parameterization models, check for multicollinearity
2
using step-Hlobera Farrar algorithm, which uses three types of statistical criteria (X , F-criterion and t-test) adequacy using correlation coefficients, determination and the mean relative error., heteroskedasticity using Ц-kryteriy, parametric test Holdfelda-Kvandta, nonparametric test Holdfelda-Kvandta, using autocorrelation Durbin-Watson test, criterion of von Neumann, non-cyclic correlation coefficient and determination and point interval forecasts. Using the example of a specific task, the effectiveness of scheme for investigating the econometric model of multiple regression implementation is illustrated.
Key words: economic-mathematical modeling, econometric model, multiple regression, multicollinearity, heteroskedasticity, autocorrelation.
