CC BY
51
УДК 629.5:[624.074.43:539.539].001.63
ПАРАМЕТРЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ МЯГКИХ ЕМКОСТЕЙ И ОБОЛОЧЕК
Друзь И.Б., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой Теоретической механики и сопротивления материалов, Морской государственный университет им. адм. Г. И. Невельского., e-mail [email protected], Россия, Владивосток, +7 914 7070 227.
Захарина Л.В., директор, преподаватель высшей категории, Сахалинское высшее морское училище им. Т. Б. Гуженко - филиал ФБОУ ВПО «Морской государственный университет им. адмирала Г. И. Невельского», e-mail: [email protected]
В работе приведены расчетные схемы по определению силовых, геометрических и других параметров для конструкций, изготовленных из мягких цилиндрических пневмооболочек. В расчетах учтены некоторые характерные особенности, присущие этим конструкциям внутреннее избыточное давление газа, находящегося внутри оболочки.
Ключевые слова: мягкие пневмооболочки, цилиндрические пневмооболочки.
PARAMETERS OF SOFT CYLINDRICAL TANKS AND SHELLS
Druz I., Doctor of Technical Sciences, professor, Head of the Theoretical Mechanics & Resistivity of Materials Chair, FSEIHPE «Maritime State University named after admiral G.I.Nevelskoi», e-mail: [email protected] Zakharina L., Director, Chief Lecturer, Sakhalin Maritime College - a branch of the FSEI HPE «Maritime State University named after admiral
G.I.Nevelskoi», e-mail: [email protected]
The paper presents the design schemes to determine power, geometry and other parameters for structures made of soft pneumatic shells. The calculations take into account certain characteristics inherent in these structures; in particular, excessive internal gas pressure inside the casing.
Keywords: soft pneumatic casing, cylindrical pneumatic shells
Наибольшее распространение на морском флоте и в промышленности имеют цилиндрические мягкие емкости, заполненные жидкостью, или погруженные в воду, заполненные более легкой жидкостью или газом. При проектировании и эксплуатации мягких емкостей необходимо уметь рассчитывать их рабочие параметры. До сих пор для расчетов, как правило, применяются математические методы, в которых используется довольно сложный математический аппарат. В связи с широким распространением персональных компьютеров стало возможным численное решение дифференциальных уравнений. Это намного облегчает проведение расчетов и расширяет их возможности.
В данной работе приводятся системы дифференциальных уравнений и алгоритмы, которые необходимы для составления программ численных расчетов по определению параметров цилиндрических мягких емкостей и оболочек, испытывающих гидростатическую или равномерную нагрузку. Приведены также уравнения, учитывающие деформацию ортотропной оболочки под действием растягивающих усилий. Рассмотрена типовая задача.
Из условия равновесия элемента цилиндрической весомой оболочки, находящейся под действием переменного по вертикали и равномерного вдоль образующей давления P (рис. 1, а), получим
dT = - sin 0dl, Td0 = Pdl - Gcos0dl,
' ' (i)
где T - погонное натяжение в оболочке, P - давление, воспринимаемое оболочкой, G - вес единицы площади оболочки.
Рис. 1. Равновесие элемента цилиндрической весомой оболочки
На основе этого условия запишем систему дифференциальных уравнений, предназначенных для численных расчетов параметров поперечных сечений цилиндрических мягких емкостей и оболочек. Если растяжимость оболочки не учитывается, то
Здесь изменение натяжения в оболочке dT происходит за счет влияния веса оболочки. Если в расчетах не учитывается вес оболочки, то в уравнении (1) принимается G = 0, а натяжение T становится постоянной величиной, то есть T = const. Для емкостей с жидкостью
P = P0 + pgz,
давление P имеет гидростатический закон типа 0 а для воздухоопорных оболочек P = const.
Далее получим расчетные формулы, учитывающие растяжимость мягкой оболочки. При учете деформации рассмотрим только двухосное ортогональное растяжение без наличия сдвига, которое характерно для большинства практических случаев работы мягких оболочек, в том числе и для цилиндрических.
Для ортотропной оболочки, у которой направления осей x и y совпадают с главными направлениями упругости, уравнения обобщенного закона Гука имеют вид
£
о.
о у
о, о.
о
(2)
где
£ х, £ о х, о V V
х у - относительные деформации оболочки, х у - нормальные напряжения, Е Е - модули упругости, 1' 2 ■
коэффициенты Пуассона. Индексы 1 и 2 показывают принадлежность параметров оболочки направлениям вдоль осей х и у. Для нашего случая ось х направлена по касательной к периметру поперечного сечения цилиндрической оболочки, а ось у вдоль образующей. При использовании уравнений (2) для мягких оболочек представляют
ох = Т1/ к, оу = Т2 / к, Е1 = Е' / к, Е2 = Е2 / к,
Е1, Е2
где Т1, Т2 - натяжения в оболочке по направлениям осей х и у, 1 2 — приведенные к толщине оболочки к модули упругости. В нашем случае необходимо производить учет растяжимости оболочки при действии только дополнительных натяжений dT1 и dT2, возникающих при потере остойчивости или колебаниях емкости. Уравнения (2) примут вид
е
ёТ1
Е'
-2 £
__ёЛ
К Е'
Эти уравнения необходимы для определения величины деформации оболочки в целом
А/х =х
или для элемента оболочки
ё А/ = ё/
ёТ1
Е'
ёТ1
Е
ёТ2
ёТ2
А/у =У
í ёТ2 ёТ Л —1 -V —1 Е'г 1 Е'
ё А/у = ё/у
/ёТ2 ёТ Л
- V 1
Е' 1 Е'
V
Если оболочка испытывает только одноосное кольцевое натяжение, в этом случае ёТ2 = 0, то уравнения (4) и (5) упрощаются
А/ = / ^ А/ =-/V,
*х *х е' ' у у 1 Е
ёА/ = ёА/ = -V.
х х Е у у 1 Е
Уравнения (1), (4).. .(7) в безразмерном виде (рис. 1, б)
ёТ = -Бт0ё/, Тё0 = Рё/ - ОсоБ0ё/,
ё0 р - ? соб0 dt , . л ёс л ёп
- - ^ Б1П0, —^ = БШ0, —7- = -СОБ0,
ё X
ёАХ = ё X
ёХ
/ dt2
е1 е2
ё X
ё АХу = -ё Ху
ё X
dt1
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9) (10)
АХх ^х^ АХу =-ХуV1 ^
(11)
ёАХх = ёХх4, ёАХу =-ёХуV1 dtL,
а е
1 1 (12) где безразмерные параметры цилиндрической емкости получены из следующих соотношений:
Т = 2, Р = ppgd, С = g ,Е = е2, / = Ы, г = , у = , ё, характер
— характерный линейный размер, - характерный силовой параметр, Р - плотность жидкости, находящейся в емкости, g - ускорение свободного падения.
В морской практике применяются наиболее типичные мягкие емкости четырех видов: вложенная в прямоугольный отсек (рис. 2, а), свободнолежащая (рис. 2, б), погруженная в воду (рис. 2, в), прикрепленная к наклонному борту (рис. 2, г). Формы поперечных сечений первых двух видов мягких емкостей (рис. 2, а, б) образуются бесперегибными эластиками. Третий вид (рис. 2, в,) образуются перегибными эластиками [1].
Рис. 2. Формы поперечных сечений мягких емкостей
Для цилиндрических мягких емкостей, находящихся в покое, необходимо знать следующие параметры: размеры емкости в поперечном сечении, ее площадь, по которой находится объем, гидростатическое давление в различных точках и др. Весьма характерным для цилиндри-
¿Б / ссн п,
ческих мягких емкостей является отношение п которое используется для подсчета периода продольных колебаний жидкости
Т
в емкости и для нахождения продольного метацентрического радиуса й, определяющего продольную остойчивость емкости [3], [4].
- 2Ь М й _ ь (Б
Т_ п у gS (Нп' ~ШЖ (Яп' (13)
где Ь - длина емкости, Б - площадь поперечного сечения емкости, Я полный напор жидкости в емкости, V - объем жидкости в емкости, п = 1,2,3... - номер колебаний.
В качестве примера рассмотрена мягкая емкость с жидкостью, вложенная в прямоугольный отсек.
Сначала для вкладной мягкой емкости составим алгоритм решения задачи по определению поперечного метацентрического радиуса
[2]
г _ У7+У~ ~(Н в^ '
Vв _ БвЬ, V _ ВНнЬ, 1х
ЬВ3
х 12
где х ^ - момент инерции площади свободной поверхности жидкости, V, V - объемы
верхней и нижней части емкости, - площадь поперечного сечения верхней части емкости, Яв - высота верхней части емкости Ян - высота
и ^ gв
нижней части емкости, В - ширина отсека, - координата центра тяжести жидкости, находящейся в верхней части емкости.
В безразмерном виде
Г 1 (¿в X г _ — _------—.
В 12 (¿н + ^в ) ¿н + *в (14)
Для решения задачи запишем систему дифференциальных уравнений на основе уравнений (1), в которых примем О = 0, а
Р _ Ро +pgs,
или в безразмерной форме
d 0 h0 + q d q . d n a — = ———^ = sin 0, —L = cos 0, dK t dK dK (15)
P0 = pgH0 H0 = к0 ё
где 0 ' 0 - избыточное давление в верхней точке емкости, 0 0 - избыточный напор (рис. 3).
Рис. 3. Избыточный напор
При расчетах обычно задаются начальными значениями к0 и t. Этим значениям соответствует вполне определенная емкость.
Х = 0 0 = 0, с = 0
Начальные условия: при .
Расчет ведется следующим образом. Сначала надо задаться расчетными значениями к0р и t, а затем посчитать координаты кривой - эластики ^р и Пр' Счет заканчивается при 0 = п /2. При 0 = п /2. получаем расчетные значения
z p = hBp, Пр = ЬР/ 2.
Для определения расчетных значений безразмерного коэффициента координаты центра тяжести и безразмерного коэффициента
Z.
[
= 2 J (hBp - qp dnp = КрЬр - 2 J qpdnp
0
142 2
2 J (hBp-qp)dnp
площади я верхней части емкости должна быть составлена программа численного решения следующих интегралов:
вр V2 V2
явр
1 V2
л/2 _
К =2 JdК, q
3gbp
s„„ /2
о Bp' (16) После того, как определены расчетные безразмерные параметры, находят безразмерные параметры емкости, отнесенные к характерному линейному размеру B. Для этого используется величина bp:
hB=hBp / bp , h0 = h0p / bp , Кв = KBp / bp , Z gB = Z gBp / bp , t = tp / sb = SBp / ЬГ
Эти найденные безразмерные параметры верхней части емкости подставляются в формулу (14). Рассчитанные значения безразмерных параметров мягкой емкости, вложенной в прямоугольный отсек, приведены в виде кривых в функции от h на рис. 4.
Далее приводится алгоритм расчета безразмерной величины продольного метацентрического радиуса численным методом для мягкой емкости, вложенной в прямоугольный отсек (см. [4]). Используя условие для нерастяжимой оболочки
К = К в + 2hn +1 = const,
найдем
= -dКв / 2.
Затем из равенств
^ = sb + ^ = sb + ^ К = h0 + hB +
получим
ds = dsB - -dK^, dhп = dh0 + dhB - -dK^.
2
0,4
С л.
'«в
л
А
щ,
0,3
0,2
0,1
О
V \\
Xв
/ ^
А-
А
-5» («401 ¿К
> х- г___-- (¡у , '
1,6
1,2
0,8
0,4
О
О 0,1 0,2 0,3 0,4 Лв 0,5
Рис. 4. Значения безразмерных параметров вложенной в прямоугольный отсек мягкой емкости
dsв, d X в, dh
Определение величин в в в производится следующим образом. На первом этапе, задаваясь расчетными значениями
ЯВр , Х вР , НВр , Ьр • Я , X , Н .
Н0р и % с помощью зависимостей (15) и (16) находят ^ г г г Затем по формулам (17) в в в На втором этапе расчетов в уравнении (15) расчетному значению Н0р дается приращение dН0p. После чего все расчеты повторяются. Находятся величины,
К р +<
соответствующие новому значению
Затем находятся приращения безразмерных параметров
V яр , хр , нр , ьр П1, я*, х*в, н*.
и аналогично формулам (17)
ds
'в'
dХв = ХВ - Х dНв = К - Нв, dН0 = ^Ор/К
которые подставляются в (18). Найденные значения оЯ и dН используются для определения продольного метацентрического радиуса й по формуле (13)2
й = = йв=А Ь В
И 12 V,
dНп 12 (я* + Ян)
т
или периода продольных колебаний жидкости в емкости по формуле (13)1
где принято
V, = 5Ь, 5 = + 5 = я*В2, 5н = ЯнВ2, И = НПВ, Ь = ЬВ.
На рис. 4 приведены рассчитанные значения ds/dН в функции от заполнения емкости, характеризуемой безразмерной высотой ее верхней части Н .
Далее учтем растяжимость оболочки емкости. При подсчете ds/dН будем оставлять приращение dН прежним, то есть найденным при нерастяжимой оболочке. Приращение безразмерного коэффициента площади поперечного сечения емкости, которое учитывает продольное перемещение жидкости, подсчитаем с учетом деформации оболочки емкости за счет ее растяжимости, обозначив его ds .
Деформация растяжения оболочки происходит только в ее верхней части, не соприкасающейся со стенками жесткого прямоугольного отсека, в котором емкость помещена. Торцы емкости упираются в поперечные стенки отсека. Поэтому здесь необходимо учитывать только поперечное одноосное растяжение верхней части оболочки емкости. В продольном направлении оболочка емкости также изменяет свою длину, укорачивается (см. (6)2). Однако этому укорочению в сильной степени препятствуют силы трения, возникающие при прижатии оболочки к стенкам отсека жидкостью. При изменении поперечного погонного натяжения Т в верхней части оболочки, имеющей длину 1в, на величину dT, периметр оболочки удлинится на (см. (6)1)
Д/ = I
dT
в в '
Е
где Е - приведенный к толщине оболочки модуль упругости ее материала. В безразмерном виде
ДХв = Хв 4 >
е
где безразмерные параметры определяются из следующих равенств
Д/В = ДХВВ, /в = ХвВ, dT = dtpgB2, Е = epgB2.
ДХВ dXВ
Величина в учитывает только деформацию растяжения оболочки, она отличается от величины в менение длины периметра верхней части оболочки при изменении только ее формы.
которая учитывает из-
Пренебрегая величинами более высокого порядка малости, выразим зависимость dTот с!И. Для этого воспользуемся законами гидростатики. Запишем условие равновесия верхней части оболочки при действии на нее давления жидкости (рис. 5, а)
[(Яв + H0) B - Sa ]pg = 2T
или в безразмерной форме Кв + h0 - ^в = 2t>
откуда
К + К t = -
2
Рис. 5. Верхняя часть оболочки при действии на нее давления жидкости
При изменении безразмерного напора на величину dh безразмерное натяжение и другие безразмерные параметры емкости также получают приращения
I + Л = К + К + ^н + - Ув - ^в
2 '
dhн = dsв
А так как н в, то
, Кв + К0 + dhп - я , dh„ г + dt = —-0-п-- dt
2 2
и
Это равенство можно получить и непосредственно из рис. 5, б. Дополнительная составляющая вертикальной силы гидростатического
dИ пр?,
давления на оболочку равна п1 которая уравновешивается дополнительными составляющими натяжений в оболочке - 2dT, то есть
2dT = dИпPg,
или в безразмерном виде
, dhп dt = — 2
ДА, в.
Найденное значение dt далее используется для подсчета в Величина dsд состоит из двух частей
dsд = ds + Ду, ds, Дs
где - безразмерные коэффициенты приращения площади поперечного сечения емкости за счет изменения формы и за счет
растяжимости оболочки.
Пренебрегая величинами более высокого порядка малости, получим
Ду = 1 хДА = А ^.
в
e
Окончательно
dsд = ds + А в .
Д в /
е
dsд| dhп,
Далее находится значение А' в котором dhп было определено ранее по формуле (18)2.
Затем находится продольный метацентрический радиус емкости (13)2
или период продольных колебаний жидкости в емкости (13)1
На рис. 4 приведены рассчитанные значения для в функции от заполнения емкости, характеризуемой безразмерной высотой ее верхней части Кв.
Литература:
1. Биргер, И. А. Сопротивление материалов [Текст] / И. А. Биргер, Р. Р. Мавлютов. - М.: Наука, 1986. - 560 с.
2. Вспомогательные таблицы для расчета цилиндрических безмоментных оболочек [Текст] / Б. И. Друзь, В. Э. Магула // Сборник материалов IX краевого конкурса НТО СП: сб. науч. тр. /- Владивосток: Дальиздат, 1964, С. 49-56.
3. Друзь, Б. И. Статика мягких емкостей [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 08.00.13: защищена 12.02.02: утв. 24.06.02 / Друзь Борис Иванович. - Одесса, 1962. - 289 с.
4. Кухлинг, X. Справочник по физике [Текст] / X. Кухлинг; пер. с нем. 2-е изд. - М.: Мир, 1985. - 520 с.
5. Магула В. Э. Судовыё эластичные конструкции [Текст] / В. Э. Магула. - Л.: Судостроение, 1978. - 263 с.
6. Магула, В. Э. Расчеты судовых осесимметричных мягких оболочек [Текст] / В. Э. Магула, Ю. Н. Коробанов, В. П. Шпаков. - Николаев: НКИ, 1978. - 97 с.
7. Погруженная мягкая цилиндрическая емкость, заполненная воздухом [Текст] / О. В. Антоненко, Б. И. Друзь, А. И. Потутаровский // Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам: сб. науч. тр. / - Владивосток: ДВВИМУ, 1975. - вып. 31. С. 15-41.
8. Построение графиков параметров мягких цилиндрических оболочек [Текст] / Б. И. Друзь // Строительная механика и расчет сооружений. - 1966, №4.
9. Прочность, устойчивость, колебания [Текст]. Справочник в 3 т. Т 1. / под редакцией И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968. - 831 с.
10. Ридель, В. В. Динамика мягких оболочек [Текст] / В. В. Ридель, Б. В. Гулин. - М.: Наука, 1990. - 205 с.
11. Справочник по строительной механике корабля [Текст]. Т. 1. / Г. В. Бойцов, О. М. Палий, В. А. Постнов, В. С. Чувиковский. - Л.: Судостроение, 1982. - 376 с.
12. Специальные функции [Текст]. Изд 2 стереотип. / Э. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш; пер. с нем. 6-го переработанного нем. изд. под ред. Седова Л. И. - М.: Наука, 1968. - 366 с.
